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%% DEFINITIONS %%
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\def\qed{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule width 4pt 
\vfill\hrule}\vrule}} 

\def\qeda{\quad\raise -2pt\hbox{\vrule\vbox to 10pt{\hrule 
width 4pt height9pt 
\vfill\hrule}\vrule}} 


\def\arti#1#2{\setbox50=\null\ht50=#1\dp50=#2\box50}
\def\tend_#1^#2{\mathrel{
	\mathop{\kern 0pt\hbox to 1cm{\rightarrowfill}}
	\limits_{#1}^{#2}}}
\def\tendps{\tend_{n\to\infty}^{\hbox{p.s.}}}


\def\lfq{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\langle\!\langle$}\thinspace}
\def\rfq{\leavevmode\thinspace\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle
\rangle\!\rangle$}}


\font\msamten=msam10
\font\msamseven=msam7
\newfam\msamfam

\textfont\msamfam=\msamten
\scriptfont\msamfam=\msamseven
 
\def\ams {\fam\msamfam\msamten}

\def\hexnumber #1%
{\ifcase #1 0\or 1\or 2\or 3\or 4\or 5
   \or 6\or 7\or 8\or 9\or A\or B\or C\or D\or E\or F
    \fi}

\mathchardef\leadsto="3\hexnumber\msamfam 20

\def\frac #1#2{{#1\over #2}}

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%% END OF DEFINITIONS %%
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%%  TITEL  %%
%%%%%%%%%%%%%

\centerline
{\fourteenbf
La fratrie
}


\bigskip
\bigskip

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%%  TEXT  %%
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Dans le probl\`eme de la fratrie on fixe un ensemble $\{1,2,3,\dots,m-1,m\}$ d'em\-placements d'un album, 
et on a un ensemble $\{1,2,3,\dots,n,\dots\}$ de moments quand un certain ain\'e ach\`ete une vignette. 
Puisque l'ain\'e est devenu cupide, il ne donne plus ses doublons aux petits fr\`eres, 
mais colle les vignettes l'une sur l'autre jusqu'\`a ce que le dernier emplacement soit rempli 
(d'une seule vignette, \'evidemment). 
Supposons (sans trop restreindre la g\'en\'eralit\'e) que ce dernier emplacement porte le num\'ero~$m$. 
Notre espace de probabilit\'e contient alors chaque surjection $s: [n] \to [m-1]$ pour $n = m-1,m,m+1,m+2,\dots$
avec la probabilit\'e $(1/m)^n$. 
Soit la variable al\'eatoire $X^{(k)}_i$ \'egal \`a $1$ si la vignette $i$ arrive pr\'ecis\'ement $k$ fois et \'egal \`a $0$
sinon, et posons $X^{(k)} := \sum_{i=1}^{m-1} X^{(k)}_i$. 
Nous nous proposons de calculer le nombre moyen d'emplacement (parmi l'ensemble $\{1,2,3,\dots,m-1\}$) o\`u les vignettes
s'entassent exac\-tement jusqu'\`a la hauteur $k$ quand l'album est rempli. 
En tant qu'amateurs des fonctions g\'en\'eratrices, ceci nous conduit \`a l'esp\'erance math\'ematique
$$
\sum_{k=0}^\infty {\bb E}[X^{(k)}] \cdot t^k 
\; = \; (m-1) \cdot \sum_{k=0}^\infty {\bb E}[X^{(k)}_1] \cdot t^k
\; = \; (m-1) \cdot (m-2)! \cdot \sum_{k=0}^\infty {\bb E}[\tilde X^{(k)}_1] \cdot t^k,
$$
o\`u la variable al\'eatoire $\tilde X^{(k)}_1$ signifie que l'on restreint l'espace de probabilit\'e
en supposant que les vignettes $2,3,\dots,m-1$ arrivent pour la premi\`ere fois dans l'ordre naturel.
Autrement dit, l'ain\'e commence par acheter $i_1$ fois, $i_1 \ge 0$, la vignette $1$, ce qui fournit,
dans notre esp\'erance math\'ematique, le poids $t^{i_1} \cdot (1/m)^{i_1}$. Ensuite, il ach\`ete une
premi\`ere fois la vignette $2$, dont le poids (i.~e.~la probabilit\'e) vaut $1/m$. Apr\`es cela, il 
ach\`ete $i_2$ fois, $i_2 \ge 0$, une des vignettes $1$ ou $2$, contribuant le poids $[(t/m)+(1/m)]^{i_2}$.
Ensuite, il ach\`ete une premi\`ere fois la vignette $3$, dont le poids vaut $1/m$. Apr\`es cela, il
ach\`ete $i_3$ fois, $i_3 \ge 0$, une des vignettes $1$, $2$ ou $3$, contribuant le poids $[(t/m)+(1/m)+(1/m)]^{i_3}$,
et ainsi de suite. On obtient alors la formule
$$\openup2pt\eqalign{
\sum_{k=0}^\infty {\bb E}[\tilde X^{(k)}_1] \cdot t^k
\; &= \; \sum_{i_1=0}^\infty \; \sum_{i_2=0}^\infty \; \dots \sum_{i_{m-1}=0}^\infty
         ({t \over m})^{i_1} \cdot {1 \over m} ({t+1 \over m})^{i_2} \cdot \dots \cdot {1 \over m} ({t+m-2 \over m})^{i_{m-1}} \cr
   &= \; {1 \over 1-t/m} \cdot {1 \over m-1-t} \cdot \dots \cdot {1 \over 2-t} , \cr      
}$$
d\'enombrant effectivement des surjections si et seulement si la vignette $1$ est achet\'ee au moins une fois, 
c'est-\`a-dire si et seulement si le facteur $t$ appara\^\i t au moins une fois. 
Une multiplication par $(m-1)!$ fournit notre r\'esultat principal
$$
\sum_{k=0}^\infty {\bb E}[X^{(k)}] \cdot t^k \; = \;  
{1 \over 1-t/m} \cdot {1 \over 1-t/(m-1)} \cdot \dots \cdot {1 \over 1-t/2},
$$
dont seul le terme constant est faux, puisque ${\bb E}[X^{(0)}] = 0$.

\end
