Résumé des exposés
- Espace de Hardy, opérateurs de composition et semigroupes, par Corentin Avicou
Lors de cet exposé, je présenterai des outils et des notions issus de
deux des facettes de l'Analyse. D'un côté, l'espace de Hardy et les
opérateurs de composition sont issus de l'analyse complexe. De l'autre,
les semigroupes sont des objets naturels notamment pour l'étude des
EDPs. Ces deux clans n'ayant a priori rien à se dire, je les
présenterai, les confronterai et les forcerai à dialoguer.
- Un, deux, trois ... Comptez sans s'arrêter ou de la combinatoire des groupes de Coxeter, par Mathias Pétréolle
Lors de cet exposé, je commencerai par présenter les notions et les
outils de base de la Combinatoire (notamment les séries génératrices),
et j'illustrerai par des exemples l'utilité de ces séries, en
particulier pour l'énumération des chemins. J'introduirai ensuite les
groupes de Coxeter, qui sont des groupes engendrés par un nombre fini de
générateurs vérifiant certaines relations. Enfin, je montrerai comment
on peut énumérer certains éléments des groupes de Coxeter, les éléments
(cycliquement) pleinement commutatifs, à l'aide de chemins. Bien
entendu, aucun prérequis ne sera nécessaire pour suivre l'exposé.
- "Nombres aléatoires" versus "nombres génériques" : mathématiques, logique et mécanique céleste, par Sébastien Martineau
Cet exposé abordera de façon accessible à toutes les notions d'aléa et de généricité, dans des contextes variés.
- L'hypothèse de Riemann pour ceux qui en ont marre de ne pas savoir ce que c'est, par Samuel Le Fourn
L'hypothèse de Riemann, pourtant si fameuse, reste mystérieuse pour bon
nombre de mathématicien(ne)s, y compris votre serviteur jusque
récemment. Que dit-elle exactement ? Quel rapport avec la répartition
des nombres premiers ? Riemann a-t'il "fait une Fermat", ses seuls mots
(grossièrement traduits) sur le sujet étant "Il est très probable [que
toutes les racines se situent sur cet axe]. Clairement, on préférerait
une preuve plus stricte, mais après quelques essais infructueux, j'ai
mis de côté ce problème vu qu'il n'est pas nécessaire pour la suite de
mon exposé" ? Je tenterai de répondre à tout ça, en expliquant d'abord
comment la fonction zêta est définie et quelle sont ses propriétés, puis
ses liens avec les nombres premiers, le tout avec des techniques
modernisées mais dans l'esprit de l'article original du coupable, et
avec un peu d'histoire sur le sujet. Une fois tout ça bien expliqué, si
le temps me le permet, je me propose de redraper cette vénérable
conjecture dans son voile de mystère en vous donnant, sans
démonstration, quelques assertions prouvées équivalentes, venant de
domaines parfois très éloignés de la théorie des nombres.
Pour le contenu mathématique, une vague connaissance de l'analyse
complexe et de la transformée de Fourier suffit, n'hésitez donc surtout
pas à venir satisfaire votre curiosité !
- Une approche historique de la théorie de Galois, par Rudy Rodsphon
Le but de cet exposé sera de revoir la théorie de Galois sous un angle
historique, suivant les grandes lignes du mémoire de Galois. Aucun
prérequis en théorie de Galois "moderne" n'est nécessaire.
- Varifolds, courbure et approxiamtion de surfaces, par Blanche Buet
Les varifolds ont été introduits par F. Almgren en 1965 afin d'étudier
l'existence de points critiques de la fonctionnelle d'aire. On peut
munir d'une structure de varifold aussi bien des objets réguliers telles
les courbes, surfaces, ensembles rectifiables, que des objets de nature
plus discrète, tels les nuages de points et triangulations. On
expliquera avec des exemples simples ce qu'est un varifold et ce qu'est
la courbure (moyenne) généralisée d'un varifold (variation première). On
vérifiera qu'elle correspond à la courbure moyenne classique dans le
cas d'une surface et on verra ensuite ce que devient cette notion de
courbure moyenne généralisée dans le cas d'un nuage de points.
