\documentclass[11pt, a4paper]{article}
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 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}%[section]
\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}
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\newtheorem{example}{Exemple}
\newcommand\cyc{\mathop{\rm cyc}}
%\newenvironment{proof}{{\em Proof.}}{\mbox{}\hfill $\Box$\medskip}
%\newenvironment{example}{\smallskip\noindent{\bf Exemple. }}{\smallskip}
\newenvironment{remark}{\smallskip\noindent{\bf Remarque. }}{\smallskip}
%binomial coefficients:\bi{#1}{#2}
\newcommand\bi[2]{{{#1}\atopwithdelims(){#2}}}
%q-binomial coefficients:\qbi{#1}{#2}{#3}
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\pagestyle{plain}
\newtheorem*{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{conj}{Conjecture}
\newtheorem{lem}{Lemme}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\refname{BIBLIOGRAPHIE}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\title{Sur une g\'en\'eralisation des coefficients binomiaux}
\author{Fr\'ed\'eric Jouhet, Bodo  Lass et Jiang Zeng\\
\small Institut Girard Desargues,
Universit\'e Claude Bernard (Lyon 1)\\[-0.8ex]
\small 43, bd du 11 Novembre 1918,
69622 Villeurbanne cedex, France\\[-0.8ex]
\small \{\texttt{jouhet, lass, zeng}\} @
\texttt{igd.univ-lyon1.fr}\\[-0.8ex]
}
\date{}
%\small 2000 Mathematics Subject Classification : 05A10, 33C20}


\maketitle
%\centerline{\it Combinatorica lux mea}

\begin{abstract}
We prove a recent conjecture of Lassalle about positivity and
integrality of  coefficients in some polynomial expansions.
We also give a combinatorial interpretation of those numbers.
Finally, we show that this question is closely related to the fundamental
problem
of calculating the linearization coefficients for binomial coefficients.

\bigskip

\centerline{\bf Key words}
\smallskip
Positivity and integrality conjectures,  linearization coefficients, calculus
of finite differences

\bigskip

\centerline{\bf AMS subject classifications}
\smallskip
05A05, 05A10, 05A15, 05A17, 05A18, 05A19, 05E05, 33C20

\end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Introduction}
Une partition $\mu= (\mu_1\geq \mu_2\geq \cdots \geq \mu_l>0)$  de $n$ est
une suite d\'ecroissante d'entiers strictement positifs de somme
$n=|\mu|$. Le nombre $l=l(\mu)$ est appel\'e
la longueur de $\mu$. Pour tout $i\geq 1$, l'entier ${m}_{i} (\mu)  =
\textrm{card} \{j: {\mu }_{j}  = i\}$ est la multiplicit\'e de
$i$ dans $\mu$. D\'efinissons
\[{z}_{\mu}  = \prod\limits_{i \ge  1}^{}
{i}^{{m}_{i}(\mu)} {m}_{i}(\mu) !  .\]
%
%
Pour  $n\geq 1$ les factorielles \emph{montantes} et
\emph{descendantes} sont d\'efinies comme suit~:
$$ (x)_n= x (x+1) \cdots (x+n-1),\qquad
\langle x\rangle_n = x (x-1) \cdots (x-n+1).
$$
Notons  que $\langle -x\rangle_n=(-1)^n(x)_n$ et que les coefficients
binomiaux valent  $\binom{x}{n}  =  {\langle x\rangle}_{n}/n!$.
Dans ses travaux sur les \emph{polyn\^omes de Jack}~\cite{La02} Lassalle
a r\'ecemment pos\'e la conjecture
suivante.
\begin{conj}
Soit $X$ une ind\'etermin\'ee, $m$ et $n$ deux
entiers  strictement positifs et
${\bf r}=(r_1,\ldots,r_m)$ une suite d'entiers positifs telle que
$|{\bf r}| = \sum_{i = 1}^m r_i>0$. On a
\begin{equation}\label{eq:las}
\sum_{|\mu| = n} \frac{X^{l(\mu) - 1}} {z_{\mu }}  \left( \sum_{i
= 1}^{l(\mu )} \prod_{k = 1}^m \frac{{(\mu_i)}_{r_k}}{r_{k}!} \right) =
\frac{1}{|{\bf r}|}  \sum_{k = 1}^{\min (n,|r|)}
c_k^{({\bf r})} \binom{X +n - 1}{n - k} ,
\end{equation}
o\`u les coefficients $c_k^{({\bf r})}$ sont
des entiers positifs \`a d\'eterminer.
\end{conj}
Remarquons d'abord que le membre de gauche de (\ref{eq:las}) est un
polyn\^ome
en $X$ de degr\'e $n-1$, donc il peut \^etre d\'evelopp\'e dans la base
$\{\binom{X+n-1}{n-k}\}$ ($1\leq k\leq n$) d'une seule fa\c con.
Ceci implique l'existence et l'unicit\'e des coefficients rationnels
$c_k^{({\bf r})}$ au membre de droite de (\ref{eq:las}).


Comme nous allons le d\'emontrer, les nombres~$c_k^{({\bf r})}$
sont en fait des entiers positifs et in\-d\'e\-pen\-dants de~$n$.
Pour $m=1$ et $m=2$ les coefficients $c_k^{({\bf r})}$ ont \'et\'e
d\'etermin\'es et la conjecture a \'et\'e
v\'erifi\'ee~(voir~\cite{Ei,La00,La02,Z}). Dans le premier cas, on
a $c_k^{(r_1)}=\binom{r_1}{k}$ et dans le deuxi\`eme cas
Lassalle~\cite{La02} a obtenu plusieurs formules exprimant
$c_k^{(r_1, r_2)}$, qui se r\'eduisent au cas pr\'ec\'edent
lorsque $r_2=0$.  Donc les coefficients $c_k^{({\bf r})}$ sont des
extensions des coefficients binomiaux classiques.

L'objectif de cet article  est de donner une solution compl\`ete
de ce probl\`eme, ceci par \emph{trois} approches distinctes
utilisant des techniques compl\`etement diff\'erentes. Plus
pr\'ecis\'ement, la section~2 donne une r\'eponse analytique \`a
la conjecture~1, ainsi que quelques identit\'es du m\^eme type,
ceci \`a l'aide des fonctions g\'en\'eratrices multivari\'ees.
Dans la troisi\`eme section, nous donnons une interpr\'etation
combinatoire de l'identit\'e suivante~:
\begin{equation}\label{eq:bigeq}
\sum_{|\mu| = n} \frac{n!} {z_{\mu }} X^{l(\mu) - 1} \sum_{i =
1}^{l(\mu )} \prod_{k = 1}^m \mu_i \binom{\mu_i+r_k-1}{r_k-1}
=\frac{\prod_{j} r_{j}}{|{\bf r}|}  \sum_{k = 1}^{\min (n,|r|)}
c_k^{({\bf r})} k!\binom{n}{k} (X+k)_{n-k},
\end{equation}
qui est l'identit\'e \eqref{eq:las} au facteur $n!r_1\ldots r_m$
pr\`es.
Dans la derni\`ere section, nous d\'etaillons une
troisi\`eme d\'emonstration de la conjecture de Lassalle qui
utilise le calcul aux diff\'erences et le cas particulier $m = 1$
de \eqref{eq:bigeq} , c'est-\`a-dire l'identit\'e~:
\begin{equation}\label{eq:bigeq1}
\sum_{|\mu| = n} \frac{n!} {z_{\mu }} X^{l(\mu) - 1} \sum_{i =
1}^{l(\mu )} \mu_i \binom{\mu_i+r_1-1}{r_1-1} =\sum_{k \geq 1}
\binom{r_1}{k} k!\binom{n}{k} (X+k)_{n-k}=(X+r_1)_n-(X)_n,
\end{equation}
 dont la d\'emonstration est
facile, voir \cite{La00} pour une preuve alg\'ebrique et \cite{Z}
pour une preuve combinatoire. Dans ce paragraphe, nous voyons que
le probl\`eme essentiel soulev\'e par la conjec\-ture de Lassalle
est le calcul de certains coefficients de lin\'earisation.
Malgr\'e l'importance fondamentale de cette question, il semble
que, jusqu'\`a pr\'esent,  les coefficients de lin\'earisation ne
furent \'etudi\'es que pour les polyn\^omes orthogonaux. C'est
pourquoi nous ajoutons un traitement combinatoire du probl\`eme
dans cette section.

