UNIVERSITÉ D’ANGERS Année : 2003 N^{∘} d’ordre : 568

CONTRIBUTIONS A L’ETUDE DES IDEAUX DE BERNSTEIN-SATO D’UN POINT DE VUE CONSTRUCTIF

THÈSE DE DOCTORAT

Spécialité : Mathématiques

ÉCOLE DOCTORALE D’ANGERS

Présentée et soutenue publiquement

le 27 Mai 2003
à  l’université d’Angers
par Rouchdi BAHLOUL

Devant le jury ci-dessous :

Joël BRIANÇON,

Rapporteur, Professeur, Université de Nice Sophia-Antipolis Philippe DU BOIS,

Examinateur, Professeur, Université d’Angers Monique LEJEUNE-JALABERT,

Examinateur, Directrice de Recherche, UVSQ (Versailles) Toshinori OAKU,

Rapporteur, Professeur, Tokyo Woman’s Christian University Claude SABBAH,

Examinateur, Directeur de Recherche, Ecole Polytechnique

Directeur de thèse : Michel GRANGER, Professeur, Université d’Angers

Nom et coordonnées du laboratoire : U.M.R N^{∘} 6093 associée au CNRS 2 Bd Lavoisier, 49045 Angers cedex 01, France

A mes parents,

à Chokri et Riad et leurs familles, à Nathalie.

Remerciements

Par ces quelques lignes, j’aimerais remercier un certain nombre de personnes qui m’ont accompagné durant une partie ou la totalité de ma thèse.

En premier lieu, je voudrais dire un grand merci à mon “prof” Michel Granger. Cette thèse n’aurait pu voir le jour sans lui. Je le remercie pour la confiance qu’il a mise en moi, pour sa disponibilité sans faille, pour sa gentillesse et tout le professionnalisme avec lequel il m’a guidé durant ces années. Notre rencontre a eu lieu il y a plus de huit ans durant ma deuxième année de DEUG dans un cours consacré à la topologie de R et la dénombrabilité. Ensuite, il m’a accompagné durant toutes les années suivantes : en Licence avec un cours d’intégration, en Maîtrise avec un cours de Distributions et enfin en DEA avec un cours sur les D-modules. Aujourd’hui, je mesure toute la chance de l’avoir croisé sur ma route.

Je tiens à adresser mes remerciements les plus sincères à Joël Briançon pour avoir accepté la tâche de rapporteur. Merci pour les remarques et les suggestions qu’il m’a communiquées durant la lecture. Dans ma thèse, je me suis beaucoup appuyé sur ses articles dont une partie écrite avec Philippe Maisonobe, et dont j’ai essayé de garder le style “coulé”.

Merci aussi sincèrement à Toshinori Ôaku, mon second rapporteur. Ma thèse s’inspire aussi fortement de ses travaux. Merci aussi pour m’avoir aidé à deux reprises dans la mise au point de mes programmes sur kan.

Merci à Claude Sabbah. Sa présence dans mon jury me touche profondément, j’en suis honoré.

Merci à Monique Lejeune-Jalabert pour avoir accepté d’être présente à mon jury. Mon chapitre 4 est dans la lignée de ses travaux.

Enfin, merci à Philippe du Bois pour avoir accepté d’être membre de mon jury. Je remercie Abdallah Assi pour la lecture attentive du premier jet de ma thèse. Je suis reconnaisant à Francisco Castro Jiménez pour son invitation à l’Université

de Séville en juin 2002 et pour les discussions intéressantes que nous y avons eues. Ce fut une semaine vraiment agréable pour laquelle je ne peux manquer de dire merci également à Luis Narváez Macarro et José María Ucha Enríquez.

Des mercis à François Ducrot pour le temps passé à installer kan/sm1, à Nobuki Takayama pour l’aide apportée à ce sujet ainsi qu’à Philippe Maisonobe pour l’agréable semaine passée à Kaiserslautern.

Ces remerciements seraient bien bancals si je ne disais pas un mot à mon ami Paltin Ionescu. C’est lui qui m’a donné l’envie d’en savoir plus sur les maths durant le trop court trimestre où j’ai suivi ses TD lors d’un de ses séjours en tant qu’invité. Je souhaite à tout étudiant la chance d’avoir un jour un tel enseignant.

Pour finir, un gros coucou à tous les thésards d’Angers que j’ai cotoyés : ceux de ma “génération”, Bertrand, Céline, David, Franck, Goulwen, Mathieu, Oleg ; les p’tits nouveaux, Dika, Jean-Marc, Ludovic, Pascal, Souleymane, Thomasz ; et les anciens, Isabelle, Nicolas, Xavier, Yacoub (cette classification est purement arbitraire et n’engage que son auteur).

Table des matières

Introduction 1 Contenu et résultats principaux 3

Chapitre 1. Quelques rappels 9 1. Divisions et bases standards 9 2. Eventail de Gröbner 21 3. V -multifiltration et éventail de Gröbner 23

partie 1. Etude des polynômes de Bernstein-Sato 25

Chapitre 2. Preuve constructive de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato

pour plusieurs fonctions analytiques 27

1. Un rappel de la preuve 27 2. Preuve du théorème 2.10 34 3. Existence de polynômes de Bernstein-Sato dans le cas algébrique 46

Chapitre 3. Polynômes de Bernstein-Sato algébriques rationnels et étude

algorithmique 51

1. Étude des polynômes b_{L}... 52 2. Polynôme de Bernstein-Sato algébrique rationnel

sur un corps quelconque 60

partie 2. Etude générique des polynômes de Bernstein-Sato et des éventails de Gröbner 63

Chapitre 4. Spécialisation des bases de Gröbner 65 1. Notations génériques 66 2. Lemmes de spécialisation 67 3. Résultats complémentaires 72

Chapitre 5. Polynôme de Bernstein-Sato générique 77 1. Cas d’une fonction 78 2. Cas de plusieurs fonctions 82

Chapitre 6. Constructibilité de l’éventail de Gröbner 87 1. Rappels et énoncé du résultat principal 87 2. Homogénéisation et spécialisation 88 3. Résultats de finitude 89 4. Preuve de la proposition 6.1 90 5. Application au polynôme de Bernstein-Sato générique 91

partie 3. Aspects plus calculatoires 93 Chapitre 7. Algorithm for computing Bernstein-Sato ideals associated with a

polynomial mapping 95

1. Introduction 96 2. Standard basis with respect to a non-well order 97 3. V-multifiltration 99 4. Bernstein-Sato equations and Malgrange point of view 100 5. Bernstein-Sato ideals 102 6. Computation of B_{Σ} and B_{j} 104 Compléments à l’article précédent 115

Annexe A. Calculs sur Kan 117 1. L’exemple de J. Briançon et H. Maynadier 117 2. Polynôme de Bernstein-Sato générique 118 3. Les idéaux B_{L} et polynômes b_{L} 119

Annexe. Bibliographie 123

Notations et conventions

♦ R corps des réels ♦ C corps des complexes ♦ Q corps des rationnels ♦ Z entiers ♦ N entiers positifs ou nuls ♦ k, K corps de caractéristique^{1} 0 ♦ x^{α} = x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{n}^{α_{n}} ♦ ∂_{x_{i}} = \frac{∂}{∂x_{i}} ♦ ∂_{x}^{α} = ∂_{x_{1}}^{α_{1}} ⋯ ∂_{x_{n}}^{α_{n}} ♦ (x, ∂_{x})^{(α,β)} = x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{n}^{α_{n}}∂_{x_{1}}^{β_{1}} ⋯ ∂_{x_{n}}^{β_{n}} où (α, β) ∈ N^{2n} ♦ |α| = α_{1} + ⋯ + α_{n} ♦ (α|β) = ∑ α_{i}β_{i} ♦ < F > idéal engendré par F ♦ V (Q), V (h) lieu des zéros de l’idéal Q (resp. de la fonction h) ♦ Idéal signifie idéal à gauche

1dans tout le texte, corps signifie corps de caractéristique 0

Introduction

Dans ce travail de thèse, nous allons nous intéresser au polynôme de Bernstein et aux idéaux de Bernstein-Sato. Nous allons les décrire. Soit f = (f_{1}, …, f_{p}) une application polynomiale où les f_{j} appartiennent à k[x_{1}, …, x_{n}] (k étant un corps) ou analytique et dans ce cas les f_{j} sont dans C{x_{1}, …, x_{n}}. Soient s_{1}, …, s_{p} des indéterminées. Considérons l’équation suivante :

(⋆) b(s_{1}, …, s_{p})f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} = P f_{1}^{s_{1}+1} ⋯ f_{p}^{s_{p}+1}.

On note A_{n}(k) l’algèbre des opérateurs différentiels à coefficients dans k[x_{1}, …, x_{n}] et A_{n}(k)[s] = A_{n}(k) ⊗_{k} k[s_{1}, …, s_{p}]. De plus on note D_{n} l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans C{x_{1}, …, x_{n}} et D_{n}[s] = D_{n} ⊗_{C} C[s_{1}, …, s_{p}].

Lorsque f est polynomiale (resp. analytique), on note B_{alg} (resp. B_{an}) l’idéal de k[s_{1}, …, s_{p}] (resp. C[s_{1}, …, s_{p}]) constitué des polynômes b(s) satisfaisant à (⋆) avec P appartenant à A_{n}(k)[s] (resp. D_{n}[s]). L’idéal B_{alg} est appelé idéal de Bernstein-Sato algébrique associé à f et B_{an} idéal de Bernstein-Sato analytique associé à f. Maintenant lorsque p = 1, on note b_{f} le générateur unitaire de B_{alg} (resp. B_{an}) et on l’appelle le polynôme de Bernstein algébrique (resp. analytique).

C’est I.N. Bernstein dans l’article [Be] tant de fois cité qui démontra la non nullité de B_{alg} dans le cas p = 1. Puis J.E. Björk le démontra dans le cas analytique dans un preprint non publié. Ensuite M. Kashiwara [K] publia la preuve de la non nullité de B_{an} dans le cas p = 1 en montrant de plus que le polynôme de Bernstein est à racines rationnelles négatives. En ce qui concerne le cas où p est plus grand que 1, la preuve donnée par I.N. Bernstein s’adapte facilement pour B_{alg}. Pour ce qui est de B_{an}, le fait qu’il soit non nul est dû à C. Sabbah (voir [S1] et [S2]). Signalons ici la contribution de A. Gyoja [G] qui démontra un résultat supplémentaire, à savoir que B_{an} contient un élément rationnel (signalons aussi que C. Sabbah connaissait ce résultat mais ne l’a pas publié).

Les idéaux de Bernstein-Sato (appellation qu’on réserve au cas p ≥ 2) n’ont aucune raison d’être principaux. Et en effet, J. Briançon et H. Maynadier [Br-May] ont fourni un exemple d’un germe d’applications analytiques pour lequel l’idéal de Bernstein-Sato n’est pas principal.

Historiquement, le polynôme de Bernstein (associé à un polynôme) trouve son origine dans une question posée en 1954 par I.M. Gelfand au congrès international d’Amsterdam. Etant donné une fonction polynomiale positive sur R^{n}, peut-on prolonger la distribution s ↦ f^{s} (à priori holomorphe sur le demi-plan Re(s) > 0) en une fonction méromorphe sur C ? Deux preuves indépendantes mais utilisant la résolution des singularités par H. Hironaka ([Hi]) ont été données par I.N. Bernstein et I.M. Gelfand en 1969 ([Be-G]) et par M.F. Atiyah en 1970 ([At]). Dans ces deux articles, il a été démontré que la distribution f^{s} se prolonge méromorphiquement sur C avec des pôles contenus dans {−1/N, −2/N, …} où N est entier dépendant de f. En 1972, I.N. Bernstein trouve une autre preuve du prolongement de f^{s} en introduisant le polynôme de Bernstein et en montrant son existence. Ce prolongement montre que les pôles sont contenus dans l’ensemble des λ − k où λ est une racine de b_{f} et k un entier positif ou nul. Signalons que l’existence du polynôme de Bernstein (algébrique) se prouve par des moyens peu onéreux, par contre pour montrer que les pôles du prolongement sont rationnels, autrement dit pour montrer que les racines de b_{f} sont rationnels on a besoin à nouveau d’utiliser la résolution des singularités.

Introduit dans la théorie des distributions, le polynôme de Bernstein occupe maintenant une place importante dans la théorie des singularités depuis que B. Malgrange (dans [Mal]) a montré le lien étroit qui existe entre les racines du polynôme de Bernstein et l’action de la monodromie sur la cohomologie de la fibre de Milnor du germe de fonctions (à singularité isolé) auquel le polynôme de Bernstein est attaché. A côté de ce point de vue topologique et algébrique, il y a aussi le souci de calculer explicitement le polynôme de Bernstein associé à une fonction polynomiale ou analytique. On sait facilement calculer le polynôme de Bernstein associé à une singularité quasi-homogène, on sait depuis [Br-G-M-M] calculer le polynôme de Bernstein d’une singularité semi quasi-homogène et d’une singularité non dégénérée (au sens de Kouchnirenko). T. Oaku a donné un algorithme de calcul du polynôme de Bernstein associé à un polynôme dans le cas le plus général. L’algorithme en question est fondé sur la théorie des bases de Gröbner, théorie dont le point de départ est la thèse de B. Buchberger qui fût un élève de W. Gröbner. L’algorithme de T. Oaku dont nous parlons se trouve dans [O2]. Cet article a été le point de départ de la présente thèse. En effet, mon premier travail a été de tenter une généralisation de cet algorithme. Ce travail a donné lieu à un article paru au J. Symb. Comp. en 2001 et qui fait l’objet du dernier chapitre de cette thèse. Nous en dirons plus un peu plus loin.

Une fois ce travail accompli. Nous nous sommes intéressés à l’article [L] de A. Leykin qui a pour sujet d’étudier le comportement du polynôme de Bernstein (algébrique) lorsque les coefficients bougent. Nous avons alors tenté une généralisation à p fonctions de son travail. Néanmoins, les méthodes utilisées ne peuvent donner au premier abord qu’une contructibilité en un sens plus faible que dans le cas d’une fonction, la raison étant que pour p ≥ 2, on ne sait pas s’il existe des génétateurs rationnels de B_{an}. Entre temps, nous nous étions penchés sur la démonstration de C. Sabbah de la non nullité de B_{an}. Il s’est avéré que dans la preuve, il y avait une proposition cruciale (prop. 2.2.3 de [S1]). Cruciale car le reste de la preuve est dans un certain sens similaire à celle de M. Kashiwara dans le cas p = 1. L’étude de cette proposition nous a permis d’en trouver une autre preuve plus constructive et aussi plus simple car ne s’appuyant sur rien de plus que la théorie des bases de Gröbner. Signalons cependant que la proposition en question est constituée de deux assertions et que nous redémontrons la première dans le cas p quelconque en évitant la notion délicate d’éventail de platitude (ou éventail adapté) mais la deuxième uniquement pour p = 2 à l’aide d’un récurrence sur les pentes de l’éventail de Gröbner. Cette redémonstration fait l’objet du chapitre 2 de cette thèse.

Après cela et à l’aide du résultat de rationalité de A. Gyoja, nous avons pu nous lancer de manière plus significative dans une tentative de généralisation du résultat de A. Leykin (citons [Br-Mai] où les auteurs démontre le même résultats par d’autres moyens). Ceci a donné lieu au chapitre 5 dans lequel on démontre l’existence d’un polynôme de Bernstein-Sato générique rationnel sur une variété affine irréductible sur n’importe quel corps k (resp. sur un germe de variété analytique irréductible) dans le cas ”algébrico-algébrique” (resp. ”algébrico-analytique”), nous entendons par là que les f_{j} dépendent polynomialement de x_{1}, …, x_{n} et dépendent polynomialement (resp. analytiquement) du système de paramètres. Signalons que par ce résultat, nous généralisons un résultat de H. Biosca [Bi] qui a démontré ce même résultat dans le cas où la variété est l’espace affine tout entier (resp. (C^{m}, 0)). Signalons aussi que H. Biosca n’évoque pas la question de la rationalité. Cependant, un examen détaillé de son travail permet de conclure à la rationalité du polynôme de Bernstein-Sato générique qu’elle construit.

Contenu et résultats principaux

Dans ce qui va suivre, nous allons décrire chapitre par chapitre le contenu de la thèse et nous énoncerons les résultats principaux.

Chapitre 1 : Quelques rappels

Dans ce chapitre, nous rappelons trois notions. La première est celle des bases de Gröbner (ou bases standards, bien qu’usuellement les bases standards concernent les ordres qui ne sont pas bons, nous ne distinguerons pas les deux appellations). Nous distinguons le cas algébrique du cas analytique et nous soulignons le fait qu’un théorème de division n’est possible, dans le cas algébrique, que si l’ordre qu’on utilise est un bon ordre. Dans ce cas, nous rappelons l’algorithme de Buchberger qui permet de calculer effectivement une base standard. Pour ce qui est du cas analytique nous voyons dans quelles conditions une division est possible et on se rend compte que pour la plupart des cas qui nous importent elle n’existe pas. C’est ainsi (comme dans [C-N]) que nous introduisons l’anneau homogénéisé (isomorphe à l’anneau de Rees associé à la filtration par le degré total) qui permet dans les deux cas de faire des divisions.

La deuxième notion que nous voyons est celle d’éventail de Gröbner vu l’importance qu’il aura dans le chapitre 2.

Enfin nous rappelons (en termes de coordonnées) la V -multifiltration vu le rôle qu’elle jouera dans les chapitres 2 et 7.

Partie I : Etude des polynômes de Bernstein-Sato

Chapitre 2 : Preuve constructive de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato pour plusieurs fonctions analytiques

Ce chapitre constitue l’un des coeurs de la thèse. Dans une première section, on rappelle la preuve de la non nullité de l’idéal de Bernstein-Sato de C. Sabbah en y isolant un résultat important (théorème 2.9) dont nous envisageons de fournir une formulation et une démonstration différentes. Il s’agit du théorème 2.10, le voici. On rappelle d’abord comment faire opérer D_{n+p} sur f^{s} (en suivant B. Malgrange [Mal]) puis on considère I l’annulateur de f^{s} dans D_{n+p} et on note M le module D_{n+p}/I. On note U_{V} l’ensemble des combinaisons linéaires des filtrations V_{1}, …, V_{p} à coefficients positifs, ainsi U_{V} ≃ R_{≥0}^{p} et V_{j} est en termes de coordonnées la V - filtration associée à la variable t_{j}. On note V la multi-filtration (V_{1}, …, V_{p}) indexée par Z^{p}. On définit la filtration \overline{V} (M) indexé par Z^{p} par

\overline{V}_{w}(M) = ⋂_{L∈U_{V}} V_{L(w)}^{L}(M),

où V^{L} est la filtration naturelle associée à L ∈ U_{V}.

THEOREME (2.10).

(1) Notons E_{V} (h(I)) l’éventail de Gröbner de h(I) ⊂ D_{n+p}⟨z⟩ associé à la filtration V (D_{n+p}). Si on note L(E_{V} (h(I)) les éléments primitifs de son 1-squelette alors pour tout w de Z^{p},

\overline{V}_{w}(M) = ⋂_{L∈L(E_{V} (h(I)))} V_{L(w)}^{L}(M).

(2) Pour p = 2, il existe κ ∈ N^{p} qui dépend de E_{V} (h(I)) tel que pour tout

w ∈ Z^{p},

V_{w}(M) ⊂ \overline{V}_{w}(M) ⊂ V_{w+κ}(M).

Pour dire les choses de manière plus simple, la première assertion nous dit que la filtration \overline{V} est ”finiment engendrée” et la deuxième que la filtration \overline{V} est bonne.

La deuxième section a pour objet la démonstration de ce théorème. Arrêtons nous sur le deuxième paragraphe de cette section. Il consiste en l’énoncé et la démonstration de ce que nous appelons ”une proposition clé” (prop. 2.14). En effet la preuve de l’assertion 2 du résultat de C. Sabbah (à savoir que la filtration \overline{V} est bonne) est basée sur une modification torique associée à un éventail dit ”adapté” et une certaine proposition ([S1] prop. 2.2.1) que nous décrivons : soit Σ un éventail subdivisant le premier quadrant de (Q^{p})^{∗}. Pour tout cône σ de dimension maximale, soit ^{σ}V (M) la filtration sur M indexée par Z^{p} définie par :

m ∈ ^{σ}V_{w}(M) ⟺ ∃P ∈ ^{σ}V_{w}(D_{n+p}) = ⋂_{L∈σ} V_{L(w)}^{L}(D_{n+p}) m = [P],

où [·] désigne la classe dans M = D_{n+p}/I. Notons L(σ) les éléments primitifs du 1-squelette de σ. Alors la proposition 2.2.1 de [S1] affirme que si Σ est l’éventail adapté alors pour tout cône σ de dimension maximale de Σ, on a :

(†) ^{σ}V_{w}(M) = ⋂_{L∈L(σ)} V_{L(w)}^{L}(M).

Notre proposition clé affirme qu’en prenant pour Σ l’éventail E_{V} (h(I)) alors pour tout cône σ on a (†). Voici le bilan que l’on peut dresser sur les deux premières sections de ce chapitre :

– Nous démontrons l’assertion 1 du résultat de C. Sabbah par des moyens relativement élémentaires en evitant l’usage de l’éventail dit adapté.

– Nous démontrons l’assertion 2 du même résultat de C. Sabbah dans le cas p = 2 avec les mêmes techniques que précédement.

– Dans la preuve de C. Sabbah de l’assertion 2, on peut grâce à notre proposition clé, remplacer l’éventail adapté par l’eventail de Gröbner E_{V} (h(I)) ce qui permet de démontrer l’assertion 2 en toute dimension en évitant la notion d’éventail adapté.

Nous terminons ce chapitre par la troisième section dans laquelle nous reprenons la preuve par I.N. Bernstein ([Be] qu’on trouve aussi dans [Bj]) de la non nullité de B_{alg} pour p = 1 en la généralisant au cas p quelconque. Il se trouve que cette généralisation est facile mais dans un souci d’être complet nous l’avons incluse dans la thèse. Signalons que cette preuve ne démontre pas l’existence d’un élément rationnel dans B_{alg} mais seulement d’un élément non nul. Cette section est une introduction au chapitre suivant dans lequel on montre l’existence d’un élément rationnel non nul dans B_{alg}.

Avant de passer à la suite, décrivons de manière succinte comment C. Sabbah montre que B_{an} est non nul. Pour chaque L ∈ N^{p} ⊂ U_{V} ≃ R_{≥0}^{p}, il démontre qu’il existe un polynôme b_{L} non nul d’une variable complexe qui vérifie : Pour tout k ∈ Z, b(L(−∂_{t}t) − k)V_{k}^{L}(M) ⊂ V_{k−1}^{L}(M). Il vient alors grâce au théorème précédent que le polynôme suivant appartient à B_{an} :

b(s_{1}, …, s_{p}) = ∏_{L∈F} ∏_{−L(κ+(1,...,1))<k≤0} b_{L}(L(s_{1}, …, s_{p}) − k),

où F = L(E_{V} (h(I))) et L(s_{1}, …, s_{p}) = ∑_{j=1}^{p} α_{j}s_{j} où α ∈ N^{p} est le vecteur coordonné de L. La contribution de A. Gyoja a consisté à montrer que les racines de chaque b_{L} sont dans Q_{<0} ce qui permet d’en déduire la rationalité du polynôme ci-dessus.

Chapitre 3 : Polynômes de Bernstein-Sato algébriques rationnels et étude algorithmique

Dans ce chapitre le but est de démontrer que pour tout corps k, l’idéal de Bernstein-Sato algébrique contient un élément non nul de Q[s_{1}, …, s_{p}]. Nous aurions pu nous contenter de dire que lorsque k = C, l’idéal B_{alg} contient un élément rationnel (en effet B_{alg} est l’intersection de l’ensemble (fini) des idéaux locaux et chacun d’entre eux en contient un, par suite le produit de tous ces polynômes est rationnel et dans B_{alg}) puis d’utiliser un argument de relèvement des équations fonctionnelles de C à k. Nous avons décidé de nous y prendre autrement. En effet la voie que nous choisissons nous permet de mieux connaitre les briques qui servent à construire un élément non nul dans B_{an}, à savoir les polynômes b_{L}. Nous montrons d’abord que pour tout corps k, il existe de tels polynômes non nuls, nous donnons aussi un algorithme de calcul du polynôme b_{L}, L étant donné. Nous montrons grâce à cet algorithme que b_{L} (algébrique) est aussi à racines dans Q_{<0} quelque soit le corps k, ceci permet de montrer que B_{alg} contient un élément non nul dans Q[s_{1}, …, s_{p}].

Partie II : Etude générique des polynômes de Bernstein-Sato et des éventails de Gröbner

Chapitre 4 : Spécialisation des bases de Gröbner

Dans la partie II, nous étudions certains objets d’un point de vue générique et comme nous les étudions à l’aide des bases de Gröbner, nous sommes amenés à nous intéresser à la spécialisation de ces derniers. C’est donc naturellement que ce chapitre introduit cette notion. Nous y trouverons deux versions d’un lemme dit de spécialisation : une version dite faible et l’autre forte. Chacune des versions étant traitée dans deux cas l’un algébrique et l’autre analytique. L’idée du lemme de spécialisation faible est la suivante. On considère un idéal I ⊂ A_{n}(k)[a] = A_{n}(k) ⊗_{k} k[a] (resp. I ⊂ A_{n}(C){a} = A_{n}(C) ⊗_{C} C{a}) où a = (a^{1}, …, a^{m}) est un système de variables vues comme paramètres. Nous considérons pour chaque a ∈ k^{m} (resp. a appartenant à un petit voisinage de 0 dans C^{m}) l’idéal I_{|a} spécialisé de I en a (En fait dans le cas analytique la spécialisation sera définie de façon précise dans le chapitre en question). On peut se poser la question naturelle suivante : existe-t-il un système de générateurs G de I tels que pour tout a, G_{|a} engendre I_{|a}? La réponse est oui mais génériquement, c’est-à-dire qu’il existe une hypersurface algébrique de k^{m} (resp. un germe d’hypersurfaces de C^{m} en 0) en dehors de laquelle la réponse est affirmative. L’idée générale du lemme de spécialisation forte est de répondre à cette même question mais au lieu de spécialiser en un point a de k^{m} (resp. C^{m}), on spécialise en un point du spectre de k[a] (resp. C{a}). De ce point de vue, la version faible apparait comme un cas particulier de la version forte si on se restreint aux idéaux maximaux. On verra d’ailleurs que la spécialisation forte est plus naturelle que la faible en ce qui concerne le cas analytique.

