Trois calculs de l’intégrale de Gauss

mercredi 7 octobre 2009
par  Jérôme Germoni
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Trois méthodes pour calculer I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx et une application.

Quelques corrections le 7 octobre.

{{{Méthode élémentaire}}} Cette méthode ramène le calcul de I aux intégrales de Wallis. -* Vérifier que pour tout x réel, on a: 1-x^2\le e^{-x^2}\le \frac{1}{1+x^2}. -* En déduire que pour tout n naturel non nul, on a: \int_0^1(1-x^2)^ndx \le \int_0^{+\infty}e^{-nx^2}dx \le \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+x^2)^n}dx. -* Dans les intégrales ci-dessus, faire les changements de variables respectifs suivants: x=\cos t, t=\sqrt{n}\,x, x=\cot t (attention: cotangente et pas cosinus...). -* À l'aide des intégrales de Wallis (voir l'épreuve écrite n°1 de 2009 par exemple), en déduire la valeur de I. {{{Intégrale à paramètre}}} Cette version n'est pas adaptée au programme du CAPES car elle est très pénible sans le théorème de convergence dominée. La variante ci-dessous, elle, n'a pas ce défaut mais elle est (encore?) plus artificielle. Pour t réel strictement positif, on pose

h(t)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-tx^2}}{1+x^2}dx.

-* Montrer que h est bien définie et continue. -* Montrer que h est dérivable et calculer sa dérivée. Établir une équation différentielle dont h est solution. -* Résoudre cette équation différentielle. (Il apparaît une constante d'intégration et une primitive qui se ramène à celle de u\mapsto e^{-u^2}.) -* En comparant la limite de h en +\infty et sa valeur en 0, déterminer la valeur de la constante. En déduire la valeur de I. {{{Variante}}} Pour t réel positif ou nul et C constante réelle, on pose: g(t)=\left(\int_0^te^{-x^2}dx\right)^2 +C\int_0^1\frac{e^{-t^2(1+x^2)}}{1+x^2}dx. -* Vérifier que g est bien définie. Calculer g(0). -* Montrer que g est dérivable et calculer sa dérivée. -* Vérifier que pour C bien choisie, g est constante. -* En étudiant la limite de g en +\infty, calculer I. {{{Intégrale double}}} Pour r réel positif, on définit un carré et un quart de disque par: K_r=[0,r]\times[0,r], D_r=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2 : x\ge0,\ y\ge0,\ x^2+y^2\le r^2\}. -* Montrer que I^2=\lim_{r\to\infty}\iint_{K_r}e^{-x^2-y^2}dx\,dy. -* En passant en coordonnées polaires, calculer l'intégrale double \iint_{D_r}e^{-x^2-y^2}dx\,dy. -* En remarquant que D_r\subset K_r\subset D_{r\sqrt{2}}, calculer I. {{{Intégrales de Fresnel}}} Ce sont J=\int_0^{+\infty}\cos(x^2)dx et K=\int_0^{+\infty}\sin(x^2)dx. On se place dans le plan complexe. Pour r positif ou nul, on définit un chemin par la concaténation de trois courbes: - S_r le segment [0,r], parcouru de 0 vers r, - T_r l'arc de cercle de centre 0 et de rayon r compris entre les arguments 0 et \pi/4, parcouru dans le sens trigonométrique, - U_r le segment [re^{i\pi/4},0] parcouru de re^{i\pi/4} vers 0. Pour V une courbe paramétrée et f une fonction continue sur \mathbf{C}, on note \int_Vf(z)dz l'intégrale curviligne de f le long de V. -* On veut montrer que pour tout r, \int_{S_r\cup T_r\cup U_r}e^{-z^2}dz=0. -** Montrer que pour tout n\in\mathbf{N} et toute courbe {fermée} V, on a: \int_Vz^ndz=0. (Utiliser le fait que z^{n+1}/(n+1) est une «primitive» de la fonction à intégrer.) -** Développer e^{-z^2} en série entière et justifier la permutation de la série et de l'intégrale. En déduire le résultat annoncé. -* On veut montrer que \lim_{r\to+\infty}\int_{T_r}e^{-z^2}dz=0. -** Vérifier que pour t\in[0,\pi/2], on a \sin t\ge2t/\pi. -** Calculer le module de e^{-z^2} lorsque z\in T_r et en déduire la limite annoncée. -* Démontrer enfin que J et K existent et calculer J+iK à l'aide de I=\lim_{r\to\infty}\int_{S_r}e^{-z^2}dz.