Afin de rendre la lecture la plus autonome  possible
 nous rappelons ici
quelques formules
fr\'equemment  utilis\'ees dans la suite.
D'abord  la formule binomiale peut s'\'ecrire~:
\begin{equation}\label{eq:binom}
(1-x)^{-\alpha}=\sum_{n\geq 0}\frac{(\alpha)_n}{n!}x^n.
\end{equation}
Nous aurons aussi besoin de la transformation suivante, qui
est un  cas limite de la formule de Whipple \cite[p. 142]{AAR}~:
\begin{equation}\label{whip}
{}_3F_2\!\left[\begin{matrix}-n,a,b\\c,d\end{matrix};1\right]=
\frac{(c-a)_n}{(c)_n}{}_3F_2\!
\left[\begin{matrix}-n,a,d-b\\d,a+1-n-c\end{matrix};1\right],
\end{equation}
et qui se r\'eduit \`a la formule de sommation
de Chu-Vandermonde lorsque $b=d$~:
\begin{equation}\label{cvd}
{}_2F_1\!\left[\begin{matrix}-n,a\\c\end{matrix};1\right]=
\frac{(c-a)_n}{(c)_n},
\end{equation}
o\`u
\[
{}_pF_q\!\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_p\\
b_1,b_2,\dots,b_q\end{matrix};z\right]=
\sum _{k\geq 0} \frac {(a_1)_k\cdots(a_p)_k}
{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}.
\]
est la d\'efinition  des fonctions
hyperg\'eom\'etriques classiques.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Fonctions g\'en\'eratrices}
En multipliant  le membre de gauche de (\ref{eq:las})
par $t^nx_1^{r_1}\cdots x_m^{r_m}$ et en
sommant sur $n\geq 1$ et les entiers
$r_1,\ldots, r_m\geq 0$ tels que $|{\bf r}|\neq 0$,
par la  formule
binomiale (\ref{eq:binom}),
nous sommes amen\'es \`a \'evaluer l'expression
$$
\sum_{|\mu|\geq 1} t^{|\mu|}
{\frac{{X}^{l(\mu)-1}}{{z}_{\mu }}}
\sum_{i = 1}^{l(\mu)}\left(
\prod_{l=1}^m (1-x_l)^{-\mu_i}-1\right).
$$


\begin{lem} Soit $y$ une ind\'etermin\'ee, alors
\begin{equation}\label{eq:gauche}
\sum_{|\mu|\geq 1} t^{|\mu|}
{\frac{{X}^{l(\mu)-1}}{{z}_{\mu }}}
\sum_{i = 1}^{l(\mu)}(y^{\mu_i}-1)=\sum_{n\geq 1} t^n \sum_{k=1}^n
\binom{X+n-1}{n-k}
\frac{(y - 1 )^k}{k}.
\end{equation}
\end{lem}
\begin{proof}[Preuve]  Toute partition $\mu$ non nulle correspond de fa\c con
biunivoque \`a une suite non nulle \`a support fini ${\mathbf
m}=(m_1,m_2,\ldots)$ telle que
  $\mu=(1^{m_1}2^{m_2}\ldots)$. On a donc
\begin{eqnarray}
\sum_{|\mu|\geq 1} t^{|\mu|}{\frac{{X}^{l(\mu)-1}}{{z}_{\mu }}}
\sum_{i = 1}^{l(\mu)}y^{\mu_i}
&=&\sum_{\mathbf m}X^{-1}\prod_{j\geq
1}\left(\frac{Xt^j}{j}\right)^{m_j}\frac{1}{m_j!}\sum_{i\geq 1}m_iy^{i}
\nonumber\\
&=& \sum_{i\geq 1}y^i
\left(\sum_{m_i\geq 0}m_i\left(\frac{Xt^i}{i}\right)^{m_i}
\frac{X^{-1}}{m_i!}\right)\cdot \prod_{j\neq i}\sum_{m_j\geq
0}\left(\frac{Xt^j}{j}\right)^{m_j}\frac{1}{m_j!}\nonumber\\
&=&\sum_{i\geq 1}\frac{(yt)^i}{i}\exp\left(\frac{Xt^i}{i}\right)
\prod_{j\neq i}\exp\left({\frac{Xt^j}{j}}\right)\nonumber\\
&=&
(1-t)^{-X}
\log ( 1 -yt)^{-1}.\label{fg}
\end{eqnarray}
Par soustraction du terme correspondant \`a $y=1$, nous obtenons
\begin{eqnarray}
\sum_{|\mu|\geq 1} t^{|\mu|}
{\frac{{X}^{l(\mu)-1}}{{z}_{\mu }}}
\sum_{i = 1}^{l(\mu)}(y^{\mu_i}-1)&=&
(1-t)^{-X}\log \left( 1 - \frac{t}{1-t}(y - 1) \right)^{-1}\nonumber\\
&=&\sum_{k\geq 1}   (1-t)^{-X-k}\frac{t^k( y- 1 )^k }{k}\nonumber\\
&=&\sum_{n\geq 1} t^n \sum_{k=1}^n \binom{X+n-1}{n-k} \frac{(y - 1
)^k}{k},\nonumber
%\label{eq:frederic2}
\end{eqnarray}
ce qui ach\`eve la d\'emonstration.
\end{proof}
Notons, pour toute fonction multivari\'ee $f$, par $[x_1^{r_1}
\cdots x_m^{r_m}]f(x_1, \dots, x_m)$ le coefficient de $x_1^{r_1}
\cdots x_m^{r_m}$ dans $f$. Nous d\'eduisons donc de
(\ref{eq:gauche}), en posant $y=1/(1-x_1)(1-x_2)\cdots (1-x_m)$,
 le r\'esultat  suivant.

\begin{thm}
Soient $c_k^{({\bf r})}$ les nombres rationnels d\'efinis par (\ref{eq:las}).
Alors
\begin{equation}\label{eq:frederic3}
\frac{c_k^{({\bf r})} }{|{\bf r}|}=[x_1^{r_1} \cdots x_m^{r_m}]\;\frac{1}{k}
\left( \frac{1}{(1-x_1) \cdots (1-x_m)} - 1 \right)^k.
\end{equation}
En particulier,   ${kc_k^{({\bf r})} }/{|{\bf r}|}$  est un entier
positif et  ne  d\'epend pas de~$n$.
\end{thm}


Il en r\'esulte que
\begin{eqnarray}
c_k^{({\bf r})}&=&[x_1^{r_1} \cdots x_m^{r_m}]\; \frac{d}{dz} \Biggl|_{z=1}
\frac{1}{k}
\left( \frac{1}{(1-zx_1) \cdots (1-zx_m)} - 1 \right)^k
\label{expr1}\\
&=&
[x_1^{r_1} \cdots x_m^{r_m}]\;\left( \frac{1}{(1-x_1) \cdots (1-x_m)} - 1
\right)^{k-1}
\frac{\frac{x_1}{1-x_1}+\cdots + \frac{x_m}{1-x_m}}
{(1-x_1) \cdots (1-x_m)}.\nonumber
\end{eqnarray}
La derni\`ere expression montre clairement  le corollaire suivant.
\begin{coro}
Les nombres $c_k^{({\bf r})}$ sont des  entiers positifs.
\end{coro}


Il est aussi possible de d\'eduire le corollaire au moyen des
 \emph{fonctions sym\'etriques
homog\`enes}
sur $\{x_1,\dots,x_m\}$, qui
sont d\'efinies~\cite{JZ, Ma} par la fonction g\'en\'eratrice~:
\begin{equation*}\label{fgh}
\sum_{n\geq 0}h_n(x_1,\ldots,x_m)z^n=\prod_{i=1}^m(1-zx_i)^{-1},
\end{equation*}
et donc ceci, \`a l'aide de (\ref{expr1}), permet d'\'ecrire :
\begin{eqnarray}
&&
\sum_{k\geq 1}\sum_{r_1,\ldots,r_m\geq 0}
c_k^{({\bf r})}t^kx_1^{r_1}\cdots x_m^{r_m} \nonumber\\
&=&
-\frac{d}{dz} \Biggl|_{z=1}\log\left(1-t\sum_{n\geq
1}h_n(x_1,\ldots,x_m)z^n\right)\nonumber\\
&=&
\sum_{\lambda} |\lambda|
\frac{t^{l(\lambda)}}{l(\lambda)}
\binom{l(\lambda)}{m_1(\lambda),m_2(\lambda),\ldots}
h_\lambda(x_1,\ldots,x_m)\nonumber\\
&=&
\sum_{\lambda}t^{l(\lambda)}
\sum_{i \ge 1} i
\binom{l(\lambda)-1}
{m_1(\lambda),m_2(\lambda),\ldots, m_i(\lambda)-1,  \ldots}
h_\lambda(x_1,\ldots,x_m)\label{waring1},
\end{eqnarray}
ce qui montre aussi que $c_k^{({\bf r})}\in\mathbb{N}$. Notons que le membre
de droite de (\ref{waring1}) s'apparente au
d\'eveloppement de la $n$i\`eme fonction sym\'etrique \emph{puissance}
$p_n(x_1,\ldots,x_m)$ dans la base
des fonctions sym\'etriques homog\`enes donn\'e par la formule de Waring
\cite{JZ, Macmahon}.

