Développements limités

mardi 30 mars 2010
par  Jérôme Germoni
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Proposition de plan : les plans présentés cet après-midi étaient localement désordonnés (les deux impétrants avaient manifestement utilisé la même source).

Remarque : dans la pratique, il est utile de garder à l’esprit deux règles :

  • anticiper sur l’ordre auquel il faut calculer les DL pour éviter d’écrire trop ou trop peu de termes ;
  • garder à chaque étape du calcul une trace de l’ordre auquel on fait ce calcul.
-* {{I Généralités}} -** Définition -** Exemple : 1/(1-x) admet un DL à tout ordre en 0; démonstration par somme d'une série géométrique. -** Unicité de la partie régulière du DL -** Interprétation pour les ordres 0 (continuité) et 1 (dérivabilité); contre-exemple pour l'ordre 2 (x^3\sin(1/x) admet un DL d'ordre 2 en 0 mais n'est pas deux fois dérivable en 0). -** Translation: x\mapsto f(x) admet un DL en a SSI h\mapsto f(a+h) admet un DL en 0. -* {{II Opérations sur les DL}} -** Troncature (éventuellement en I). -** Somme, produit par une constante. -** Produit de deux fonctions (soit la proposition qu'on a vue + la remarque, soit une proposition tenant compte de la valuation). -** Composée de DL. -** Cas particulier: inverse. -** Intégration de DL. Application: une version de la formule de Taylor. -* {{III Exemples}} -** Il semble difficile de taire plus longtemps au reste du monde que \tan x=x+x^3/3+o(x^3)... -** L'exemple du jour: vitesse de convergence vers e des suites (1+1/n)^n (qui provient de la méthode d'Euler pour résoudre y'=y, y(0)=1, voir [le CAPES 2002...->doc364]) et (1+1/n)^{n+1/2}. -** Voir d'autres applications sur [la dernière page de ce pdf->doc337]. {{{Intégration d'un DL, contre-exemple pour la dérivation et formule de Taylor-Young}}} On fixe un intervalle I non réduit à un point et contenant 0 et f une fonction réelle définie sur I. Soit n un entier naturel. {{Proposition}} {Si f est continue sur I et F est une primitive de F sur I et un DL à l'ordre n en 0, alors F admet un DL à l'ordre n+1 en 0, on l'obtient en intégrant terme à terme celui de f.} Écrivons le DL de f: pour x de I,

 f(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k+x^n\epsilon(x),

où la fonction \epsilon tend vers 0 en 0. Par l'hypothèse de continuité, on peut intégrer entre 0 et x:

F(x)=F(0)+\sum_{k=0}^n\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}+\int_0^nt^n\epsilon(t)dt.

Il s'agit de montrer que le dernier terme est négligeable devant x^{n+1}. Soit \theta>0. Il existe \alpha>0 tel que pour tout x de I satisfaisant à |x|\le\alpha, on ait: |\epsilon(x)|\le \theta. Alors, pour tous ces x, il vient en majorant brutalement:

\left|\int_0^xt^n\epsilon(t)dt\right|\le\left|\int_0^xt^n\theta dt\right|,

puis par calcul direct:

\left|\int_0^xt^n\epsilon(t)dt\right|\le\frac{|x|^{n+1}}{n+1}\theta.

Ceci prouve la proposition.   {{Attention}}, on ne peut pas dériver les DL. La fonction x^3\sin(1/x) possède un DL d'ordre 2 en 0, mais sa dérivée n'est pas dérivable en 0.   {{Corollaire (formule de Taylor-Young pour les fonctions \mathcal{C}^{n-1})}} {Si f:I\to\RM est de classe \mathcal{C}^{n-1} sur I et que f^{(n-1)} est dérivable en 0, alors f admet un DL à l'ordre n en 0:}

f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n).

On procède par récurrence sur n. Pour n=0, c'est clair. Soit n un entier, supposons la propriété vraie pour ce n. Soit alors F une fonction de classe \mathcal{C}^n sur I dont la dérivée n^{\mathrm{e}} est dérivable en 0. Ces hypothèses font que la dérivée f de F satisfait à l'hypothèse de récurrence. Son développement de Taylor est donc un développement limité:

f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n).

Mais alors, la proposition montre que F a un DL à l'ordre n+1:

F(x)=F(0)+\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{(k+1)!}x^{k+1}+o(x^{n+1}).

Ceci termine la récurrence. {{Remarque}} Ce n'est pas la version la plus forte de la formule de Taylor-Young, qui demande seulement que f ait une dérivée d'ordre n-1 et que f^{(n-1)} soit dérivable au point 0 --ici, on demande de plus qu'elle soit continue sur I. Mais: -* il vaut mieux démontrer une formule partielle qu'admettre une formule énorme; -* dans la pratique, ce que l'on utilise, ce sont des fonctions indéfiniment dérivables, alors ce genre de finesses... {{{Remarque sur les opérations}}} Les opérations sur les DL sont de simples substitutions (sauf l'intégration, non triviale). On remplace l'expression et on met ensemble ce qui est négligeable, au plus grand ordre possible. La pratique est plus importante que les énoncés généraux. Aussi, pour le produit, l'exemple est-il plus important qu'un énoncé précis. En voici un cependant: {{Proposition}} {Si f (resp. g) admet un DL à l'ordre n (resp. p) au voisinage de 0 et si la valuation de la partie régulière P (resp. Q) de ce DL est d (resp. e), alors le produit fg admet un DL d'ordre

\min(n+e,p+d)

dont la partie régulière est la troncature de PQ.} En effet,

f(x)=\alpha x^d+\dots+\beta x^n+o(x^n),

g(x)=\gamma x^e+\dots+\delta x^p+o(x^p),

donc

fg(x)=PQ(x)+o(x^{n+e})+o(x^{p+d}).

Il reste à supprimer le plus petit de ces deux termes en o (celui dont l'exposant, n+e ou p+d, est le plus grand) et à tronquer PQ(x). {{{Heuristique pour l'inverse}}} On veut comprendre 1/f(x) quand f(0) n'est pas nul. Pour cela, on écrit l'approximation évidente, f(0), et on complète par ce qui fait une égalité vraie:

f(x) = f(0) + (f(x)-f(0)).

Puis on factorise ce qui est grand :

f(x) = f(0)\times(1 + u(x))

u(x) = (f(x)-f(0))/f(0) est petit. On voit bien qu'il faut utiliser

\frac{1}{1+u} = 1 + u + u^2 + \cdots


Brèves

20 septembre 2010 - Nouvelle brève

Une première liste de sujets d’épreuves d’oral 1 a été mise sur le site du jury. Suite le 1er (...)