Séminaire de Théorie des Nombres et Combinatoire



Exposés de la saison 2005/2006


  • Jeudi 15 juin 2006 à 16 h, salle 22
  • Mardi 6 juin 2006 Résumé. The category of graphs is enriched so that the set of maps between any two graphs becomes a partially ordered set or simplicial complex. This allows one to find topological obstructions to the existence of maps between graphs.


  • Mardi 30 mai 2006 Résumé. Let K/k be a finite abelian extension of number fields with K totally complex and k totally real. A recent conjecture due to Solomon gives a generalisation of the so-called 'Artin Hasse Reciprocity Law', giving a congruence involving the Stark unit of K^+/k where K^+ is the maximal real subfield of K" and the semi-local units of K. In this talk we will explain the background to this conjecture and talk about some recent efforts to verify it myself in the special case where k is the maximal real subfield of K.


  • Mardi 23 mai 2006 Résumé. Considérons le graphe dont les sommets sont les parties à k éléments de l'ensembles des entiers de 1 ˆ n, et dont les arêtes relient les parties disjointes. Ce graphe, le "graphe de Kneser" KG(n,k), a pour nombre chromatique n-2k+2. C'est un célèbre théorème de Lovasz, démontré en 1979 avec l'utilisation du théorème de Borsuk-Ulam. La même année, L. Schrijver renforait ce théorème, toujours à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam : même en ne gardant que les parties à k élèments "stables", i.e. ne contenant ni entiers consécutifs, ni simultanément les entiers 1 et n (graphes de Schrijver), le nombre chromatique reste égal à n-2k+2. En 2003, J. Matousek proposait la première preuve combinatoire de ce résultat (sans fonction continue, sans approximation simpliciale, sans groupe d'homologie), et, en 2005, G. Ziegler donnait une preuve combinatoire du théorème de Schrijver. Ces deux preuves s'appuient sur une formulation adéquate du lemme de Tucker, version discrète du théorème de Borsuk-Ulam. Nous présenterons au cours de ce séminaire une formule que K. Fan découvrit en 1952 et qui généralise le lemme de Tucker. Nous en donnerons une preuve plus compacte que celle connue auparavant, et nous montrerons qu'elle peut s'appliquer efficacement au calcul du nombre chromatique des graphes de Schrijver, simplifiant la preuve de Ziegler.


  • Mardi 16 mai 2006
  • Mardi 9 mai 2006
  • Mardi 18 avril 2006
  • Mardi 11 avril 2006
  • Mardi 4 avril 2006
  • Mardi 28 mars 2006
  • Mardi 21 mars 2006 Résumé. Le but de cet exposé est d'introduire l'exposant de densité ν, qui est une nouvelle façon de mesurer l'irrationalité d'un irrationnel X donné au moyen d'un nombre ν(X)≥1 naturellement associé aux suites d'approximations rationnelles à croissance géométrique de X (lorsqu'il en existe). En particulier, l'exposant de densité diffère très nettement de l'habituel exposant d'irrationalité μ(X) associé à X.
    Après avoir mentionné quelques propriétés générales de ν (qui, par exemple, vaut 1 pour presque sūrement), j'indiquerai comment, à l'aide du théorème de Poincaré-Perron ou de la méthode du col par exemple, on peut majorer l'exposant de densité des nombres à quotients partiels bornés ou de nombres classiques tels que log(2), π2, ζ(3). On ne sait malheureusement rien de ν(e) car toutes les approximations rationnelles connues de e sont à croissance factorielle.
    Enfin, j'exposerai plus particulièrement en détail le cas des nombres algébriques réels, qui donne lieu à une jolie construction d'approximations rationnelles à l'aide de déterminants.
    Il s'agit d'un travail en commun avec Stéphane Fischler (Université de Paris Sud).


  • Mardi 14 mars 2006
  • Mardi 7 mars 2006
  • Mardi 28 fevrier 2006
  • Mardi 21 fevrier 2006
  • Mardi 14 fevrier 2006
  • Mardi 7 fevrier 2006
  • Mardi 31 janvier 2006
  • Mercredi 25 janvier 2006
  • Mardi 20 décembre 2005
  • Mardi 13 décembre 2005
  • Mardi 6 décembre 2005 Résumé. Le groupe modulaire agit sur les surfaces à petits carreaux et permet la définition de deux orbites (d'après Hubert & Lelièvre). L'objet de cet exposé est d'introduire ces orbites puis de montrer le lien entre les fonctions génératrices du nombre de surfaces dans chaque orbite et les formes quasimodulaires. Les résultats présentés ont été obtenus en collaboration avec Samuel Lelièvre.


  • Mardi 29 novembre 2005 Résumé. Il s'agit avant tout d'un exposé introductif, l'objectif étant de convaincre l'auditoire que ces choses sont intéressantes. Il n'y aura évidemment aucune démonstration, si ce n'est une esquisse de preuve concernant le cas de le plus simple du problème de Lehmer pour les nombres algébriques, afin d'illustrer comment et de quelle facon l'approximation diophantienne entre en jeu. La conséquence en vue mentionnée dans le titre est une généralisation (conjecturale) du problème de Manin-Mumford (pour les variétés abéliennes et/ou le groupe multiplicatif de dimension n). Je donnerai des conséquences concrètes de cette généralisation dans les cas que l'on sait prouver.


  • Mardi 22 novembre 2005 (exposé annulé)
  • Mardi 15 novembre 2005 Résumé. Dans les années 1930, Mahler et Koksma ont introduit les exposants wn(x) et w*n(x) pour mesurer la qualité de l'approximation du nombre réel x par des nombres algébriques de degré au plus égal à n. En particulier, on désigne par wn(x) le supremum des nombres réels w pour lesquels l'inégalité 0 < |P(x)| ≤ H(P)-w est vérifiée pour une infinité de polynômes P(X) à coefficients entiers, de degré majoré par n (la hauteur H(P) d'un polynôme P(X) est le maximum des modules de ses coefficients).

    Nous définissons quatre nouveaux exposants d'approximation diophantienne et faisons un tour d'horizon des résultats connus sur ces six exposants.


  • Mardi 8 novembre 2005
  • Mardi 25 octobre 2005
  • Mardi 18 octobre 2005
  • Jeudi 13 octobre 2005
  • Jeudi 6 octobre 2005 Résumé. Dans le raisonnement en arithmétique, nous distinguons deux dimensions que nous avons qualifiées respectivement de dimension organisatrice et dimension opératoire : la première est coextensive à la "visée" du mathématicien (c'est-à-dire son "programme", explicite ou non) et la seconde est relative à l'ensemble des traitements développés pour permettre la mise en Ļuvre des différentes étapes de la mise en acte de cette visée. Nos travaux en didactique des mathématiques révèlent en particulier la pertinence de cette distinction pour une exploitation didactique, plus précisément pour l'étude des spécificités et des potentialités de l'arithmétique élémentaire pour l'apprentissage du raisonnement mathématique. A partir d'une analyse de démonstrations historiques, nous nous centrerons lors de cette présentation sur l'introduction de l'outil épistémologique qui a pour essence la distinction mentionnée. Nous présenterons pour finir les axes principaux de notre projet de recherche qui nécessite une étroite collaboration avec des chercheurs et enseignants-chercheurs en mathématiques, en particulier en théorie des nombres.