Corrigé de l’Epreuve 1, 1995 et un million de décimales de pi

vendredi 10 novembre 2006
par  M. Deleglise
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Document joint ci-dessous.

En documents joints :

  • Un corrigé du problème
  • Un fichier texte contenant le premier million des décimales de pi
  • Le fichier makepi1000000.sage qui contient le petit programme sage créant le fichier des décimales de pi.

Documents joints

Un million de décimales de pi
Un million de décimales de pi
Epreuve1-1995-enonce
Epreuve1-1995-enonce
makepi1000000
makepi1000000
1995-ep1-corrige.pdf
1995-ep1-corrige.pdf

Commentaires

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mardi 14 novembre 2006 à 07h44 - par  M. Deleglise

Oui mon affirmation {le théorème des suites adjacentes est inutile} est un peu provocante, mais je persiste : 1) Vous ignorez le théorème des suites adjacentes et connaissez celui de la limite monotone : On vous donne (a_n) croissante, (b_n) décroissante et a_n \le b_n pour tout n. Il vous suffit d'écrire { La suite (a_n), croissante, majorée par b_0 est convergente, la suite (b_n), décroissante, minorée par a_0, est convergente, } pour prouver la convergence des deux suites. Si, en outre \lim (a_n -b_n) = 0, alors \lim a_n - \lim b_n = \lim(a_n - b_n) = 0. 2) Réciproquement si vous connaissez le théorème des suites adjacentes, et ignorez celui de la limite monotone, il vous faudra plus de trois lignes, et un peu plus de réflexion, pour prouver qu'une suite (a_n), croissante et majorée, est convergente Pourquoi 2 théorèmes là ou un suffit ? Bien sûr, l'argument { Le jury à l'oral s'attend à le voir citer } ne peut être complètement ignoré. Ma conclusion est donc : quitte à ne connaitre que l'un de ces deux théorèmes, il vaut mieux choisir la limite monotone. Il est préférable de connaître les deux pour ne pas heurter la tradition.
 

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samedi 11 novembre 2006 à 13h08 - par  Jérôme Germoni

Je ne suis pas tout à fait d’accord sur l’inutilité du théorème sur les suites adjacentes. D’abord, le jury à l’oral s’attend à le voir citer dans les leçons où c’est possible. Et surtout, il est essentiellement équivalent au théorème de la limite monotone.

Plus précisément, les trois théorèmes suivants sont équivalents :
- théorème de la limite monotone, ou, ce qui revient (presque) au même, théorème de la borne supérieure ;
- théorème des suites adjacentes, ou, ce qui revient au même, théorème des segments emboîtés ;
- théorème de Bolzano-Weierstrass.

L’assertion « ces théorèmes sont équivalents » est vide si on la prend au premier degré : ils sont tous vrais, donc en effet, équivalents. Ce que je veux dire par là, c’est que la démonstration de l’un des trois n’est pas possible sans avoir une construction des réels (complétion des rationnels par les suites de Cauchy, coupures, développements décimaux ou autre). En revanche, la démonstration de l’équivalence est beaucoup plus facile et constitue un exercice instructif que je vous recommande de faire.

Oui, vous, les étudiants, c’est bien à vous que je m’adresse !