\bigskip

D'autre part, en d\'eveloppant le membre de droite de
(\ref{eq:frederic3}) par la formule binomiale, nous obtenons
\begin{eqnarray*}
&&\frac{(-1)^k}{k}+\frac{1}{k}\sum_{i\geq 1}(-1)^{k-i}
\binom{k}{i}(1-x_1)^{-i}\cdots
(1-x_m)^{-i}\\
&=& {\sum_{|{\bf r}|> 0}} \; {\sum_{i\geq 1}}
\frac{(-1)^{k-i}}{i}\binom{k-1}{i-1}
\prod_{l=1}^m\binom{r_l+i-1}{r_l}x_l^{r_l},
\end{eqnarray*}
ce qui donne, en extrayant le coefficient de $x_1^{r_1}\cdots x_m^{r_m}$,
 le r\'esultat suivant.
\begin{coro} On a la formule explicite pour $c_k^{(\bf r)}$~:
\begin{eqnarray}
c_k^{(\bf r)}&=&|{\bf r}|\sum_{i\geq 1}\frac{(-1)^{k-i}}{i}\binom{k-1}{i-1}
\prod_{l=1}^m\binom{r_l+i-1}{r_l}\label{eq:explicit}\\
&=&\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^k
(-1)^{k-i}\binom{k-1}{i-1}\binom{i+r_j-1}{r_j-1}
\prod_{l=1,l\neq j}^m\binom{r_l+i-1}{r_l}.\label{eq:entiere}
\end{eqnarray}
\end{coro}

En particulier, pour $m=1$ et $m=2$, la formule~(\ref{eq:explicit}) permet de
retrouver les  deux expressions
explicites de Lassalle~\cite{La02}. En fait, pour $m=1$
la formule
(\ref{eq:frederic3}) se r\'eduit directement  \`a
\begin{equation}\label{eq:m=1}
\frac{k}{r_1}c_k^{(r_1)}=[x_1^{r_1}]\;x_1^k(1-x_1)^{-k}=[x_1^{r_1}]\;\sum_{l\geq
k}\binom{l-1}{k-1}x_1^l\Longrightarrow c_k^{(r_1)}=\binom{r_1}{k}.
\end{equation}
Pour $m=2$ la formule~(\ref{eq:explicit}) s'\'ecrit
 \begin{eqnarray*}
c_k^{(r_1,r_2)}&=&\frac{r_1+r_2}{k}\sum_{i=1}^k
(-1)^{k-i}\binom{k}{i}\binom{i+r_1-1}{r_1}\binom{i+r_2-1}{r_2}\\
&=&(-1)^{k-1}(r_1+r_2)\;{}_3F_2\!\left[\begin{matrix}
-k+1,r_1+1,r_2+1\\2,1\end{matrix};1\right].
\end{eqnarray*}
Appliquons deux fois  la formule~(\ref{whip})
 \`a l'expression ci-dessus, ce qui donne bien
$$
c_k^{(r_1,r_2)}=
\binom{r_1+r_2}{k}\;{}_3F_2\!
\left[\begin{matrix}-k+1,-r_1,-r_2\\1-r_1-r_2,1\end{matrix};1\right].
$$
Remarquons qu'en appliquant une troisi\`eme fois (\ref{whip}), on retrouve
une autre expression de  \cite{La02}~:
\begin {eqnarray*}
c_k^{(r_1,r_2)}&=& \binom{r_1+r_2}{k}\binom{r_1+r_2}{r_1}
{}_3F_2\!\left[\begin{matrix}-r_1,-r_2, k-r_1-r_2\\
1-r_1-r_2, -r_1-r_2\end{matrix};1\right]\\
&=&\sum_{i \geq 0} (-1)^i
\binom{r_1+r_2-i}{k}\frac{r_1+r_2}{r_1+r_2-i}\binom{r_1+r_2-i}{i}
\binom{r_1+r_2-2i}{r_1-i}.
\end {eqnarray*}


Enfin,  en multipliant  le membre de gauche de (\ref{eq:las}) par
$t^nx_1^{r_1}\cdots x_m^{r_m}$ et en sommant sur $n\geq 1$ et les
entiers $r_1,\ldots, r_m\geq 0$, nous obtenons
$$
\sum_{|\mu|\geq 1} t^{|\mu|}
{\frac{{X}^{l(\mu)-1}}{{z}_{\mu }}}
\sum_{i = 1}^{l(\mu)}\prod_{l=1}^m (1-x_l)^{-\mu_i},
$$
ce qui peut se d\'evelopper directement \`a l'aide de (\ref{fg}) comme suit~:
\begin{equation*}
\sum_{n\geq 0}t^n\frac{(X)_n}{n!}\sum_{k\geq 1}\frac{1}{k} \left(
\frac{t}{(1-x_1) \cdots (1-x_m)}\right)^k=\sum_{n,k\geq
1}\frac{t^n}{k}\binom{X +n-k- 1}{n - k}\prod_{l=1}^m\sum_{r_l\geq
0}\frac{(k)_{r_l}}{r_l!}x_l^{r_l},
\end{equation*}
et donc nous obtenons l'identit\'e
\begin{equation}\label{eq:las0'}
\sum_{|\mu| = n} \frac{X^{l(\mu) - 1}} {z_{\mu }}
 \sum_{i= 1}^{l(\mu )} \prod_{k = 1}^m
\frac{{(\mu_i)}_{r_k}}{r_{k}!}
=\sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{k}
\prod_{l=1}^m\binom{r_l+k- 1}{r_l}\binom{X +n -k- 1}{n - k}.
\end{equation}
Il est possible d'\'etablir une extension de (\ref{eq:las0'})
comme suit.
\begin{prop} Pour toute partition
$\mu$ et tout $p\in \mathbb{N}$, soit 
$\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{\mu}{p}$
le nombre de fa\c cons de choisir $p$
\'el\'ements dans le diagramme de Ferrers de $\mu$, dont au moins
un par ligne, alors
\begin{eqnarray}
&&\sum_{|\mu| = n} \genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{\mu}{p}
\frac{X^{l(\mu) -1}} {z_{\mu }}\left( \sum_{i= 1}^{l(\mu )}
\prod_{k =
1}^m\frac{{(\mu_i)}_{r_k}}{r_{k}!} \right)\nonumber\\
&&=\sum_{k = 1}^{p}\frac{1}{k}
\left(\sum_{j=
k}^{n-p+k}\binom{j-1}{k-1}\binom{n-j-1}{p-k-1}\prod_{l=1}^m\binom{r_l+j-
1}{r_l}\right)\binom{X +p -k- 1}{p - k}.\label{eq:las0''}
\end{eqnarray}
\end{prop}
\begin{proof}[Preuve]
Rappelons la fonction g\'en\'eratrice suivante \cite{JZ} :
$$
\sum_{p\geq 1} \genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{\mu}{p}
 x^p=\prod_{k\geq 1}\left((1+x)^k-1\right)^{m_k(\mu)}.
 $$
Nous pouvons ainsi, comme pour (\ref{eq:las0'}),
calculer la fonction g\'en\'eratrice du membre de gauche de
(\ref{eq:las0''}), en le multipliant par $t^nx^px_1^{r_1}\cdots x_m^{r_m}$ et
en
sommant sur $n,p\geq 1$ et $r_1,\ldots, r_m\geq 0$ :
\begin{eqnarray*}
&&\sum_{|\mu|\geq 1} t^{|\mu|}{\frac{{X}^{l(\mu )-1}}{{z}_{\mu
}}}\sum_{p\geq 1}\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{\mu}{p}
x^p\sum_{i = 1}^{l(\mu)}\prod_{l=1}^m (1-x_l)^{-\mu_i}\\
&&=\left(1-\frac{tx}{1-t}\right)^{-X}\left[\log\left(1 -\frac{t}{(1-x_1)
\cdots (1-x_m)}\right)- \log\left(1 -\frac{t(1+x)}{(1-x_1) \cdots
(1-x_m)}\right)\right].
\end{eqnarray*}
D\'eveloppons alors cette derni\`ere expression, ce qui donne :
\begin{eqnarray*}
&&\sum_{p\geq 0}\left(\frac{tx}{1-t}\right)^p\frac{(X)_p}{p!}\sum_{j\geq
1}\frac{1}{j} \left(\frac{t}{(1-x_1) \cdots
(1-x_m)}\right)^j\left((1+x)^j-1\right)\\&&=\sum_{j,k\geq 1}\sum_{p\geq
0}\frac{1}{j}\left(\frac{tx}{1-t}\right)^p\frac{(X)_p}{p!}\left(\frac{t}{(1-x_1)
\cdots (1-x_m)}\right)^j\binom{j}{k}x^k\\
&&=\sum_{j,k,p\geq
1}\frac{1}{j}\binom{j}{k}\binom{X+p-k-1}{p-k}x^p\left(\prod_{l=1}^m\sum_{r_l\geq
0}\frac{(j)_{r_l}}{r_l!}x_l^{r_l}\right)t^{p+j-k}(1-t)^{-p+k}.
\end{eqnarray*}
Mais en utilisant la formule binomiale sous la forme :
$$(1-t)^{-p+k}=\sum_{n\geq 0}\frac{(p-k)_{n}}{n!}t^n,$$
  en rempla\c cant $n$ par $n-p-j+k$ et en extrayant le coefficient devant
$x^pt^nx_1^{r_1}\cdots x_m^{r_m}$, nous obtenons la fonction g\'en\'eratrice
du membre de droite.
\end{proof}