Chapitre 5 : Polynôme de Bernstein-Sato générique Dans la première section, nous considérons f = ∑_{|α|≤d} g_{α}(a)x^{α} vu dans k[x][a]

ou dans C[x]{a} où a = (a^{1}, …, a^{m}). On cherche à étudier le comportement du polynôme de Bernstein (algébrique) lorsque a parcourt k^{m} ou un petit voisinage de 0 dans C^{m}. Ce problème a été résolu par A. Leykin (voir [L]) par des méthodes très proches pour le premier cas i.e. algébrique où a ∈ k^{m}. Le résultat est que l’espace des paramètres k^{m} (resp. un voisinage de 0 ∈ C^{m}) se partitionne en une union finie d’ensembles localement fermés (resp. localement fermés analytiques) telle que sur chaque élément de cette partition le polynôme de Bernstein du spécialisé est constant. Citons [Br-Mai] dans lequel les auteurs démontrent ce résultat par des voies différentes qui utilisent des anneaux que l’on peut qualifier d’intermédiaires. Dans la deuxième section, nous nous intéresserons au deux situations suivantes.

cas algébrique : f_{1}, …, f_{p} ∈ k[x][a]

cas analytique : f_{1}, …, f_{p} ∈ C[x]{a}

où x = (x_{1}, …, x_{n}) et a = (a^{1}, …, a^{m}). Nous pourrions aussi considérer le cas où les f_{j} sont analytiques par rapport à x mais cette situation n’est pas abordable avec les outils que nous avons (les lemmes de spécialisation n’étant pas valables dans ce cas). Etant donnée un variété affine V (Q) irréductible (resp. un germe de variétés analytiques) donnée par un idéal premier Q de k[a] (resp. C{a}), on considère l’équation suivante :

(⋆⋆) h(a)b(s_{1}, …, s_{p})f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} = P f_{1}^{s_{1}+1} ⋯ f_{p}^{s_{p}+1} + T f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}.

Dans le cas analytique : si b(s) ∈ C[s] ∖ 0 satisfait une telle équation avec h(a) ∈ C{a}∖Q, P ∈ D_{n}[s]⊗_{C}C{a} et T ∈ D_{n}[s]⊗_{C}Q alors on dit que c’est un polynôme de Bernstein-Sato générique sur V (Q). Dans le cas algébrique, c’est la même définition où on remplace C[s] par k[s], C{a} par k[a], D_{n}[s]⊗_{C}C{a} par A_{n}[s][a] et D_{n}[s]⊗_{C}Q par A_{n}(k)[s] ⊗_{k} Q. H. Biosca [Bi] montre dans les deux cas (le cas algébrique avec k = C) qu’il existe un polynôme de Bernstein-Sato générique sur C^{m} (resp. (C^{m}, 0)) c’est-à-dire avec Q = (0). Dans le théorème 5.8, nous améliorons ce résultat en montrant que dans les deux cas (avec k quelconque dans le premier) et pour tout idéal premier Q de k[a] (resp. C{a}) il en existe un sur V (Q) qui soit rationnel. Pour cela, nous utilisons les lemmes de spécialisations et le chapitre 3. Notons que les méthodes de H. Biosca ne semblent pas permettre pas d’arriver à ce résultat pour un idéal Q ≠ (0).

Chapitre 6 : Constructibilité de l’éventail de Gröbner

Ce chapitre répond à une question naturelle qui est la suivante. Comme pécédement, on considère deux cas. Soit I un idéal de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a} = A_{n}(C) ⊗_{C} C{a}). Comment se comporte l’eventail de Gröbner (algébrique) du spécialisé I_{|a} de I lorsque a parcourt k^{m} (resp. un petit voisinage de 0 dans C{a}) ? La réponse est la suivante :

THEOREME. Il existe un partition de k^{m} (resp. un voisinage de 0 dans C^{m}) constituée d’ensembles localement fermés (resp. localement fermés analytiques) W telle que sur chaque W l’éventail de Gröbner de h(I_{|a}) est constant.

Partie III : Aspects plus calculatoires

Chapitre 7 :

Comme nous l’avons dit précédement, l’objet de ce chapitre est un article paru au J. of Symb. Comp. Nous l’avons inclus dans une partie dont le titre évoque l’aspect calculatoire des D-modules car la principale raison d’être de cet article est la notion de complexité algorithmique. En effet, avant cet article, T. Oaku avait déja trouvé un algorithme général de calcul de B_{alg}. Ce que nous proposons dans cet article est un algorithme probablement plus rapide que celui de T. Oaku (signalons quand même que nous n’avions à l’époque pas trouvé un algorithme pour B_{alg} mais pour deux autres idéaux de Bernstein-Sato) puisque ce dernier se fait à l’aide de calcul de bases de Gröbner sur 2n + 4p variable, alors que le notre n’en utilise que 2n + 3p (Remarquons que cette borne est baissée à 2n + 2p dans [Br-Mai] avec des calculs qui se font dans d’autres anneaux).

L’article en question est suivi d’une courte section où nous énonçons certains résultats qui à l’époque ne nous avait pas frappés, signalons par exemple le fait que nous sommes capables effectivement de détecter les éléments non réguliers (i.e. dont le diagramme de Newton est sans pentes) d’un idéal par rapport à un certain nombre de formes linéaires ou bien aussi de calculer le gradué associé à plusieurs formes linéaires.

Annexe : Calculs sur Kan

Comme le titre l’indique, il s’agit essentiellement de calculs réalisés en utilisant le logiciel Kan de N. Takayama [T]. Dans une première section, nous avons calculé les idéaux de Bernstein-Sato absolus (par opposition à ”génériques”) de l’exemple de J. Briançon et H. Maynadier dont l’idéal B analytique est non principal (voir [Br-May]). Nous constatons que l’idéal B_{1} (algébrique) n’est pas principal alors que B et B_{2} le sont. Dans une deuxième section nous calculons sur deux exemples (dont le précédent) des idéaux de Bernstein-Sato génériques avec un paramètre. Dans la troisième section, nous calculons sur plusieurs exemples les idéaux B_{L} ainsi que les polynômes b_{L} intéressants et nous regardons le lien entre ces derniers et les idéaux de Bernstein-Sato B, B_{1} et B_{2}. Nous répondons notamment à une question naturelle qui est de savoir si le procédé par lequel la preuve de C. Sabbah construit un élément de B^{v} permet d’obtenir des générateurs. Nous verrons que non.

CHAPITRE 1 Quelques rappels

1. Divisions et bases standards

Le but de cette section est d’introduire les anneaux avec lesquels nous allons travailler, de rappeler les théorèmes de division et les notions de bases standards d’un idéal par rapport à un ordre < sur N^{2n}. Nous verrons dans un premier temps ce qui se passe sur l’algèbre de Weyl A_{n} = A_{n}(k) (anneau des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux) pour laquelle nous distinguerons deux cas selon que l’ordre < est bon ou non. Ainsi nous verrons que si l’ordre < est bon nous avons un théorème de division dans A_{n}. Dans un deuxième temps nous nous placerons dans le cas où l’ordre < est subordonné à une forme linéaire L : R^{2n} → R, on le notera alors <_{L}. Dans ce cas l’ordre <_{L} est bon si et seulement si L est à coefficients strictement positifs. Dans un troisième temps, nous nous intéresserons à l’anneau D_{n} (anneau des opérateurs différentiels à coefficients analytiques sur R ou C) et nous verrons dans quelles conditions sur L nous avons un théorème de division. Dans le cas de A_{n} nous verrons que si l’ordre <_{L} (ou plus généralement <) n’est pas bon alors comme dans [C-N], nous travaillerons dans un nouvel anneau A_{n}⟨z⟩ avec un nouvel ordre <_{L}^{h} qui sera bon. De même en ce qui concerne D_{n}, si la restriction de L à R^{n} × {0}^{n} n’est pas nulle, nous travaillerons dans D_{n}⟨z⟩. Remarquons que demander que la restriction en question soit nulle limite les possibilités. Mon but ici n’est pas de donner des démonstrations que l’on peut trouver dans [C-G] mais d’insister sur les points qui me semblent importants, par exemple savoir dans quelles situations on a une division, dans quels cas une base standard est un système de générateurs de l’idéal en question, de savoir contourner le problème en travaillant avec l’homogénéisé de l’idéal.

1.1. Sur l’anneau A_{n}. Ce paragraphe qui concerne essentiellement les chapitres 7 et 3 est aussi une introduction au cas plus délicat des bases standards de D_{n} dont nous nous servirons dès le prochain chapitre. Soit < un ordre total sur N^{2n} compatible avec l’addition c’est-à-dire vérifiant la propriété suivante :

∀α, β, γ ∈ N^{2n}, α < β ⇒ α + γ < β + γ.

On dit que < est bon si toute partie de N^{2n} admet un plus petit élément. Dans le cas où < est compatible avec l’addition nous avons l’équivalence suivante

< est bon ⟺ ∀α ∈ N^{2n}, α ≥ 0.

On dit que < est un ordre différentiel si pour tout i = 1, …, n

(0, …, 0, 1, 0, …, 0, 1, …, 0) > (0, …, 0)

où dans l’écriture ci-dessus les 1 sont placés respectivement en i-ième et (n + i)-ième positions. On voit que tout bon ordre est différentiel.

Soit maintenant P non nul dans A_{n}(k). Ecrivons P = ∑_{α,β∈N^{n}} p_{α,β}x^{α}∂_{x}^{β} avec p_{α,β} ∈ k.

On définit alors :

– Le nuage ou diagramme de Newton de P :

N (P) = {(α, β) ∈ N^{2n}| p_{α,β} ≠ 0},

– L’exposant privilégié de P par rapport à < :

exp_{<}(P) = max_{<}N (P),

– le monôme privilégié de P par rapport à < :

mp_{<}(P) = (x, ∂_{x})^{exp_{<}(P)},

– le coefficient privilégié de P par rapport à < :

cp_{<}(P) = p_{exp_{<}(P)},

– le terme privilégié de P par rapport à < :

tp_{<}(P) = cp_{<}(P)mp_{<}(P).

Remarquons qu’ici le nuage de P est fini contrairement à ce qui se passera dans D_{n}.

PROPRIETE 1.1. Soit P et Q deux éléments non nuls de A_{n}(k) et < un ordre différentiel total compatible avec l’addition sur N^{2n} alors

– exp_{<}(P Q) = exp_{<}(P) + exp_{<}(Q),

– tp_{<}(P Q) = tp_{<}(tp_{<}(P) · tp_{<}(Q)),

– si exp_{<}(P) ≠ exp_{<}(Q) alors exp_{<}(P + Q) = max_{<}{exp_{<}(P), exp_{<}(Q)}.

REMARQUE. On voit facilement la nécessité de supposer que l’ordre ést différentiel. A partir de maintenant et sauf mention contraire, tout ordre sera supposé différentiel.

A un q-uplet (e^{1}, …, e^{q}) d’éléments de N^{2n} nous associons une partition Δ_{1}, …, Δ_{q}, Δ̄ de N^{2n} de la façon suivante (certains des Δ_{i} pourront être vides). On pose

– Δ_{1} = e^{1} + N^{2n},

– Pour i ≥ 1, Δ_{i+1} = (e^{i} + N^{2n}) ∖ (Δ_{1} ∪ ⋯ ∪ Δ_{i}),

– Δ̄ = N^{2n} ∖ (∪_{i=1}^{q}Δ_{i}). On est maintenant en mesure d’énoncer le premier théorème de division.

THEOREME 1.2. Supposons que l’ordre < soit bon. Soient P_{1}, …, P_{q} des éléments non nuls dans A_{n}. Notons Δ_{1}, …, Δ_{q}, Δ̄ la partition de N^{2n} associée au q-uplet (exp_{<}(P_{1}), …, exp_{<}(P_{q})). Alors pour tout P ∈ A_{n}, il existe un unique (q+1)- uplet (Q_{1}, …, Q_{q}, R) dans A_{n}^{q+1} qui vérifie les propriétés suivantes :

(1) P = Q_{1}P_{1} + ⋯ + Q_{q}P_{q} + R.

(2) Pour i = 1, …, q, exp_{<}(P_{i}) + N (Q_{i}) ⊆ Δ_{i} si Q_{i} ≠ 0.

(3) N (R) ⊆ Δ̄ si R ≠ 0.

On appelle R le reste de la division de P par P_{1}, …, P_{q} par rapport à <.

REMARQUE 1.3. Dans les conditions du théorème, on a

exp_{<}(P) = max_{<}{exp_{<}(Q_{i}P_{i}), i = 1, …, q; exp_{<}(R)}.

Soit maintenant I un idéal de A_{n}, on définit son exposant (on dit aussi escalier) par rapport à < :

exp_{<}(I) = {exp_{<}(P)| P ∈ I ∖ {0}}.

Grâce aux propriétés de l’exposant on a

exp_{<}(I) + N^{2n} = exp_{<}(I).

Rappelons qu’un tel ensemble admet un système fini de générateurs ce qui est l’objet du

LEMME 1.4. (de Dickson) Soit E ⊆ N^{r} tel que E + N^{r} = E alors il existe un sous-ensemble fini F de E tel que

E = ⋃_{e∈F}(e + N^{r}).

Ce lemme assure l’existence d’une base standard (ou de Gröbner) d’un idéal I. En voici la définition.

DEFINITION 1.5. On dit qu’un système P_{1}, …, P_{q} d’éléments d’un idéal I est une base standard de I par rapport à l’ordre < (non nécessairement bon) si

exp_{<}(I) = ⋃_{i=1}^{q}(exp_{<}(P_{i}) + N^{n}).

Dans le cas où l’ordre < est bon, nous avons les deux conséquences suivantes.

COROLLAIRE 1.6. Soit P_{1}, …, P_{q} une famille d’éléments d’un idéal I alors les deux conditions suivantes sont équivalentes.

(1) P_{1}, …, P_{q} est une base standard de I par rapport à <.

(2) Pour tout P ∈ I, le reste de la division de P par (P_{1}, …, P_{q}) est nul.

COROLLAIRE 1.7. Soit P_{1}, …, P_{q} une base standard de I par rapport < (supposé bon). Alors pour tout P ∈ I, il existe Q_{1}, …, Q_{q} ∈ A_{n} tels que :

– P = Q_{1}P_{1} + ⋯ + Q_{q}P_{q},

– pour tout i tel que Q_{i} ≠ 0, exp_{<}(P) ≥ exp_{<}(Q_{i}P_{i}).

En particulier, les P_{i} engendrent l’idéal I.

DEFINITION 1.8. Soit < un ordre non nécessairement bon. Nous dirons qu’une famille P_{1}, …, P_{q} déléments d’un idéal I est une base standard génératrice de I par rapport à < si pour tout P ∈ I, il existe Q_{1}, …, Q_{q} qui satisfont aux deux points du corollaire précédent.

Une première remarque est que quelque soit la nature de l’ordre <, une base standard génératrice est une base standard. Nous venons de voir que la réciproque est vraie si l’ordre < est bon.

Comme premier bilan, nous pouvons dire que si l’ordre < est bon alors les notions de base standard et base standard génératrice coïncident.

Algorithmique Dans ce paragraphe, nous allons discuter de la possibilité d’obtenir en un nombre fini d’étapes une base standard d’un idéal I en partant d’un système (fini) de générateurs. Mais d’abord, donnons un critère pour qu’un système de générateurs soit une base standard.

DEFINITION 1.9. (Le S-opérateur)

– Soient γ_{1} et γ_{2} dans N^{r} (en ce qui concerne ce paragraphe r = 2n). On définit le p.p.c.m. de γ_{1} et γ_{2} comme l’élément μ = (μ_{1}, …, μ_{r}) ∈ N^{r} avec μ_{i} égal au maximum de γ_{1,i} et γ_{2,i}, on note μ = ppcm(γ_{1}, γ_{2}).

– Soient P_{1} et P_{2} dans A_{n}. On définit S(P_{1}, P_{2}) ∈ A_{n} de la façon suivante : – μ = ppcm(exp_{<}(P_{1}), exp_{<}(P_{2})),

– m_{1} = cp_{<}(P_{2})(x, ∂_{x})^{μ−exp_{<}(P_{1})},

– m_{2} = cp_{<}(P_{1})(x, ∂_{x})^{μ−exp_{<}(P_{2})},

– S(P_{1}, P_{2}) = m_{1}P_{1} − m_{2}P_{2}. En résumé les m_{i} sont les ”plus petits” monômes tels que dans S(P_{1}, P_{2}) les exposants des P_{i} aient été éliminés.

LEMME 1.10. Soit P_{1}, …, P_{q} une famille génératrice d’un idéal I de A_{n} et soit < un bon ordre sur N^{2n}. Supposons que pour tout i et j dans {1, …, q}, le reste de la division de S(P_{i}, P_{j}) par (P_{1}, …, P_{q}) par rapport à < soit nul alors la famille des P_{i} est une base standard de I pour <.

Grâce à ce critère nous pouvons donner un algorithme explicite de calcul d’une base standard à partir d’un sytème de générateurs donné. Il s’agit de l’algorithme de Buchberger.

ALGORITHME 1.11. Soit < un bon ordre sur N^{2n}. Soit F un famille génératrice d’un idéal I de A_{n}. Nous construisons une suite croissante F_{l} de familles génératrices de I :

– On pose F_{0} = F.

– Pour l ≥ 0, F_{l+1} est définie comme l’union de F_{l} et de l’ensemble des restes obtenus par division des S(P, P′), P et P′ étant dans F_{l}, par la famille F_{l} par rapport à l’ordre <.

Nous affirmons qu’il existe un rang l_{0} tel que F_{l_{0}} est une base standard de I pour <.

Démonstration. Pour chaque l, notons E_{l} = ⋃_{P ∈F_{l}}(exp_{<}(P) + N^{2n}). Pour

chaque l, E_{l} est un escalier, c’est-à-dire qu’il vérifie E_{l} + N^{2n} = E_{l}. Il en est de même de l’union E des E_{l}. Par conséquent il existe e_{1}, …, e_{r} ∈ E tels que :

E = ⋃_{i=1}^{r}(e_{i} + N^{2n}).

Pour chaque i ∈ {1, …, r} il existe l_{i} tel que e_{i} appartienne à E_{l_{i}}. Notons l_{0} le plus grand élément de {l_{1}, …, l_{r}}. Alors pour l ≥ l_{0}, E_{l+1} = E_{l}. Maintenant, en utilisant le critère précédent, il est facile de voir que F_{l_{0}} est une base standard de I. □

Et si l’ordre n’est pas bon... Dans ce cas, le théorème de division n’est plus valable, ce qui conduit au fait qu’une base standard d’un idéal n’est plus nécessairement génératrice comme le montre l’exemple suivant.

EXEMPLE 1.12. Considérons l’idéal I = A_{1} ⊂ A_{1} (on note x la variable). Soit P = 1 + x ∈ I. Soit < l’ordre sur N^{2} définit par :

(i, j) < (i′, j′) ⟺ \begin{cases}j − i < j′ − i′ \\ ou \\ j − i = j′ − i′ et (i, j) <_{0} (i′, j′) \end{cases}

où <_{0} est bon ordre compatible avec l’addition sur N^{2}. Alors < est un ordre compatible avec l’addition mais n’est pas bon (puisque (1, 0) < (0, 0)). On a exp_{<}(P) = (0, 0) ainsi {P } est une base standard de I mais P n’engendre pas I.

Cependant il est quand même possible de construire une base standard qui soit génératrice. La solution vient dans l’introduction de l’anneau A_{n}⟨z⟩. Il est définit comme la k-algèbre engendrée par x_{1}, …, x_{n}, ∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{n}}, z avec les relations suivantes :

∀i, j, [x_{i}, x_{j}] = [∂_{x_{i}}, ∂_{x_{j}}] = [x_{i}, z] = [∂_{x_{i}}, z] = 0,
∀i ≠ j, [∂_{x_{i}}, x_{j}] = 0 et ∀i, [∂_{x_{i}}, x_{i}] = z^{2}.

Si on note R^{T} (A_{n}) l’algèbre de Rees de A_{n} associée à la filtration par l’ordre total en x_{i} et ∂_{x_{i}}, on voit qu’elle est isomorphe à l’algèbre A_{n}⟨z⟩.

Parlons d’homogénéisation. En effet on dira que H ∈ A_{n}⟨z⟩ est homogène de degré (ou d’ordre) d si dans l’écriture

H = ∑_{α,β,k} h_{α,β,k}x^{α}∂_{x}^{β}z^{k},

les h_{α,β,k} sont non nuls seulement si |α|+|β|+k = d (signalons que α et β sont dans N^{n} et k dans N). Maintenant pour P ∈ A_{n}, on définit son homogénéisé h(P) dans A_{n}⟨z⟩ : écrivons P = ∑_{α,β} p_{α,β}x^{α}∂_{x}^{β} et notons d le degré total de P en x et ∂_{x}, c’est le maximum des |α| + |β| pour lesquels p_{α,β} est non nul, on pose alors :

h(P) = ∑_{α,β} p_{α,β}x^{α}∂_{x}^{β}z^{d−(|α|+|β|)}.

Par définition, h(P) est homogène d’ordre d. Réciproquement si H ∈ A_{n}⟨z⟩ s’écrit ∑_{α,β,k} h_{α,β,k}x^{α}∂_{x}^{β}z^{k}, on note H_{|z=1} ∈ A_{n} l’opérateur :

H_{|z=1} = ∑_{α,β,k} h_{α,β,k}x^{α}∂_{x}^{β}.

L’un des intérêts de l’anneau A_{n}⟨z⟩ et de la procédure d’homogénéisation réside dans le fait que l’homogénéité est préservée par le produit :

PROPRIETE 1.13. Si H_{1} et H_{2}, éléments de A_{n}⟨z⟩, sont homogènes d’ordre respectif d_{1} et d_{2} alors H_{1}H_{2} est homogène d’ordre d_{1} + d_{2}. De plus si P et Q sont A_{n} alors h(P Q) = h(P)h(Q).

L’ordre homogénéisé Maintenant donnons nous un ordre < sur N^{2n} qui n’est pas bon. On définit l’ordre <^{h} sur N^{2n+1} par :

(α, β, k) <^{h} (α′, β′, k′) ⟺ \begin{cases}|α| + |β| + k < |α′| + |β′| + k′ \\ ou \\ |α| + |β| + k = |α′| + |β′| + k′ et (α, β) < (α′, β′) \end{cases}

où α, α′, β, β′ sont dans N^{n}, k, k′ dans N, le premier signe < désigne l’ordre usuel sur R et le deuxième l’ordre de départ sur N^{2n}. Le point important est que ce nouvel ordre est bon et compatible avec l’addition (pour cela il suffit de remarquer que 0 est le plus petit élément de N^{2n+1}). Maintenant pour un élément de A_{n}⟨z⟩, nous avons les notions d’exposant privilégié, de monôme privilégié et de coefficient privilégié par rapport à <^{h} qui sont définies de la même manière. Nous avons aussi un analogue de la propriété 1.1 (sur l’exposant privilégié).

Nous allons, dans ce qui suit énoncer un théorème de division dans l’anneau A_{n}⟨z⟩. Comme précédement, à un q-uplet (e^{1}, …, e^{q}) d’éléments de N^{2n+1}, nous associons une partition Δ_{1}, …, Δ_{q}, Δ̄ de N^{2n+1} dont on ne détaille pas la construction.

THEOREME 1.14. Soient H_{1}, …, H_{q} des éléments non nuls dans A_{n}⟨z⟩. Notons Δ_{1}, …, Δ_{q}, Δ̄ la partition de N^{2n+1} associée au q-uplet (exp_{<^{h}}(P_{1}), …, exp_{<^{h}}(P_{q})). Alors pour tout H ∈ A_{n}⟨z⟩, il existe un unique (q + 1)- uplet (Q_{1}, …, Q_{q}, R) dans A_{n}⟨z⟩^{q+1} qui vérifie les propriétés suivantes :

(1) H = Q_{1}H_{1} + ⋯ + Q_{q}H_{q} + R.
(2) Pour i = 1, …, q, exp_{<^{h}}(H_{i}) + N (Q_{i}) ⊆ Δ_{i} si Q_{i} ≠ 0.
(3) Si R ≠ 0, N (R) ⊆ Δ̄.

De plus si H et les H_{i} sont homogènes d’ordres d et d_{i} respectivement alors Q_{i} est homogène d’ordre d − d_{i} et R homogène d’ordre d.

Retour sur A_{n} Nous avons vu qu’une base standard d’un idéal I par rapport à un ordre < qui n’est pas bon n’est pas nécessairement une base standard génératrice. Dans ce qui suit nous montrons l’existence d’une base standard génératrice et comment la construire explicitement si on part d’un système quelconque de générateurs.

Donnons nous S_{1}, …, S_{r} une famille génératrice d’un idéal I de A_{n}. Supposons que < n’est pas un bon ordre sur N^{2n}. Considérons l’idéal I^{h} de A_{n}⟨z⟩ engendré par les h(S_{i}). Il ne s’agit pas de h(I) l’homogénéisé usuel de I auquel nous aurons à faire par exemple dans la section suivante mais il est suffisant pour atteindre notre but. Soit alors H_{1}, …, H_{q} la base standard de I^{h} par rapport à l’ordre <^{h} construite à partir des h(Q_{i}) en suivant l’algorithme de Burchberger. Par construction on sait qu’elle est constituée d’éléments homogènes. Si nous notons P_{i} = H_{i}_{|z=1} alors nous affirmons que

PROPOSITION 1.15. L’ensemble des P_{i} est une base standard génératrice de I par rapport à <.

Avant de prouver ce résultat, énonçons un lemme élémentaire.

LEMME 1.16. Si P, P_{1}, …, P_{r} sont dans A_{n} et si P = P_{1} + ⋯ + P_{r} alors il existe des entiers positifs l, l_{1}, …, l_{r} tels que

z^{l}h(P) = z^{l_{1}}h(P_{1}) + ⋯ + z^{l_{r}}h(P_{r}).

