Épicycloïdes et hypocycloïdes

Physique et simulations numériques (université du Mans)
URL: https://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/meca/epicyclo.html


Épicycloïde
C'est le lieu d'un point \(P\) d'un disque de rayon \(r\) qui roule sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon \(R\).
La courbe est fermée si le rapport \(n\boldsymbol{=}R/r\) des rayons est rationnel.
\(a\) est la distance du point \(P\) au centre du cercle mobile (de rayon \(r\)).
Les équations paramétriques de la courbe sont
\[\begin{cases} \vphantom{\dfrac aa} x \boldsymbol{=} (n+1)r\cos(t)-a\cos[(n+1)t] \\ \vphantom{a_{q_q}} y \boldsymbol{=} (n+1)r\sin(t)-a\sin[(n+1)t] \end{cases}\]


Hypocycloïde
C'est le lieu d'un point \(P\) d'un disque de rayon \(r\) qui roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon \(R\).
\(a\) est la distance du point \(P\) au centre du cercle de rayon \(r\).
La courbe est fermée si le rapport \(n\boldsymbol{=}R/r\) des rayons est rationnel.
Les équations paramétriques de la courbe sont :
\[\begin{cases} \vphantom{\dfrac aa} x \boldsymbol{=} (n-1)r\cos(t)+a\cos[(n-1)t] \\ \vphantom{a_{q_q}} y \boldsymbol{=} (n-1)r\sin(t)-a\sin[(n-1)t] \end{cases}\]

En toute rigueur les courbes représentées sont des trochoïdes.
Pour obtenir des épi/hypocycloïdes, il faut prendre \(a\boldsymbol{=}r\).
Utilisation : seuls les cas \(n\) entier ou demi-entier sont étudiés ici.
Choisir la valeur de \(n\) avec la liste de choix et celle de \(a\) avec le curseur (valeurs comprises entre 0 et 2).
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