\begin{remark}
Pour $p=n$, l'identit\'e (\ref{eq:las0''})
 donne  bien (\ref{eq:las0'}). Lorsque tous les $r_i$ sont nuls,
le  membre de droite  de (\ref{eq:las}) n'a pas de sens. Or
 il r\'esulte de (\ref{eq:gauche}) avec $y=0$ que
$$
(1-t)^{-X}\log(1-t)^{-1}=\sum_{n\geq 1} t^n \sum_{k=1}^n
\binom{X+n-1}{n-k} \frac{(- 1 )^{k-1}}{k},
$$
ce qui donne le prolongement suivant de (\ref{eq:las}) pour ${\bf
r}=0$~:
\begin{equation}\label{eq;mac}
\sum_{|\mu| = n} \frac{X^{l(\mu) - 1}} {z_{\mu }}{l(\mu )}
 =\sum_{k = 1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k} \binom{X +n - 1}{n - k}.
\end{equation}
Cette formule est en fait la \emph{d\'eriv\'ee} d'une formule de
Macdonald~\cite[p. 26]{Ma}~:
$$
\sum_{|\mu|=n}\frac{X^{l(\mu)}}{z_\mu}=\binom{X+n-1}{n}.
$$
\end{remark}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \section{Interpr\'etations combinatoires}
Une permutation $\sigma$ de l'ensemble $E=\{a_1,\ldots, a_k\}$ est
un \emph{cycle} si $E=\{a_1, \sigma(a_1),\ldots,
\sigma^{k-1}(a_1)\}$. On note $\sigma=(a_i,\sigma(a_i),\ldots,
\sigma^{k-1}(a_i))$ pour $1\leq i\leq k$ et on appelle $\sigma$ un
cycle de longueur $k$ ou un $k$-cycle et $E$ le \emph{support} de
$\sigma$. Il est d'usage d'identifier $\sigma$ avec son
\emph{graphe sagittal} $G_\sigma$, c'est-\`a-dire, $a_i\to a_j$
est un arc de $G_\sigma$ si et seulement si $\sigma(a_i)=a_j$. Si
$\alpha=(a_1, a_2, \ldots, a_k)$ et $\beta=(b_1,b_2,\ldots, b_r)$
sont deux cycles de supports disjoints, un \emph{m\'elange} de
$\alpha$ et $\beta$ est d\'efini comme un cycle $(c_1,\ldots,
c_{k+r})$, o\`u le mot $w=c_1\ldots c_{k+r}$ est un
r\'earrangement de
$$a_1a_2 \ldots a_kb_ib_{i+1}\ldots
b_rb_1b_2\ldots b_{i-1},\qquad i\in \{1,\ldots, r\},
$$
tel que $ a_1a_2 \ldots a_k$ et $b_ib_{i+1}\ldots b_rb_1b_2\ldots
b_{i-1}$ sont deux sous-mots de $w$. G\'eom\'etriquement
m\'elanger deux cycles $\alpha$ et $\beta$ consiste \`a ins\'erer
$\beta$ dans $\alpha$ (ou l'inverse) pour former un nouveau cycle
de longueur $k+r$ en gardant la m\^eme orientation.

%\vspace{1.5cm}

\begin{example} Soient $\alpha=(1,2,3,4,5,6)$ et $\beta=(a,b,c,d,e)$. Alors
$(1,c,2,3,4,d,e,5,6,a,b)$ est un m\'elange de $\alpha$ et $\beta$ (voir l'illustration Figure~1).

\begin{figure}[!ht]
$$
%\vspace{0.5cm} 
\setlength{\unitlength}{0.2mm}
\begin{picture}(680,100)(170,700)
 \thinlines
\put(230,770){\circle{25}}\put(225,765){1}\put(195,750){$\swarrow$}
\put(185,735){\circle{25}}\put(180,730){2}\put(180,705){$\downarrow$}
\put(185,685){\circle{25}}\put(180,680){3}\put(195,655){$\searrow$}
\put(230,650){\circle{25}}\put(225,645){4}\put(245,655){$\nearrow$}
\put(270,685){\circle{25}}\put(265,680){5}\put(265,705){$\uparrow$}
\put(270,735){\circle{25}}\put(265,730){6}\put(245,750){$\nwarrow$}
\put(195,600){cycle $\alpha$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\put(400,770){\circle{25}}\put(395,765){a}\put(365,750){$\swarrow$}
\put(355,735){\circle{25}}\put(350,730){b}
\put(354.7,715){\line(0, -1){ 40}}\put(350,675){$\downarrow$}
\put(355,650){\circle{25}}\put(350,645){c} \put(375,650){\line(1,
0){ 40}}\put(410,645){$\rightarrow$}
\put(445,650){\circle{25}}\put(440,645){d}
\put(440,700){$\uparrow$}\put(444.8,670){\line(0, 1){ 40}}
\put(445,735){\circle{25}}\put(440,730){e}\put(415,750){$\nwarrow$}
\put(370,600){cycle $\beta$} \put(500,700){$\Longrightarrow$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\put(700,790){\circle{25}}\put(695,785){1}\put(665,785){$\leftarrow$}
\put(650,790){\circle{25}}\put(645,785){c}\put(615,770){$\swarrow$}
\put(750,790){\circle{25}}\put(745,785){b}\put(715,785){$\leftarrow$}
\put(605,755){\circle{25}}\put(600,750){2}\put(600,725){$\downarrow$}
\put(605,705){\circle{25}}\put(600,700){3}\put(600,675){$\downarrow$}
\put(605,655){\circle{25}}\put(600,650){4}\put(625,650){$\rightarrow$}
\put(665,655){\circle{25}}\put(660,650){d}\put(685,650){$\rightarrow$}
\put(725,655){\circle{25}}\put(720,650){e}\put(745,650){$\rightarrow$}
\put(785,655){\circle{25}}\put(780,650){5}\put(790,675){$\nearrow$}
\put(815,705){\circle{25}}\put(810,700){6}\put(810,725){$\uparrow$}
\put(815,755){\circle{25}}\put(810,750){a}\put(775,775){$\nwarrow$}
\put(620,600){un m\'elange de $\alpha$ et $\beta$} 
%\put(400,550){{\bf Figure 1:} Un m\'elange de deux cycles}
\end{picture}
$$
\vspace{1.5cm} 
\caption{Un m\'elange de deux cycles}\label{fig1}

\end{figure}
\end{example}

\begin{lem}\label{com} Soient $\alpha$ et $\beta$ deux cycles de supports
disjoints et de longueur $k$ et $r$ respectivement. Alors le
nombre de m\'elanges de $\alpha$ et $\beta$ est donn\'e par
$$
F_k(r)=
\frac{(k+r-1)!}{(k-1)!(r-1)!}=k\binom{k+r-1}{r-1}=r\binom{k+r-1}{k-1}.
$$
\end{lem}
\noindent En effet,  il y a $(k+r-1)!$ mani\`eres de constituer un
cycle \`a l'aide de $k+r$ \'el\'ements, mais l'ordre des cycles
initiaux de longueurs $k$ et $r$ devant \^etre respect\'e, on
obtient le r\'esultat.

\begin{remark}
Comme  $\binom{k+r}{k}$ compte  le nombre de mani\`eres de
m\'elanger deux chemins orient\'es  de longueur~$k$ et $r$,
respectivement, pour obtenir un chemin orient\'e de
longueur~$k+r$, on pourrait appeler $F_k(r)$ \emph{coefficient
binomial cyclique}. Or, il semble difficile d'interpr\'eter
$F_k(r)$ dans le contexte des coefficients binomiaux
g\'en\'eralis\'es de~\cite{AU}. En effet, $\binom{k+r}{k} =
\binom{X^{k+r}}{X^k}$, o\`u $X^k$ est un chemin orient\'e avec
$k$~sommets, mais le coefficient binomial cyclique de~\cite{AU},
\`a savoir $\binom{C_{k+r}}{C_k}$ ($C_k$ est un circuit orient\'e
avec $k$~sommets), est \'egal \`a $1$ si $k$ est un diviseur de
$k+r$ et \'egal \`a $0$ sinon.
\end{remark}

La  notion de m\'elange a l'avantage d'\^etre sym\'etrique par
rapport aux deux cycles, mais on aura besoin d'une variante
asym\'etrique du m\'elange dans la suite. Dans un m\'elange
$\gamma$ de deux cycles $\alpha$ et $\beta$, un sommet $a$ de
$\alpha$ est \emph{$\beta$-d\'ecor\'e} par un sommet $b$ de $\beta$ s'il
existe un arc $b\to a$.

La $\beta$-\emph{d\'ecoration} de $\alpha$ associ\' ee \`a
$\gamma$ est le graphe $\gamma'$ obtenu en posant
$\gamma'(b)=\gamma(b)$ pour tout $b$ de $\beta$ ainsi que
$\gamma'(a)=\alpha(a)$ pour tout $a$ de $\alpha$.


\begin{example} On reprend l'exemple de la Figure~\ref{fig1}. Les \'el\'ements 1, 2
et 5 sont d\'ecor\'es par $b$, $c$ et $e$ respectivement.
\begin{figure}[!ht]
$$
\vspace{0.5cm}
\setlength{\unitlength}{0.2mm}
\begin{picture}(680,120)(170,700)
%\thinlines
\put(260,790){\circle{25}}\put(255,785){1}\put(225,785){$\leftarrow$}
\put(210,790){\circle{25}}\put(205,785){c}\put(175,770){$\swarrow$}
\put(310,790){\circle{25}}\put(305,785){b}\put(275,785){$\leftarrow$}
\put(165,755){\circle{25}}\put(160,750){2}\put(160,725){$\downarrow$}
\put(165,705){\circle{25}}\put(160,700){3}\put(160,675){$\downarrow$}
\put(165,655){\circle{25}}\put(160,650){4}\put(185,650){$\rightarrow$}
\put(225,655){\circle{25}}\put(220,650){d}\put(245,650){$\rightarrow$}
\put(285,655){\circle{25}}\put(280,650){e}\put(305,650){$\rightarrow$}
\put(345,655){\circle{25}}\put(340,650){5}\put(350,675){$\nearrow$}
\put(375,705){\circle{25}}\put(370,700){6}\put(370,725){$\uparrow$}
\put(375,755){\circle{25}}\put(370,750){a}\put(335,775){$\nwarrow$}
\put(450,700){$\Longrightarrow$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\put(630,770){\circle{25}}\put(625,765){1}\put(595,750){$\swarrow$}
\put(700,770){\circle{25}}\put(695,765){b}\put(650,765){$\longleftarrow$}
\put(750,770){\circle{25}}\put(745,765){a}\put(715,765){$\leftarrow$}