Démonstration de la proposition. Tout d’abord, il est clair que pour tout i = 1, …, q, P_{i} = H_{i}_{|z=1} est dans I. Maintenant soit P ∈ I. Ecrivons P = ∑_{i} q_{i}S_{i}. Par suite, grâce au lemme précédent, il existe l tel que z^{l}h(P) soit combinaison des h(q_{i}S_{i}) et comme h(q_{i}S_{i}) = h(q_{i})h(S_{i}), z^{l}h(P) appartient à I^{h}. On peut donc le diviser par les H_{i} ce qui donne :

z^{l}h(P) = ∑_{i=1}^{q} G_{i}H_{i}

avec exp_{<^{h}}(z^{l}h(P)) ≥^{h} exp_{<^{h}}(G_{i}H_{i}). Notons que dans cette écriture, tout est homogène. Notons e = exp_{<}(P) et e′ = exp_{<}(G_{i}_{|z=1}H_{i}_{|z=1}) alors il n’est pas difficile de voir qu’en notant exp_{<^{h}}(z^{l}h(P)) = (e, k) et exp_{<^{h}}(G_{i}H_{i}) = (e′, k′), on a |e| + k = |e′| + k′. Par conséquent et par définition de l’ordre <^{h}, nous avons e ≥ e′. Conclusion, nous obtenons

P = ∑_{i=1}^{q} G_{i}_{|z=1}P_{i}

avec exp_{<}(P) ≥ exp_{<}(G_{i}_{|z=1}P_{i}). □

Ce que nous pouvons conclure de ce paragraphe, c’est que dans A_{n}, quelque soit l’ordre qu’on se donne, nous pouvons toujours calculer explicitement une base standard génératrice quitte à travailler dans A_{n}⟨z⟩. Avant de passer à l’étude des bases standard dans D_{n}, nous allons introduire un certain nombre de notions et de notations attachées à une forme linéaire L sur R^{2n}. Les notations introduites ici seront considérées comme canoniques dans les chapitres suivants et ne seront pas rappelées en détail à chaque fois.

Avec une forme linéaire L Donnons nous une forme linéaire L : R^{2n} → R compatible avec la structure d’anneau de A_{n}. C’est-à-dire qu’on suppose que L est de la forme suivante : L(α, β) = ∑ e_{i}α_{i}+ ∑ f_{i}β_{i} avec e_{i} + f_{i} ≥ 0 (cette condition fait que l’ordre <_{L} suivant est différentiel). A une telle forme, nous associons un ordre sur N^{2n} noté <_{L} défini par :

γ <_{L} γ′ ⟺ \begin{cases}L(γ) < L(γ′) \\ ou \\ L(γ) = L(γ′) et γ <_{0} γ′ \end{cases}

où <_{0} est bon ordre sur N^{2n} compatible avec l’addition fixé un fois pour toutes (par exemple l’ordre lexicographique).

DEFINITION 1.17. – A un élément P de A_{n} on associe son L-ordre défini par ord^{L}(P) = max L(N (P)) (ici c’est le maximum d’un sous-ensemble fini de R).

– Soit la filtration F_{k}^{L} = F_{k}^{L}(A_{n}) indexée par L(N^{2n}) donnée par :

F_{k}^{L} = {P ∈ A_{n}| ord^{L}(P) ≤ k}.

On note F_{<k}^{L} les éléments d’ordre strictement inférieur à k.

– On définit gr^{L}(A_{n}) = ⨁_{k∈L(N^{2n})} gr_{k}^{L}(A_{n}) où gr_{k}^{L}(A_{n}) = F_{k}^{L}(A_{n})/F_{<k}^{L}(A_{n})

comme étant le gradué associé à la filtration F^{L}.

– Pour P ∈ A_{n} et pour k ≥ ord^{L}(P) nous notons σ_{k}^{L}(P), que nous appelons symbole d’ordre k de P par rapport à L, la classe de P dans F_{k}^{L}/F_{<k}^{L} (qui est nulle si k > ord^{L}(P)) et nous notons σ^{L}(P) = σ_{ord^{L}(P)}^{L}(P) son symbole principal par rapport à L.

– Pour un idéal I de A_{n} nous avons la filtration induite F^{L}(I) = (F_{k}^{L}(I)) = (I ∩ F_{k}^{L}(A_{n})) ainsi que l’idéal gradué associé gr^{L}(I) = ⨁_{k∈L(N^{2n})} gr_{k}^{L}(I) avec

gr_{k}^{L}(I) = F_{k}^{L}(I)/F_{<k}^{L}(I). Cet idéal est engendré par les σ^{L}(P) avec P ∈ I.

– Si H ∈ A_{n}⟨z⟩ on définit ord^{L}(H) comme le maximum des L(α, β) pour lesquels (α, β, k) ∈ N (H). Ceci permet d’étendre la définition de F^{L}(A_{n}) en une filtration qu’on note F^{L}(A_{n}⟨z⟩) sur A_{n}⟨z⟩. Il en découle les mêmes notions, à savoir le gradué associé à A_{n}⟨z⟩ noté gr^{L}(A_{n}⟨z⟩), le symbole principal σ^{L}(H) ∈ gr^{L}(A_{n}⟨z⟩) de H dans A_{n}⟨z⟩. Et pout un idéal J de A_{n}⟨z⟩, on a aussi le gradué gr^{L}(J) qui est engendré par les symboles principaux des éléments de J.

Terminons ce paragraphe en signalant que l’ordre <_{L} est bon si et seulement si L est à coefficients positifs ou nuls.

Elimination Soit I un idéal de A_{n}. Soit u_{1}, …, u_{2n} une permutation des variables x_{1}, …, x_{n}, ∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{n}}. Etant donné un système fini de générateurs de I et k ∈ {1, …, 2n − 1}, il est possible à l’aide d’un calcul de base standard d’obtenir des générateurs de I ∩ k[u_{k+1}, …, u_{2n}]. C’est ce qu’on appelle l’élimination des variables u_{1}, …, u_{k}. Un ordre sur N^{2n} qui donne un tel système de générateurs, on dit de lui que c’est un ordre qui élimine les variables u_{1}, …, u_{k}. Comment fait-on ? Il suffit pour cela qu’il privilégie les variables t_{1}, …, t_{k}, c’est le cas par exemple de l’ordre lexicographique en t_{1}, …, t_{2n}. Nous n’entrons pas dans les détails qui nous sont inutiles. Il faut simplement savoir que c’est possible. Pour plus de détails, le lecteur peut consulter [C-G] ou encore [C-L-O].

Dans ce qui suit, nous rappelons ce qui nous est nécessaire de savoir concernant D_{n} et les éventuelles divisions par rapport à une forme L. Nous introduisons l’anneau D_{n}⟨z⟩ qui est l’analogue de A_{n}⟨z⟩.

1.2. Sur l’anneau D_{n}. Ici nous nous travaillerons sur le corps des complexes mais nous pourrions aussi bien travailler sur R ou sur tout autre corps valué complet. Nous noterons C{x} = C{x_{1}, …, x_{n}} l’anneau local des séries convergentes à l’origine et D_{n} l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients analytiques i.e. dans C{x}. Nous noterons U l’espace des formes linéaires L : R^{2n} → R, L(α, β) = ∑_{1}^{n} e_{i}α_{i} + ∑_{1}^{n} f_{i}β_{i} vérifiant e_{i} + f_{i} ≥ 0 et e_{i} ≤ 0 pour tout i = 1, …, n. Pour P ∈ D_{n} s’écrivant P = ∑_{α,β} x^{α}∂_{x}^{β}, nous noterons comme précédement N (P) son nuage i.e. l’ensemble des (α, β) ∈ N^{2n} pour lesquels p_{α,β} est non nul. Maintenant pour un tel P, nous noterons ord^{L}(P) son ordre par rapport à L (ou L-ordre) défini comme le maximum de L(N (P)). Remarquons à titre d’exemple que si la restriction de L à N^{n} × (0) envoie (α, 0) sur |α| alors pour tout f(x) ∈ C{x}, ord^{L}(f(x)) n’est rien d’autre que la valuation usuelle de f(x). Nous avons aussi la filtration F_{L} indexée par L(N^{2n}) définie par :

F_{k}^{L} = F_{k}^{L}(D_{n}) = {P ∈ D_{n}|ord^{L}(P) ≤ k}.

On note gr^{L}(D_{n}) l’anneau gradué ⊕_{k∈L(N^{2n})}F_{k}^{L}/F_{<k}^{L}. Nous verrons dans la section 2 qu’à isomorphisme près, l’ensemble des gr^{L}(D_{n}), L parcourant U, est fini.

Introduisons dès à présent l’anneau D_{n}⟨z⟩. Il s’agit de l’algèbre

C{x_{1}, …, x_{n}}[∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{n}}, z]

avec, pour a, b ∈ C{x} et i, j = 1, …, n, les relations suivantes :

[z, a] = [z, ∂_{x_{i}}] = [a, b] = [∂_{x_{i}}, ∂_{x_{j}}] = 0 et [∂_{x_{i}}, a] = \frac{∂a}{∂x_{i}} z.

L’anneau D_{n}⟨z⟩ est muni d’une graduation donnée par le degré total en ∂_{x} et z :

D_{n}⟨z⟩ = ⨁_{d≥0} D_{n}⟨z⟩_{d} où

D_{n}⟨z⟩_{d} = ⨁_{k+|β|=d} C{x}∂_{x}^{β}z^{k}.

Un élément H ∈ D_{n}⟨z⟩ est dit homogène d’ordre (ou de degré) d si H appartient à D_{n}⟨z⟩_{d}, on note deg(P) = d.

Pour P = ∑_{β} p_{β}(x)∂_{x}^{β} dans D_{n} (p_{β}(x) étant dans C{x}), on appelle degré le maximum des |β| pour les β tels que p_{β}(x) est non nul, on le note deg(P). Pour un tel P, on définit h(P) ∈ D_{n}⟨z⟩ par

h(P) = ∑_{β} p_{β}(x)∂_{x}^{β}z^{d−|β|}

où d désigne le degré de P. Ainsi h(P) est homogène et de même degré que P. On dira que c’est l’homogénéisé de P. Pour un idéal I, on appelle homogénéisé de I et on note h(I) l’idéal de D_{n}⟨z⟩ engendré par {h(P)| P ∈ I}. Il s’agit d’un idéal homogène de D_{n}⟨z⟩ au sens précisé ci-après. Pour H ∈ D_{n}⟨z⟩, il existe une écriture unique H = ∑_{k∈Z} H_{k} avec les H_{k} presque tous nuls et pour tout k, H_{k} ∈ D_{n}⟨z⟩_{k}. L’ensemble des H_{k} est appelé ensemble des composantes homogènes de H. Un idéal J de A_{n}⟨z⟩ est dit homogène s’il est engendré par des éléments homogènes ou de façon équivalente si pour tout H dans J, les composantes homogènes de H sont dans J.

Avant de passer à la suite, nous étendons la filtration F^{L} à D_{n}⟨z⟩ en considérant que L(α, β, k) = L(α, β). Ainsi nous avons les notions de gradué gr^{L}(D_{n}⟨z⟩) associé à D_{n}⟨z⟩ ainsi que gr^{L}(J) associé à un idéal J de D_{n}⟨z⟩, nous avons aussi la notion d’ordre par rapport L d’un élément H que nous notons ord^{L}(H), les notions de symboles d’ordre d et de symbole principal.

Des ordres... Fixons <_{0} un bon ordre sur N^{2n} compatible avec l’addition (par exemple l’ordre lexicographique). Maintenant pour une forme L de U, nous introduisons deux ordres <_{L} et <_{L}^{h}, le premier sur N^{2n} et le second sur N^{2n+1}.

(α, β) <_{L} (α′, β′) ⟺ \begin{cases}L(α, β) < L(α′, β′) \\ ou ( = et |β| < |β′|) \\ ou ( = et = et (α, β) >_{0} (α′, β′)) \end{cases}

(α, β, k) <_{L}^{h} (α′, β′, k′) ⟺ \begin{cases}|β| + k < |β′| + k′ \\ ou ( = et (α, β) <_{L} (α′, β′)) \end{cases}

Les ordres <_{L} et <_{L}^{h} sont des ordres compatibles avec l’addition, nous avons donc les notions d’exposant privilégié : Pour P ∈ D_{n}, on note exp_{<_{L}}(P) le maximum de N (P) par rapport à <_{L} et pour H ∈ D_{n}⟨z⟩, on note exp_{<_{L}^{h}}(H) le maximum de N (H) par rapport à <_{L}^{h}. Pour un idéal I de D_{n} (resp. J ⊂ D_{n}⟨z⟩) on note et on appelle exp_{<_{L}}(I) = {exp_{<_{L}}(P)| P ∈ I} l’exposant (ou escalier) de I (resp. exp_{<_{L}^{h}}(J) avec une définition similaire). L’escalier d’un idéal I ⊂ D_{n} (resp. J ⊂ D_{n}⟨z⟩) est stable par addition, on peut donc lui appliquer le lemme de Dickson ce qui nous donne la notion et l’existence de bases standards.

On dit qu’une famille P_{1}, …, P_{q} d’un idéal I de D_{n} est une base standard par rapport à <_{L} si

exp_{<_{L}}(I) = ⋃_{i=1}^{q} ( exp_{<_{L}}(P_{i}) + N^{2n}).

Il en est de même pour un idéal J de D_{n}⟨z⟩.

...aux divisions Etant donnée une forme linéaire L, nous avons vu que dans le cas de A_{n} nous avons besoin d’homogénéiser et de travailler (ie diviser) dans A_{n}⟨z⟩ avec l’ordre <_{L}^{h} dès que L n’est pas à coefficients positifs. Dans le cas présent (i.e. dans D_{n}), l’ordre <_{L} est un ordre qui permet de faire des divisions uniquement dans le cas où la restriction de L à R^{n} × {0}^{n} est nulle. En effet dans le cas contraire, on peut imaginer une ”division” dans laquelle les restes intermédiaires ont un exposant privilégié qui baisse alors que le degré en ∂_{x} augmente. Maintenant dans le cas où la restriction de L à R^{n} × {0}^{n} est nulle, une base standard G d’un idéal I ⊂ D_{n} est telle que pour tout P ∈ I, on a P = ∑_{P ∈G} Q_{P} · P avec ord^{L}(P) ≥ ord^{L}(Q_{P} P) (cela reste à préciser) ce qui revient à dire que le degré de P en ∂_{x} (par rapport à L) majore celui des Q_{P} P. Une telle base standard est intéressante par exemple si L(α, β) = |β| auquel cas le symbole principal (usuel) de P est combinaison linéaire des symboles principaux des éléments de G autrement dit ces derniers engendrent le gradué de I pour la filtration par l’ordre ce qui fournit des équations pour la variété caractéristique de D_{n}/I (ceci a été étudié dans par F. Castro dans [C], voir aussi [C-G]). Ceci étant dit, si on veut aller plus loin et obtenir une base standard (génératrice) de I pour n’importe quelle forme L dans U, on a besoin de travailler dans un autre anneau D_{n}⟨z⟩ et avec un autre ordre <_{L}^{h}.

Dans ce qui va suivre, nous allons donc rappeler le théorème de division dans D_{n}⟨z⟩ et ses conséquences. Nous rappellerons les définitions de base standard minimale et base standard réduite.

A une q-uplet (e^{1}, …, e^{q}) d’éléments de N^{2n+1} nous associons comme précédement une partition Δ_{1}, …, Δ_{q}, Δ̄ de N^{2n+1}.

THEOREME 1.18. ([A-C-G 2]) Soient H, H_{1}, …, H_{q} dans D_{n}⟨z⟩ et L dans U. Notons Δ_{1}, …, Δ_{q}, Δ̄ la partition de N^{2n+1} associée à (exp_{<_{L}^{h}}(H_{1}), …, exp_{<_{L}^{h}}(H_{q})). Il existe un unique (q + 1)-uplet (Q_{1}, …, Q_{q}, R) d’éléments de D_{n}⟨z⟩ vérifiant :

(1) H = Q_{1}H_{1} + ⋯, Q_{q}H_{q} + R,

(2) Pour tout i, si Q_{i} ≠ 0 alors N (Q_{i}) + exp_{<_{L}^{h}}(H_{i}) ⊂ Δ_{i},

(3) Si R ≠ 0 alors N (R) ⊂ Δ̄.

REMARQUE 1.19. Si H et les H_{i} sont homogènes de degrés respectifs d et d_{i} alors R est homogène de degré d et pour tout i, Q_{i} est homogène de degré d − d_{i}.

COROLLAIRE 1.20. Nous avons

exp_{<_{L}^{h}}(H) = max_{<_{L}^{h}}{exp_{<_{L}^{h}}(Q_{1}H_{1}), …, exp_{<_{L}^{h}}(Q_{q}H_{q}), exp_{<_{L}^{h}}(R)}.

COROLLAIRE 1.21. Pour tout i, ord^{L}(H) ≥ ord^{L}(Q_{i}H_{i}) et ord^{L}(H) ≥ ord^{L}(R).

COROLLAIRE 1.22. Soit J un idéal de D_{n}⟨z⟩ et H_{1}, …, H_{q} ∈ J. Alors les H_{i} forment une <_{L}^{h}-base standard de J si et seulement si pour tout H ∈ J, le reste de la division de H par les H_{i} est nul. Dans ce cas, pour tout i, on a (avec les notations du théorème) :

exp_{<_{L}^{h}}(H) ≥_{L}^{h} exp_{<_{L}^{h}}(Q_{i}H_{i}).

Soit I un idéal de D_{n}. Soit H_{1}, …, H_{q} une <_{L}^{h}-base standard de h(I). Quitte à garder pour chaque i la composante homogène qui a même exposant que H_{i}, on peut supposer que H_{i} est homogène. Maintenant prenons P dans I. En divisant h(P) par les H_{i}, puis en spécialisant z = 1, on peut montrer que pour i = 1, …, q, il existe q_{i} ∈ D_{n} tel que P = ∑_{i} q_{i}H_{i}_{|z=1} avec exp_{<_{L}}(P) ≥_{L} exp_{<_{L}}(q_{i}H_{i}_{|z=1}). Autrement dit :

COROLLAIRE 1.23. Si H_{1}, …, H_{q} est une <_{L}^{h}-base standard homogène de h(I) (il en existe toujours une) alors les H_{i}_{|z=1} forment une <_{L}-base standard génératrice de I.

Bases standards réduites et minimales Dans ce qui suit, nous rappelons les définitions de base standard réduite et base standard minimale. J’ai décidé d’adjoindre les démonstrations pour la commodité du lecteur et dans un souci dêtre complet.

D’abord précisons un peu le lemme de Dickson. Soit E un sous-ensemble de N^{r} stable par addition. Nous avons vu qu’il existe un sous-ensemble fini F de E tel que

E = ⋃_{e∈F}(e + N^{r}).

On dit que F engendre E. On dira que F est minimal si l’implication suivante est vraie pour tout F′ ⊂ E :

(F′ engendre E) ⇒ F ⊆ F′.

LEMME 1.24. Pour tout E ⊂ N^{r} stable par addition, il existe un unique sous-ensemble générateur minimal de E.

Démonstration. L’unicité vient de la définition même de la minimalité. Existence : Soit F_{0} un ensemble générateur de E. On pose F = {e ∈ F_{0}| ∀e′ ∈ F_{0}, si e ≠ e′ alors e ∉ e′ + N^{r}}. Montrons que F est générateur. Soit e ∈ E, il existe e_{0} ∈ F_{0} tel que e ∈ e_{0} + N^{r}. Si e_{0} ∉ F alors il existe e_{1} ∈ F_{0} tel que e_{0} ∈ e_{1} + (N^{r} ∖ 0). Si e_{1} ∉ F alors il existe e_{2} ∈ F_{0} tel que e_{1} ∈ e_{2} + (N^{r} ∖ 0), etc. On construit ainsi une suite e_{0}, e_{1}, e_{2}, … d’éléments distincts deux à deux dans F_{0}. Par finitude de F_{0}, ce processus s’arrête, c’est-à-dire qu’il existe j tel que e_{j} soit dans F et comme e ∈ e_{j} + N^{r}, on en conclut que F engendre E. Montrons que F est minimal. Soit donc F′ générateur de E. Soit e ∈ F, il existe e′ ∈ F′ tel que e ∈ e′ + N^{r} et il existe e_{1} ∈ F tel que e′ ∈ e_{1} + N^{r}. Ainsi e ∈ e_{1} + N^{r} et par définition de F on a nécessairement e = e_{1}. Par suite, e égale e′, c’est-à-dire que e appartient à F′. □

Soit J un idéal de D_{n}⟨z⟩ (la définition serait la même pour un idéal de D_{n} ou A_{n}). On dit que H_{1}, …, H_{q} est une <_{L}^{h}-base standard minimale si l’ensemble des exp_{<_{L}^{h}}(H_{i}) est générateur minimal de exp_{<_{L}^{h}}(J).

Soit H ∈ J (il en serait de même pour H ∈ J ⊂ A_{n}⟨z⟩ ou P ∈ I ⊂ A_{n} pourvu que l’ordre soit bon) on dit que H est réduit par rapport à <_{L}^{h} si

(N (H) ∖ exp_{<_{L}^{h}}(H)) ⊂ (N^{2n+1} ∖ exp_{<_{L}^{h}}(J)).

Nous avons le résultat d’unicité suivant dont la preuve triviale est omise :

LEMME 1.25. Si H_{1}, H_{2} ∈ J sont réduits et ont même exposant privilégié par rapport à <_{L}^{h} alors ils sont égaux (à un multiple scalaire près).

On dit qu’une base standard de J est réduite si elle est constituée d’éléments réduits.

LEMME 1.26. Pour tout idéal J de D_{n}⟨z⟩ et pour tout L ∈ U, il existe une unique <_{L}^{h}-base standard réduite minimale de J (à une multiplication par un scalaire près).

Démonstration. L’unicité est assurée par les deux lemmes précédents. Maintenant soit H_{1}, …, H_{q} une base standard minimale de J (dont le lemme 1.24 assure l’existence). Pour chaque i, on écrit H_{i} = tp_{<_{L}^{h}}(H_{i}) + H′_{i}. Soit alors R_{i} le reste de la division de H′_{i} par les H_{k}. En posant G_{i} = mp_{<_{L}^{h}}(H_{i}) + R_{i}, on obtient que G_{1}, …, G_{q} est une base standard réduite (et minimale) de J ce qui démontre l’existence. □

REMARQUE 1.27. Si l’idéal J ⊂ D_{n}⟨z⟩ est homogène alors la base standard réduite minimale de J est homogène.

Démonstration. En effet si on part d’un base standard G_{0} minimale de J, on a vu que pour chaque H ∈ G_{0}, si on prend la partie homogène de H qui contient le monôme privilégié et si on note G_{1} ce nouvel ensemble alors G_{1} est une base standard minimale homogène de J. Maintenant appliquons à cette nouvelle base le procédé de réduction du lemme précédent et appelons G l’ensemble obtenu. Alors G est la base standard réduite minimale de J et par construction elle est homogène (puisque les divisions conservent l’homogénéité). □

Pour finir, énonçons un résultat qui permet de voir l’utilité des bases standards réduites minimales. Nous l’utiliserons dans le prochain chapitre.

LEMME 1.28. Soient <_{1} et <_{2} deux ordres sur N^{2n+1} qui permettent de faire des divisions dans D_{n}⟨z⟩ (par exemple <_{i}=<_{L_{i}}^{h} avec L_{1} et L_{2} deux formes). Soit G la base standard réduite minimale d’un idéal J ⊂ D_{n}⟨z⟩ par rapport à l’ordre <_{1}. Supposons que pour tout Q ∈ G, exp_{<_{1}}(Q) et exp_{<_{2}}(Q) soient égaux. Alors G est aussi la base standard réduite minimale de J par rapport à <_{2}.

Démonstration. Notons E_{1} (resp. E_{2}) l’escalier de J par rapport à <_{1} (resp. <_{2}). Montrons d’abord que E_{1} = E_{2}. Pour cela, il suffit de montrer l’inclusion suivante :

E_{2} ⊆ ⋃_{Q∈G}(exp_{<_{2}}(Q) + N^{r}).

Soit P un élément de J. Effectuons la division de P par G par rapport à l’ordre <_{1}. Par hypothèse, cette division est aussi une division par rapport à l’ordre <_{2}. Par conséquent exp_{<_{2}}(P) appartient à exp_{<_{2}}(Q) + N^{r} pour un certain Q de G. On en tire donc l’égalité des escaliers E_{1} et E_{2}. On en déduit alors facilement que G est une base standard de J par rapport à <_{2}, qu’elle est minimale et réduite. □

2. Eventail de Gröbner

2.1. ...analytique. Suivant les notations de la section précédente, considérons l’ensemble U des formes linéaires qui permettent de diviser dans D_{n}⟨z⟩. Pour L parcourant U, on a dit qu’à isomorphisme près il existe un nombre fini de gradués gr^{L}(D_{n}) ce que nous rappelons un peu plus bas. Maintenant si on se donne un idéal I de D_{n}, on peut se demander comment se comporte l’ensemble des gr^{L}(I) quand L sillonne U. Comme nous le verrons, la réponse est qu’à isomorphisme près on a un nombre fini de gradués de I. On peut même répondre plus précisement à cette question en disant que l’espace U se partitionne en un nombre fini de σ pour lesquels gr^{L}(I) ≃ gr^{L′}(I) dès que L et L′ sont dans un même σ. On peut montrer en fait que de tels σ sont des unions finis de cônes rationnels convexes. En fait il faut donner un sens au signe ≃ qui sépare les deux gradués ce qui sera précisé plus bas.

Pour mener à bien cette étude, il est nécessaire de travailler dans D_{n}⟨z⟩ avec l’idéal h(I). On dit que L et L′ sont dans la même classe si gr^{L}(h(I)) ≃ gr^{L′}(h(I)). On peut alors montrer que l’ensemble des classes d’équivalences dans U est une partition formée de cônes rationnels convexes. L’ensemble de ces cônes est appelé éventail de Gröbner (analytique) de h(I) bien que ce ne soit pas au sens propre du terme un éventail. On parle aussi d’éventail de Gröbner étendu de D_{n}/I.

L’intérêt de considérer les classes associées à h(I) plutôt que celles associées à I vient du fait que ces dernières ne sont pas nécessairement convexes (voir par exemple [A-C-G 1]). De plus c’est dans D_{n}⟨z⟩ que l’on sait diviser en général.

Montrons que l’ensemble des gr^{L}(D_{n}) est fini (à isomorphisme près) quand L décrit U. Pour cela, écrivons L(α, β) = ∑_{i} e_{i}α_{i} + ∑_{i} f_{i}β_{i} et quitte à réordonner les variables, supposons que :

– pour i = 1, …, p_{1}, e_{i} < 0 et e_{i} + f_{i} = 0,

– pour i = p_{1} + 1, …, p_{2}, e_{i} < 0 et e_{i} + f_{i} > 0,
– pour i = p_{2} + 1, …, p_{3}, e_{i} = 0 et f_{i} > 0,
– pour i = p_{3} + 1, …, n, e_{i} = f_{i} = 0.

