Une suite récurrente (séance du 7 octobre)

mercredi 7 octobre 2009
par  Jérôme Germoni
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Pour x réel différent de 2, on pose f(x)=\frac{3}{x+2}. On veut définir une suite par récurrence par la donnée de u_0 et la relation u_{n+1}=f(u_n). - Pour quelles valeurs de u_0 est-ce que (u_n)_{n\in\mathbf{N} est bien définie? - Quel est le comportement de cette suite?

{{{Étude de la fonction}}} La fonction f est continue sur \mathbf{R}\setminus\{-2\} et strictement décroissante sur les deux intervalles \left]-\infty,-2\right[ et \left]-2,+\infty\right[. On remarque que f est une bijection de \mathbf{R}\setminus\{-2\} sur \mathbf{R}\setminus\{0\}, dont la bijection réciproque est définie par

\forall y\ne0,\ g(y)=\frac{-2y+3}y.

{{{Étude de la suite lorsque u_0>-2}}} D'après les variations de f, l'intervalle \left]-2,+\infty\right] est stable par f. On peut donc définir u_n sans problème pour ces valeurs de u_0. L'examen de la figure suggère un escargot typique d'une suite récurrente quand ça se passe bien, ce qui conduit à introduire f_2=f\circ f de \left]-2,+\infty\right] dans lui-même. Puisque f est décroissante sur \left]-2,+\infty\right], f_2 est croissante. Le signe de f_2(x)-x s'étudie sans problème pour x\in\left]-2,+\infty\right]: - f_2(x)=x si x=1, - f_2(x)>x si x<1, - f_2(x)<x si 1<x. {{Cas où u_0\ge 1}} Si u_0\ge1, on a: 1\le u_2\le u_0. On soupçonne que (u_{2k}) est décroissante et (u_{2k+1}) est croissante. On le prouve par une récurrence déjà amorcée en montrant que pour tout k, 1\le u_{2k+2}\le u_{2k} et u_{2k-1}\le u_{2k+1}\le1. Ainsi, les suites sont monotones et bornées, donc elles convergent vers une limite appartenant à [u_1,u_0]. Par continuité de f_2, la limite de chacune est un point fixe de f_2, c'est-à-dire 1. {{Cas où -2<u_0\le 1}} Alors, u_1\ge1 et on se ramène au premier cas. {{{Définition de la suite en général}}} Puisque f est définie partout sauf en -2, la suite (u_n) sera bien définie si on évite les antécédents de -2 par f, f\circ f... En d'autres termes, si u_0 est différent de tous les

\alpha_p=g^p(-2),\ p\in\mathbf{N},

g^p désigne la fonction g itérée p fois. Cette écriture a bien un sens car l'intervalle \left]-\infty,-2\right] est stable par g. On voit sur le dessin et on montre que - g a un unique point fixe dans \left]-\infty,-2\right] qui est -3, - par récurrence, à l'aide des variation de g et g\circ g, que pour tout k\in\NM, on a: -3\le\alpha_{2p}\le\alpha_{2p+2} et que \alpha_{2p+1}\le\alpha_{2p+3}\le-3. On en déduit comme ci-dessus que les suites (\alpha_{2p}) et (\alpha_{2p+1}) sont monotones et bornées et qu'elles convergent vers -3. Notons alors, pour p\ge0:

I_{2p}=\left]\alpha_{2p+2},\alpha_{2p}\right[

et

I_{2p-1}=\left]\alpha_{2p-1},\alpha_{2p+1}\right[

avec la convention que \alpha_{-1}=-\infty. Avec cette numérotation, tout élément x<-2 qui n'est pas l'un des \alpha_k appartient à un unique I_k. On a: f(\alpha_{k})=\alpha_{k-1} pour tout k\ge1 et \lim_{x\to \alpha_0^-}f(x)=-\infty=\alpha_{-1}. De plus, sur chaque intervalle I_k, f est strictement décroissante et continue. Ainsi, pour tout k\ge0,

f(I_k)=I_{k-1},

et, de plus,

f(I_{-1})=\left]-2,0\right[.

Au bilan, - si u_0 est l'un des nombres \alpha_k, la suite (u_n) n'est pas définie (disons, c'est une suite finie à k+1 termes); - si u_0 appartient à I_k pour k convenable, alors (u_n) est bien définie et u_{k+1} appartient à I_{-1}, donc u_{k+2}>-2, ce qui nous ramène au premier cas facile.