Ce livre présente les dix problèmes ouverts qui ont été posés dans le cadre du Rallye Mathématique de l’Académie de Lyon et proposent à la fois un petit parcours dans les mathématiques sous-jacentes et un compte rendu de l’activité des élèves. Ces situations mathématiques, données dans le contexte du rallye, peuvent être reprises et proposées dans les classes, à des niveaux différents.

L’épreuve de « problème ouvert » du rallye mathématique de l’Académie de Lyon est construite en parallèle des épreuves plus classiques de rallye qui se déroulent en temps limité pendant les heures de cours. L’épreuve « problème ouvert » elle, est proposée aux élèves sur un temps long (entre trois semaines et un mois suivant le calendrier scolaire) pour permettre à chacun de s’approprier la situation mathématique proposée et avoir le temps de chercher et de proposer des éléments de solution. Toutes les épreuves ont été construites avec l’idée d’une situation sans fin, d’un « problème générateur de problèmes » pour reprendre l’expression d’Alain Bouvier alors qu’il était le directeur de l’IREM de Lyon. Ainsi, il ne s’agit pas à proprement parler de résoudre un problème, mais plutôt de faire un petit bout de chemin dans le monde des mathématiques. Les chapitres suivants présentent les dix problèmes qui ont été posés et proposent à la fois un petit parcours dans les mathématiques sous-jacentes et un compte rendu de l’activité des élèves. Ces situations mathématiques, données dans le contexte du rallye, peuvent être reprises et proposées dans les classes, à des niveaux différents ; c’est ce que j’essaye de montrer pour les différents problèmes. Ces problèmes ont des origines et des histoires différentes ; au fil des années, les problèmes ont évolué en fonction des solutions produites par les élèves, et des analyses a posteriori que nous avons pu faire en remettant en question le degré d’ouverture, le domaine des mathématiques abordé, la graduation de la difficulté etc.

L’observation, la manipulation en mettant en relation l’action (la relation au sensible) et la réflexion (la relation au théorique) constituent un fondement de l’expérience qu’il s’agit de transposer d’une part vers les mathématiques et d’autre part vers l’enseignement. Une première question qui peut se poser est la nature des objets qu’une expérience mathématique peut mettre en jeu. Le sensible en mathématiques peut être vu à travers les objets concrets manipulés (figure, objets matériels, artefacts tangibles,...) ou à travers les objets mathématiques naturalisés, c’est à dire suffisamment familiers pour pouvoir être considérés comme « concrets » : « Le concret c’est l’abstrait rendu familier par l’usage » [Langevin, 1950].

Des sites comme Cut the Knot 3, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) 4, Bibmath5, le site des IREM6 sont des sources inépuisables de situations qui conduisent à des énoncés de problèmes ouverts. Mais c’est aussi à travers des discussions avec des collègues de l’IREM et de l’IFé que les énoncés ont évolué et que je peux aujourd’hui proposer cette revue des dix premiers problèmes ouverts du rallye mathématique de l’Académie de Lyon.

Les problèmes ouverts du Rallye Mathématique de l’Académie de Lyon 2011-2020

Gilles Aldon

En vente 10€ à l’IREM.