Résumés des séances de cours d'Analyse Fonctionnelle 1, Automne 2026

1er septembre :

• Définition d'une suite de Cauchy, d'un espace complet.
• Propriétés sans preuve : toute suite convergente est de Cauchy, toute suite de Cauchy est bornée, une suite de Cauchy avec une valeur d'adhérence est convergente. Conséquence : les compacts métriques sont complets.
• Premières propriétés (tout sous-ensemble complet d'un espace métrique est fermé, tout sous-ensemble fermé d'un métrique complet est complet) Exemples, dont les fonctions (continues) bornées de X dans un complet, avec la distance du sup (preuve au tableau pour les fonctions à valeurs dans R). Complétude de l'espace des applications linéaires continues d'un evn dans un Banach, muni de la norme subordonnée (cas particulier important: le dual topologique). Les espaces l_p (et leur dual, brièvement évoqué).
• Théorème de prolongement des applications uniformément continues. Corolaire : théorème de prolongement des applications linéairement continues, théorème de prolongement des isométries. Discussion de la notion de complété (avec une preuve que, pour tout espace métrique (X,d), il existe une isométrie de (X,d) dans un espace de Banach).

8 septembre :

• Preuve que, si E est un evn, alors E est un Banach si, et seulement si, toute série absolument convergente d'éléments de E est convergente.
• Rappels sur la compacité : définition en termes de suites extraites et de recouvrements ouverts. Exemples de compacts en dimension finie (les fermés bornées) et rappel que cette caractérisation est très fausse en dimension infinie (voir TD). Discussion des distances produit; preuve qu'un produit dénombrable d'espaces métriques compacts, muni d'une distance produit, est compact (argument par extraction diagonale).
• Énoncé du théorème de Weierstrass et début de la preuve en utilisant les polynômes de Bernstein.

15 septembre :

• Fin de la preuve du théorème de Weierstrass. Définition d'une sous-algèbre de l'espace des fonctions continues à valeurs réelles; énoncé sans preuve du théorème de Stone-Weierstrass. Application : si (X,d) est compact métrique, alors C(X,R) est séparable.
• Début du travail autour du théorème d'Ascoli. On cherche à caractériser les parties relativement compactes d'un espace C(X,Y), où X est compact métrique et Y est métrique. Deux conditions nécessaires : relative compacité ponctuelle, et équicontinuité. Théorème : si (X,d) est compact alors tout ensemble de fonctions équicontinu sur X est uniformément équicontinu. Énoncé du théorème d'Ascoli.