\put(585,735){\circle{25}}\put(580,730){2}\put(580,705){$\downarrow$}
\put(515,735){\circle{25}}\put(510,730){c}\put(535,730){$\longrightarrow$}

\put(585,685){\circle{25}}\put(580,680){3}\put(595,655){$\searrow$}
\put(630,650){\circle{25}}\put(625,645){4}\put(645,655){$\nearrow$}

\put(670,685){\circle{25}}\put(665,680){5}\put(665,705){$\uparrow$}
\put(740,685){\circle{25}}\put(735,680){e}\put(690,680){$\longleftarrow$}
\put(790,685){\circle{25}}\put(785,680){d}\put(755,680){$\leftarrow$}

\put(670,735){\circle{25}}\put(665,730){6}\put(645,750){$\nwarrow$}
%\put(200,600){{\bf Figure~2}: Un m\'elange de $\alpha$ et $\beta$
%et sa  $\beta$-d\'ecoration de $\alpha$ correspondante}
\end{picture}
$$

\vspace{0.6cm} 
\caption{Un m\'elange de $\alpha$ et $\beta$
et sa  $\beta$-d\'ecoration de $\alpha$ correspondante}\label{fig2}

\end{figure}

\end{example}
%\vspace{1cm}
\noindent
La notion de d\'ecoration permet de donner une autre expression
pour $F_k(r)$ comme suit~:
$$
F_k(r)=\sum_{i\geq 1}i\binom{r}{i}\binom{k}{i}.
$$
En effet, pour constituer une $\beta$-d\'ecoration de $\alpha$
ayant $i$ \'el\'ements $\beta$-d\'ecor\'es, on peut d'abord   choisir ces
\'el\'ements dans $\alpha$ de $\binom{k}{i}$ mani\`eres, et puis
choisir les $i$ \'el\'ements du cycle $\beta$ les d\'ecorant de
$\binom{r}{i}$ mani\`eres. Il ne reste plus qu'\`a associer
cycliquement ces deux familles de $i$ \'el\'ements, ce qui donne
$i$ choix, et ceci d\'emontre l'identit\'e ci-dessus.

\begin{remark}
On aurait pu aussi d\'eduire la formule pr\'ec\'edente du lemme~2
en partant du membre de droite et en utilisant la formule de
Chu-Vandermonde. Inversement on obtient une preuve combinatoire de
cette derni\`ere sous la forme suivante~:
$$
\sum_{i\geq
1}i\binom{r}{i}\binom{k}{i}=k\binom{k+r-1}{r-1}=r\binom{k+r-1}{k-1}.
$$
\end{remark}

Consid\'erons  maintenant  une g\'en\'eralisation de la notion de
m\'elange ou d\'ecoration comme suit. Soient
 $\alpha, \beta_1, \ldots, \beta_m$  des cycles de supports
 deux \`a deux disjoints. On note {\boldmath $\beta$}=$(\beta_1,\ldots,
\beta_m) $ et on d\'efinit une \emph{{\boldmath $\beta$}-d\'ecoration} de $\alpha$ comme \'etant le graphe obtenu en
d\'ecorant $\alpha$ par chacun de ces $m$ cycles.   De plus, on
dit qu'une {\boldmath $\beta$}-d\'ecoration de $\alpha$
est \emph{surjective} si chaque sommet de $\alpha$ est d\'ecor\'e
par au moins un sommet des cycles $\beta_1,\ldots, \beta_m$.

\begin{example} Soient
$\alpha=(1,\dots,6)$, $\beta_1=(a,b,c,d,e)$ et
$\beta_2=(x,y,z,t)$. Consid\'erons les $\beta_1$-d\'ecoration et
$\beta_2$-d\'ecoration suivantes de $\alpha$ ainsi que la
$(\beta_1,\beta_2)$-d\'ecoration de $\alpha$ correspondante~:
\begin{figure}[!ht]
$$
\vspace{0.5cm}
\setlength{\unitlength}{0.2mm}
\begin{picture}(680,100)(100,700)
\thinlines
\put(250,770){\circle{25}}\put(245,765){1}\put(215,750){$\swarrow$}
\put(320,770){\circle{25}}\put(315,765){b}\put(270,765){$\longleftarrow$}
\put(370,770){\circle{25}}\put(365,765){a}\put(335,765){$\leftarrow$}

\put(205,735){\circle{25}}\put(200,730){2}\put(200,705){$\downarrow$}
\put(135,735){\circle{25}}\put(130,730){c}\put(155,730){$\longrightarrow$}

\put(205,685){\circle{25}}\put(200,680){3}\put(215,655){$\searrow$}
\put(250,650){\circle{25}}\put(245,645){4}\put(265,655){$\nearrow$}

\put(290,685){\circle{25}}\put(285,680){5}\put(285,705){$\uparrow$}
\put(360,685){\circle{25}}\put(355,680){e}\put(310,680){$\longleftarrow$}
\put(410,685){\circle{25}}\put(405,680){d}\put(375,680){$\leftarrow$}

\put(290,735){\circle{25}}\put(285,730){6}\put(265,750){$\nwarrow$}

\put(180,600){$\beta_1$-d\'ecoration de $\alpha$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\put(630,770){\circle{25}}\put(625,765){1}\put(595,750){$\swarrow$}
\put(560,770){\circle{25}}\put(555,765){$x$}\put(580,765){$\longrightarrow$}

\put(585,735){\circle{25}}\put(580,730){2}\put(580,705){$\downarrow$}

\put(585,685){\circle{25}}\put(580,680){3}\put(595,655){$\searrow$}
\put(515,685){\circle{25}}\put(510,680){$y$}\put(535,680){$\longrightarrow$}

\put(630,650){\circle{25}}\put(625,645){4}\put(645,655){$\nearrow$}
\put(700,650){\circle{25}}\put(695,645){$z$}\put(650,645){$\longleftarrow$}
\put(670,685){\circle{25}}\put(665,680){5}\put(665,705){$\uparrow$}

\put(670,735){\circle{25}}\put(665,730){6}\put(645,750){$\nwarrow$}
\put(740,735){\circle{25}}\put(735,730){$t$}\put(690,730){$\longleftarrow$}
\put(560,600){$\beta_2$-d\'ecoration de $\alpha$}
\end{picture}
$$
\vspace{2cm}
$$
 \setlength{\unitlength}{0.2mm}
\begin{picture}(680,100)(120,700)
\thinlines
\put(450,770){\circle{25}}\put(445,765){1}\put(415,750){$\swarrow$}
\put(520,770){\circle{25}}\put(515,765){b}\put(470,765){$\longleftarrow$}
\put(570,770){\circle{25}}\put(565,765){a}\put(535,765){$\leftarrow$}
\put(450,820){\circle{25}}\put(445,815){$x$}\put(445,790){$\downarrow$}
\put(405,735){\circle{25}}\put(400,730){2}\put(400,705){$\downarrow$}
\put(335,735){\circle{25}}\put(330,730){c}\put(355,730){$\longrightarrow$}

\put(405,685){\circle{25}}\put(400,680){3}\put(415,655){$\searrow$}
\put(335,685){\circle{25}}\put(330,680){$y$}\put(355,680){$\longrightarrow$}
\put(450,650){\circle{25}}\put(445,645){4}\put(465,655){$\nearrow$}
\put(520,650){\circle{25}}\put(515,645){$z$}\put(470,645){$\longleftarrow$}
\put(490,685){\circle{25}}\put(485,680){5}\put(485,705){$\uparrow$}
\put(560,685){\circle{25}}\put(555,680){e}\put(510,680){$\longleftarrow$}
\put(610,685){\circle{25}}\put(605,680){d}\put(575,680){$\leftarrow$}

\put(490,735){\circle{25}}\put(485,730){6}\put(465,750){$\nwarrow$}
\put(560,735){\circle{25}}\put(555,730){$t$}\put(510,730){$\longleftarrow$}
%\put(300,600){{\bf Figure~3}: Une $(\beta_1,\beta_2)$-d\'ecoration
%de $\alpha$ }
\end{picture}
$$

\vspace{1.5cm} 
\caption{Une $(\beta_1,\beta_2)$-d\'ecoration
de $\alpha$}\label{fig3}

\end{figure}

\end{example}
\noindent
On notera que cette d\'ecoration est surjective,
alors que celle de la Figure~\ref{fig2} ne l'\'etait pas.

%\vspace{2cm}

\begin{prop} Soient $\alpha,\beta_1,\ldots,\beta_m$ des cycles de longueur $k,r_1,\ldots,r_m$ respectivement, et de supports deux \`a deux disjoints. Si
$F_k ({\bf r})$ (resp.~$S_k ({\bf r})$) est le nombre de
{\boldmath $\beta$}-d\'ecorations
(resp.~surjectives) de $\alpha$, alors on a
\begin{equation}\label{eq:comvide}
 F_k ({\bf r})=\prod_{i=1}^mF_{k} ({r_i})=
\prod_{l=1}^m r_l \binom{k+r_l-1}{r_l},
\end{equation}
et
\begin{equation}\label{eq:comnonvide}
S_k ({\bf r})=
\sum_{i=1}^k (-1)^{k-i}  \binom{k}{i}
\prod_{l=1}^m r_l  \binom{i+r_l-1}{r_l}.
\end{equation}
\end{prop}
\noindent En effet, d'apr\`es le lemme~\ref{com} la formule
(\ref{eq:comvide}) est \'evidente car les $m$ d\'ecorations sont
ind\'ependantes les unes des autres. D'autre part, il est clair
que le nombre de {\boldmath $\beta$}-d\'ecorations de $\alpha$
ayant $i$ sommets d\'ecor\'es est $\binom{k}{i}S_i({\bf r})$, donc
$F_k ({\bf r}) = \sum_{i=1}^k  \binom{k}{i} S_i ({\bf r})$ et par
inversion on obtient
$$
S_k ({\bf r})= \sum_{i=1}^k (-1)^{k-i} \binom{k}{i} F_i ({\bf r}),
$$
qui permet de  d\'eduire (\ref{eq:comnonvide}) par substitution
de (\ref{eq:comvide}).