- Étude d'une équation de renouvellement à sauts
pour la modélisation de sous-diffusion intra-cellulaire, par Álvaro
Mateos Gonzalez
Certains processus de déplacement aléatoire de protéines dans le
cytoplasme cellulaire, traditionnellement modélisés par des équations de
diffusion, semblent être mieux décrits en tant que processus
sous-diffusifs.
Nous présenterons un modèle simple permettant de suivre l'évolution de
la distribution en âge (compris comme le temps écoulé depuis le dernier
saut) de particules suivant un tel processus. Nous étudions la
convergence de la solution de notre EDP vers un état stationnaire grâce à
des estimations d'entropie originales.
- Des flots géométriques à un problème d'optimisation, par François Dayrens
Le but de cet exposé est de vous parler d'un problème de minimisation
d'une courbe fermée confinée dans un ouvert du plan. La minimisation
porte sur l'énergie élastique (en lien avec la courbure). Ce problème
vient avec de nombreuses hypothèses peu intuitives.
Mon exposé débutera par des explications générales sur les flots
géométriques pour les ensembles et pour les fonctions. Le lien entre les
deux est la formule de la co-aire (plus connue en patisserie sous le
nom de mille-feuille). Cette introduction permettra de mieux cerner les
hypothèses du problème d'otpimisation. Pour ceux qui ont eu peur en
lisant les mots "géométrie" et "courbure", rassurez-vous c'est juste
pour faire sérieux. Durant tout l'exposé on se plassera dans le plan.
- Q-structures et algèbres L infinies, par Sylvain Lavau
Une variété différentielle graduée (ou Q-variété) est philosophiquement
un espace localement homéomorphe au produit de R^n par une algèbre
graduée, le tout étant munie d'une différentielle. Certains exemples
typiques sont les algèbres de Lie ou les fibrés tangents. D'autre part,
les algèbres L infinies sont une généralisation des algèbres de Lie pour
lesquelles on autorise la violation de l'identité de Jacobi, et
l'apparition de "crochets supérieurs". Nous montrerons comment certains
types d'algèbres L infinies se trouvent être en fait des Q variétés !
- Traveling wave fronts in coupled delayed reaction
diffusion equation and difference equation for hematopoietic stem cell
model, par Abdennasser Chekroun
The formation and development of blood cells (red blood cells, white
cells and platelets) is a very complex process, called hematopoiesis.
This process involves a small population of cells called hematopoietic
stem cells (HSCs). In this talk, I will present a mathematical model
describing the dynamics of HSC population, taking into account their
spatial distribution. The resulting model is an age-structured
reaction-diffusion system. The method of characteristics can be used to
reduce this system to an unstructured time-delayed
differential-difference reaction-diffusion system. We have investigated a
mathematical studies of the reduced system and in this presentation I
will show how we study the existence of traveling wave front solutions
connecting the zero equilibrium with the positive uniform steady state.
We use for this the classical monotone iteration technique coupled with
the sub- and super-solutions method. Moreover, some properties of such
waves will be presented with numerical simulation to confirm the results
and to show the propagation of the solutions in a traveling wave
fronts.
- Poset et combinatoire : quand on veut compter des trucs, c'est mieux quand ils sont bien rangés !, par François Viard
On appelle "Poset" un "ensemble partiellement ordonné", c'est à dire un
ensemble sur lequel on a défini une relation d'ordre permettant de
comparer les éléments de l'ensemble entre eux. Je tenterai d'expliquer à
l'aide d'exemples simples, comment de nombreux problèmes de
dénombrement peuvent se voir comme des problèmes concernant des posets
bien choisis. Bien que dans la plupart des cas cette vision des choses
n'apporte pas grand chose (car les posets sont des objets très -trop ?-
généraux), je présenterai le cas des expressions réduites dans le groupe
symétrique (et j'expliquerai ce que c'est, bien entendu), dont le
dénombrement requiert entre autre cette interprétation à base de posets.
Selon le temps disponible, je creuserai plus ou moins la question de
ces expressions réduites, soit en proposant un modèle combinatoire
rigolo de ces dites expressions, soit en les généralisant.
- Pile de sable, de la combinatoire à la mécanique statistique, par Xiaolin Zeng
Que se passe-t-il quand on empile verticalement N grains de sable ?