Dans ce cas gr^{L}(D_{n}) est isomorphe à

C{x_{p_{2}+1}, …, x_{n}}[x_{1}, …, x_{p_{2}}, ∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{p_{1}}} , ξ_{p_{1}+1}, …, ξ_{p_{3}}, ∂_{x_{p_{3}+1}}, …, ∂_{x_{n}}].

On voit donc qu’à isomorphisme près, le nombre de gradués gr^{L}(D_{n}) est majoré par le nombre de partitions de {1, …, n} en quatre ensembles.

Soient maintenant L et L′ dans U. On dira qu’elles sont équivalentes si

(∼) gr^{L}(D_{n}⟨z⟩) ≃ gr^{L′}(D_{n}⟨z⟩) et gr^{L}(h(I)) ≃ gr^{L′}(h(I)).

En effet pour pouvoir comparer les gradués de h(I), il faut que les gradués de D_{n}⟨z⟩ soient isomorphes. La relation que l’on vient de définir est une relation d’équivalence.

Maintenant nous sommes en mesure d’énoncer le théorème principal dû à A. Assi, F. Castro et M. Granger :

THEOREME 1.29. [A-C-G 2] La partition sur U donnée par la relation d’équivalence précédente est constituée de cônes polyhèdraux rationnels convexes. Cette partition qu’on note E(h(I)) est appelée éventail de Gröbner (analytique) de h(I). De plus pour chaque cône σ ∈ E(h(I)), il existe Q_{1}, …, Q_{r} ∈ h(I) homogènes tels que :

– pour toute L, L′ ∈ σ, σ^{L}(Q_{j}) = σ^{L′}(Q_{j}) et exp_{<_{L}^{h}}(Q_{j}) = exp_{<_{L′}^{h}} (Q_{j}) pour tout j.

– pour tout L ∈ σ, l’ensemble {Q_{1}, …, Q_{r}} est la base standard réduite minimale de h(I) par rapport à <_{L}^{h}.

Remarquons que la deuxième condition nous montre que sur un cône σ, l’escalier de h(I) par rapport à <_{L}^{h} est constant lorsque L parcourt σ.

Une conséquence de ce résultat est qu’en effectuant la spécialisation z = 1, on obtient un résultat similaire pour I ⊂ D_{n} sauf que les classes d’équivalence ne sont pas nécessairement convexes (un exemple est donné dans [A-C-G 1]) mais sont des unions de cônes polyhèdraux rationnels.

2.2. ...algébrique. Ici on se place sur A_{n}(k) dans lequel on se donne un idéal I. A la différence du cas analytique, on peut prendre dans U n’importe quelle forme linéaire sur R^{2n} à condition qu’elle respecte la structure de d’anneau de A_{n}(k). Ainsi U est constitué des formes linéaires L : R^{2n} → R, L(α, β) = ∑_{1}^{n} e_{i}α_{i}+∑_{1}^{n} f_{i}β_{i}

3. V -MULTIFILTRATION ET ÉVENTAIL DE GRÖBNER 23

vérifiant e_{i} + f_{i} ≥ 0 pour tout i = 1, …, n (mais la condition e_{i} ≤ 0 est inutile ici). En effet, quelque soit une telle forme, l’ordre <_{L}^{h} permet de diviser dans A_{n}(k)⟨z⟩. Mis à part cette modification pour U, le théorème est le même.

3. V -multifiltration et éventail de Gröbner

Les filtrations V_{j}

Dans les chapitres suivant nous aurons affaire à un idéal I de D_{n+p} (dans le cas analytique) ou de A_{n+p} (dans le cas algébrique). D’abord, fixons les notations. Notons x = (x_{1}, …, x_{n}) et t = (t_{1}, …, t_{p}) deux sytèmes de variables alors D_{n+p} est l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans C{x, t} = C{x_{1}, …, x_{n}, t_{1}, …, t_{p}} et A_{n+p} = A_{n+p}(k) désigne l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans k[x, t] = k[x_{1}, …, x_{n}, t_{1}, …, t_{p}].

Pour tout j = 1, …, p, notons V_{j} la forme linéaire sur R^{2n+2p} = R^{n} × R^{n} × R^{p} × R^{p} définie par V_{j}(α, β, μ, ν) = ν_{j} − μ_{j}. On obtient ainsi p filtrations (indexées par Z) que l’on note aussi V_{1}, …, V_{p} sur A_{n+p} et D_{n+p}. Par exemple un élément de {V_{j}}_{k}(D_{n}) sera de la forme

∑_{α,β,μ,ν} c_{α,β,μ,ν}x^{α}∂_{x}^{β}t^{μ}∂_{t}^{ν}

avec ν_{j} − μ_{j} ≤ k si c_{α,β,μ,ν} est non nul dans C. Nous noterons U_{V} ⊂ U le sous-ensemble des formes linéaires de la forme

L = ∑_{j=1}^{p} w_{1}V_{1} + ⋯ + w_{p}V_{p}

avec w = (w_{1}, …, w_{p}) ∈ (R_{≥0})^{p}. Ainsi nous prendrons l’habitude lorsque les notations ne prêteront pas à confusion d’identifier U_{V} et (R_{≥0})^{p}. Notons que quelque soit L dans U_{V}, le gradué gr^{L}(D_{n+p}) est isomorphe à D_{n}[t, ∂_{t}] ainsi pour un idéal I, tous les gradués gr^{L}(I) vivront dans le même espace (à isomorphisme près). Dans le cas de A_{n}, on a gr^{L}(A_{n+p}) isomorphe à A_{n+p}. Pour finir, nous noterons, suivant [S1], V^{L} au lieu de F^{L} la filtration (indexé par L(N^{2n+2p})) sur D_{n+p} et A_{n+p} (pour bien signifier que L ∈ U_{V}).

La multifiltration V

Il s’agit de la filtration V = (V_{1}, …, V_{p}) indexée par Z^{p} sur D_{n+p} et A_{n+p} définie pour tout τ ∈ Z^{p} par

V_{τ} (D_{n+p}) = ⋂_{j=1}^{p} {V_{j}}_{τ_{j}}(D_{n+p}),

la définition étant identique sur A_{n+p}. Etant donné P ∈ D_{n+p} ou P ∈ A_{n+p}, nous définissons :

– Le V -ordre de P noté ord^{V} (P) ∈ Z^{p}, il s’agit du p-uplet dont la j-ième composante est ord^{V_{j}}(P).

– Le symbole principal de P noté σ^{V} (P) ∈ D_{n+p} (resp. A_{n+p}) définit comme suit :

On écrit P = ∑_{μ,ν} p_{μν}(x, ∂_{x})t^{μ}∂_{t}^{ν}, on pose

σ^{V} (P) = ∑_{μ−ν=ord^{V} (P)} p_{μν}(x, ∂_{x})t^{μ}∂_{t}^{ν}.

Remarquons qu’il est possible que σ^{V} (P) soit nul sans que P le soit, par exemple pour P = t_{1} + t_{2}. Nous reviendrons sur ce genre de choses dans le dernier chapitre.

Nous nous servirons de cette filtration essentiellement dans les deux prochains chapitres ainsi que dans le chapitre 7.

Eventail de Gröbner

Dans presque tout ce qui va suivre, nous nous intéresserons aux formes linéaires qui sont dans U_{V}, ainsi pour un idéal I de D_{n+p} ou de A_{n+p}, nous considérerons la restriction de l’eventail E(h(I)) à l’espace U_{V}, nous la noterons E_{V} (h(I)). Bien entendu, le théorème 1.29 reste valable si on remplace U par U_{V} et E par E_{V} :

THEOREME 1.30. La partition sur U_{V} donnée par la relation d’équivalence précédente (∼) est constituée de cônes polyhèdraux rationnels convexes. Cette partition qu’on note E_{V} (h(I)) est appelée éventail de Gröbner (analytique) de h(I) associé à (la filtration) V (D_{n+p}). De plus pour chaque cône σ ∈ E(h(I)), il existe Q_{1}, …, Q_{r} ∈ h(I) homogènes tels que :

– pour toute L, L′ ∈ σ, σ^{L}(Q_{j}) = σ^{L′}(Q_{j}) et exp_{<_{L}^{h}}(Q_{j}) = exp_{<_{L′}^{h}} (Q_{j}) pour tout j.

– pour tout L ∈ σ, l’ensemble {Q_{1}, …, Q_{r}} est la base standard réduite minimale de h(I) par rapport à <_{L}^{h}.

On voit que pour chaque cône σ, il existe des Q_{j} qui, pour tout L de σ, forment la base standard réduite minimale de h(I) par rapport à <_{L}^{h}. S’il n’y pas de confusion possible, on l’appelle la base standard de h(I) associée à σ.

Pour finir, nous allons définir le 1-squelette de E_{V} (h(I)) et ses éléments primitifs L(E_{V} (h(I))). Etant donnée une forme linéaire L ∈ U_{V} rationnelle. On appelle élément primitif de L la forme (entière) proportionnelle à L dont les coordonnées sont des entiers premiers entre eux. Si Σ est un éventail (au sens propre du terme), son 1-squelette est simplement l’ensemble de ses faces de dimension 1. En ce qui concerne E_{V} (h(I)), son 1-squelette est l’union, sur chaque cône σ, des sommets de l’adhérence de σ. On note alors L(E_{V} (h(I))) l’ensembles de éléments primitifs du 1-squelette de E_{V} (h(I)).

Donnons un avant-goût de ce qui nous attend dans le chapitre suivant : si L est dans le 1-squelette d’un cône σ de E_{V} (h(I)), on peut avoir σ^{L}(Q_{j}) ≠ σ^{L′}(Q_{j}) pour L′ dans σ et pour un Q_{j} dans la base standard de h(I) associé à σ (c’est le cas justement quand L n’appartient pas à σ). Par contre, nous verrons qu’il est possible de construire un ordre ◁_{L}^{σ} sur N^{2n+2p+1} (qui privilégie le L-ordre) tel que pour tout j :

exp_{<_{L′}^{h}} (Q_{j}) = exp_{◁_{L}^{σ}}(Q_{j}),

ce qui nous dira que les Q_{j} forment quand même une L-base standard de h(I) en un sens que l’on précisera.

Première partie

Etude des polynômes de Bernstein-Sato

CHAPITRE 2 Preuve constructive de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato pour plusieurs fonctions analytiques

Dans ce chapitre, nous nous consacrons à l’étude des idéaux de Bernstein-Sato. Dans un premier temps (sections 1 et 2), nous nous intéressons au cas analytique. Nous savons depuis un travail (non publié) de J.E. Björk et depuis l’article [K] de M. Kashiwara que dans le cas d’une fonction analytique, l’idéal de Bernstein-Sato est non nul. Dans le cas de plusieurs fonctions, c’est C. Sabbah dans [S1] et [S2] qui démontra la non nullité de l’idéal de Bernstein-Sato. La preuve se déroule essentiellement en deux étapes : la première consite à montrer qu’un certain module est holonome et la seconde à montrer deux assertions concernant la filtration \overline{V} (M), la premiere assertion est une condition de finitude préalable à la deuxième qui a pour objet le caractère bon de cette filtration.

Dans la section 1 nous donnons une description de la preuve de C. Sabbah (reprise par A. Gyoja), description dans laquelle nous dégageons les points cruciaux de la preuve et où nous isolons sous forme du théorème 2.9 la seconde étape de la preuve. Ce résultat est le point de départ de ce chapitre car nous en donnons un énoncé différent que l’on peut qualifier d’élémentaire et constructif, il s’agit du théorème 2.10 qui est le résultat principal du présent chapitre. Dans ce théorème et en n’utilisant que la théorie des bases de Gröbner et des éventails de Gröbner, on montre que la filtration \overline{V} (M) est décrite par un nombre fini de formes linéaires et on montre qu’elle est bonne dans le cas où p = 2. Néanmoins, grâce à la proposition 2.14 (appelée proposition clé), il est possible (en reprenant la preuve de la proposition 2.2.3 de [S1] en y remplaçant l’éventail adapté par l’éventail E_{V} (h(I))) de montrer que la filtration \overline{V} (M) est bonne pour tout p, ce qui permet d’éviter la notion délicate d’éventail de platitude.

Dans la section 3, nous donnons une preuve de la non nullité de l’idéal de Bernstein-Sato dans le cas algébrique (où les fonctions de départ sont polynomiales). Cette preuve est une généralisation facile de celle d’une fonction donnée par I.N. Bernstein [Be] (reprise par J.E. Björk dans [Bj]). Nous l’avons incluse dans cette thèse car il semble qu’elle ne soit écrite nulle part.

1. Un rappel de la preuve

Fixons deux entiers p ≥ 1 et n ≥ 1. On se donne f_{1}, …, f_{p} des éléments de C{x} = C{x_{1}, …, x_{n}} autrement dit des germes de fonctions analytiques sur C^{n} en 0 tels que f_{j}(0) = 0 pour tout j. Soient s_{1}, …, s_{p} des indeterminées. On se donne un symbole qu’on note f^{s} = f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}. On considère le module libre engendré par f^{s} :

L = C\{x\}[\frac{1}{f_{1} ⋯ f_{p}} , s_{1}, …, s_{p}] · f^{s}.

En notant D_{n}[s] l’anneau D_{n} ⊗_{C} C[s_{1}, …, s_{p}], on peut voir que L a une structure naturelle de D_{n}[s]-module. En effet, les éléments de C{x}[s] agissent par multiplication alors que ∂_{x_{i}} agit naturellement en dérivant formellement. Nous avons donc les inclusions naturelles :

C[s]f^{s} ⊂ D_{n}[s]f^{s} ⊂ L.

Etant donné v = (v_{1}, …, v_{p}) dans N^{p}, on considère la relation suivante :

(1)  b(s_{1}, …, s_{p})f^{s} = P f^{s+v}.

Lorsque les f_{j} sont des polynômes (ne s’annulant pas nécessairement en 0), on note B^{v}(f) l’idéal des b(s) ∈ C[s] qui vérifient (1) avec P ∈ A_{n}[s]. Et si les f_{j} sont analytiques, B^{v}(f) désigne l’idéal des b(s) ∈ C[s] tels qu’une égalité du type (1) ait lieu avec P dans D_{n}[s]. L’idéal B^{v}(f) est appelé idéal de Bernstein-Sato. Lorsque p = 1, l’idéal B^{v}(f) est principal et on appelle polynôme de Bernstein son générateur unitaire. Historiquement, c’est I.N. Bernstein qui a montré dans [Be] que dans le cas polynomial et pour p = 1 (et pour v = 1) l’idéal B^{v}(f) n’est pas nul. J. E. Björk donna une preuve dans le cas analytique toujours pour p = 1 dans un preprint non publié. M. Kashiwara publia la preuve (voir [K]) dans le cas analytique à une fonction en montrant en plus que le polynôme de Bernstein est à racines rationnelles. En ce qui concerne le cas de plusieurs fonctions analytiques, c’est C. Sabbah qui a montré dans [S1] et [S2] que l’idéal de Bernstein-Sato est non nul. Dans [G], A. Gyoja reprend la preuve de C. Sabbah en montrant un résultat supplémentaire de rationalité. Signalons que C. Sabbah avait démontré mais pas publié ce dernier résultat.

1.1. Les annulateurs de f^{s}. D’abord clarifions un peu les termes utilisés. Les fonctions f_{1}, …, f_{p} étant données. Nous dirons qu’on est dans le cas

– algébrique ou polynomial ou global si les f_{j} sont des polynômes de C[x]. Nous verrons dans le chapitre suivant que nous travaillerons avec un corps quelconque qui n’est pas forcément C.

– analytique ou local (sous-entendu en 0) si les f_{j} sont dans C{x}. Il n’est pas indispensable a priori d’imposer que tous les f_{j} s’annulent en 0 mais pour les besoins de la preuve, c’est ce que nous ferons (voir la remarque suivante) donc à partir de maintenant et sauf mention contraire, lorsque nous nous placerons dans le cas analytique, nous supposerons que les f_{j} ne sont pas des unités.

REMARQUE 2.1. Etant donnés f_{1}, …, f_{p} dans C{x}, supposons que f_{1}, …, f_{q} soient inversibles dans C{x} et pas les p − q suivants. Soit v = (v^{1}, v^{2}) dans N^{q} × N^{p−q}, alors l’idéal de Bernstein-Sato B^{v}(f) est égal à l’idéal engendré par B^{v^{2}}(f_{q+1}, …, f_{p}).

Démonstration. Nous démontrons le résultat seulement pour q = 1, en effet par une induction facile sur q on peut prouver le résultat pour q quelconque. Soit b(s_{1}, …, s_{p}) dans B^{v}(f). Alors il existe P (s_{1}, …, s_{p}) ∈ D_{n}[s_{1}, …, s_{p}] tel que b(s)f^{s} = P (s)f^{s+v}. Maintenant pour tout s_{1} = λ fixé dans C, on a

b(λ, s_{2}, …, s_{p})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} = (f_{1}^{−λ}P (λ, s_{2}, …, s_{p})f_{1}^{λ+v_{1}}) · f_{2}^{s_{2}+v_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}+v_{p}}.

Or l’opérateur du membre de droite entre parenthèses est dans D_{n}[s_{2}, …, s_{p}]. Ainsi, pour tout λ ∈ C, b(λ, s_{2}, …, s_{p}) appartient à B^{v^{2}}(f_{2}, …, f_{p}). Il n’est alors pas difficile de voir que b(s_{1}, …, s_{p}) est un polynôme de la variable s_{1} dont les coefficents sont dans B^{v^{2}}(f_{2}, …, f_{p}), autrement dit, il est dans l’idéal engendré par B^{v^{2}}(f_{2}, …, f_{p}). Réciproquement, soit b(s_{2}, …, s_{p}) dans B^{v^{2}}(f_{2}, …, b_{p}). Il existe donc P (s_{2}, …, s_{p}) ∈ D_{n}[s_{2}, …, s_{p}] tel que b(s_{2}, …, s_{p})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} = P (s_{2}, …, s_{p})f_{2}^{s_{2}+v_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}+v_{p}}. En remarquant que f_{1}^{s_{1}}P (s_{2}, …, s_{p})f_{1}^{−s_{1}−v_{1}} est dans D_{n}[s_{1}, …, s_{p}] et en l’appliquant à f^{s+v}, on obtient b(s_{2}, …, s_{p})f^{s}, ce qui montre la relation : b(s_{2}, …, s_{p}) ∈ B^{v}(f). □

Nous avons vu que D_{n}[s] agit naturellement sur L, nous définissons une action de D_{n+p} (anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans C{x, t} = C{x_{1}, …, x_{n}, t_{1}, …, t_{p}}) sur L. Il s’agit d’une généralisation à plusieurs fonctions de celle définie par B. Malgrange dans [Mal]. Pour g(s) ∈ C{x}[s, 1/f_{1} ⋯ f_{p}] et pour j = 1, …, p, on pose :

t_{j} · (g(s)f^{s}) = g(s_{1}, …, s_{j} + 1, …, s_{p})f_{j}f^{s},
∂_{t_{j}} · (g(s)f^{s}) = −s_{j}g(s_{1}, …, s_{j} − 1, …, s_{p})f_{j}^{−1}f^{s}.

On voit que si on fait agir un élément de C{t} alors on obtient une série en f_{1}, …, f_{p} qui converge puisque les f_{j} sont supposés s’annuler en 0. Cette action fait de L un D_{n+p}-module. Il est facile de voir que les relations suivantes sont satisfaites :

(1) −∂_{t_{j}}t_{j} · (g(s)f^{s}) = s_{j}g(s)f^{s} pour tout j.

(2) (t_{j} − f_{j}) · f^{s} = 0 pour tout j.

(3) (∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}) · f^{s} = 0 pour tout i.

Grâce à la première relation, on peut écrire :

D_{n}[s]f^{s} ⊂ D_{n+p}f^{s} ⊂ L.

LEMME 2.2. Soit I l’idéal de D_{n+p} engendré par les t_{j} − f_{j} avec j = 1, …, p et les ∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}} avec i = 1, …, n. Alors I est maximal.

Démonstration. Par le changement de coordonnés suivant

(x_{1}, …, x_{n}, t_{1}, …, t_{p}) ↦ (x_{1}, …, x_{n}, t_{1} − f_{1}(x), …, t_{p} − f_{p}(x)),

on est ramené à étudier la maximalité de l’idéal I_{0} engendré par les t_{j} et les ∂_{x_{i}}. Soit P ∈ D_{n+p} ∖ I_{0}, nous allons montrer que I′ = I_{0} + D_{n+p}P est égal à D_{n+p}. D’abord, on voit qu’on peut supposer que P appartient à C{x}[∂_{t}]. Pour un j tel que le degré de P en ∂_{t_{j}} est non nul, on considère le commutateur [∂_{t_{j}}, P] qui d’une part est dans I′ et d’autre part a un degré en ∂_{t_{j}} strictement inférieur à celui de P, on voit donc qu’en un nombre fini de telles opérations on construit un élément a(x) qui est dans I′ ∩ C{x}. Maintenant prenons (s’il existe) un i pour lequel la valuation de a(x) en x_{i} est non nulle, alors le commutateur [∂_{x_{i}}, a] est dans I′ et de valuation en x_{i} strictement inférieure. Ainsi, en un nombre fini d’opérations de ce type, on obtient dans I′ une unité de C{x} et par suite 1 appartient à I′. □

COROLLAIRE 2.3. L’idéal I est l’annulateur de f^{s} dans D_{n+p}.

En effet par les relations 2 et 3 décrites plus haut, on voit que I est inclus dans l’annulateur de f^{s} (qui n’est pas D_{n+p} tout entier) et par maximalité de I, nous avons l’égalité.

COROLLAIRE 2.4. Soit P (s) ∈ D_{n}[s]. Alors :

P (s) · f^{s} = 0 ⟺ P (−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}) ∈ I.

On prendra l’habitude d’écrire P (−∂_{t}t) au lieu de P (−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}). La preuve de ce corollaire est triviale. Elle utilise directement la relation 1 et le corollaire précédent.

De ce qui précède on peut remarquer qu’on connait explicitement l’annulateur de f^{s} dans D_{n+p}. Par contre l’annulateur de f^{s} dans D_{n}[s] (et finalement c’est celui qui nous intéresse le plus) est beaucoup plus difficile à attraper et on n’en connait pas de générateurs explicites bien qu’on puisse décrire un processus qui permette de le calculer (du moins dans le cas algébrique) : nous verrons comment par exemple dans les chapitres 5 et 7.

1.2. Description de la preuve. Comme nous l’avons dit, c’est C. Sabbah ([S1] et [S2]) qui a donné une preuve de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato dans le cas analytique après quoi A. Gyoja ([G]) a repris la preuve donnée par C. Sabbah en démontrant un résultat supplémentaire de rationalité. Dans ce paragraphe, nous donnons les grandes lignes de la preuve décrite par A. Gyoja.

Dans cette preuve, nous adopterons des notations particulières. Soit X le germe en 0 de la variété analytique C^{n}. Nous noterons donc D_{X} au lieu de D_{n}. Soit E = C^{p}, nous noterons D_{E} = A_{p}(C) l’algèbre de Weyl en les variables t_{1}, …, t_{p}. Nous noterons donc D_{X×E} = D_{X} ⊗_{C} D_{E} les opérateurs différentiels analytiques en x_{1}, …, x_{n} et polynomiaux en t_{1}, …, t_{p}.

En contemplant la définition de l’idéal I donnée dans le lemme 2.2, on constate que I est en fait définit dans D_{X×E}.

Reprenons les notations introduites dans la dernière section du chapitre précédent, nous y avons définit U_{V} ≃ (R_{≥0})^{p} les formes linéaires obtenues comme combinaisons linéaires de V_{1}, …, V_{p} à coefficient dans R_{≥0}. Fixons donc une forme linéaire non nulle L dans U_{V} entière, c’est-à-dire dans N_{≥0}^{p} (nous verrons pourquoi seules les formes entières sont intéressantes).

Puisque les filtrations V_{j} ne concernent que les variables t_{j} et ∂_{t_{j}}, on peut considèrer l’algèbre de Rees de D_{E} qu’on note R^{L}(D_{E}) (au lieu de R^{V^{L}}(D_{E})) et qui est définie par :

R^{L}(D_{E}) = ⨁_{k∈Z} V_{k}^{L}(D_{E}) · u^{k}.

Remarquons que puisque L est entière, la somme directe précédente est indexée par Z ce qui simplifie les notations. D’autre part il est clair que R^{L}(D_{X×E}) = D_{X} ⊗_{C} R^{L}(D_{E}). Soit α ∈ N^{p} tel que L(μ, ν) = (α|(ν − μ)). Soit E′ × C une copie de C^{p} × C où les variables sont (t′_{1}, …, t′_{p}, v). Considérons le changement de coordonnées suivant :

\begin{aligned}ϕ : & E × C & ⟶ & E′ × C \\ & (t_{1}, …, t_{p}, u) & ⟼ & (t′_{1} = t_{1}u^{−α_{1}}, …, t′_{p} = t_{p}u^{−α_{p}}, v = u). \end{aligned}

Il induit un isomorphime ϕ^{∗} entre R^{L}(D_{E}) et D_{E′}[v] = D_{E′} ⊗_{C} C[v] donné par :

\begin{matrix}R^{L}(D_{E}) & ⟶ & D_{E′}[v] \\ V_{k}^{L}(D_{E}) ∋ t^{μ}∂_{t}^{ν}u^{k} & ⟼ & t′^{μ}∂_{t′}^{ν}v^{k−L(ν−μ)} \end{matrix}

où rappelons que, par définition de V_{k}^{L}(D_{E}), on a L(ν − μ) ≤ k. Maintenant, notons M = D_{X×E}/I (nous avons vu que I est bien dans D_{X×E}). En notant R^{L}(I) = ⊕_{k}(V_{k}^{L}(D_{X×E}) ∩ I)u^{k} l’algèbre de Rees induite sur I et R^{L}(M) = ⊕_{k}V_{k}^{L}(M)u^{k} celle induite sur M, on constate que R^{L}(M) ≃ R^{L}(D_{X×E})/R^{L}(I). Par l’isomorphisme ϕ^{∗}, on voit que R^{L}(M) est un module sur D_{X×E′} ⊗ C[v]. Soit u′ une nouvelle variable et soit N donné par :

N = R^{L}(M) ⨂_{C[u]}(C[u′, ∂_{u′}][u]/C[u′, ∂_{u′}][u] · (u − u′)).

