Un peu de trigonométrie

samedi 7 novembre 2009
par  Jérôme Germoni
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En réponse à une question reçue par mail, un calcul de \cos(\pi/15).

Pentagone régulier

Il ne semble pas déraisonnable de savoir retrouver rapidement le calcul suivant. On note

\zeta=\exp\frac{2\pi}{5}.

On sait que \zeta^5=1, d'où l'on tire facilement:

\zeta^4+\zeta^3+\zeta^2+\zeta+1=0,

ou encore:

\zeta^{-1}+\zeta^{-2}+\zeta^2+\zeta=-1.

Posons

c=2\cos\frac{2\pi}{5}=\zeta+\zeta^{-1}.

On calcule facilement:

c^2+c=\zeta^{2}+\zeta^{-2}+2+\zeta+\zeta^{-1}=1.

Puisque c>0, on peut choisir entre les deux racines de ce polynôme de degré 2:

c=\frac{\sqrt{5}-1}2.

{{Exercice:}} Déduire de cette valeur une construction à la règle et au compas du pentagone régulier. {{{Décagone régulier}}} On pourrait trouver \cos\pi/5 à partir de l'égalité

2\cos^2\frac{\pi}{5}-1=\cos\frac{2\pi}{5},

cela donnerait

\cos\frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{8}}.

Mais il est plus commode de remarquer que

2\times\frac{2\pi}5=\frac{4\pi}{5}=\pi-\frac{\pi}5.

On en déduit une expression plus agréable:

\cos\frac\pi5=-\cos2\times\frac{2\pi}5=1-2\cos^2\frac{2\pi}{5},

ce qui donne:

\cos\frac{\pi}{5}=\frac{\sqrt{5}+1}4.

{{{Pleintagone régulier}}} À présent, venons-en à \cos\pi/15. On part de la formule bien connue pour l'angle triple: pour \theta réel,

\cos(3\theta)=4\cos^3\theta-3\cos\theta,

qu'on va appliquer à \theta=\pi/15. Les trois racines du polynôme

P=X^3-\frac34X-\frac{\cos\frac\pi5}4

sont les cosinus[[Fau-il écrire les cosini?]] de \pi/15+k\2\pi/3 pour k=0,1,2. Or, on a:

\frac{\pi}{15}+\frac{4\pi}{3}=\pi+\frac{2\pi}{5},

d'où l'on déduit que -\cos2\pi/5 est une racine de P. Le quotient dans la division euclidienne de P par X+(\sqrt{5}-1)/4 est

Q=X^2+\frac{1-\sqrt{5}}4\,X-\frac{3+\sqrt{5}}8,

dont \cos\pi/15 est l'unique racine positive. Il vient:

\cos\frac{\pi}{15}=\frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{30+6\sqrt{5}}}8.

On peut aussi partir de 2\times3-5=1 pour écrire:

\frac{\pi}{15}=\frac{2\pi}{5}-\frac{\pi}{3},

d'où la formule cherchée en développant un \cos(a-b) après calcul de \sin2\pi/5=\sqrt{1-\cos^22\pi/5}.

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