Calcul approché d’intégrales

mardi 20 avril 2010
par  Jérôme Germoni
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On fixe un segment non réduit à un point [a,b] et une fonction réelle continue f définie sur [a,b]. On s'intéresse à quelques méthodes de calcul approché de l'intégrale

I=\int_a^bf(x)dx.

{{Principe de toutes les méthodes proposées}} -* On fixe un entier n et on subdivise l'intervalle [a,b] en n intervalles identiques; -* Sur chaque intervalle, on approxime f par une fonction affine ou polynômiale pour laquelle on sait calculer l'intégrale; -* On construit ainsi une suite (X_n) qui dépend de la méthode; -* Sous des hypothèses convenables de régularité de f, on donne un majorant de l'erreur commise sous la forme |I-X_n|\le M/n^k, où M est une constante qui dépend de f et k est un entier appelé l'{ordre de la méthode}. {{Questions}}
  1. {{Pourquoi a-t-on besoin de donner une estimation de l'erreur?}} Il existe un algorithme très rapide pour évaluer I: répondre 2, quels que soient a, b et f. Du point de vue temps de calcul, difficile de faire mieux. En revanche, pour la précision, ce sera généralement insuffisant. Dans la pratique, quand on veut une valeur approchée, on la veut avec une précision déterminée {a priori}, disons \epsilon. La majoration de l'erreur sert à déterminer un indice n pour lequel on est certain d'avoir |I-X_n|\le\epsilon.
  2. {{Est-ce que les méthodes convergent lorsque f n'est pas (suffisamment) dérivable?}} En effet, toutes les méthodes proposées ont un sens lorsque f est supposée seulement continue, alors que les majorations mirifiques en 1/n^k ne sont démontrées que lorsque f est une, deux ou même quatre fois dérivable! -* Les suites correspondant aux méthodes des rectangles (à gauche ou à droite) et à la méthode du point médian sont des sommes de Riemann. Leur convergence vers I résulte donc de l'intégrabilité des fonctions continues au sens de Riemann. Le point-clé, c'est le théorème de Heine qui assure qu'une fonction continue sur un compact y est uniformément continue. -* La suite définie par la méthode des trapèzes est la moyenne arithmétique des suites des méthodes des rectangles: elle converge toujours vers I. -* La suite définie par la méthode de Simpson est un barycentre de celles des méthodes des trapèzes et du point médian (S_n=(T_n+2M_n)/3 pour tout n), donc elle converge aussi vers I même si f n'est pas dérivable. -* En revanche, dans tous ces cas, si f est seulement continue, on ne peut pas écrire de majorant (simple) de l'erreur commise.
  3. {{Y a-t-il d'autres méthodes qui ne reposent pas sur une subdivision régulière?}} Oui, en voici deux: -* Monte-Carlo: I est approximé par h\sum_{i=1}^nf(x_i), où h=(b-a)/n et les (x_i)_{i=1,\dots,n} sont tirés aléatoirement de façon indépendante selon une loi de probabilité uniforme dans [a,b]. La convergence vers I est presque sûre en 1/\sqrt{n} (je crois). -* Quadratures de Gauss: la méthode consiste à choisir une subdivision non régulière contenant plus de points vers les bords de l'intervalle; plus précisément, si l'intervalle est [-1,1] (on s'y ramène par changement de variable affine), la subdivision utilisée pour X_n est constituée par les zéros du n^{\mathrm{e}} polynôme de Legendre. Voir la [première épreuve de l'écrit de 2000->http://megamaths.perso.neuf.fr/annales/capesexterne2000comp1e.pdf] ou son [corrigé->http://www.mathom.fr/mathom/sauvageot/CAPES/solutions/capes00-1.pdf], mais aussi ce [texte de Thomas Chomette->http://www.math.ens.fr/culturemath/maths/pdf/algebre/polynomes.pdf].

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