L’isomorphisme ϕ^{∗} confère à N une structure de D_{X×E′×C}[v]-module où ici le C qui est en indice fait référence à la variable u′. Cette structure donne en particulier à N une structure de D_{X×E′×C}-module.

LEMME 2.5 ([S1] 3.1 et [G] Lemme 2.2).

– N est un D_{X×E′×C}-module sous-holonome (c’est-à-dire dont la variété caractéristique a pour dimension (n + p + 1) + 1).

– N/uN est un D_{X×E′×C}-module holonome (c’est-à-dire que sa variété caractéristique variété a pour dimension (n + p + 1)).

Maintenant considérons le D_{X}-endomorphisme C de R^{L}(M) donné par :

V_{k}^{L}(M)u^{k} ∋ mu^{k} ⟼ (L(−∂_{t}t) − k)mu^{k}.

On peut alors montrer que C est D_{X×E′} linéaire sur R^{L}(M). Notons P = C[u, ∂_{u′}] (les deux variables commutent entre elles) alors on peut identifier P avec C[u′, ∂_{u′}][u]/C[u′, ∂_{u′}][u](u−u′). On définit alors C_{P}(u^{j}∂_{u′}^{l}) = −ju^{j}∂_{u′}^{l} qu’on étend à P par linéarité. On pose alors C_{N} = C⊗1+1⊗C_{P}. On peut alors montrer que C_{N} est un endomorphisme D_{X×E′×C}-linéaire de N et induit sur N/Nu un endomorphisme D_{X×E′×C}-linéaire.

THEOREME 2.6 ([K] 4.5). Les endomorphismes D-linéaires d’un D-module holonome forment un espace vectoriel de dimension finie.

M. Kashiwara énonce ce résultat dans le cas où D est “complètement” analytique, ici D_{X×E×C} est analytique en x_{1}, …, x_{n}, u′ et polynomial en t′_{1}, …, t′_{p} mais le résultat est encore vrai. Comme conséquence, l’endomorphisme C_{N} de N/Nu admet un polynôme annulateur minimal. On note b_{L} ce polynôme (ici L fait référence à la forme linéaire fixée au départ).

PROPOSITION 2.7 ([G] section 3). Le polynôme b_{L} est à racines dans Q_{<0}.

Pour la preuve, nous renvoyons le lecteur à l’article de A. Gyoja en question. Disons simplement que l’argument consiste comme dans le cas d’une fonction traité par M. Kashiwara, à désingulariser pour se ramener au cas monomial que l’on traite à part.

Notons δ la classe de 1 dans M = D_{X×E}/I.

LEMME 2.8 ([G] Lemme 2.10 pour les trois premières équivalences). Soit b(λ) ∈ C[λ] un polynôme d’une variable. Alors les conditions suivantes sont

équivalentes.

(1) b(C_{N}) = 0 en tant qu’endomorphisme de N/Nu.

(2) b(C) = 0 en tant qu’endomorphisme de R^{L}(M)/R^{L}(M)u.

(3) Pour tout k ∈ Z, b(L(−∂_{t}t) − k)V_{k}^{L}(M) ⊂ V_{k−1}^{L}(M).

(4) b(L(−∂_{t}t))δ ∈ V_{−1}^{L}(D_{X×E})δ (⊂ V_{−1}^{L}(D_{n+p})δ).

(5) b(L(s))f^{s} ∈ V_{−1}^{L}(D_{n+p})f^{s}.

Démonstration.

– (1) ⇒ (2). Soit m ∈ R^{L}(M). Considérons m⊗1 dans N. Il est facile de voir que b(C) · (m ⊗ 1) = (b(C)m) ⊗ 1 qui par hypothèse est dans Nu. Par conséquent b(C)m est dans Mu.

– (2) ⇒ (1). Soit n ∈ N. On peut l’écrire comme somme finie d’éléments de la forme m ⊗ ∂_{u′}^{r}. Pour montrer b(C)n ∈ Nu, il suffit de le montrer pour n = m ⊗ ∂_{u′}^{r}. Or l’action de C est telle que b(C)n égale (b(C)m) ⊗ ∂_{u′}^{r}. La conclusion est alors immédiate.

– (2) ⇒ (3). Soit m ∈ V_{k}^{L}(M). Alors (b(L(−∂_{t}t) − k)m)u^{k} = b(C)(mu^{k}) et ceci est dans R^{L}(M)u donc s’écrit comme (∑ m_{l}u^{l})u avec m_{l} ∈ V_{l}^{L}(M) et par identification, seul m_{k−1} est non nul et égale m qui est donc dans V_{k−1}^{L}(M).

– (3) ⇒ (2). Soit m ∈ R^{L}(M) que l’on écrit m = ∑_{k} m_{k}u^{k} avec m_{k} ∈ V_{k}^{L}(M). Alors b(C)m = ∑_{k}(b(C)m_{k})u^{k}, or pour tout k, b(C)m_{k} est dans V_{k−1}^{L}(M) donc on peut écrire b(C)m = (∑_{k}(b(C)m_{k})u^{k−1})u. L’assertion est démontrée.

– Les implications (3) ⇒ (4) ⇒ (5) sont triviales. Montrons (4) ⇒ (3). Soit P ∈ V_{k}^{L}(D_{X×E}), on doit montrer que b(L(−∂_{t}t)−k)P δ appartient à V_{k−1}^{L}(D_{X×E})δ. Un calcul élémentaire montre qu’il existe Q ∈ V_{k}^{L}(D_{X×E}) et Q′ ∈ V_{k−1}^{L}(D_{X×E}) tel que b(L(−∂_{t}t) − k)P = Qb(L(−∂_{t}t)) + Q′. On en tire immédiatement le résultat voulu.

– Pour finir, l’implication (5) ⇒ (4) est une conséquence directe du lemme 3.5

(que nous démontrons indépendamment au chapitre suivant).

□

A partir de maintenant et sauf mention contraire, nous noterons M = D_{n+p}/I au lieu de D_{X×E}/I. Le symbole δ représente la classe de 1 dans M.

Maintenant pout w ∈ N^{p}, considérons le polynôme de C[s_{1}, …, s_{p}] (en fait de Q[s] puisque L est entière) :

c_{L,w}(s) = ∏_{−L(w)<k≤0} b_{L}(L(s) − k).

On constate pour tout L ∈ U_{V} que c_{L,w}(−∂_{t}t)δ appartient à V_{L(−w)}^{L}(M) en appliquant le lemme précédent, et pour un sous-ensemble fini F de U_{V} :

( ∏_{L∈F} c_{L,w})δ ∈ ⋂_{L∈F} V_{L(−w)}^{L}(M).

Introduisons la (multi)filtration (\overline{V}_{w}(M)) indexée par Z^{p} :

\overline{V}_{w}(M) = ⋂_{L∈U_{V}} V_{L(w)}^{L}(M).

Remarquons que si I = (0) i.e. si M = D_{n+p} alors \overline{V}_{•}(M) = V_{•}(M).

Dans [S1], C. Sabbah démontre le résultat suivant (formulé d’une autre manière) :

THEOREME 2.9.

(1) Il existe un sous-ensemble fini F de U_{V} ∩ N^{p} tel que pour tout w ∈ Z^{p},

\overline{V}_{w}(M) = ⋂_{L∈F} V_{L(w)}^{L}(M).

(2) Il existe κ ∈ N^{p} tel que pour tout w ∈ Z^{p},

V_{w}(M) ⊂ \overline{V}_{w}(M) ⊂ V_{w+κ}(M).

Ce résultat est le point de départ du présent chapitre, j’en ferai donc quelques commentaires. D’abord, donnons quelques précisions au sujet de l’énoncé et de sa preuve donnés dans [S1]. Soit Σ un éventail subdivisant le premier quadrant de (Q^{p})^{∗}. Pour tout cône σ de dimension maximale, soit^{σ}V (M) la filtration sur M indexée par Z^{p} définie par :

m ∈ ^{σ}V_{w}(M) ⟺ ∃P ∈ ^{σ}V_{w}(D_{n+p}) = ⋂_{L∈σ} V_{L(w)}^{L}(D_{n+p}) m = [P],

où [·] désigne la classe dans M = D_{n+p}/I. Notons L(σ) les éléments primitifs du 1-squelette de σ. C. Sabbah démontre en appendice et en collaboration avec F.J. Castro-Jiménez l’existence d’un éventail dit adapté à la filtration à V (M). Dans la proposition 2.2.1, il montre que si Σ est un éventail adapté à V (M) alors pour tout cône σ ∈ Σ de dimension maximale, on a :

(†) ^{σ}V_{w}(M) = ⋂_{L∈L(σ)} V_{L(w)}^{L}(M).

En prenant pour F le 1-squelette de Σ, on obtient trivialement l’assertion 1 du théorème 2.9. En ce qui concerne l’assertion 2, C. Sabbah montre que la filtration \overline{V} (M) est bonne ce qui par un lemme usuel de comparaison entre bonnes filtrations fournit l’assertion 2. Pour montrer que la filtration \overline{V} (M) est bonne, il utilise des arguments du type modification torique associée à un éventail (adapté) Σ ou bien conservation de la cohérence d’un module par image directe mais le fait remarquable c’est qu’en observant la démonstration en question, on s’aperçoit qu’on peut utiliser n’importe quel éventail pourvu que tout cône σ vérifie la condition (†), nous y reviendrons.

Ce que je propose est une formulation constructive et (plus) élémentaire du théorème précédent : constructive en ce sens que l’on connait explicitement l’ensemble F de l’assertion 1 et le κ de l’assertion 2 (pour p = 2 uniquement), élémentaire car repose sur la théorie des éventails de Gröbner analytiques.

THEOREME 2.10.

(1) Notons E_{V} (h(I)) l’éventail de Gröbner de h(I) ⊂ D_{n+p}⟨z⟩ associé à la filtration V (D_{n+p}). Si on note L(E_{V} (h(I))) les éléments primitifs de son 1-squelette alors pour tout w de Z^{p},

\overline{V}_{w}(M) = ⋂_{L∈L(E_{V} (h(I)))} V_{L(w)}^{L}(M).

(2) Pour p = 2, il existe κ ∈ N^{p} qui dépend de E_{V} (h(I)) (nous serons plus précis dans la section suivante) tel que pour tout w ∈ Z^{p},

V_{w}(M) ⊂ \overline{V}_{w}(M) ⊂ V_{w+κ}(M).

Nous verrons dans le chapitre suivant que dans le cas algébrique (où nous avons un résultat similaire) et dans le cas de deux fonctions, on est en mesure de ”tout” calculer : c’est-à-dire l’éventail de Gröbner E_{V} (h(I)), le vecteur κ, mais aussi les polynômes b_{L} pour L ∈ E_{V} et finalement le polynôme de Bernstein-Sato que l’on va construire à partir de tous ces objets. Disons encore un mot au sujet de l’assertion 2. Nous avons dit plus haut que la preuve donnée par C. Sabbah reste valable pourvu que l’éventail qu’on utilise ou plûtot ses cônes vérifient la condition (†). En fait les cônes de E_{V} (h(I)), éventail de Gröbner associé à la filtration V, vérifient (†), c’est ce que nous verrons dans la section suivante dans ce qu’on appelle la ”proposition clé”.

Revenons maintenant à la preuve de l’existence de polynôme de Bernstein-Sato. Considérons le polynôme suivant :

b(s_{1}, …, s_{p}) = ∏_{L∈F} c_{L,v+κ}(s),

où F est l’ensemble des éléments primitifs du 1-squelette de l’éventail de Gröbner de h(I) associé à la filtration V (D_{n+p}) et κ est celui du théorème de C. Sabbah. Alors par définition, on a F ⊂ N^{p} ⊂ R_{≥0}^{p} ≃ U_{V} i.e. les formes L de F sont à coefficients entiers positifs. Alors en utilisant le point (2) du théorème 2.9 on a les inclusions :

b(−∂_{t}t)δ ∈ \overline{V}_{−v−κ}(M) ⊂ V_{−v}(M).

Autrement dit, il existe P ∈ V_{−v}(D_{n+p}) tel que b(−∂_{t}t) − P soit dans I. En utilisant le fait que t_{j} − f_{j} soit dans I, on peut dire que modulo I, P égale Q(−∂_{t}t)f^{v} où Q(s) ∈ D_{n}[s]. Par conséquent b(s)f^{s} = Q(s)f^{s+v}. Comme conclusion, on peut dire qu’il existe dans B^{v}(f) un élément non nul de Q[s_{1}, …, s_{p}].

2. Preuve du théorème 2.10

Dans cette section, nous donnerons une première preuve de l’assertion 1 du théorème 2.10. Comme nous le verrons il s’agit d’une preuve essentiellement bidimensionnelle i.e. on se ramènera par projection au cas p = 2 ce qui est pratique pour faire des dessins et comprendre ce qui se passe.

Dans un deuxième temps, nous énoncerons et démontrerons une proposition clé. Elle est importante pour deux raisons. D’une part elle permet de donner une deuxième preuve de l’assertion 1 du théorème 2.10 et d’autre part elle permet une démonstration de l’assertion 2 du théorème 2.9 en utilisant l’éventail E_{V} (h(I)) à la place d’un éventail adapté à V (M).

Dans un dernier temps, nous démontrerons l’assertion 2 du théorème 2.10.

Dans cette section, nous noterons E_{V} au lieu de E_{V} (h(I)).

2.1. L’assertion 1. Pour m dans M, L dans U_{V} et w ∈ Z^{p}, on dit que L vérifie la condition (m, w) si m ∈ V_{L(w)}^{L}(M). En d’autres termes, L vérifie (m, w) s’il existe P ∈ D_{n+p} tel que m = P δ et ord^{L}(P) ≤ L(w). Pour un sous ensemble F de U_{V}, F vérifie (m, w) si tout L de F vérifie (m, w).

On peut reformuler l’assertion 1 de la façon suivante : Pour tout w ∈ Z^{p} et pour tout m ∈ M, si L(E_{V}) vérifie (m, w) alors U_{V} vérifie (m, w).

Pour L_{1}, …, L_{q} ∈ U_{V}, on notera ⟩L_{1}, …, L_{q}⟨ le cône ouvert engendré par les L_{i} :

⟩L_{1}, …, L_{q}⟨= {r_{1}L_{1} + ⋯ + r_{q}L_{q}; r_{i} > 0}.

Rappelons que pour tout L ∈ U_{V}, le gradué gr^{L}(D_{n+p}) est isomorphe à un sousanneau de D_{n+p}. En effet soit L = r_{1}V_{1} + … + r_{p}V_{p} avec les r_{i} ≥ 0 non tous nuls. Quitte à réordonner les indices, on peut supposer que L = a_{1}V_{1} + … + a_{q}V_{q} avec q ≤ p et a_{i} > 0. Alors

gr^{L}(D_{n+p}) = D_{n} ⊗_{C} C[t_{1}, …, t_{q}]⟨∂_{t_{1}}, …, ∂_{t_{q}}⟩ ⊗_{C} C{t_{q+1}, …, t_{q}}⟨∂_{t_{q+1}}, …, ∂_{t_{p}}⟩.

Ainsi dans la suite nous considérerons que tous nos calculs se font dans D_{n+p}.

Pour P ∈ D_{n+p} et L_{1}, L_{2} ∈ U_{V}, on dit que P est L_{1}-homogène (resp. (L_{1}, L_{2})- homogène) si P = σ^{L_{1}}(P) (resp. P = σ^{L_{1}}(σ^{L_{2}}(P))). Ces définitions s’appliquent à un élément de D_{n+p}⟨z⟩.

LEMME 2.11. Soit H ∈ h(I). Soit L ∈⟩L_{1}, L_{2}⟨ avec ⟩L_{1}, L_{2}⟨ inclus dans un cône de E_{V}. Alors les composantes (L_{1}, L_{2})-homogènes de σ^{L}(H) (notons les U_{k}) sont en nombre fini et s’écrivent U_{k} = σ^{L}(V_{k}) avec V_{k} ∈ h(I).

Démonstration. La finitude des composantes (L_{1}, L_{2})-homogènes de σ^{L}(H) découle immédiatement du fait que σ^{L}(H) appartient à D_{X×E}. Maintenant, considérons L′ ∈⟩L_{1}, L_{2}⟨ différente de L. Soit Q_{1}, …, Q_{r} la base standard de h(I) associée au cône de E_{V} qui contient le cône ouvert engendré par L_{1} et L_{2}. Les Q_{j} forment une <_{L}^{h}-base standard de h(I), on peut diviser H par les Q_{j} par rapport à l’ordre <_{L}^{h} ce qui donne :

H = ∑_{j=1}^{r} u_{j}Q_{j} avec ord^{L}(H) ≥ ord^{L}(u_{j}Q_{j}) si u_{j} ≠ 0.

Si on note J ⊆ {1, …, r} les j pour lesquels l’inégalité précédente est une égalité, on obtient :

σ^{L}(H) = ∑_{j∈J} σ^{L}(u_{j})σ^{L}(Q_{j}).

Considérons, pour chaque j ∈ J, la décomposition de σ^{L}(u_{j}) en composantes L′- homogènes (qui sont en nombre fini) : σ^{L}(u_{j}) = ∑_{k∈K_{j}} u_{j,k} et notons K = ⋃_{j∈J} K_{j}.

Maintenant si on note J_{k} = {j ∈ J / u_{j,k} ≠ 0}, on obtient :

σ^{L}(H) = ∑_{k∈K} ( ∑_{j∈J_{k}} u_{j,k}σ^{L}(Q_{j})).

Par 1.30, on a : σ^{L′}(σ^{L}(Q_{j})) = σ^{L}(Q_{j}), ainsi pour k ∈ K fixé, les termes de la somme ∑_{j∈J_{k}} u_{j,k}σ^{L}(Q_{j}) sont (L_{1}, L_{2})-homogènes d’ordre constant par rapport à L_{1} et L_{2}, ces sommes sont donc les composantes (L_{1}, L_{2})-homogènes de σ^{L}(H). On note U_{k} = ∑_{j∈J_{k}} u_{j,k}σ^{L}(Q_{j}). On constate alors que :

U_{k} = σ^{L}( ∑_{j∈J_{k}} u_{j,k}Q_{j})

ce qui achève la preuve du lemme. □

Le lemme suivant est trivial et ne sera pas démontré.

LEMME 2.12. Soit L_{1} ≠ L_{2} deux formes dans U_{V} et L appartenant au cône ouvert ⟩L_{1}, L_{2}⟨. Soit w ∈ Z^{p}.

Alors, il n’existe pas R dans D_{n+p} tel que : \begin{cases}ord^{L_{i}}(R) ≤ L_{i}(w) i = 1, 2 \\ ord^{L}(R) > L(w) \end{cases}

Le lemme suivant est un cas particulier de notre assertion 1 dans le cas de la dimension p = 2 :

LEMME 2.13. Soit σ un cône de E_{V}. Soient L_{1}, L_{2} ∈ U_{V} tels que le cône ouvert ⟩L_{1}, L_{2}⟨ soit inclus dans σ. Supposons que L_{1} et L_{2} vérifient (m, w) alors tout L de ⟩L_{1}, L_{2}⟨ vérifie (m, w).

Démonstration. Pour i = 1, 2, soit P_{i} ∈ D_{n+p} tel que ord^{L_{i}}(P_{i}) ≤ L_{i}(v) et P_{i}δ = m et ord^{L}(P_{i}) > L(v) (sinon le lemme est trivialement vrai). Il est facile de voir qu’il existe k, l_{1}, l_{2} ∈ N tels que z^{k}h(P_{1} − P_{2}) = z^{l_{1}}h(P_{1}) − z^{l_{2}}h(P_{2}), notons alors H_{i} = z^{l_{i}}h(P_{i}) et H = H_{1} − H_{2}. Puisque P_{1} − P_{2} ∈ I, H ∈ h(I). Considérons σ^{L}(H) = ∑_{k∈K} U_{k}, les U_{k} étant les composantes (L_{1}, L_{2})-homogènes de σ^{L}(H). D’après 2.11, les U_{k} sont en nombre fini et chaque U_{k} = σ^{L}(V_{k}) avec V_{k} ∈ h(I). Soient Q_{1}, …, Q_{r} ∈ h(I) la base standard de h(I) correspondant au cône de E_{V} contenant ⟩L_{1}, L_{2}⟨. Divisons chaque V_{k} par les Q_{j} relativement à <_{L}^{h}, on obtient :

V_{k} = ∑_{j=1,...,r} v_{k,j}Q_{j} avec ord^{L}(V_{k}) ≥ ord^{L}(v_{k,j}Q_{j}) si v_{k,j} ≠ 0.

Notons J_{k} ⊆ {1, …, r} les j pour lesquels l’inégalité précédente est une égalité, alors :

σ^{L}(V_{k}) = ∑_{j∈J_{k}} σ^{L}(v_{k,j})σ^{L}(Q_{j}).

Pour k ∈ K, notons W_{k} = ∑_{j∈J_{k}} σ^{L}(v_{k,j})Q_{j}, W_{k} ∈ h(I). D’après 2.12, on peut écrire K en une union disjointe K = K_{1} ∪ K_{2} telle que pour i = 1, 2 :

σ^{L}(H_{i}) = ∑_{k∈K_{i}}(−1)^{i+1}U_{k}.

Considérons, pour i = 1, 2, H′_{i} = H_{i} − ∑_{k∈K_{i}} W_{k} élément de h(I).

On constate que ord^{L}(H′_{i}) < ord^{L}(H_{i}). De plus, par construction, les σ^{L}(v_{k,j}) sont (L_{1}, L_{2})-homogènes et par 1.30, ord^{L_{i}}(Q_{j}) = ord^{L_{i}}(σ^{L}(Q_{j})) donc pour k ∈ K_{i}, ord^{L_{i}}(σ^{L}(v_{k,j})Q_{j}) = ord^{L_{i}}(U_{k}) ≤ ord^{L_{i}}(H_{i}), par conséquent, ord^{L_{i}}(H′_{i}) ≤ ord^{L_{i}}(H_{i}). Enfin, notons P′_{i} = H′_{i}_{|z=1}, on a P_{i} − P′_{i} ∈ I (c’est-à-dire P′_{i}δ = m), ord^{L}(P′_{i}) < ord^{L}(P_{i}) et ord^{L_{i}}(P′_{i}) ≤ L_{i}(v). Maintenant, on recommence ce processus avec P′_{i} à la place de P_{i}, et en un nombre fini d’étapes, on démontre le lemme. □

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le résultat annoncé.

Demonstration de l’assertion 1. Soit m ∈ M et w ∈ Z^{p}.

Nous allons montrer par récurrence sur q que pour tout q de {1, …, p}, on a : Pour tout L ∈ U_{V}, s’il existe L′_{1}, …, L′_{q} ∈ U_{V} vérifiant (m, w) tels que L appartienne au cône ouvert ⟩L′_{1}, …, L′_{q}⟨ et que ce cône soit inclus dans un élément de E_{V} alors L vérifie (m, w). Il est clair que la propriété au rang 1 est vraie. Supposons acquise la propriété au rang q − 1 et montrons la au rang q. Considérons le cône ouvert ⟩L_{q−1}, L_{q}⟨. Il se peut qu’il ne soit inclus dans aucun cône de E_{V}. C’est pour cela qu’on considère la trace E_{V} (L_{q−1}, L_{q}) de E_{V} sur le cône ouvert engendré par L_{q−1} et L_{q}. Cette trace est un éventail dont le 1-squelette est contenu dans celui de E_{V}. Si on note L′ le projeté de L sur ⟩L_{q−1}, L_{q}⟨ alors L′ appartient à un cône de E_{V} (L_{q−1}, L_{q}) dont on note L′_{q−1} et L′_{q} le 1-squelette. Ce qu’on a obtenu, c’est la situation suivante : L = r_{1}L_{1} + ⋯ + r_{q−2}L_{q−2} + r_{q−1}L′_{q−1} + r_{q}L′_{q} et les deux cônes ouverts l’un engendré par L_{1}, …, L_{q−2}, L′_{q−1}, L′_{q} et l’autre par L′_{q−1}, L′_{q} sont inclus chacun dans un cône de E_{V}. On peut alors appliquer le lemme 2.13 à L′ ∈⟩L′_{q−1}, L′_{q}⟨ et dire que L′ vérifie (m, w). Ensuite, puisque L = r_{1}L_{1} +⋯+r_{q−2}L_{q−2} +(r_{q−1} +r_{q})L′, on peut appliquer l’hypothèse de récurrence et dire que L vérifie (m, w). La propriété au rang q est donc démontrée. Une fois acquise cette propriété, le résultat devient trivial. En effet, soit L ∈ U_{V} alors il existe L_{1}, …, L_{q} dans L(E_{V}) avec 1 ≤ q ≤ p tels que le cône ouvert engendré par les L_{i} contienne L et soit inclus dans un cône de E_{V}. On applique alors la propriété précédente et on obtient que L vérifie (m, w). □

2.2. Une proposition clé. Pour un cône quelconque de U_{V}, on note L(σ) les éléments primitifs du 1-squelette de σ. C’est l’ensemble minimal des L ∈ U_{V} qui engendrent σ et tels que L soit à coefficients entiers sans facteurs communs. A priori nous ne savons pas si L(σ) est contenu dans σ. On appelle (de manière naturelle) adhérence (resp. intérieur) de σ les combinaisons linéaires des éléments de L(σ) à coefficients dans R_{≥0} (resp. dans R_{>0}).

Soit σ un cône de U_{V}. Définissons une nouvelle filtration sur M = D_{n+p}/I indexée par Z^{p} :

σV_{w}(M) = ∑_{{w′∈Z^{p};L(w′)≤L(w) ∀L∈σ}} V_{w′}(M).

Par définition, m appartient à ^{σ}V_{w}(M) si et seulement il existe P dans

σV_{w}(D_{n+p}) = ∑_{{w′∈Z^{p};L(w′)≤L(w) ∀L∈σ}} V_{w′}(D_{n+p})

tel que m = P δ. Pour voir à quoi ressemble un tel P, le lecteur est prié de se référer à la figure 1 (page suivante) où p = 2 et σ = ⟨L_{1}, L_{2}⟩.

Pour tout cône σ ⊂ U_{V} et w ∈ Z^{p}, nous avons des inclusions évidentes :

σV_{w}(M) ⊆ ⋂_{L∈σ} V_{L(w)}^{L}(M) ⊆ ⋂_{L∈L(σ)} V_{L(w)}^{L}(M).

