Excentricité d’une conique (retour sur des formules... excentriques)

mercredi 10 février 2010
par  A.Thuillier
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La séance s’est achevée par des formules prétendant exprimer l’excentricité d’une conique à partir des valeurs propres de la matrice symétrique associée à une équation cartésienne dans un repère orthonormé quelconque. Ces formules étant fausses, une mise au point s’impose. (Et merci à A.B. d’avoir soulevé cette question !)

L'excentricité d'une ellipse non circulaire/parabole/hyperbole {\rm C} est par définition le nombre réel strictement positif e tel que {\rm C} soit l'ensemble des points {\rm M} du plan vérifiant la condition

{\rm d(M,F)} = e \cdot {\rm  d(M,}\Delta),

{\rm F} est un foyer de {\rm C} et \Delta est la directrice associée. {{Question naturelle}} : Comment faire pour déterminer e à partir d'une équation cartésienne de {\rm C} dans un repère orthonormé? {{Première méthode}} : appliquer une formule que l'on connaît par cœur. Est-il vraiment nécessaire de s'encombrer l'esprit avec ceci? C'est sans doute une bonne façon de se tromper... {{Deuxième méthode}} : ne connaître aucune formule, mais savoir les retrouver rapidement. (i) Si {\rm C} est une ellipse d'équation normale

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

avec a>b>0, alors l'axe focal est l'axe des abscisses, {\rm F} (f,0) et \Delta est une droite verticale, d'abscisse d. La condition initiale s'écrit (x-f)^2+y^2 = e^2 (x-d)^2, donc

(1-e^2) x^2 + y^2 + (\textrm{partie affine)} = 0

est une autre équation cartésienne de {\rm C} dans le même repère. On en déduit [[En vertu du fait que deux équations cartésiennes d'une conique dans le {même} repère (non nécessairement orthonormé) du plan sont toujours proportionnelles.]] (1-e^2)a^2 - b^2 = 0, puis

e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}.

(ii) Si {\rm C} est une hyperbole d'équation normale

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

avec a,b>0, alors l'axe focal est encore l'axe des abscisses et le même raisonnement que précédemment conduit à la formule

e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}.

{{Remarques}} -- 1. Contrairement à ce que j'ai prétendu, il n'est {{pas}} vrai que l'excentricité puisse directement se calculer à partir des valeurs propres de la matrice symétrique associée à une équation cartésienne de {\rm C} dans un repère orthonormé quelconque. Considérons en effet deux hyperboles d'équations cartésiennes respectives \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - 1 = 0 et \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} +1=0 dans un certain repère orthonormé. Les deux matrices correspondantes sont les mêmes. Cependant, les équations normales de ces hyperboles sont respectivement \frac{X^2}{a^2} - \frac{Y^2}{b^2} =1 et \frac{X^2}{b^2} - \frac{Y^2}{a^2} =1, donc l'excentricité de la première est \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} tandis que celle de la seconde est \sqrt{1 +\frac{a^2}{b^2}}. 2. Si {\rm C} est une ellipse, il est toutefois vrai que l'excentricité peut s'obtenir à partir des valeurs propres de la matrice symétrique {\rm A} associée à une équation cartésienne de {\rm C} dans un repère orthonormé quelconque. Considérons en effet une telle équation et soit \lambda, \mu les valeurs propres de la matrice symétrique correspondante {\rm A}; quitte à multiplier l'équation initiale par -1, on peut supposer 0<\lambda <\mu. En diagonalisant {\rm A} dans une base orthonormale puis en effectuant une translation, on construit un nouveau repère orthonormé dans lequel {\rm C} est définie par une équation de la forme \lambda x^2 + \mu y^2 + c = 0 avec c \in \mathbb{R}. Sachant que {\rm C} est une ellipse, la constante c doit être strictement négative et l'on obtient aisément une équation sous forme normale \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 avec a^{2} = |c|\lambda^{-1} et b^{2} = |c|\mu^{-1}, ce qui implique tout de suite

e = \sqrt{1 - \frac{\lambda}{\mu}}.

3. Si {\rm C} est une hyperbole, il faut en outre savoir lequel des deux sous-espaces propres de {\rm A} dirige l'axe focal. En effet, si l'on dispose de cette information, on peut faire en sorte que la valeur propre correspondante, disons \lambda, soit positive (si ce n'est pas le cas, il suffit de remplacer {\rm A} par -{\rm A}, c'est-à-dire de multiplier l'équation initiale par -1). En diagonalisant {\rm A} dans une base orthonormale puis en effectuant une translation, on construit un nouveau repère orthonormé dans lequel {\rm C} est définie par une équation de la forme \lambda x^2 + \mu y^2 + c = 0 avec c \in \mathbb{R}. Comme nous savons que l'axe focal est l'axe des abscisses, l'équation \lambda x^2 + c = 0 a des solutions (les abscisses des sommets de {\rm C}) et donc c <0 puisque \lambda > 0· Dans ces conditions, nous obtenons une équation sous forme normale \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 avec a^2 = |c| \lambda^{-1} et b^2 = -|c|\mu^{-1}, ce qui implique tout de suite

e = \sqrt{1 - \frac{\lambda}{\mu}}.

4. Si {\rm C} est une ellipse, l'axe focal est toujours dirigé par le sous-espace propre associé à la valeur propre ayant la plus {petite} valeur absolue. Cette remarque permet d'unifier les observations de 2 et 3 sous la forme d'une proposition. {Soit {\rm A} la matrice symétrique réelle associée à une équation cartésienne de {\rm C} dans un repère orthonormé quelconque et soit \lambda, \mu ses valeurs propres. Si l'axe focal est dirigé par la droite propre associée à \lambda, alors \frac{\lambda}{\mu} < 1 et l'excentricité de {\rm C} est

e = \sqrt{1 - \frac{\lambda}{\mu}}.

} Notons que cet énoncé s'applique également lorsque {\rm C} est une parabole : l'axe focal est dirigé par la droite propre associée à la valeur propre \lambda=0 et e = 1.

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