Interpr\'etons maintenant le membre de gauche de (\ref{eq:bigeq})
\`a l'aide du mod\`ele pr\'ec\'edent. Pour tout entier positif $n$
on note $[n]$ l'ensemble $\{1,2,\ldots, n\}$. Un $\cal
L$-\emph{complexe} sur $[n]$ est un triplet $(\sigma, \alpha,
{\mbox{\boldmath $\beta$} })$, o\`u $\sigma$ est une permutation de $[n]$,
$\alpha$ un cycle de $\sigma$ et {\boldmath $\beta$} est une suite
de $m$ cycles qui d\'ecorent $\alpha$. \'Etant donn\'ee une
partition $\mu$ de $n$, il y a $n!/z_\mu$ permutations de $[n]$ de
type $\mu$, c'est-\`a dire ayant $m_i(\mu)$~cycles de longueur $i$
($1\leq i\leq n$). Choisissons un cycle (de longueur $\mu_i$) \`a
d\'ecorer parmi les $l(\mu)$ possibles, les autres cycles \'etant
compt\'es \`a l'aide de la variable $X$. La fonction
g\'en\'eratrice des  $\cal L$-\emph{complexes} sur $[n]$ selon le
nombre de cycles non d\'ecor\'es est \'egale \`a
$$
 \sum_{|\mu|=n}\frac{n!}{z_\mu}
X^{l(\mu)-1} \sum_{i=1}^{l(\mu)}  F_{\mu_i}
({\bf r}).
 $$
D'autre part, on pourrait construire  un $\cal L$-complexe de
$[n]$ en constituant d'abord un $k$-cycle \`a d\'ecorer. Il y a
$(k-1)!\binom{n}{k}$ mani\`eres diff\'erentes de choisir ces
\'el\'ements, et de les placer sous forme de cycle, qu'on d\'ecore
ensuite de $F_k({\bf r})$
 fa\c cons (cf. proposition~2). Enfin, comme la fonction g\'en\'eratrice
 des permutations des $n-k$
 \'el\'ements restants selon le nombre de cycles est $(X)_{n-k}$, on obtient donc
l'identit\'e (\ref{eq:las0'}), i.e.,
 \begin{equation}
\sum_{|\mu|=n}\frac{n!}{z_\mu} X^{l(\mu)-1} \sum_{i=1}^{l(\mu)}
F_{\mu_i} ({\bf r}) =\sum_{k=1}^n     F_k ({\bf r}) (k-1)!
\binom{n}{k} (X)_{n-k}.\label{eq:vraif}
\end{equation}

Rappelons le r\'esultat suivant, d\^u \`a Berge~\cite{B}, Foata et
Strehl~\cite{FS} (voir aussi \cite[p. 91]{BLL} et \cite{C,CG,L}
pour d'autres g\'en\'eralisations r\'ecentes)~:
\begin{equation}\label{eq:berge}
\sum_{f}  X^{{\mathrm{cyc}}\, f} = (X+k)_{n-k},
\end{equation}
o\`u  la somme porte sur toutes les injections $f: [n-k] \to [n]$
($\mathrm{cyc}\, f$ est le nombre de cycles de~$f$). En notant que
ces injections peuvent \^etre d\'ecompos\'ees en cycles et en $k$
chemins (dont certains peuvent \^etre vides), on peut en
pr\'esenter une preuve rapide~:
\begin{equation*}
\exp \left[ X \sum_{i\geq 1} (i-1)! \frac{t^i}{i!} \right] \left[
1+ \sum_{i\geq 1} i! \frac{t^i}{i!}  \right]^k = \exp\left[
-X\log(1-t) \right]  ( 1-t )^{-k}
 \nonumber
\end{equation*}
\begin{equation*}
 = (1-t )^{-X-k}
 =1 + \sum_{i\geq 1} (X+k)_i \frac{t^i}{i!}. \nonumber
\end{equation*}

Afin d'interpr\'eter  le membre de droite de (\ref{eq:bigeq}) on a
besoin d'une notion plus subtile que celle de d\'ecoration. Soit
$\gamma'$ une $\beta$-d\'ecoration de $\alpha$. Associons \`a
$\gamma'$
 son
\emph{squelette} $\gamma''$ en posant $\gamma''(b)=\gamma'(b)$
pour tout $b$ de $\beta$ ainsi que $\gamma''(a)=\gamma'(a)$ pour
tout $a$ de $\alpha$ qui n'est pas $\beta$-d\'ecor\'e. En revanche,
si $a$ de $\alpha$ est $\beta$-d\'ecor\'e, alors nous posons
$\gamma''(a)=\gamma'^{p}(a)$ o\`u $p$ est le plus petit entier
positif  pour lequel $\gamma'^{p}(a)$ est $\beta$-d\'ecor\'e.

\begin{example} On reprend l'exemple  de la Figure~\ref{fig2}: le squelette obtenu a pour cycle $(1,2,5)$.
\begin{figure}[!ht]
$$
\setlength{\unitlength}{0.2mm}
\begin{picture}(680,100)(170,700)
\put(280,770){\circle{25}}\put(275,765){1}\put(245,750){$\swarrow$}
\put(350,770){\circle{25}}\put(345,765){b}\put(300,765){$\longleftarrow$}
\put(400,770){\circle{25}}\put(395,765){a}\put(365,765){$\leftarrow$}
\put(235,735){\circle{25}}\put(230,730){2}\put(230,705){$\downarrow$}
\put(165,735){\circle{25}}\put(160,730){c}\put(185,730){$\longrightarrow$}
\put(235,685){\circle{25}}\put(230,680){3}\put(245,655){$\searrow$}
\put(280,650){\circle{25}}\put(275,645){4}\put(295,655){$\nearrow$}
\put(320,685){\circle{25}}\put(315,680){5}\put(315,705){$\uparrow$}
\put(390,685){\circle{25}}\put(385,680){e}\put(340,680){$\longleftarrow$}
\put(440,685){\circle{25}}\put(435,680){d}\put(405,680){$\leftarrow$}
\put(320,735){\circle{25}}\put(315,730){6}\put(295,750){$\nwarrow$}

\put(480, 700){$\Longrightarrow$}

\put(650,750){\circle{25}}\put(645,745){1}\put(615,730){$\swarrow$}
\put(720,750){\circle{25}}\put(715,745){b}\put(670,745){$\longleftarrow$}
\put(770,750){\circle{25}}\put(765,745){a}\put(735,745){$\leftarrow$}
\put(650,800){\circle{25}}\put(645,795){6}\put(645,770){$\downarrow$}

\put(605,715){\circle{25}}\put(600,710){2}%\put(400,525){$\downarrow$}
\put(535,715){\circle{25}}\put(530,710){c}\put(555,710){$\longrightarrow$}

\put(695,715){\circle{25}}\put(690,710){5}\put(635,710){$\longrightarrow$}
\put(650,665){\circle{25}}\put(646,660){4}\put(660,685){$\nearrow$}
\put(600,665){\circle{25}}\put(598,660){3}\put(615,660){$\rightarrow$}
\put(765,715){\circle{25}}\put(760,710){e}\put(715,710){$\longleftarrow$}
\put(815,715){\circle{25}}\put(810,710){d}\put(780,710){$\leftarrow$}
\put(665,730){$\nwarrow$} 
%\put(300,610){{\bf Figure~4}: Une
%$\beta$-d\'ecoration de $\alpha$ et son  squelette}
\end{picture}
$$

\vspace{1.5cm} 
\caption{Une
$\beta$-d\'ecoration de $\alpha$ et son  squelette}\label{fig4}

\end{figure}

\end{example}
%\vspace{1.5cm}

On d\'efinit de fa\c con analogue le \emph{squelette} d'une
$(\beta_1, \ldots, \beta_m)$-d\'ecoration de $\alpha$, o\`u
$\alpha, \beta_1,\ldots, \beta_m$ sont des cycles de supports deux \`a deux 
disjoints et $\beta_i$ est de longueur $r_i$ pour $1\leq i\leq m$.
Interpr\'etons maintenant le membre de droite de (\ref{eq:bigeq}).
Pour construire un $\cal L$-complexe sur $[n]$ on peut d'abord
former le $k$-cycle $\delta$ du squelette du cycle $\alpha$ d\'ecor\'e. 
Il y a $(k-1)!\binom{n}{k}$ mani\`eres diff\'erentes
de former un tel cycle. On d\'ecore ensuite $\delta$
 de $S_k({\bf r})$
 fa\c cons (cf. proposition~2), car le cycle du squelette est par d\'efinition {\boldmath $\beta$}-d\'ecor\'e surjectivement. Enfin, comme
 la fonction g\'en\'eratrice des injections de $n-k$
 \'el\'ements restant dans les $k$ \'el\'ements
 de $\delta$ selon le nombre de cycles est
 $(X+k)_{n-k}$ (voir \eqref{eq:berge}), on a \'etabli le r\'esultat suivant.

