Analyse

mercredi 4 janvier 2017
par  Arnaud Duran
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Fiche 1 : FONCTIONS DE VARIABLE REELLE

  • Notions abordées : Théorème de Rolle, théorème et inégalité des accroissements finis, formule de Taylor-Lagrange, théorème des valeurs intermédiaires, théorèmes du point fixe, formule de la moyenne.
  • Applications : Développements limités, limites, recherche de zéros, polynômes, études de suites.

Fiche 2 : SUITES ET SERIES NUMERIQUES

Suites numériques

  • Notions abordées : Limites de suites réelles et complexes, théorèmes d’existence. Monotonie, critères de convergence. Suites extraites et suites adjacentes. Théorèmes de comparaison. Théorème de Bolzano Weierstrass.
  • Applications : Moyenne arithmético-géométrique, développement décimal d’un réel, suites géométriques, suites complexes, suites de Cauchy.

Séries numériques

  • Notions abordées : Critères de convergence, convergence absolue, séries alternées. Règles de d’Alembert et de Cauchy, théorème d’Abel. Comparaison série/intégrale. Séries géométriques, séries de Riemann et de Bertrand.
  • Applications : études de convergence, série harmonique et constante d’Euler, formule de Stirling.

Fiche 3 : SUITES ET SERIES DE FONCTIONS

  • Notions abordées : Convergence simple et uniforme des suites et séries de fonctions, convergence normale, résultats de régularité, critères de convergence.
  • Applications : Polynômes, théorème de Dini, fonction zeta de Riemann, séries alternées, séries trigonométriques.

Fiche 4 : SERIES ENTIERES

  • Notions abordées : Domaine de convergence et rayon de convergence, critères de d’Alembert de de Cauchy, opérations sur les séries entières, fonctions développables en séries entières.
  • Applications : Fonctions trigonométriques et exponentielle, logarithme, puissance, résolution d’équations différentielles, sommes des inverses des carrés.

Fiche 5 : INTEGRATION (Intégrale de Riemann)

  • Notions abordées : Sommes de Darboux, intégrabilité au sens de Riemann, intégrabilité des fonctions monotones et continues, linéarité de l’intégrale et relation de Chasles, résultats de positivité, théorème fondamental du calcul intégral. Eléments techniques : changement de variable, intégration par parties, formules de la moyenne, théorème de Cauchy-Schwarz.
  • Applications : Lien avec l’aire, seconde formule de la moyenne, intégrales de Wallis.

Fiche 5 bis : INTEGRATION (Intégrales généralisées)

  • Notions abordées : Notion d’intégrabilité locale, définition d’un intégrale généralisée, exemples. Critères de comparaison pour les fonctions à valeurs positives (majoration, équivalence ...). Intégrales de Riemann et de Bertrand, critères de convergence.
  • Applications : Un théorème général de convergence, étude de convergence et calcul d’intégrales.

Fiche 6 : CALCUL DIFFERENTIEL

  • Notions abordées : ED linéaires et non linéaires d’ordre 1 et 2. Structure de l’ensemble des solutions. Résultats d’existence et d’unicité des solutions. Techniques de résolution : variation de la constante, principe de superposition, recherche de solution particulière en fonction du second membre, changement de variable. Systèmes d’ordre 1 et 2.
  • Applications : Résolution d’ED linéaires d’ordre 1. Equations de Bernoulli et Riccati, équations à variables séparées. ED linéaires d’ordre 2 à coefficients constants. Variation de la constante à l’ordre 1 et 2, application aux systèmes. Systèmes d’ED du premier et second ordre avec et sans second membre.

Documents joints

Fiche1
Fiche1
Fiche1_corrigé
Fiche1_corrigé
Fiche2
Fiche2
Fiche2_corrigé
Fiche2_corrigé
Fiche3
Fiche3
Fiche4
Fiche4
FIche3_corrigé
FIche3_corrigé
Fiche5
Fiche5
Fiche5_bis
Fiche5_bis
Fiche6
Fiche6

Brèves

25 septembre 2012 - Cours de Vendredi matin 28/09

Suite à un séminaire des personnels décidé par la direction de l’ IUFM, les cours de vendredi matin (...)

17 septembre 2012 - Nouvelle brève

L’emploi du temps des M2 EADM à l’ IUFM (jusqu’au concours) a été modifié en plusieurs endroits. (...)

4 septembre 2012 - Rapport du jury 2012

Le rapport du jury du Capes 2012 est paru : http://capes-math.org/index.php?id=archives

5 mai 2012 - Oraux blancs M2 (Oral 2)

Des oraux blancs pour l’épreuve d’oral 2 du Capes seront organisés entre le 8 et le 15 juin à l’ (...)

7 mars 2012 - M1 UE 8 Oral 2

Le TD du groupe 2 du lundi 12 mars de 10h 15’ à 12h 15’ (UE 8) est reporté au lundi 19 mars (même (...)