Fig. 1. ^{σ}V_{w}(M)

Il est clair que si M = D_{n+p} (i.e. si I était nul) alors pour tout cône σ ⊂ U_{V}, les inclusions précédentes seraient des égalités. On se propose ici de montrer :

PROPOSITION 2.14 (Proposition clé). Soit σ ∈ E_{V} alors pour tout w ∈ Z^{p},

σV_{w}(M) = ⋂_{L∈L(σ)} V_{L(w)}^{L}(M).

Avant de prouver cette proposition, nous en tirons une

Deuxième démonstration de l’assertion 1. D’abord remarquons que L(E_{V}) = ⋃_{σ∈E_{V}} L(σ). Soit m ∈ M et w ∈ Z^{p}. Alors, avec les notations du paragraphe

précédent, nous devons montrer que si L(E_{V}) vérifie (m, w) alors il en est de même de U_{V}. Soit donc L ∈ U_{V} et soit σ ∈ E_{V} contenant L. Alors par la proposition clé, il existe P ∈ ^{σ}V_{w}(D_{n+p}) tel que m = P δ. Pour un tel P, on a clairement ord^{L}(P) ≤ L(w). Par conséquent L vérifie (m, w). □

Pour démontrer la proposition clé, nous avons besoin de revenir un peu sur l’éventail E_{V} (h(I)). Soit σ un cône de E_{V}. Nous avons vu dans le théorème 1.30 qu’il existe une famille Q_{1}, …, Q_{r} de h(I) qui est la base standard réduite minimale de h(I) par rapport à <_{L}^{h} et ce pour tout L dans σ. Maintenant que se passe-t-il pour une forme linéaire L appartenant à l’adhérence de σ si, par exemple, on suppose σ ouvert (ce qui peut arriver pour un élément de L(σ)) ? Bien entendu les Q_{j} ne forment pas une base standard de h(I) pour l’ordre <_{L}^{h} (car sinon le gradué de h(I) par rapport à L serait égal à celui de h(I) pour n’importe quelle forme de σ, autrement dit L appartiendrait à σ). Par contre il est possible, et c’est le but du résultat suivant, de construire un ordre que nous noterons ◁_{L}^{σ} (car il dépend de L et de σ) pour lequel les Q_{j} forment une base standard de h(I). L’ordre en question, voici comment on le définit : D’abord on fixe une forme linéaire L_{σ} dans l’intérieur de σ et pour (a, μ, b, ν, k) et (a′, μ′, b′, ν′, k′) dans N^{n+p+n+p+1} on pose :

(a, μ, b, ν, k) ◁_{L}^{σ} (a′, μ′, b′, ν′, k) ⟺
k + |b + ν| < k′ + |b′ + ν′|
ou ( = et L(a, μ, b, ν) < L(a′, μ′, b′, ν′))
ou ( = et = et (a, μ, b, ν) <_{L_{σ}} (a′, μ′, b′, ν′)).

Rappelons pour mémoire que l’identification R_{≥0}^{p} ≃ U_{V} ⊂ U nous fait parfois noter L(a, μ, b, ν) = L(ν − μ).

PROPOSITION 2.15. Soit L ∈ U_{V} appartenant à l’adhérence de σ ∈ E_{V} et soit Q_{1}, …, Q_{r} la base standard de h(I) associé au cône σ. Alors pour tout j = 1, …, r et pour tout L′ dans ⟩L, L_{σ}⟩ :

exp_{<_{L′}^{h}} (Q_{j}) = exp_{◁_{L}^{σ}}(Q_{j}).

Comme conséquence de cette proposition, nous obtenons que les Q_{j} forment la base standard réduite minimale de h(I) pour l’ordre ◁_{L}^{σ}. En effet il suffit pour cela d’appliquer le lemme 1.28.

Démonstration. Par le théorème 1.30,

exp_{◁_{L}^{σ}}(Q_{j}) = exp_{◁_{L}^{σ}}(σ^{L}(Q_{j}))
= exp_{<_{Lσ}^{h}} (σ^{L}(Q_{j})) par définition de ◁_{L}^{σ}
= exp_{<_{Lσ}^{h}} (σ^{L_{σ}}(σ^{L}(Q_{j})))
= exp_{<_{Lσ}^{h}} (σ^{L′}(Q_{j})) car Q_{j} n’a pas de ”pentes” entre L_{σ} et L :

Voir figure 2 page suivante.

= exp_{<_{Lσ}^{h}} (σ^{L_{σ}}(Q_{j}))
= exp_{<_{Lσ}^{h}} (Q_{j})
= exp_{<_{L′}^{h}} (Q_{j}).
□
Soit σ un cône de E_{V}. Notons L_{1}, …, L_{q} les éléments de L(σ).

LEMME 2.16. Soit i_{0} ∈ {1, …, q}, m ∈ V_{λ_{i_{0}}}^{L_{i_{0}}} (M) avec λ_{i_{0}} ∈ Q et P ∈ D_{n+p}

tel que P δ = m et ord^{L_{i_{0}}} (P) > λ_{i_{0}} alors il existe P′ ∈ D_{n+p} tel que :

– P − P′ ∈ I c’est-à-dire P′δ = m

– ord^{L_{i_{0}}} (P′) < ord^{L_{i_{0}}} (P)

– ord^{L_{i}}(P′) ≤ ord^{L_{i}}(P) pour i ∈ {1, …, q} ∖ {i_{0}}.

En d’autres termes, il est possible de faire baisser l’ordre par rapport à l’un des L_{i} sans augmenter l’ordre par rapport aux autres L_{i}. Avec ce lemme, nous sommes en mesure de donner une

Fig. 2. Diagramme de Newton d’un Q_{j} associé à σ =⟩L_{2}, L_{1}⟩

demonstration de la proposition clé. Soit m ∈ ⋂_{L∈L(σ)} V_{L(v)}^{L}(M) alors pour i = 1, …, q, il existe P_{i} ∈ D_{n+p} tel que P_{i}δ = m et ord^{L_{i}}(P_{i}) ≤ L_{i}(v). On pose P̃_{1} = P_{1}. En appliquant un nombre fini de fois le lemme avec i_{0} = 2 (la première fois avec P = P̃_{1} et λ_{i_{0}} = ord^{L_{i_{0}}} (P̃_{1})), on construit P̃_{2} tel que P̃_{2}δ = m et ord^{L_{i}}(P̃_{2}) ≤ L_{i}(v) pour i = 1, 2. On recommence le processus avec i_{0} = 3 et P = P̃_{2}, etc. Après un nombre fini d’étapes on obtient P̃_{q} ∈ D_{n+p} tel que P̃_{q}δ = m et pour tout i = 1, …, q, ord^{L_{i}}(P̃_{q}) ≤ L_{i}(v). Ceci montre bien que m ∈ ^{σ}V_{v}(M). □

Pour finir ce paragraphe, il ne reste plus qu’à démontrer le lemme précédent :

Démonstration. Pour simplifier les notations, nous ferons la démonstration avec i_{0} = 1, λ = λ_{i_{0}} et ◁_{L_{i}} = ◁_{L_{i}}^{σ}. Notons Q_{1}, …, Q_{r} la base standard de h(I) associée au cône σ.

Par hypothèse, il existe P_{1} ∈ D_{n+p} avec P_{1}δ = m et ord^{L_{1}}(P_{1}) ≤ λ. Il existe l_{0}, l, l_{1} ∈ N tels que z^{l_{0}}h(P − P_{1}) = z^{l}h(P) − z^{l_{1}}h(P_{1}). On pose alors H = z^{l}h(P), H_{1} = z^{l_{1}}h(P_{1}) et H_{0} = H − H_{1} et comme P − P_{1} ∈ I, on a H_{0} ∈ h(I).

Considérons la division de H_{0} par les Q_{j} relativement à l’ordre ◁_{L_{1}} :

H_{0} = ∑_{j=1}^{r} q_{j}Q_{j} avec N (q_{j}) + exp_{◁_{L_{1}}}(Q_{j}) ⊂ Δ_{j} pour tout j

où les Δ_{j} ⊂ N^{2n+2p+1} forment la partition de N^{2n+2p+1} associée à aux exposants privilégiés des Q_{j} (voir les théorèmes de division du premier chapitre).

Comme pour tout i, j, les exposants exp_{◁_{L_{1}}}(Q_{j}) et exp_{◁_{L_{i}}}(Q_{j}) sont égaux, la division précédente est aussi une division par rapport aux ordres ◁_{L_{2}}, …, ◁_{L_{q}}. Par conséquent, pour tout i = 1, …, q et j = 1, …, r :

ord^{L_{i}}(H_{0}) ≥ ord^{L_{i}}(q_{j}Q_{j}).

Notons J l’ensemble des j ∈ {1, …, r} pour lesquels ord^{L_{1}}(H_{0}) = ord^{L_{1}}(q_{j}Q_{j}), nous avons alors :

σ^{L_{1}}(H_{0}) = σ^{L_{1}}(H) = ∑_{j∈J} σ^{L_{1}}(q_{j})σ^{L_{1}}(Q_{j}).

On considère et on note W = ∑_{j∈J} σ^{L_{1}}(q_{j})Q_{j}. C’est un élément de h(I).

Posons H′ = H − W. Nous allons montrer les deux assertions suivantes. (1) ord^{L_{1}}(H′) < ord^{L_{1}}(H),

(2) ord^{L_{i}}(H′) ≤ ord^{L_{i}}(H) pour i = 2, …, q.
(1) On a clairement σ^{L_{1}}(H) = σ^{L_{1}}(W). Par conséquent,
H′ = (H − σ^{L_{1}}(H)) − (W − σ^{L_{1}}(W).

On voit alors facilement que les deux termes entre parenthèses ont un L_{1}- ordre strictement inférieur à celui de H.

(2) Fixons i entre 2 et q.

Par 1.30, pour tout j :

(2)  exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(Q_{j})) = exp_{◁_{L_{i}}}(Q_{j}).

On a σ^{L_{1}}(W) = ∑_{j∈J} σ^{L_{1}}(q_{j})σ^{L_{1}}(Q_{j}).

Comme exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(q_{j})σ^{L_{1}}(Q_{j})) ⊂ Δ_{j} et que les Δ_{j} sont disjoints deux à deux , on a nécessairement

exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(W)) = max_{j∈J}{exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(q_{j})σ^{L_{1}}(Q_{j}))}.

De la même manière, on peut montrer que

exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(W)) = max_{j∈J}{exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(q_{j})Q_{j})}.

Grâce à la relation (2), on obtient l’égalité exp_{◁_{L_{i}}}(σ^{L_{1}}(W)) = exp_{◁_{L_{i}}}(W) donc en particulier ord^{L_{i}}(W) = ord^{L_{i}}(σ^{L_{1}}(W). D’où les égalités et inégalités suivantes :

ord^{L_{i}}(W) = ord^{L_{i}}(σ^{L_{1}}(W))
= ord^{L_{i}}(σ^{L_{1}}(H)) car σ^{L_{1}}(W) = σ^{L_{1}}(H)
≤ ord^{L_{i}}(H).

Par conséquent, ord^{L_{i}}(H′) ≤ ord^{L_{i}}(H). Les deux assertions sont démontrées.

Maintenant, posons P′ = H′_{|z=1} = P − W_{|z=1}. On a W ∈ h(I) donc W_{|z=1} ∈ I et P′δ = m. En spécialisant z = 1, les assertions 1 et 2 deviennent : ord^{L_{i}}(P′) ≤ ord^{L_{i}}(P) pour tout i = 1, …, q avec inégalité stricte pour i = 1. Le lemme est démontré. □

2.3. L’assertion 2. Dans ce paragraphe nous allons démontrer l’assertion 2 du théorème 2.10. Nous allons dans un premier temps énoncer plus précisement l’assertion en question. Puis nous écrirons la preuve. Nous verrons qu’elle consiste essentiellement en une analyse raffinée du lemme précédent 2.16, en effet nous devrons faire ce qu’on pourrait appeler un “contrôle de la montée de l’ordre” par rapport à la forme V_{1}.

Nous rappelons que dans ce paragraphe, p égale 2.

NOTATION 2.17.

– Soient L_{1}, L_{2} deux formes de U_{V}. Ecrivons L_{i} = a_{i}V_{1}+b_{i}V_{2} avec a_{i}, b_{i} ≥ 0. On dit que L_{1} est inférieure (resp. strictement inférieure) à L_{2} si b_{1}/a_{1} ≤ b_{2}/a_{2} (resp. b_{1}/a_{1} < b_{2}/a_{2}). On abrègera cette notion en notant L_{1} ≤ L_{2} (resp. L_{1} < L_{2}). Par convention b/0 = +∞, toute forme L est inférieure à V_{2}.

– Soit L une forme dans U_{V}. Nous noterons ◁_{L} l’ordre sur N^{2(n+2)+1} donné

par :

(a, μ, b, ν, k) ◁_{L} (a′, μ′, b′, ν′, k) ⟺
k + |b + ν| < k′ + |b′ + ν′|
ou ( = et L(a, μ, b, ν) < L(a′, μ′, b′, ν′))
ou ( = et = et (a, μ, b, ν) <_{V_{1}} (a′, μ′, b′, ν′)).

Nous remarquons qu’en adoptant les notations du paragraphe précédent et en posant σ =⟩V_{1}, L⟨ (avec L ≠ V_{1}) alors on a : ◁_{L} = ◁_{L}^{σ}. Si par contre L = V_{1} alors ◁_{L} =<_{V_{1}}^{h}.

Soit σ un cône de E_{V} de dimension 2 (maximale) et {L_{1}, L_{2}} = L(σ) avec L_{1} < L_{2}. Notons Q_{1}, …, Q_{r} la base standard de h(I) associée à σ. On définit κ_{σ}^{1} ∈ N par :

κ_{σ}^{1} = max{ord^{V_{1}}(Q_{j}) − ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(Q_{j})), j = 1, …, r}.

Avec les notations précédentes, nous avons (voir figure 3 page suivante) :

ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(Q_{j})) = ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(Q_{j})).

Maintenant on définit κ^{1} ∈ N comme le maximum des κ_{σ}^{1} pour les cônes σ ∈ E_{V} de dimension 2. Dans ce paragraphe, on se propose de montrer le résultat suivant :

PROPOSITION 2.18. Pour tout w ∈ Z^{2} :

\overline{V}_{w}(M) ⊂ V_{w+(κ^{1},0)}(M).

2.3.1. Contrôle de la montée de l’ordre par rapport V_{1}. Soit σ ∈ E_{V} un cône de dimension maximale et soient L_{1} < L_{2} ses générateurs primitifs. Soit m ∈ \overline{V}_{w}(M) avec w dans Z^{2}, en particulier m ∈ (V_{L_{1}(w)}^{L_{1}}(D_{n+2})δ) ∩ (V_{L_{2}(w)}^{L_{2}}(D_{n+2})δ). Supposons donné P ∈ D_{n} tel que P δ = m et ord^{L_{1}}(P) ≤ L_{1}(w) et tel que ord^{L_{2}}(P) > L_{2}(w). Alors nous avons montré dans le lemme 2.16 comment construire, en un nombre fini d’étapes, un élément P_{σ} tel que ord^{L_{1}}(P_{σ}) ≤ ord^{L_{1}}(P) (i.e. l’ordre par rapport à L_{1} n’a pas augmenté) et ord^{L_{2}}(P_{σ}) ≤ L_{2}(w) (i.e. l’ordre par rapport à L_{2} a baissé le plus possible). Le problème est de savoir ce qui se passe pour l’ordre V_{1} de P_{σ} par rapport à celui de P. Nous pouvons montrer que cet ordre peut monter mais de manière contrôlée. C’est l’objet du lemme suivant :

Fig. 3. ord^{V_{1}}(Q_{j}) − ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(Q_{j}))

LEMME 2.19. Soit σ un cône de dimension maximale de E_{V} (h(I)) et L_{1} ≠ L_{2} ses générateurs primitifs (il est possible que L_{i} ∉ σ). Supposons V_{1} ≤ L_{1} < L_{2} ≤ V_{2}. Soient w ∈ Z^{2} et m ∈ V_{L_{2}(w)}^{L_{2}}(M). Soit P ∈ D_{n+2} tel que P δ = m et ord^{L_{1}}(P) ≤ L_{1}(w) alors on peut construire P_{σ} ∈ D_{n+2} à partir de P tel que :

(i): P_{σ} − P ∈ I

(ii): P_{σ} ∈ ^{σ}V_{w}(D_{n+2}), en particulier : ord^{L_{2}}(P_{σ}) ≤ L_{2}(w)

(iii): ord^{V_{1}}(P_{σ}) ≤ max{ord^{V_{1}}(P) , w_{1} + κ_{σ}^{1}}.

C’est (iii) qui justifie l’intitulé de ce sous paragraphe.

Démonstration. Par hypothèse il existe P_{2} ∈ D_{n+2} vérifiant P_{2}δ = m et ord^{L_{2}}(P_{2}) ≤ L_{2}(w). On définit H_{0} = z^{l_{0}}h(P − P_{2}) = z^{l}h(P) − z^{l_{2}}h(P_{2}), H = z^{l}h(P) et H_{2} = z^{l_{2}}h(P_{2}). On reprend le début de la preuve du lemme 2.16 à la différence qu’on travaille avec la forme L_{2} au lieu de L_{1}. On considère donc la division de H_{0} par la base standard Q_{1}, …, Q_{r} relativement à l’ordre ◁_{L_{2}} ce qui donne : H_{0} = ∑_{j=1}^{r} q_{j}Q_{j} avec ord^{L_{2}}(H_{0}) ≥ ord^{L_{2}}(q_{j}Q_{j}). On note J l’ensemble des j dans {1, …, r} pour lesquels l’inégalité précédente est une égalité. On pose alors :

W = ∑_{j∈J} σ^{L_{2}}(q_{j})Q_{j} et H′ = H − W. Maintenant, ce qui nous intéresse, c’est la différence entre ord^{V_{1}}(H) et ord^{V_{1}}(H′). C’est l’objet de ce qui suit :

AFFIRMATION.

(a): ord^{V_{1}}(W) − ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(W)) ≤ κ_{σ}^{1}

(b): ord^{V_{1}}(W) ≤ w_{1} + κ_{σ}^{1}

Démontrons ces affirmations :

(b) : Nous avons ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(W)) = ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(W)) = ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(H)) et ce dernier est majoré par w_{1} donc si (a) est vrai il en est de même pour (b).

(a) : Par l’égalité exp_{◁_{L_{2}}}(W) = exp_{◁_{L_{2}}}(H_{0}), il existe j_{1} ∈ J tel que exp_{◁_{L_{2}}}(H_{0}) = exp_{◁_{L_{2}}}(m_{1}Q_{j_{1}}) où m_{1} est un monôme. De plus,

ord^{V_{1}}(W) ≤ max{ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(q_{j})Q_{j}) ; j ∈ J}.

Soit alors j_{2} ∈ J tel que ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(q_{j_{2}})Q_{j_{2}}) = max{ord^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(q_{j})Q_{j}) ; j ∈ J}. Il existe alors un monôme m_{2} tel que ord^{V_{1}}(W) ≤ ord^{V_{1}}(m_{2}Q_{j_{2}}), en effet il suffit pour cela de prendre un monôme de σ^{V_{1}}(σ^{L_{2}}(q_{j_{2}})).

Fig. 4. Illustration des affirmations

Remarquons qu’il est possible que j_{1} = j_{2} mais dans ce cas il est facile de montrer que l’affirmation (a) est vraie. Par contre on a toujours :

AFFIRMATION.

(c): ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(m_{2}Q_{j_{2}})) ≤ ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(m_{1}Q_{j_{1}})).

En utilisant cette affirmation, nous avons :

ord^{V_{1}}(W) = ord^{V_{1}}(W) − ord^{V_{1}}(m_{2}Q_{j_{2}})
+ord^{V_{1}}(m_{2}Q_{j_{2}}) − ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(m_{2}Q_{j_{2}}))
+ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(m_{2}Q_{j_{2}})) − ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(m_{1}Q_{j_{1}}))
+ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(W))
≤ ord^{V_{1}}(m_{2}Q_{j_{2}}) − ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(m_{2}Q_{j_{2}})) + ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(W))
≤ κ_{σ}^{1} + ord^{V_{1}}(exp_{◁_{L_{2}}}(W))

Ceci démontre le point (a). Il ne reste plus qu’à démontrer le point (c). Puisque exp_{◁_{L_{2}}}(m_{1}Q_{j_{1}}) et exp_{◁_{L_{2}}}(m_{2}Q_{j_{2}}) sont (L_{1}, L_{2})-homogènes donc (V_{1}, V_{2})- homogènes, il suffit de montrer la chose suivante avec ξ égal à exp_{◁_{L_{2}}}(m_{2}Q_{j_{2}}) − exp_{◁_{L_{2}}}(m_{1}Q_{j_{1}}) : Si L_{1}(ξ) ≤ 0 et L_{2}(ξ) = 0 alors V_{1}(ξ) ≤ 0. Puisque V_{2} ≥ L_{2} > L_{1} ≥ V_{1}, on peut (sans perte de généralité) écrire L_{1} = V_{1} + bV_{2} et L_{2} = aV_{1}+V_{2} avec a, b ≥ 0. La condition L_{2} > L_{1} se traduit par 1−ab > 0. Par un calcul élémentaire on montre que nos conditions se traduisent par (1 − ab)V_{1}(ξ) ≤ 0, par suite V_{1}(ξ) ≤ 0. Le point (c) est démontré. Voyons maintenant comment l’affirmation (b) permet de montrer le troisième point du lemme. Nous sommes partis de H et nous avons construit H′ = H − W. Par (b), nous avons ord^{V_{1}}(H′) ≤ max(ord^{V_{1}}(H), w_{1} + κ_{σ}^{1}). La suite consiste à faire les mêmes opérations avec H′ à la place de H. Le dernier élément H_{σ} ainsi construit vérifie : H_{σ} − H ∈ h(I) et ord^{V_{1}}(H_{σ}) ≤ max(ord^{V_{1}}(H), w_{1} + κ_{σ}^{1}). On pose alors P_{σ} = H_{σ}_{|z=1}, on a bien P_{σ} −P ∈ I et ord^{V_{1}}(P_{σ}) ≤ max(ord^{V_{1}}(P), w_{1}+ κ_{σ}^{1}). Le lemme est démontré. □

2.3.2. Fin de la preuve.

demonstration de la proposition 2.18. Notons L_{0} = V_{1} < ⋯ < L_{q} = V_{2} les éléments primitifs du 1-squelette de E_{V}. Pour chaque i = 1, …, q, notons σ_{i} ∈ E_{V} le cône contenant le cône ouvert engendré par L_{i−1} et L_{i}. Soit m ∈ \overline{V}_{w}(M). Montrons par récurrence sur i que pour tout i = 0, …, q, il existe T_{i} ∈ D_{n+2} vérifiant :

– T_{i}δ = m

– T_{i} ∈ V_{L_{i}(w)}^{L_{i}}(M)
– ord^{V_{1}}(T_{i}) ≤ w_{1} + κ^{1}

Pour i = 0 : m ∈ \overline{V}_{w} donc en particulier m ∈ V_{V_{1}(w)}^{V_{1}} (notons que V_{1}(w) = w_{1}) donc il existe T_{0} tel que T_{0}δ = m et ord^{V_{1}}(T_{0}) ≤ w_{1} ≤ w_{1} + κ^{1}. Supposons l’hypothèse vraie au rang i − 1. On applique alors le lemme 2.19 avec σ = σ_{i} et P = T_{i−1}. On pose alors T_{i} = P_{σ} (notations du lemme). D’après ce même lemme, T_{i} vérifie :

– T_{i}δ = m

– T_{i} ∈ V_{L_{i}(w)}^{L_{i}}(M)
– ord^{V_{1}}(T_{i}) ≤ max(ord^{V_{1}}(T_{i−1}), w_{1} + κ^{1}) = w_{1} + κ^{1}

L’hypothèse est donc vraie pour tout i. En particulier pour i = q, on a : m = T_{q}δ, ord^{V_{2}}(T_{q}) ≤ w_{2} et ord^{V_{1}}(T_{q}) ≤ w_{1} + κ^{1}, c’est-à-dire m ∈ V_{w+(κ^{1},0)}(M). □

REMARQUE 2.20. Le procédé de construction de (κ^{1}, 0) montre qu’un tel κ n’est à priori pas unique, par exemple on aurait pu construire en inversant les rôles de V_{1} et V_{2} un κ de la forme (0, κ^{2}).

3. Existence de polynômes de Bernstein-Sato dans le cas algébrique

Dans cette dernière section, nous nous proposons, dans le souci d’être aussi complet que possible d’écrire la preuve de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato associés à p polynômes. En effet et à ma connaissance, il ne semble pas qu’une telle démonstration aient été écrite. Nous avons décidé de mimer la preuve donnée par I.N. Bernstein (voir aussi [Bj]) qui est facilement généralisable. Nous ne donnerons pas tous les détails mais insisterons sur les points qui nous semblent importants. Cette section permet en même temps de faire une transition avec le chapitre suivant où l’on se penchera plus en détail sur des questions de rationalité du (d’un !) polynôme de Bernstein-Sato.

On se donne ici un corps k quelconque et f_{1}, …, f_{p} ∈ k[x] = k[x_{1}, …, x_{n}]. Soient s_{1}, …, s_{p} des variables. On note L = k[x, 1/f_{1} ⋯ f_{p}, s] · f^{s} le module libre engendré par le symbole f^{s} que l’on note aussi f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}. L’anneau A_{n}(k) agit naturellement sur L. Pour v ∈ N^{p}, on considère l’équation :

b(s_{1}, …, s_{p})f^{s} = P (s) · f^{s+v}.

Si on note B^{v}(f) l’idéal des b(s) ∈ k[s] tels qu’il existe P (s) ∈ A_{n}(k)[s] satisfaisant à l’équation précédente alors le but est de montrer que cet idéal, que l’on nomme idéal de Bernstein-Sato associé à f = (f_{1}, …, f_{p}), est non nul. Disons un mot de plus du chapitre suivant : nous y montrerons que non seulement cet idéal n’est pas nul mais contient un élément rationnel qui s’écrit comme produit de b_{L}(L(s) − k) comme dans le cas analytique.