Venez découvrir comment cette question relie la combinatoire, la
mécanique statistique et l'entropie (locale). L'accessibilité de la
présentation sera assurée par la négligence de l'orateur en
combinatoire. (Collab. avec W.Fang)
- Formation de singularités pour des équations d'ondes en eaux peu profondes, par Fernando Cortez
Nous étudions la formation des singularités pour des solutions fortes
pour un modèle asymptotique unidimensionnel des équations d'Euler à
surface libre dans le régime dit de l'eau peu profonde. Ces modèles
comprennent, par exemple, l'équation Camassa-Holm, l'équation
Degasperis-Procesi et b-famille des équations. Nous fournissons ainsi un
nouveau critère blow-up qui nous permet d'unifier certains des
résultats antérieurs de blow-up les plus connus. Ce travail est sous la
direction du prof. Lorenzo Brandolese.
- La théorie des valeurs extrêmes et autres statistiques "douteuses", par Quentin Sebille
Ma présentation a pour objet d'introduire de façon très générale la
théorie des valeurs extrêmes (TVE). Je formulerai tout d'abord plusieurs
motivations à l'étude de ces valeurs extrêmes et présenterai les deux
principales méthodes de la théorie :
- regarder les maxima par blocs, en les ajustant à une loi d'extrêmes
généralisée (GEV),
- regarder la série des dépassements de seuils, en les ajustant à une
loi de Pareto généralisée (GPD).
Dans un second temps, je parlerai de l'application de la TVE dans un
contexte multivarié ou spatial, pour l'étude de phénomènes
météorologiques par exemple, telles que les pluies/températures
extrêmes. Les notions de dépendance multivariée et dépendance spatiale
seront abordées pour mettre en lumière les difficultés auxquelles se
confrontent les statisticiens de l'extrême...
Enfin, si le temps le permets et si je ne vous ai pas assez horrifiés
avec les mathématiques impures, je vous présenterai des algorithmes
d'estimation utiles dans mon cas d'étude : les chaînes de Markov par
Monte-Carlo (MCMC). En se basant sur le théorème de Bayes, ces méthodes
permettent d'estimer des lois de probabilité en ajoutant l'a priori de
l'expert (subjectif) dans un modèle.
Mon exposé se voudra interactif et plus visuel que théorique, il n'y a
donc pas de pré-requis particuliers à avoir en statistique pour me
comprendre.
A lundi !
- Relation d'incertitude entropique en mécanique quantique, par Ivan Bardet
Inhérent à la mécanique quantique, le principe d'incertitude
d'Heisenberg énonce que l'on ne peut connaître simultanément la position
et la vitesse d'une particule avec une précision aussi grande que
voulue. Plus précisément, le résultat de la mesure de la vitesse ou de
la position d'une particule quantique est aléatoire. Le produit de leurs
écarts type est alors majoré par une constante strictement positive.
Dans cette relation l'incertitude est ainsi quantifiée en terme d'écart
type. Une autre mesure tout aussi naturelle est donnée par l'entropie de
Shannon. Est-il ainsi possible d'obtenir un principe d'incertitude
entropique? L'objectif de cette présentation est d'expliquer un résultat
de Maassen et Uffink donnant une telle relation. Je m'attarderai tout
d'abord à définir l'entropie de Shannon utilisée ici, ainsi qu'à
introduire les axiomes de la mécanique quantique.
- Opérateurs différentiels globaux sur l'espace des quadriques complètes, par Benoît Dejoncheere
Après avoir introduit quelques notions sur les groupes algébriques, je
présenterai sur un exemple un théorème de Beilinson-Bernstein sur les
D-modules sur les variétés de drapeaux. Je ferai ensuite un parallèle
avec ce qui se passe sur la compactification magnifique de SL(3)/SO(3).
- Votre cortex visuel héberge une représentation de groupe de Lie, par Alexandre Afgoustidis
Le cortex visuel primaire est situé chez nous à l'arrière de la tête ;
c'est un des relais fondamentaux pour le traitement de l'information
visuelle, et une des aires les mieux connues du cerveau. Chez de très
nombreuses espèces (et cela inclut les primates), l'arrangement des
"spécialités" des neurones y a une géométrie remarquable, et des
expériences récentes ont montré qu'il y a une propriété statistique des
singularités cet arrangement (la "densité de pinwheels") dont la valeur
expérimentale est mystérieusement commune à toutes les espèces. Cette
valeur expérimentale est 3.14 et des poussières...