\begin{thm} La fonction g\'en\'eratrice des $\cal L$-complexes sur $[n]$
selon le nombre de cycles non d\'ecor\'es   peut s'exprimer comme
suit~:
\begin{equation}
\sum_{|\mu|=n}\frac{n!}{z_\mu} X^{l(\mu)-1} \sum_{i=1}^{l(\mu)}
F_{\mu_i} ({\bf r}) = \sum_{k=1}^n   S_k ({\bf r})
(k-1)!\binom{n}{k} (X+k)_{n-k}.  \label{eq:vrais}
\end{equation}
\end{thm}

Par comparaison avec (\ref{eq:bigeq}), on en d\'eduit alors que
\begin{equation} \label{eq:last}
c_k^{({\bf r})}
 =
 \frac{|{\bf r}|} {k\cdot \prod_{j} r_{j}}  S_k ({\bf r})
 =
 \sum_{j=1}^m \frac{S_k ({\bf r})\cdot r_j}
 {k \cdot r_1 \cdots r_m},
\end{equation}
ce qui montre que $c_k^{({\bf r})}$ est positif et
ne  d\'epend pas de~$n$,
et par substitution de (\ref{eq:comnonvide}), on retrouve les formules du
corollaire~2,  dont la derni\`ere, \`a savoir (\ref{eq:entiere}),
 montre que $c_k^{({\bf r})}$ est un entier.

\medskip 
 
En fait, nous pouvons renforcer le dernier r\'esultat,
c'est-\`a-dire la conjecture de Lassalle en supposant que le
support de chacun des cycles $\delta$, $\beta_1,\;\ldots,\;
\beta_m$ est \emph{totalement ordonn\'e}.
\begin{thm} Soit $T_k({\bf r};j)$ le nombre de $(\beta_1, \ldots, \beta_m)$-d\'ecorations surjectives de
$\delta$ telles que le plus grand \'el\'ement d\'ecorant de
$\beta_j$ d\'ecore le plus grand \'el\'ement de $\delta$, et 
le plus grand \'el\'ement de tout autre cycle d\'ecore le plus
grand \'el\'ement de $\delta$  d\'ecor\'e par ce cycle. Alors on a
$$
T_k({\bf r};j)=\frac{S_k ({\bf r})\cdot r_j}{k \cdot r_1 \cdots r_m}, \qquad
\hbox{pour}\quad 1\leq j\leq m.
$$
\end{thm}
\begin{proof}[Preuve]
Il suffit de regarder l'action de la permutation cyclique $\delta$
ainsi que l'action de la permutation cyclique $\beta_i$ pour tout
$i\not= j$.
\end{proof}


La formule  (\ref{eq:last}) montre par le th\'eor\`eme~3 que nous
avons trouv\'e une interpr\'etation combinatoire pour $c_k^{({\bf
r})}=\sum_{j=1}^mT_k({\bf r};j)$.


\bigskip

On suppose maintenant que $p$ \'el\'ements de $[n]$ sont marqu\'es
d'une \'etoile, dont au moins un par cycle de la permutation de
type $\mu$. Ceci donne la fonction g\'en\'eratrice suivante
$$
\sum_{\left|{\mu }\right| = n}
\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{\mu}{p}
{\frac{n!}{{z}_{\mu }}} {X}^{l(\mu ) - 1}
\left(\sum_{i = 1}^{l(\mu)}   F_{\mu_i} ({\bf r})
\right).
$$
On peut d'autre part commencer par
choisir les $p$~\'el\'ements marqu\'es, et noter~$i$ (resp.~$j$) le
nombre d'\'el\'ements marqu\'es (resp.~non marqu\'es) parmi
les $\mu_i$~ du cycle choisi pour \^etre d\'ecor\'e.  Si l'on isole les \'el\'ements non marqu\'es de tous les autres cycles, alors la fonction g\'en\'eratrice est
$$
\binom{n}{p} \sum_{i=1}^p \sum_{j=0}^{n-p} F_{i+j}
({\bf r}) (i+j-1)!\binom{p}{i}\binom{n-p}{ j} (X)_{p-i}.
$$
Comme il y a
$(p-i)(p-i+1)(p-i+2)\cdots (n-i-j-1) = (p-i)_{n-p-j}$ mani\`eres
diff\'erentes de r\'eintroduire les $n-p-j$~\'el\'ements restants, on a d\'emontr\'e
l'identit\'e suivante
\begin{equation*}
 \sum_{\left|{\mu }\right| = n}
\genfrac{\langle}{\rangle}{0pt}{}{\mu}{p}
{\frac{n!}{{z}_{\mu }}} {X}^{l(\mu ) - 1}
\left(\sum_{i = 1}^{l(\mu)}   F_{\mu_i} ({\bf r})
\right)
\nonumber
\end{equation*}
\begin{equation*}\label{eq:graf}
\, = \, \binom{n}{p} \sum_{i=1}^p \sum_{j=0}^{n-p}
F_{i+j} ({\bf r}) (p-i)_{n-p-j} (i+j-1)!
\binom{p}{i}\binom{n-p}{j} (X)_{p-i},
\end{equation*}
qui est exactement l'identit\'e (\ref{eq:las0''}).

\begin{remark} Lorsque $m=1$
une preuve analogue de (\ref{eq:las0''}) a \'et\'e donn\'ee dans
\cite{Z}.
\end{remark}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Liens avec les coefficients de lin\'earisation}
Remarquons d'abord qu'en posant  $X=0$
dans l'\'equation (\ref{eq:las}) nous obtenons
\begin{equation}\label{eq:poly}
\prod_{i=1}^m\frac{(n)_{r_i}}{r_i!} = \frac{1}{|{\bf
r}|}\sum_{k=0}^{|{\bf r}|} k\,c_k^{({\bf r})}\,\frac{\langle
n\rangle_{k}}{k!}.
\end{equation}
Comme $c_k^{({\bf r})}$ est ind\'ependant de $n$,
la d\'etermination de
$c_k^{({\bf r})}$ appara\^{\i}t donc comme le calcul des
coefficients du d\'eveloppement du polyn\^ome $(x)_{r_1}\cdots (x)_{r_m}$
dans la base  $(\langle x\rangle_{k})_{k\geq 0}$. De plus,
si nous pouvons d\'emontrer autrement que les nombres
$c_k^{({\bf r})}$ sont  ind\'ependants de $n$, cette approche  fournirait une
nouvelle
preuve de la conjecture de Lassalle.

Supposons $x$ entier positif et consid\'erons $m$ ensembles
$E_1$, $E_2$, \dots, $E_m$, deux \`a deux disjoints et tels que card$(E_i) = r_i$ pour tout
$i \in [m]$. Nous appelons
une famille de fonctions $(f_1,\dots,f_m)$,
$f_i : E_i \to [x]$ pour tout $i \in [m]$,
injective si et seulement si chaque fonction
$f_i$ est injective. Le nombre de familles de
fonctions injectives vaut $\langle x\rangle_{r_1} \cdots \langle x\rangle_{r_m}$.
D'autre part, nous pouvons poser $E = E_1 \cup \cdots \cup E_m$
et faire correspondre, de fa\c con bijective, \`a chaque famille
de fonctions injectives une fonction $f : E \to [x]$ telle que,
pour tout $j \in [x]$ et tout $i\in[m]$, card$(f^{-1}(j) \cap E_i) \in \{0,1\}$. Appelons de mani\`ere g\'en\'erale un sous-ensemble $T\subseteq E$ \emph{transversal} si card$(T \cap E_i) \in \{0,1\}$ pour
tout $i \in [m]$. Ceci d\'emontre le th\'eor\`eme
suivant.
\begin{thm}
Soit $d_k(r_1,\dots,r_m)$  le nombre de mani\`eres
diff\'erentes de partitionner $E$ en $k$~transversaux
non-vides, alors
\begin{equation}\label{eq:linm}
\langle x\rangle_{r_1}\cdots \langle x\rangle_{r_m}
=
\sum_{k\geq 0}d_k({\bf r}) \langle x\rangle_{k}.
\end{equation}
En particulier,  nous avons la formule de lin\'earisation classique~:
\begin{equation}
\langle x\rangle_{r_1}\langle x\rangle_{r_2}
=\sum_{k\geq 0}\binom{{r_1}}{k}\binom{{r_2}}{k}k! \langle
x\rangle_{{r_1}+{r_2}-k}.
\label{eq:lin2}
\end{equation}
\end{thm}
\noindent
En effet, pour $m=2$, s'il y a
$k$~transversaux de cardinal deux et si le nombre total de transversaux vaut
$r_1+r_2-k$, alors nous pouvons les choisir
de $\binom{r_1}{k} \binom{r_2}{k} k!$  fa\c cons distinctes,
 c'est-\`a-dire
$$
d_{r_1+r_2-k} (r_1,r_2) =
\binom{r_1}{k} \binom{r_2}{k} k!.
$$