3.1. Bonne filtration et noethérianité. On note F = (F_{k}(A_{n}(k)))_{k∈N} la filtration sur A_{n}(k) par l’ordre total en x et ∂_{x}. Le gradué associé gr^{F} (A_{n}(k)) est alors isomorphe à k[x, ξ] = k[x_{1}, …, x_{n}, ξ_{1}, …, ξ_{n}]. Signalons que c’est en considérant gr^{F} (A_{n}(k)) qui est noethérien qu’on montre la noethérianité de A_{n}(k). Soit M un module sur A_{n}(k). Une filtration de M est la donnée de k-sous-espaces vectoriels de M de dimension finie (M_{k})_{k∈N} tels que :

– M_{k} ⊂ M_{k+1} pour tout k

– M = ∪M_{k}
– F_{l}(A_{n}(k))M_{k} ⊂ M_{k+l} pour tout k, l

A une filtration Γ de M est associé un gradué gr^{Γ}(M) = ⊕_{k∈N}M_{k}/M_{k−1} avec par convention M_{−1} = 0. Ce gradué est un module sur gr^{F} (A_{n}(k)). Etant donnée une filtration Γ sur M, on dit qu’elle est bonne si gr^{Γ}(M) est de type fini sur gr^{F} (A_{n}(k)). Il existe une caractérisation combinatoire des bonnes filtrations :

PROPOSITION. Soit Γ = (M_{k}) une filtration sur un A_{n}(k)-module M. La filtration Γ est bonne si et seulement si il existe k_{0} ∈ N tel que pour tout k ∈ N on ait F_{k}(A_{n}(k))M_{k_{0}} = M_{k+k_{0}}.

En ce qui concerne A_{n}(k), pour tout k, l ∈ N,

F_{k}(A_{n}(k))F_{l}(A_{n}(k)) = F_{k+l}(A_{n}(k)).

3. EXISTENCE DE POLYNÔMES DE BERNSTEIN-SATO DANS LE CAS ALGÉBRIQUE 47

Les bonnes filtrations permettent de caractériser les module de type fini (donc noethériens) sur A_{n}(k) comme le montre le résultat suivant :

PROPOSITION. Soit M un A_{n}(k)-module. Alors : M admet une bonne filtration si et seulement si M est de type fini sur A_{n}(k).

Nous avons un lemme de comparaison entre deux bonnes filtrations. Ce lemme est utile pour la suite.

LEMME (de comparaison). Soit M un module sur A_{n}(k) et soient Γ et Γ′ deux bonnes filtrations sur M alors il existe k_{1} et k_{2} dans N tels que pour tout k ∈ N, on ait :

Γ′_{k−k_{1}} ⊂ Γ_{k} ⊂ Γ′_{k+k_{2}}.

3.2. Polynôme de Hilbert, dimension et multiplicité. Considérons les polynômes de Q[λ] (d’une variable) suivants : H_{0} = 1 et pour r ≥ 1, H_{r}(λ) = \frac{t(t−1)···(t−r+1)}{r!}. Soit H ∈ Q[λ], H est dit numérique si pour λ ∈ N assez grand H(λ) appartient à Z.

LEMME. Soit H ∈ Q[λ], les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) H est numérique.

(2) H(Z) ⊂ Z.

(3) il existe c_{0}, …, c_{d} ∈ Z tel que H = c_{0}H_{0} + ⋯ + c_{d}H_{d}.

Remarquons que dans la condition 3, les c_{k} sont uniques. Par conséquent, on peut dire que l’ensemble des polynômes numériques est le Z-module libre engendré par les H_{k}. Une autre conséquence de la condition 3 est qu’un polynôme numérique a son terme dominant de la forme m\frac{λ^{d}}{d!} avec m ∈ Z.

THEOREME (de Hilbert). Soit M = ⊕_{k∈N}M_{k} un k[x_{1}, …, x_{n}] module gradué de type fini alors il existe H ∈ Q[λ] de degré inférieur ou égal à n et il existe N ∈ N tels que pour tout k ≥ N,

H(k) = ∑_{k′=0}^{k} dim_{k} M_{k′}.

Le polynôme H est dit polynôme de Hilbert de M. Son terme dominant est de la forme m\frac{λ^{d}}{d!} avec m ∈ N et d ≤ n. On dit que d et m sont respectivement la dimension et la multiplicité de M.

Soit maintenant M un A_{n}(k)-module de type fini. Soit Γ une bonne filtration sur M. Alors gr^{Γ}(M) est un gr^{F} (A_{n}(k)) ≃ k[x_{1}, …, x_{n}, ξ_{1}, …, ξ_{n}]-module gradué. On appelle alors dimension et multiplicité de M et on note d(M) et m(M) ceux de gr^{Γ}(M). Si Γ′ est une autre bonne filtration de M alors par le lemme de comparaison, on voit que pour k assez grand les polynômes de Hilbert H et H′ respectivement de gr^{Γ}(M) et gr^{Γ′}(M) vérifient H′(k − k_{1}) ≤ H(k) ≤ H′(k + k_{1}). Il est alors facile de voir que les termes dominant de H et H′ sont égaux. Autrement dit les définitions de dimension et multiplicité d’un A_{n}(k)-module ne dépendent pas de la bonne filtration choisie.

Remarquons que par le théorème précédent, la dimension de M est majorée par 2n.

3.3. Modules holonomes.

THEOREME. (inégalité de Bernstein) Soit M un A_{n}(k)-module de type fini. Alors d(M) ≥ n.

On dit d’un module M qu’il est holonome si d(M) = n.

PROPOSITION. Un module holonome est artinien (i.e. toute suite décroissante de sous-modules stationne).

THEOREME. Soit f ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] non nul.

Alors le A_{n}(k)-module k[x_{1}, …, x_{n}, 1/f] est holonome.

Ce théorème ainsi que la proposition qui le précède sont les points de départs du théorème d’existence d’un polynôme de Bernstein. Tout ce qui a été dit jusqu’à présent se trouve dans [Bj].

3.4. Polynôme de Bernstein-Sato.

THEOREME 2.21. Soient f_{1}, …, f_{p} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] et soit v ∈ N^{p} alors il existe b(s_{1}, …, s_{p}) ∈ k[s_{1}, …, s_{p}] non nul tel que :

b(s_{1}, …, s_{p})f^{s} ∈ A_{n}(k)[s_{1}, …, s_{p}]f^{s+v}.

Démonstration. La preuve est une généralisation élémentaire de celle de J.E. Björk. Si on note k(s) le corps des fractions rationnelles en s_{1}, …, s_{p} alors par le théorème précédent, le module k(s)[x_{1}, …, x_{n}, \frac{1}{f_{1}···f_{p}}] est holonome sur A_{n}(k(s)) ce qui a pour conséquence l’holonomie de k(s)[x_{1}, …, x_{n}, \frac{1}{f_{1}···f_{p}}]f^{s} qui est donc artinien. Par conséquent la suite suivante est stationnaire :

k(s)[x, \frac{1}{f_{1} ⋯ f_{p}}]f^{s} ⊇ A_{n}(k(s))f^{s} ⊇ A_{n}(k(s))f^{s+v} ⊇ A_{n}(k(s))f^{s+2v} ⊇ · · · .

En particulier, il existe k ∈ N tel que f^{s+kv} appartienne à A_{n}(k(s))f^{s+(k+1)v}. Donc il existe Q(s) ∈ A_{n}(k)[s] et c(s) ∈ k[s] tels que :

c(s)f^{s+kv} = Q(s)f^{s+(k+1)v}.

Nous avons vu que L = k[x, \frac{1}{f_{1}···f_{p}}][s]f^{s} était muni d’une structure de A_{n+p}-module. Pour j = 1, …, p, soit u_{j} : L → L définie par :

u_{j} · g(s)f^{−w}f^{s} = g(s_{1}, …, s_{j} − 1, …, s_{p})f^{−w}f_{j}^{−1}f^{s},

avec g(s) ∈ k[x, s] et w ∈ N^{p}. On constate alors que u_{j} ∘ t_{j} = t_{j} ∘ u_{j} = id. Or t_{j} est A_{n}(k)-linéaire donc u_{j} l’est aussi. De plus pour tout T ∈ L, pour tout i, j entre 1 et p :

– t_{j}s_{i}T = s_{i}t_{j}T = u_{j}s_{i}T = s_{i}u_{j}T si i ≠ j,
– t_{j}s_{j}T = (s_{j} + 1)t_{j}T et s_{j}t_{j}T = t_{j}(s_{j} − 1)T,
– u_{j}s_{j}T = (s_{j} − 1)u_{j}T et s_{j}u_{j}T = u_{j}(s_{j} + 1)T.

Une jolie façon de démontrer ces formules de commutations est de se rappeler que s_{j} agit comme −∂_{t_{j}}t_{j} sur T ce qui revient à travailler dans A_{n+p}(k). Ce qui nous intéresse dans ces formules, c’est que u_{j} appliqué à Q(s)f^{s} est égal à Q(s_{1}, …, s_{j} − 1, …, s_{p})f_{j}^{−1}f^{s}. Par conséquent, si nous appliquons u_{1}^{kv_{1}} ⋯ u_{p}^{kv_{p}} à c(s)f^{s+kv}, nous obtenons :

c(s_{1} − kv_{1}, …, s_{p} − kv_{p})f^{s} = Q(s_{1} − kv_{1}, …, s_{p} − kv_{p})f^{s+v}.

3. EXISTENCE DE POLYNÔMES DE BERNSTEIN-SATO DANS LE CAS ALGÉBRIQUE 49

Autement dit le polynôme c(s − kv) est un polynôme de Bernstein-Sato. □

CHAPITRE 3 Polynômes de Bernstein-Sato algébriques rationnels et étude algorithmique

Si on se donne f_{1}, …, f_{p} des polynômes dans C[x_{1}, …, x_{n}], il est possible de les voir aussi comme germes en un point quelconque x_{0} de C^{n}. Aussi cela donne lieu à deux visions des choses l’une locale en x_{0} et l’autre globale. Le but de ce chapitre est de mieux connaitre les polynômes b_{L} dont nous avons parlés au chapitre précédent. Ce sont les briques à partir desquelles on construit un polynôme de Bernstein-Sato (rationnel !). Rationnel sera le maître mot de ce chapitre puisque le but est de montrer qu’il existe un polynôme de Bernstein-Sato algébrique rationnel non nul sur n’importe quel corps k (i.e. associé à f_{1}, …, f_{p} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]). Nous avons déja vu une preuve de l’existence en généralisant la preuve de J.E. Björk. Pour ce qui est de la rationalité, nous pourrions nous baser sur le cas local traité par C. Sabbah (avec le résultat supplémentaire de A. Gyoja) et la montrer par des arguments relativement succincts en faisant un passage du local au global puis un passage de C à k (voir ci-dessous). Cependant, la voie que nous choisissons ici permet de mieux connaitre les objets avec lesquels on travaille, à savoir les polynômes b_{L}. Nous l’avons choisi aussi parce qu’elle est constructive comme nous le verrons.

Dans un premier temps, nous ferons un examen de passage du local au global en ce qui concerne les polynômes b_{L} en imitant [Br-Mai2]. C’est-à-dire que nous étudierons le lien entre polynômes b_{L} analytiques et algébriques.

Dans un deuxième temps, nous introduirons pour chaque L un idéal que l’on note B_{L} qui a deux propriétés algorithmiques remarquables : la première c’est qu’il est calculable (du moins dans le cas algébrique) et la deuxième est qu’il contient le polynôme b_{L}(L(s_{1}, …, s_{p})) ce qui permet aussi de calculer b_{L}.

Dans un troisième temps, nous nous placerons dans le cas où f_{1}, …, f_{p} sont dans k[x_{1}, …, x_{n}]. Nous utiliserons les algorithmes de calcul de B_{L} et b_{L} pour montrer que ce dernier n’est pas nul dans ce cas. Nous nous ramenerons au cas où k = C.

Pour finir, nous expliciterons l’existence d’un polynôme de Bernstein-Sato rationnel associé à des f_{j} de k[x_{1}, …, x_{n}].

Tout d’abord, voici une première preuve non constructive de ce résultat :

– Première étape : les f_{j} sont dans C[x].

Dans ce cas, on sait par [Br-Mai] que l’ensemble des idéaux de Bernstein-Sato locaux B_{an,x_{0}}^{v} sont en nombre fini lorsque x_{0} parcourt C^{n} et que leur intersection est B^{v} = B_{alg}^{v}.

– Deuxième étape : les f_{j} sont dans k[x]. Notons K le corps Q(c_{1}, …, c_{N}) où les c_{i} ∈ k sont les coefficients intervenant dans l’écriture des f_{j}. Il existe alors e_{1}, …, e_{N} ∈ C et un morphisme injectif de corps ϕ : K → C tel que ϕ(c_{i}) = e_{i}.

52 3. POLYNÔMES DE B.-S. ALGÉBRIQUES RATIONNELS ET ÉTUDE ALGORITHMIQUE

Notons f′_{1}, …, f′_{p} les polynômes de C[x] (en fait de ϕ(K)[x]) obtenu en remplaçant c_{i} par e_{i} dans l’écriture des f_{j}. D’après le point précédent, il existe b(s) ∈ Q[s] tel que b(s)f′^{s} ∈ A_{n}(C)[s]f′^{s+v}. Il est alors possible de montrer comme dans [Br] que b(s)f′^{s} ∈ A_{n}(ϕ(K))[s]f′^{s+v}. Par suite en utilisant ϕ^{−1}, on obtient b(s)f^{s} ∈ A_{n}(K)[s]f^{s} ⊂ A_{n}(k)[s]f^{s}.

1. Étude des polynômes b_{L}...

1.1. ...sur C : passage du local au global. Dans cette section nous allons travailler sur C, i.e. les polynômes f_{1}, …, f_{p} sont supposés être dans C[x] = C[x_{1}, …, x_{n}]. Nous fixons une forme linéaire L ∈ U_{V} entière. Soit x_{0} ∈ C^{n}, nous notons D_{n,x_{0}} (resp. D_{n+p,x_{0}}) l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans O_{x_{0}} = C{x_{1} − x_{0,1}, …, x_{n} − x_{0,n}} (resp. dans O_{(x_{0},0)} = C{x_{1} − x_{0,1}, …, x_{n} − x_{0,n}, t_{1}, …, t_{p}}). On définit le polynôme b_{L,alg} (resp. b_{L,an,x_{0}}) comme le générateur unitaire de l’idéal des polynômes c(λ) d’une variable complexe λ qui vérifient

(3)  c(L(s_{1}, …, s_{p}))f^{s} = P f^{s}

avec P ∈ V_{<0}^{L}(A_{n+p}) (resp. P ∈ V_{<0}^{L}(D_{n+p,x_{0}})). Remarquons qu’il n’y a aucune ambiguité à écrire V_{<0}^{L}(D_{n+p,x_{0}}) car L appartient à U_{V} (i.e. ne concerne que les variables t_{j} et ∂_{t_{j}}).

THEOREME 3.1. Le polynôme b_{L,an,x_{0}} est non nul et ses racines sont dans Q (en fait dans Q_{<0}).

Il s’agit simplement du théorème de C. Sabbah (avec le complément de A. Gyoja) en x_{0}. Nous nous proposons de montrer que :

PROPOSITION 3.2.

– L’ensemble des b_{L,an,x_{0}} est fini quand x_{0} parcourt C^{n}.

– Leur p.p.c.m. est b_{L,alg}.

Nous en tirons comme conséquence immédiate :

COROLLAIRE 3.3. Le polynôme b_{L,alg} est non nul et a ses racines dans Q_{<0}.

Nous allons mettre en place la preuve de la proposition 3.2. Pour x_{0} ∈ C^{n} on définit b_{L,rat,x_{0}} comme le générateur unitaire des polynômes qui vérifient l’équation (3) avec P = Q/q où Q appartient à V_{<0}^{L}(A_{n+p}) et q = q(x) est un polynôme qui ne s’annule pas en x_{0}. En fait P est dans l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans le localisé C[x]_{(x_{0})} de C[x] en (x_{0}).

On voit aisement que les différents polynômes b_{L} vérifient les relations de division suivantes :

b_{L,an,x_{0}} | b_{L,rat,x_{0}} | b_{L,alg}.

PROPOSITION 3.4. Pour tout x_{0} ∈ C^{n},

b_{L,an,x_{0}} = b_{L,rat,x_{0}}.

Pour démontrer cette proposition, nous aurons besoin du lemme suivant :

LEMME 3.5. Soit L ∈ U_{V} ∩N^{p} et P ∈ V_{<0}^{L}(D_{n+p}) alors il existe Q ∈ V_{<0}^{L}(D_{n}⊗ A_{p}(C)) tel que P − Q ∈ I c’est-à-dire P f^{s} = Qf^{s}.

1. ÉTUDE DES POLYNÔMES b_{L}... 53

Démonstration. Quitte à permuter les indices, on peut supposer que L =

α_{q}V_{q}+⋯+α_{p}V_{p} avec q ≥ 1 et les α_{j} tous dans N_{>0}. On écrit P = ∑_{μ,ν} p_{μν}(x, ∂_{x})t^{μ}∂_{t}^{ν}.

Pour tout j, si μ_{j} > ν_{j} alors

t_{j}^{μ_{j}}∂_{t_{j}}^{ν_{j}} = (t_{j}∂_{t_{j}} − μ_{j} + 1)(t_{j}∂_{t_{j}} − μ_{j} + 2) ⋯ (t_{j}∂_{t_{j}} − μ_{j} + ν_{j})t_{j}^{μ_{j}−ν_{j}}.

Soit P′ construit en remplaçant, pour chaque j entre 1 et q, t_{j}^{μ_{j}}∂_{t_{j}}^{ν_{j}} par

(t_{j}∂_{t_{j}} − μ_{j} + 1)(t_{j}∂_{t_{j}} − μ_{j} + 2) ⋯ (t_{j}∂_{t_{j}} − μ_{j} + ν_{j})f_{j}^{μ_{j}−ν_{j}}

dans l’écriture de P pour chaque couple (μ, ν) tel que μ_{j} > ν_{j}. Alors P′ est égal à P modulo I et appartient à C[x, ∂_{x}][t_{1}, …, t_{q−1}]{t_{q}, …, t_{p}}[∂_{t}]. De plus les ordres ord^{L}(P) et ord^{L}(P′) sont égaux. On est donc amené à étudier le cas où q = 1 c’està-dire que L = ∑ α_{j}V_{j} avec tous les α_{j} non nuls, ce que nous faisons. Ecrivons P = ∑ p′_{μν}(x, ∂_{x})∂_{t}^{ν}t^{μ} (il s’agit de l’écriture à droite) alors il est facile de voir que le maximum des L(ν − μ) = (α|(ν − μ)) est strictement négatif (autrement dit l’ordre par rapport à L ne dépend pas de l’écriture de P). Notons e le maximum des (α|ν) pour les (μ, ν) tels que p′_{μ,ν}(x, ∂_{x}) ≠ 0. Soit alors Q = ∑ p′_{μ,ν}(x, ∂_{x})∂_{t}^{ν}T_{1}(μ, ν) ⋯ T_{p}(μ, ν) où

T_{j}(μ, ν) = \begin{cases}t_{j}^{μ_{j}} si μ_{j} ≤ [\frac{e}{α_{j}}] + 1 \\ t_{j}^{[ \frac{e}{α_{j}} ]+1}f_{j}^{μ_{j}−[ \frac{e}{α_{j}} ]−1} sinon, \end{cases}

et où [·] désigne la partie entière. Alors Q égale P modulo I et appartient à D_{n} ⊗ A_{p}(C). Il reste à vérifier que ord^{L}(Q) < 0. Nous avons :

ord^{L}(Q) ≤ max{ord^{L}(∂_{t}^{ν}T_{1}(μ, ν) ⋯ T_{p}(μ, ν)) ; p′_{μ,ν}(x, ∂_{x}) ≠ 0}.

Soit (μ, ν) tel que p′_{μν}(x, ∂_{x}) ≠ 0 alors deux cas peuvent se présenter :

– Pour tout j = 1, …, p, μ_{j} ≤ [\frac{e}{α_{j}}] + 1. Dans ce cas,

ord^{L}(∂_{t}^{ν}T_{1}(μ, ν) ⋯ T_{p}(μ, ν)) = ord^{L}(∂_{t}^{ν}t^{μ}) ≤ ord^{L}(P) < 0.
– Il existe j tel que μ_{j} > [\frac{e}{α_{j}}] + 1. Alors,

ord^{L}(∂_{t}^{ν}T_{1}(μ, ν) ⋯ T_{p}(μ, ν)) ≤ (α|ν) − α_{j}([\frac{e}{α_{j}}] + 1) < (α|ν) − e ≤ 0.

□

Pour les besoins de la preuve de la proposition 3.4, nous introduisons un certain nombre d’objets. Pour j = 1, …, p et pour l ∈ N, on pose

τ_{j,l} = s_{j}(s_{j} − 1) ⋯ (s_{j} − l + 1)f_{j}^{s_{j}−l}

et pour w ∈ N^{p}, on note τ_{w} = τ_{1,w_{1}} ⋯ τ_{p,w_{p}}. Considérons les D_{n+p,x_{0}}-modules :

D_{n+p,x_{0}}f^{s} ⊂ ⨁_{w∈N^{p}} O_{x_{0}}τ_{w} ⊂ L_{x_{0}} = O_{x_{0}}[\frac{1}{f_{1} ⋯ f_{p}} , s_{1}, …, s_{p}]f^{s}.

Pour j = 1, …, p, notons 1_{j} = (0, …, 0, 1, 0, …) ∈ N^{p} avec le 1 placé à la j^{ème} place. Nous avons les relations suivantes :

– ∂_{x_{i}}τ_{w} = ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} τ_{w+1_{j}}.

– ∂_{t_{j}}τ_{w} = −τ_{w+1_{j}}.

– t_{j}τ_{w} = w_{j}τ_{w−1_{j}} + f_{j}τ_{w}.

– s_{j}τ_{w} = w_{j}τ_{w} + f_{j}τ_{w+1_{j}}.

Démonstration de la proposition 3.4. La preuve s’inspire de celle de ([Br-Mai2], prop. 1). Pour simplifier les notations, nous supposerons que x_{0} = 0. Nous allons démontrer un résultat un peu plus général : Soit c(s) ∈ C[s_{1}, …, s_{p}] tel que c(s)f^{s} = P f^{s} avec P ∈ V_{<0}^{L}(D_{n+p}) alors il existe P′ ∈ V_{<0}^{L}(C[x]_{(0)}[∂_{x}] ⊗ A_{p}) tel que c(s)f^{s} = P′f^{s}. La proposition en découle en prenant c(s) = b_{L,an,0}. Soit c(s) tel que c(s)f^{s} = P f^{s} avec P ∈ V_{<0}^{L}(D_{n+p}) alors par le lemme précédent, on peut supposer que P soit dans V_{<0}^{L}(D_{n} ⊗ A_{p}). Notons d le maximum entre le degré du polynôme c(s) et le degré total en t, ∂_{t} et ∂_{x} de P. Alors par les relations explicitées plus haut P f^{s} = c(s)f^{s} appartient à ⊕_{|w|≤d}O_{0}τ_{w}. Ecrivons P = ∑_{βμν} V_{βμν}(x)∂_{x}^{β}t^{μ}∂_{t}^{ν} avec V_{βμν}(x) ∈ O_{0}. Ecrivons aussi :

c(s)f^{s} = ∑_{|w|≤d} W_{w}τ_{w} et ∂_{x}^{β}t^{μ}∂_{t}^{ν}f^{s} = ∑ ϕ_{βμνw}τ_{w}.

Notons N le nombre de w de longueur inférieure à d et K le nombre de (β, μ, ν) de longueur inférieure à d. On peut écrire P f^{s} = ∑_{w}(∑ ϕ_{βμνw}V_{βμν})τ_{w} si bien que l’égalité c(s)f^{s} = P f^{s} peut être traduite par la relation Φ(V) = W où Φ est la matrice (ϕ_{βμνw}) appliquée au vecteur V = (V_{βμν}) ∈ (O_{0})^{K} et W est le vecteur W = (W_{w}) ∈ (O_{0})^{N}. On note par le même symbole Φ : (O_{0})^{K} → (O_{0})^{N} l’application linéaire induite. Le point important de la preuve est que Φ est à coefficients dans C[x] donc dans C[x]_{(0)}. Considérons donc l’application linéaire Φ′ : (C[x]_{(0)})^{K} → (C[x]_{(0)})^{N} définie par la même matrice. Maintenant soit k un entier positif. Tronquons V à l’ordre k, c’est-à-dire, écrivons V = V_{0} +V_{1} avec V_{0} polynomial de degré au plus k et V_{0} dans (m^{k})^{K} où m^{k} est la k-ième puissance de l’idéal maximal m de O_{0}. Appliquons Φ à V = V_{0} + V_{1}. On obtient W = Φ(V_{0}) + Φ(V_{1}). Puisque W et Φ(V_{0}) sont dans (C[x]_{(0)})^{N} il en est de même de Φ(V_{1}) qui est donc dans (m^{k})^{N} ∩ (C[x]_{(0)})^{N}.

Par conséquent, si on note m′ l’idéal maximal de O_{0}, alors

W ∈ ImΦ′ + (m′^{k})^{N}

et ce pour tout k ∈ N. Par le théorème de Krull, on en déduit que W appartient à l’image de Φ′. Autrement dit, il existe Q ∈ C[x]_{(0)}[∂_{x}][t, ∂_{t}] tel que c(s)f^{s} = Qf^{s}. Pour finir, il est facile de voir que l’opérateur Q ainsi construit fait intervenir les même multi-indices (β, μ, ν) que P et donc ord^{L}(Q) < 0. □

LEMME 3.6. Soit A une partie non vide de C^{n} alors il existe U un ouvert de Zariski non vide de A tel que l’application U → C[λ] qui à x_{0} associe b_{L,an,x_{0}} est constante.