Le but de mon exposé est de vous parler du rôle des représentations de
groupes pour comprendre ce résultat expérimental. Je vous expliquerai
comment un champ aléatoire qui reproduit très bien la "géométrie
corticale" est caché dans (presque) toute représentation unitaire
irréductible (de dimension infinie) du groupe des déplacements, et
comment le résultat sur la statistique des singularités se rattache aux
questions de probabilités sur les ensembles nodaux de processus
aléatoires. Ce sera aussi une bonne occasion de parler de ce que fait le
cortex visuel bien sûr, et de la place des représentations de groupes
de Lie dans l'histoire de la physique (quantique).
- Combien un polynôme a-t-il de racines réelles ? par Thomas Letendre
De tout temps, les hommes et les femmes se sont interrogés sur le nombre
de racines d'un polynôme de degré d à coefficients réels. Comme
chacun le sait, un tel polynôme a d racines complexes, génériquement
distinctes. Qu'en est-il du nombre de racines réelles ?
Pour un polynôme fixé on ne sait essentiellement rien dire, mais M. Kac a
apporté une réponse en moyenne à cette question. Nous présenterons une
preuve élémentaire de son résultat, due à Edelman et Kostlan. Cela
servira de prétexte pour évoquer quelques résultats de géométrie
intégrale. Nous verrons notamment comment estimer Pi dans son salon,
sans arme à feu.
Cet exposé se veut accessible à tous et à toutes, plus précisément aux
géomètres et aux géomètres, mais aussi aux probabilistes et
probabilistes, aux algébristes et algébristes, aux analystes et
analystes, aux combinatoristes et combinatoristes... Bref, tout le
monde, et même les autres.
- Solides de Platon, algèbres de Lie et singularités, par Antoine Caradot
Je présenterai dans cet exposé comment à partir des solides de Platon on
peut construire des singularités sur des surfaces dans l'espace
complexe de dimension 3 liées aux algèbres de Lie simples de types A, D
et E (toutes les définitions seront bien sûr rappelées). Ensuite, en
utilisant le cas simple de sl3, je montrerai comment le quotient adjoint
d'une algèbre de Lie g de type A permet de retrouver des singularités
liées aux sous-diagrammes de Dynkin de g. Je terminerai cette
présentation en énonçant des résultats un peu plus généraux.
- La continuité en toute discrétion, par Yohann Benchetrit
Soient n et k deux entiers avec 1<=k<=n, et P(k,n) l'ensemble des parties à k éléments de {1,...,n}.
Kneser a conjecturé en 1955 que pour toute partition de P(k,n) en moins de n-2k+2 parts, il y a au moins une part qui contient deux parties disjointes.
Cette conjecture a été prouvée 20 ans plus tard de façon spectaculaire par Lovász en utilisant des méthodes de topologie algébrique.
En 2002, Greene en a donné une nouvelle preuve d'une élégance exceptionnelle et qui n'utilise que le théorème de Borsuk-Ulam: toute application continue de la sphère de dimension n vers R^n associe deux points antipodaux à la même image.
Après avoir énoncé quelques reformulations utiles du théorème, je présenterai la preuve de Greene.
J'expliquerai aussi une preuve non moins charmante due à Alon qui montre que les voleurs de colliers précieux (et soucieux d'égalité) sont directement concernés par le théorème de Borsuk-Ulam.
Aucun pré-requis particulier n'est nécessaire pour la compréhension de l'exposé.
- Une petite partie de ping-pong ? par Mohamed Bouljihad
Roland Garros étant terminé, on se propose néanmoins de poursuivre le match à un niveau plus modeste. Plus précisément, on parlera du fameux lemme du ping-pong qui permet de construire des groupes libres. L'objectif étant d'arriver à l'alternative de Tits, qui énonce qu'un sous-groupe du groupe linéaire est soit virtuellement résoluble, soit contient un groupe libre.
- Approximation holonome, par Sylvain Courte
Je tenterai d'expliquer comment résoudre des inéquations aux dérivées partielles à l'aide d'une boussole et d'une carte IGN.
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