Il est encore plus simple de choisir directement, de fa\c con
ind\'ependante, $m$~sous-ensembles de~$[x]$ de cardinaux
$r_1$, \dots, $r_m$, respectivement.  Ceci est possible de
$\binom{x}{r_1} \cdots \binom{x}{r_m}$ mani\`eres
distinctes et montre le th\'eor\`eme suivant.
\begin{thm} Soit
$\tilde{d}_k({\bf r})$   le nombre de mani\`eres
diff\'erentes de choisir  $m$~sous-ensembles de~$[k]$ de cardinaux
$r_1$, \dots, $r_m$, respectivement, de sorte que chaque \'el\'ement
de~$[k]$ soit choisi au moins une fois. Alors
\begin{equation}\label{eq:linbin}
\binom{x}{r_1}\cdots \binom{x}{r_m}
=
\sum_{k\geq 0} \tilde{d}_k({\bf r}) \binom{x}{k},  \qquad
\tilde{d}_k({\bf r})
=
\frac{k! \, d_k({\bf r}) } {r_1! \cdots r_m!}.
\end{equation}
 En particulier, on a
$$
\tilde{d}_{r_1+r_2-k} (r_1,r_2) =
\binom{r_1+r_2-k}{k,r_1-k,r_2-k}.
$$
\end{thm}
\noindent
On peut aussi donner une preuve directe de ce dernier r\'esultat.
En effet, choisir deux  sous-ensembles $E_1$ et $E_2$
de~$[x]$ tels que $|E_1|=r_1$, $|E_2|=r_2$ et  $|E_1\cap E_2|=k$
\'equivaut \`a choisir un sous-ensemble de~$[x]$ de
cardinal~$r_1+r_2-k$ et puis le partitionner en trois blocs de
cardinaux $k$, $r_1-k$, $r_2-k$, respectivement. D'o\`u
$\tilde{d}_{r_1+r_2-k} (r_1,r_2) =
\binom{r_1+r_2-k}{k,r_1-k,r_2-k}$.


Au lieu de choisir, de fa\c con ind\'ependante,  $r_1$, \dots, $r_m$
\'el\'ements de~$[x]$ sans r\'ep\'etition, choisissons-les maintenant
avec des \emph{r\'ep\'etitions}
possibles.
Comme le nombre de fa\c cons de choisir $n$ \'el\'ements dans
$[x]$ avec des r\'ep\'etitions possibles, c'est-\`a-dire le nombre de
 $n$-\emph{multi-ensembles} sur $[x]$ d'apr\`es Stanley~\cite[p. 15]{St}, est
\begin{equation}\label{eq:repet}
\left(\binom{x}{n}\right) = \binom{x+n-1}{n}=\frac{(x)_{n}}{n!},
\end{equation}
le nombre de sc\'enarios
distincts est donc \'egal \`a $\bigl(\binom{x}{r_1}\bigr) \cdots
\bigl(\binom{x}{r_m}\bigr)$. D'autre part, le nombre de
fa\c cons de choisir $k$ \'el\'ements dans
$[x]$ sans r\'ep\'etition est $\binom{x}{k}$. On en
d\'eduit le r\'esultat suivant.
\begin{thm} Soit $\tilde{c}_k({\bf r})$  le nombre de mani\`eres
diff\'erentes de choisir   $r_1$, \dots, $r_m$   \'el\'ements de~$[k]$
avec des r\'ep\'etitions possibles, de sorte que chaque \'el\'ement
de~$[k]$ soit choisi au moins une fois, alors
\begin{equation}\label{eq:linlas}
\biggl(\binom{x}{r_1}\biggr) \cdots \biggl( \binom{x}{r_m}\biggr)
=
\sum_{k\geq 0} \tilde{c}_k({\bf r}) \binom{x}{k}.
\end{equation}
\end{thm}
\noindent
On en d\'eduit en particulier  pour $m=1$
\begin{equation}\label{eq:1}
\tilde{c}_k(r_1)=\binom{r_1-1}{r_1-k},
\end{equation}
d'apr\`es (\ref{eq:repet}), et pour $m=2$
\begin{equation}
\tilde{c}_k({r_1, r_2})=\sum_{k_1+k_2=k+l}\binom{k}{l,k_1-l,k_2-l}
\binom{r_1-1}{r_1-k_1}\binom{r_2-1}{r_2-k_2}.
\end{equation}
En effet,
supposons que les choix de $r_1$ et $r_2$ \'el\'ements
dans $[k]$  avec r\'ep\'etitions possibles
ont respectivement $k_1$ et $k_2$
\'el\'ements distincts et $l$ \'el\'ements communs.
Comme chaque \'el\'ement de
$[k]$ doit \^etre choisi au moins une fois,
ceci donne des couples  $(E_1, E_2)$ de parties de $[k]$ tels que
$$
|E_1|=k_1, \quad |E_2|=k_2,\quad
|E_1\cap E_2|=l, \quad E_1\cup E_2=[k].
$$
Il y a clairement $\binom{k}{l,k_1-l,k_2-l}$ tels couples.
Nous appliquons ensuite (\ref{eq:1})
\`a $E_1$ et $E_2$ respectivement, ce qui donne le nombre
$\binom{r_1-1}{r_1-k_1}\binom{r_2-1}{r_2-k_2}$ de
choix correspondant au couple $(E_1, E_2)$.

\medskip

\noindent
Notons que l'identit\'e (\ref{eq:lin2}) s'\'ecrit  encore
\begin{equation}\label{eq:binom2}
\frac{(x)_{r_1}}{r_1!} \frac{(x)_{r_2}}{r_2!}
=
\sum_{l\geq 0}(-1)^l  \binom{r_1+r_2-l}{l,r_1-l,r_2-l}
\frac{(x)_{r_1+r_2-l}}{(r_1+r_2-l)!}.
\end{equation}
En reportant (\ref{eq:binom2}) dans (\ref{eq:las}) nous d\'eduisons
le r\'esultat suivant.

\begin{lem} Les coefficients $c_k^{({\bf r})}$ satisfont
 la relation de r\'ecurrence suivante~:
\begin{equation}\label{eq:recurr}
\frac{c_k^{( r_1,r_2,r_3,\dots,r_m)}} {r_1+r_2+r_3+\cdots+r_m}
=
\sum_{l \ge 0} (-1)^l  \binom{r_1+r_2-l}{l,r_1-l,r_2-l}
\frac{c_k^{( r_1+r_2-l,r_3,\dots,r_m)}} {r_1+r_2 -l+r_3+\cdots+r_m}.
\end{equation}
En particulier,
comme $c_k^{(r_1)}=\binom{r_1}{k}$ (voir (\ref{eq:m=1})),
les coefficients  $c_k^{({\bf r})}$   sont ind\'ependants de
$n$.
\end{lem}

En vue de d\'eduire une nouvelle preuve de la conjecture de Lassalle, nous
introduisons quelques notations suppl\'ementaires.
Pour tout polyn\^ome $p(x)$ d\'efinissons les op\'erateurs
$E$, $I$ et $\Delta$ comme suit~:
$$E p(x) = p(x+1), \quad I p(x)=p(x)\quad \hbox{et}\quad \Delta =E-I.
$$
Pour tout $k\geq 0$ posons $\Delta^0=I$ et
$\Delta^{k+1}=\Delta(\Delta^k)$.
La formule binomiale implique alors que
\begin{equation}\label{eq:diff}
\Delta^np(x)
=(E-I)^np(x)=
\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}p(x+n-k),
\end{equation}
et d'autre part nous avons le d\'eveloppement de Taylor suivant~:
\begin{equation}\label{eq:taylor}
p(x)
=
\sum_{k\geq 0}\frac{\Delta^kp(0)}{ k!}\langle x\rangle_k.
\end{equation}
En appliquant (\ref{eq:diff}) et (\ref{eq:taylor})
au polyn\^ome  $p(x)=(x)_{r_1}\cdots (x)_{r_m}$  nous obtenons
\begin{equation}\label{eq:connex}
\prod_{i=1}^m(x)_{r_i}
=
\sum_{k=0}^{|{\bf r}|}
\left(\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom{k}{ j}
\prod_{i=1}^m (k-j)_{r_i}\right)\, \langle x\rangle_{k}.
\end{equation}
Gr\^ace au lemme~3 la comparaison de (\ref{eq:poly})
avec (\ref{eq:linlas}) et (\ref{eq:connex})
montre le th\'eor\`eme suivant.
\begin{thm} On a d'une part
\begin{equation}\label{eq:positive}
c_k^{({\bf r})}=\frac{r_1+\cdots +r_m}{k}\tilde{c}_k({\bf r}),
\end{equation}
et d'autre part la formule explicite
(\ref{eq:entiere}), c'est-\`a-dire,
\begin{equation}\label{eq:entiere'}
c_k^{({\bf r})}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^k
(-1)^{k-i}\binom{k-1}{i-1}\binom{i+r_j-1}{r_j-1}
\prod_{l=1,l\neq j}^m\binom{r_l+i-1}{r_l}.
\end{equation}
\end{thm}
\noindent Il r\'esulte   respectivement de
 (\ref{eq:entiere'}) et (\ref{eq:positive}) que
$c_k^{({\bf r})}$ est entier et positif.

\begin{remark} Il est \'evident que (\ref{eq:linlas}) et (\ref{eq:frederic3})
fournissent exactement les m\^emes interpr\'etations combinatoires
pour les nombres $c_k^{({\bf r})}$. Enfin, des $q$-analogues
naturels de ces coefficients ont \'et\'e introduits
dans~\cite{HZ}.
\end{remark}

\noindent {\bf Remerciements}. Les auteurs remercient Pierre
Leroux  ainsi que les deux rapporteurs ano\-nymes pour leurs
conseils avis\'es concernant la r\'edaction  de la troisi\`eme
section.



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