Démonstration. En vertu de la proposition précédente, nous faisons la preuve avec b_{L,rat,x_{0}}. Soit x_{0} ∈ A alors il existe Q ∈ V_{<0}^{L}(A_{n+p}) et q ∈ C[x] ne s’annulant pas en x_{0} tels que b_{L,rat,x_{0}}f^{s} = (1/q)Qf^{s}. Par conséquent pour tout x ∈ A ∩ (C^{n} ∖ V (q)), le polynôme b_{L,rat,x} divise b_{L,rat,x_{0}}. S’il existe x_{1} dans A ∩ (C^{n} ∖ V (q)) pour lequel b_{L,rat,x_{1}} n’est pas égal à b_{L,rat,x_{0}} alors par les mêmes arguments, il existe q_{1} ne s’annulant pas en x_{1} tel que pour tout x ∈ A∩(C^{n} ∖V (q_{1})), b_{L,rat,x} | b_{L,rat,x_{1}}. S’il existe x_{2} pour lequel on n’a pas égalité, on recommence avec x_{2}. En continuant ainsi, on construit une suite de polynômes qui se divisent strictement ce qui force le processus à s’arréter, i.e. il existe q′ ∈ C[x] tel que pour x ∈ A ∩ (C^{n} ∖ V (q′), le polynôme b_{L,rat,x} est constant, ce qui donne l’ouvert U = A ∩ (C^{n} ∖ V (q′). □

De ce lemme, on déduit le résultat suivant qui est similaire aux résultats de ([Br-May] section 3). On appelle ensemble localement fermé de A ⊂ C^{n} toute différence de deux fermés de Zariski de A. On dit que A ⊂ C^{n} est constructible si c’est une union (finie) d’ensembles localement fermés. Signalons que les sous-ensembles constructibles forment la plus petite classe contenant les fermés de Zariski de C^{n} et stables par union finie, intersection finie et complémentaire.

PROPOSITION 3.7. Il existe une partition finie de C^{n} en ensembles localement fermés telle que sur chacun d’eux l’application x ↦ b_{L,an,x} est constante.

Démonstration. Montrons par une double récurrence sur la dimension dim Y de Y et sur le nombre de composantes irréductibles de Ȳ que pour tout Y ⊂ C^{n} constructible il existe une telle partition. Si dim Y = 0, le résultat est trivial. Soit Y de dimension non nulle. Supposons acquis le résultat pour tout Y′ de dimension strictement inférieur à celle de Y ou de même dimension mais dont l’adhérence a moins de composantes irréductibles que Ȳ. Par le lemme précédent, il existe un ouvert U de Zariski de Y sur lequel b_{L,an,x} est constant. On applique alors l’hypothèse de récurrence au complémentaire de U dans Y qui est aussi constructible. □

Démonstration de la proposition 3.2. Le premier point découle immédiatement de la proposition précédente. Montrons la deuxième assertion. Soit b(λ) le p.p.c.m. des b_{L,an,x}(λ). Pour tout x ∈ C^{n}, il existe d_{x}(λ) tel que b(λ) = d_{x}(λ)b_{L,an,x}(λ). D’aprés ce qui a été dit plus haut, pour tout x ∈ C^{n} il existe Q_{x} ∈ V_{<0}^{L}(A_{n+p}) et q_{x} ∈ C[x] ne s’annulant pas en x tel que b_{L,an,x}(L(s))f^{s} = (1/q_{x})Q_{x}f^{s}. Par le théorème des zéros de Hilbert, on peut écrire 1 = ∑_{x∈F} u_{x}q_{x} où F est un ensemble fini de C^{n}. Par conséquent :

b(L(s))f^{s} = ∑_{x∈F} u_{x} q_{x} d_{x}(L(s)) b_{L,an,x} f^{s}
= ( ∑_{x∈F} u_{x} d_{x}(L(s)) Q_{x})f^{s}.

Ainsi le polynôme b(λ) vérifie une équation du type b(L(s))f^{s} = Qf^{s} avec Q ∈ V_{<0}^{L}(A_{n+p}). Donc le polynôme b_{L,alg} n’est pas nul et divise b. Il en est aussi multiple. La proposition est démontrée. □

1.2. ...par les idéaux B_{L} : une étude algorithmique. Ici nous nous placerons dans le cas où les f_{j} sont dans k[x]. Dans ce paragraphe nous allons introduire de façon assez naturelle, pour chaque forme linéaire L ∈ U_{V}, un idéal de k[s_{1}, …, s_{p}] que l’on note B_{L}. Nous verrons que cet idéal possêde deux propriétés intéressantes :

– b_{L,alg}(L(s)) ∈ B_{L}.

– L’idéal B_{L} est calculable. En réunissant les deux points, cela nous permettra de donner un algorithme de calcul de b_{L,alg}. b_{L} sur un corps k On se donne un corps k quelconque et on suppose que les f_{j} sont dans k[x]. Considérons l’idéal de A_{n+p}(k) engendré par :

t_{j} − f_{j}, j = 1, …, p et ∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}, i = 1, …, n.

Nous avons vu que si k = C et si on considère l’idéal de D_{n+p} engendré par ces éléments alors il est maximal et est l’annulateur de f^{s}. Dans le cas qui nous intéresse ici, c’est également vrai (la preuve étant très semblable). On note donc I l’idéal de A_{n+p}(k) engendré par les éléments précédents. L’idéal I est alors l’annulateur de f^{s} dans A_{n+p}(k).

Soit L ∈ U_{V} entière donnée. Nous avons un premier lemme qui va nous permettre de (re)définir les polynômes b_{L} :

LEMME 3.8. Soit c(s) un polynôme de k[s_{1}, …, s_{p}], alors les deux propriétés suivantes sont équivalentes.

(1) Il existe P ∈ V_{<0}^{L}(A_{n+p}(k)) tel que c(s)f^{s} = P f^{s}.

(2) c(−∂_{t}t) appartient à gr^{L}(I) ∩ k[−∂_{t}t].

Démonstration. Supposons que c(s) vérifie la première propriété. Notons Q = c(−∂_{t}t) − P qui est alors dans I. Il est facile de voir que c(−∂_{t}t) = σ^{L}(Q) ∈ gr^{L}(I). Réciproquement supposons c(−∂_{t}t) dans gr^{L}(I). Puisque c(−∂_{t}t) est L-homogène d’ordre 0, il existe Q ∈ I tel que c(−∂_{t}t) = σ^{L}(Q). Notons P = c(−∂_{t}t) − Q. Alors P = σ^{L}(Q) − Q, par conséquent P appartient à V_{<0}^{L}(A_{n+p}(k)) et vérifie la relation c(s)f^{s} = P f^{s}. □

DEFINITION. On note B_{L} ⊂ k[s_{1}, …, s_{p}] l’idéal des c(s) qui vérifient l’une des deux propriétés précédentes.

Dans le cas où k = C, voici un point important à voir (même s’il est évident) :

b_{L,alg}(L(s)) ∈ B_{L}.

Maintenant dans le cas où k est quelconque on définit b_{L} (le terme alg est superflu) comme le générateur unitaire des b(λ) ∈ k[λ] qui vérifient b(L(s)) ∈ B_{L}. Le but de ce paragraphe et du suivant est de montrer que b_{L} est non nul et à racines rationnelles.

REMARQUE. Bien que cela ne nous sera pas utile, il est possible (sur C) de définir l’idéal B_{L,an,x_{0}} pour lequel nous aurions b_{L,an,x_{0}}(L(s)) ∈ B_{L,an,x_{0}}. Nous aurions des résultats très similaires à ceux connus au sujet des idéaux de Bernstein-Sato algébriques et analytiques. Par exemple, la preuve de la proposition 3.4 nous permettrait de montrer que l’intersection des idéaux B_{L,an,x_{0}} est B_{L,alg}. Nous aurions aussi un résultat de constructibilité du type de la proposition 3.7.

Nous avons un résultat de finitude concernant les idéaux B_{L} :

LEMME 3.9. Soit σ un cône de l’éventail de Gröbner associé à h(I). Alors pour tout L ∈ σ, l’idéal B_{L} est constant.

Ceci découle du fait que gr^{L}(I) est constant si gr^{L}(h(I)) l’est et du point 2 du lemme précédent. Une conséquence de ceci est qu’il y a un nombre fini de B_{L} différents.

Voici un autre résultat qui répond à une question naturelle que voici : Soit b_{f_{j}} le polynôme de Bernstein de la fonction f_{j}. Que peut on dire de B_{V_{j}} et b_{f_{j}} ? Eh bien non seulement le polynôme b_{f_{j}}(s_{j}) appartient à l’idéal B_{V_{j}} mais il est égal à b_{V_{j}}(s_{j}).

PROPOSITION 3.10. Les polynômes b_{f_{j}} et b_{V_{j}} sont égaux.

Démonstration. Etant donné un polynôme b d’une variable, il suffit de montrer l’équivalence suivante :

b(s_{j}) ∈ B_{V_{j}} ⟺ b(s_{j})f_{j}^{s_{j}} ∈ A_{n}(k)[s_{j}]f_{j}^{s_{j}+1}.

Pour simplifier, on fait la preuve avec j = 1. ⇐ : Soit P (s_{1}) ∈ A_{n}(k)[s_{1}] tel que b(s_{1})f_{1}^{s_{1}} = P (s_{1})f^{s_{1}+1}. Nous savons que P (s_{1})f_{1}^{s_{1}+1} = P (−∂_{t_{1}}t_{1})t_{1}f_{1}^{s_{1}}. Il est aussi facile de voir que P (−∂_{t_{1}}t_{1})t_{1} = t_{1}P (−∂_{t_{1}}t_{1} −1). Notons Q(s_{1}) = P (s_{1} − 1). Ecrivons

Q(s_{1}) = ∑_{βk} s_{1}^{k}p_{βk}(x)∂_{x}^{β}.

Nous allons montrer par récurrence sur la longueur |β| de β que pour tout β ∈ N^{n}, on a :

(⋆) ∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} ∈ (∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} + V_{≤0}^{V_{1}}(A_{n+p}(k)) · f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}.

Il est clair que si β = (0, …, 0) alors la relation (⋆) est vérifiée. Supposons que pour un β donné, (⋆) est vraie. Soit donc R ∈ V_{≤0}^{V_{1}}(A_{n+p}(k)) tel que ∂_{x}^{β} · f^{s} = (∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} + R · f^{s}. Alors

∂_{x}^{β}∂_{x_{i}}f^{s} = ∂_{x_{i}} · ((∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}) + ∂_{x_{i}}R · f^{s}
= (∂_{x_{i}} · (∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}}))f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}

+ ∑_{j=2}^{p} (∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}})\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} s_{j}f_{j}^{−1}f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} + ∂_{x_{i}}R · f^{s}

= (∂_{x}^{β}∂_{x_{i}} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} − ∑_{j=2}^{p} (∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}})\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}} · f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} + ∂_{x_{i}}R · f^{s}

= (∂_{x}^{β}∂_{x_{i}} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} − ( ∑_{j=2}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}) · ((∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}})

+∂_{x_{i}}R · f^{s}, car ∂_{t_{j}} n’agit pas sur ∂_{x}^{β} · f_{1}^{s_{1}}

= (∂_{x}^{β}∂_{x_{i}} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} − ((∑_{j=2}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}})(∂_{x}^{β} − R)) · f^{s} + ∂_{x_{i}}R · f^{s}

= (∂_{x}^{β}∂_{x_{i}} · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} − [(∑_{j=2}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}})(∂_{x}^{β} − R) − ∂_{x_{i}}R] · f^{s}.

On constate que l’opérateur entre crochets dans la dernière ligne est bien dans V_{≤0}^{V_{1}}(A_{n+p}(k)). Ce calcul montre que Q(s_{1}) vérifie une relation du type (⋆), plus précisement on a :

Q(s_{1})f^{s} = (Q(s_{1}) · f_{1}^{s_{1}})f_{2}^{s_{2}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} + Rf^{s},

avec R ∈ V_{≤0}^{V_{1}}(A_{n+p}(k)). Par conséquent, en multipliant par t_{1} la relation précédente, on obtient : b(s_{1})f^{s} = T f^{s} avec T ∈ V_{<0}^{V_{1}}(A_{n+p}(k)). ⇒ : Soit P ∈ V_{−1}^{V_{1}}(A_{n+p}(k)) tel que b(s_{1})f^{s} = P f^{s}. Ecrivons P = Q_{1}+Q_{2}∂_{t_{2}} +⋯+Q_{p}∂_{t_{p}} avec Q_{1} ∈ A_{n}(k) ⊗ V_{−1}^{V_{1}}(k[t_{1}, t_{2}, …, t_{p}]⟨∂_{t_{1}}⟩). Modulo I, on peut supposer que Q_{1} ne dépend pas de t_{2}, …, t_{p}. Autrement dit il est dans V_{−1}^{V_{1}}(A_{n+1}). Utilisant l’action de ∂_{t_{j}} sur f^{s}, on obtient :

b(s_{1})f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} = (Q_{1} − Q_{2}f_{2}^{−1}s_{2} − ⋯ − Q_{p}f_{p}^{−1}s_{p})f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}.

Faisons s_{2} = ⋯ = s_{p} = 0 dans cette équation. Le résultat est que b(s_{1})f_{1}^{s_{1}} appartient à (V_{1})_{−1}(A_{n+1})f^{s}. En utilisant les relations t_{1}f_{1}^{s_{1}} = f_{1}^{s_{1}+1} et −∂_{t_{1}}t_{1}f_{1}^{s_{1}} = s_{1}f_{1}^{s_{1}}, on montre que b(s_{1})f_{1}^{s_{1}} appartient à A_{n}[s_{1}]f_{1}^{s_{1}+1}. □

REMARQUE. Cette proposition est encore vraie dans le cadre analytique (la preuve est la même).

Calcul de B_{L} et b_{L} Nous allons donner un algorithme de calcul du polynôme b_{L}. Dans un premier temps nous calculons gr^{L}(I). Puis nous donnons un algorithme qui permet de calculer l’intersection entre un idéal J (ici J = gr^{L}(I)) de A_{n+p} et le sous anneau k[s] = k[−∂_{t}t] ce qui nous fournit un algorithme de calcul de B_{L}. On verra ainsi que B_{L} se calcul par un simple processus d’élimination. Ensuite par le changement de coordonnées (s′_{1}, …, s′_{p}) = (s_{1}, …, s_{i_{0}−1}, L(s), s_{i_{0}+1}, …, s_{p}), le calcul de b_{L} revient à éliminer les variables autres que s′_{i_{0}}.

Soient y_{1}, …, y_{p} des indéterminées. On note A_{n+p}(k)[y] = A_{n+p}(k)⊗_{k}k[y_{1}, …, y_{p}]. Soit P ∈ A_{n+p}(k), on définit h^{V} (P) ∈ A_{n+p}(k)[y] de la façon suivante. On écrit P = ∑_{μν} p_{μν}(x, ∂_{x})t^{μ}∂_{t}^{ν}. On note d_{j} = ord^{V_{j}}(P) et d = (d_{1}, …, d_{p}) ∈ Z^{p}. On pose alors

h^{V} (P) = ∑_{μν} p_{μν}(x, ∂_{x})t^{μ}∂_{t}^{ν}y^{d−(ν−μ)}.

Soient y′ = (y′_{1}, …, y′_{p}) un nouveau système de variables. On notera A_{n+p}(k)[y, y′] = A_{n+p}(k)[y] ⊗_{k} k[y′].

Soit P ∈ A_{n+p}(k), on définit ψ(P)(s) ∈ A_{n}(k)[s_{1}, …, s_{p}] comme suit. Pour j = 1, …, p, notons

S_{j} = \begin{cases}t_{j}^{ord^{V_{j}} (P)} si ord^{V_{j}}(P) ≥ 0 \\ ∂_{t_{j}}^{−ord^{V_{j}} (P)} sinon. \end{cases}

L’élément S_{1} ⋯ S_{p}P est alors d’ordre exactement (0, …, 0) par rapport à V. Soit alors ψ(P)(s) définit par :

ψ(−∂_{t}t) = σ^{V} (S_{1} ⋯ S_{p}P).

ALGORITHME 3.11 (calcul de B_{L} et b_{L}).

(1) Soit g_{1}, …, g_{r} une <_{L}-base standard de I alors l’ensemble {σ^{L}(g_{1}), …, σ^{L}(g_{r})} engendre gr^{L}(I). (Notons qu’une telle base standard s’obtient algorithmiquement à partir des n + p générateurs qui définissent I.)

(2) Soit J un idéal de A_{n+p}(k), on cherche J ∩ k[s].

Soient q_{1}, …, q_{r} un système de générateurs de J. Soit K l’idéal de A_{n+p}(k)[y, y′] engendré par l’ensemble {h^{V} (q_{i}), i = 1, …, r}∪ {1 − y_{j}y′_{j}, j = 1, …, p}. Soit alors G_{1}, …, G_{l} une base standard de K par rapport à un ordre qui privilègie d’abord le degré total en y, y′ puis le degré total en x, ∂_{x}. Quitte à renuméroter, soient G_{1}, …, G_{k} les G_{i} indépendants de y, y′, x, ∂_{x}. L’idéal J ∩ k[s] est alors engendré par {ψ(G_{1}), …, ψ(G_{k})}. (C’est ainsi qu’on peut calculer B_{L}.)

(3) Notons F un système fini de générateurs de B_{L}.

Ecrivons L = d_{1}V_{1} + ⋯ + d_{p}V_{p} (rappelons que les d_{i} sont entiers). Puisque L ≠ 0, il existe i_{0} tel que d_{i_{0}} soit non nul. Pour chaque b(s) ∈ F, soit b′(s′_{1}, …, s′_{p}) ∈ k[s′] défini par la relation

b′(s_{1}, …, \underbrace{L(s)}_{i_{0}-ième}, …, s_{p}) = b(s).

Notons alors F′ ⊂ k[s′] l’ensemble des b′ pour b ∈ F et < F′ > l’idéal qu’il engendre. Le générateur unitaire de l’idéal < F′ > ∩k[s′_{i_{0}}] est alors le polynôme b_{L}. (Ce dernier idéal s’obtient par un calcul de base standard de l’idéal < F′ > par rapport à un ordre qui élimine les variables s′_{1}, …, s′_{i_{0}−1}, s′_{i_{0}+1}, …, s′_{p}.)

Signalons que le processus utilisé au point 2 de cet algorithme est dû à T. Oaku et N. Takayama (voir par exemple [O-T]).

Jusqu’ici nous ne savons pas si l’idéal B_{L} et le polynôme b_{L} sont non nuls (sauf si k = C). Dans le paragraphe suivant, nous répondons à cette question.

1.3. ...sur un corps quelconque.

Notation : Pour f_{1}, …, f_{p} ∈ k[x], et pour K ⊃ k, nous noterons b_{L,k} (resp. b_{L,K}) le polynôme b_{L} ”algébrique” sur k (resp. sur K puisque les f_{j} peuvent être vus dans K[x]).

PROPOSITION 3.12. Pour tout corps k, le polynôme b_{L,k} est non nul et ses racines sont dans Q_{<0}.

Démonstration. Notons K = Q(c_{1}, …, c_{q}) où les c_{i} ∈ k forment l’ensemble des coefficients des f_{j}. Il est clair que b_{L,k} divise b_{L,K} donc

(a): Si b_{L,K} est non nul alors b_{L,k} est non nul. En examinant point par point l’algorithme qui permet de calculer b_{L,k}, on constate que tous les calculs se font avec des coefficients dans K, ainsi

(b): b_{L,K} et b_{L,k} égaux.

On peut inclure K dans C, c’est-à-dire qu’il existe e_{1}, …, e_{q} ∈ C et un monomorphisme de corps φ : K → C qui envoie c_{i} sur e_{i}. Pour j = 1, …, p, notons f′_{j} ∈ C[x] le polynôme obtenu en remplaçant c_{i} par e_{i}. Considérons alors les polynômes b_{L,C} et b_{L,φ(K)} associés à l’application polynomiale f′ = (f′_{1}, …, f′_{p}). Nous savons par le premier paragraphe que b_{L,C} est non nul et que ses racines sont dans Q_{<0}. L’analyse qui a été faite ci-dessus pour k et K s’applique encore à C et φ(K) donc

(c): b_{L,φ(K)} est non nul et ses racines sont dans Q_{<0}.

On peut étendre de manière naturelle φ de A_{n+p}(K) à A_{n+p}(C) et de K[x, s, \frac{1}{f_{1}···f_{p}}]f^{s} à C[x, s, \frac{1}{f′_{1}···f′_{p}}]f′^{s} en isomorphisme d’anneau pour la première flèche et de module pour la deuxième. On voit alors que b_{L,K} s’obtient en remplaçant e_{i} par c_{i} dans l’ecriture de b_{L,φ(K)} ainsi b_{L,K} est non nul et puisque, d’après (c), b_{L,φ(K)} est à coefficient dans Q, nous pouvons conclure que b_{L,φ(K)} = b_{L,K}. Il ne reste plus qu’à invoquer (a) et (b) pour conclure. □

2. Polynôme de Bernstein-Sato algébrique rationnel sur un corps quelconque

Dans cette section, on se propose de montrer le

THEOREME 3.13. Soit v ∈ N^{p} Soient f_{1}, …, f_{p} ∈ k[x] alors il existe b(s) ∈ Q[s_{1}, …, s_{p}] ∖ (0) et il existe P (s) ∈ A_{n}(k)[s] tels que :

b(s)f^{s} = P (s)f^{s+v}.

Pour ce faire, nous aurons besoin de deux résultats.

On note comme précédement I l’annulateur de f^{s} dans A_{n+p}(k) et M = A_{n+p}(k)/I.

PROPOSITION 3.14.

(1) Notons E_{V} (h(I)) l’éventail de Gröbner algébrique de h(I) ⊂ A_{n+p}(k)⟨z⟩ associé à la filtration V (A_{n+p}(k)). Si on note L(E_{V} (h(I))) les éléments primitifs de son 1-squelette alors pour tout w de Z^{p},

\overline{V}_{w}(M) = ⋂_{L∈L(E_{V} (h(I)))} V_{L(w)}^{L}(M).

(2) Il existe κ ∈ N^{p} tel que pour tout w ∈ Z^{p},

V_{w}(M) ⊂ \overline{V}_{w}(M) ⊂ V_{w+κ}(M).

Pour le premier point, la preuve se fait presque mot à mot comme dans le cas analytique traité dans le chapitre précédent. Pour le deuxième point et pour p = 2, la preuve analytique du chapitre précédent s’adapte sans difficultés au cas algébrique. Pour le cas p ≥ 3, nous nous référons au résultat de C. Sabbah dont la preuve dans le cas algébrique ne semble pas poser de difficultés supplémentaires.

LEMME 3.15. Pour L entière dans U_{V}, le polynôme b_{L} vérifie : pour tout k ∈ Z, b_{L}(L(−∂_{t}t) − k)V_{k}^{L}(M) ⊂ V_{k−1}^{L}(M).

La preuve de ce lemme a été faite dans le chapitre précédent, il s’agit d’un calcul facile.

2. POLYNÔME DE B.-S. ALGÉBRIQUE RATIONNEL SUR UN CORPS QUELCONQUE 61

Maintenant considérons le polynôme suivant :

b(s_{1}, …, s_{p}) = ∏_{L∈L(E_{V} (h(I)))} ∏_{−L(v+κ)<k≤0} b_{L}(L(s) − k).

D’après ce qui a été montré plus haut, ce polynôme est non nul et appartient à Q[s]. Par la proposition et le lemme précédents,

b(s)f^{s} = Qf^{s},

avec Q = Q′t_{1}^{v_{1}} ⋯ t_{p}^{v_{p}} et Q′ ∈ A_{n}(k)[−∂_{t}t][t]. En utilisant le fait que t_{j} − f_{j} annule f^{s}, on obtient Qf^{s} = P (s)f^{s+v} avec P (s) ∈ A_{n}(k)[s]. Le théorème précédent est démontré.

Pour finir, disons quelques mots de conclusion. La raison pour laquelle ce théorème est intéressant (outre le résultat lui-même) est que l’on s’en servira dans la suite pour fabriquer un polynôme de Bernstein générique rationnel sur n’importe quel corps k.

Nous tenons aussi à faire remarquer que dans le cas où p = 2, il est possible de tout calculer. C’est-à-dire qu’il est possible de construire en un nombre fini d’étapes l’éventail de Gröbner de h(I), de trouver un κ qui réponde au point 2 de la proposition ci-dessus et comme nous l’avons vu de calculer pour chaque L de L(E_{V} (h(I))) le polynôme b_{L}.

Il est intéressant de demander si l’idéal B^{v}(f) possède des générateurs de la forme du b construit plus haut. Autrement dit :

QUESTION (voir A.1 dans l’annexe). Etant donné v, l’idéal B^{v} est-il engendré par des polynômes s’écrivant ∏_{L} ∏_{k≥0} b_{L}(L(s) + k) ?

La réponse est non en général comme nous le verrons dans l’annexe. Néanmoins on peut se demander si tout idéal B^{v} admet des générateurs rationnels : la question reste ouverte.

Deuxième partie

Etude générique des polynômes de Bernstein-Sato et des éventails de

Gröbner

CHAPITRE 4 Spécialisation des bases de Gröbner

Dans ce court chapitre, nous allons présenter les outils nécessaires aux deux chapitres suivants. Voici le problème que nous allons aborder. On se donne un idéal J de A_{n}(k)[a] (resp. de A_{n}(C){a} = A_{n}(C)⊗C{a}) k étant un corps et a = (a^{1}, …, a^{m}) un système de variables mais vues comme des paramètres. Ces paramètres seront dit algébriques ou analytiques selon que J dépendant analytiquement ou polynomialement de a. Soit V = V (Q) une variété algébrique de k^{m} (resp. un germe de variétés analytiques en 0 de C^{m}) donnée par les zéros d’un idéal Q que nous supposerons premier dans k[a] (resp. dans C{a}). Pour tout a_{0} ∈ k^{m} et pour f ∈ A_{n}(k)[a], on notera f_{|a_{0}} ∈ A_{n}(k) le spécialisé de f en a. Voici une définitions plus précise : on écrit f = ∑_{αβ} c_{αβ}(a)x^{α}∂_{x}^{β}, on pose alors f_{|a_{0}} = ∑_{αβ} c_{αβ}(a_{0})x^{α}∂_{x}^{β}. Pour un idéal J ⊂ A_{n}(k)[a], on note J_{|a} le spécialisé de J en a ∈ k^{m} qui n’est rien d’autre que l’ensemble des spécialisés des éléments de J (ils forment un idéal). En ce qui concerne la spécialisation d’un idéal à coefficients dans C{a}, nous verrons dans un paragraphe qui lui est consacré comment on peut se contenter de spécialiser un représentant de J en tout point d’un petit voisinage de 0 dans C^{m}.

Pour des raisons techniques (que nous comprendrons plus facilement dans la suite), nous supposerons que J contient Q. Soit maintenant G une base de Gröbner de J par rapport à un certain ordre ≺ sur N^{2n+m} dont on note < la restriction à N^{2n} (tous les ordres sont supposés bons dans le cas algébrique et seront des ordres avec lesquels on peut diviser dans le cas analyique).

Il est naturel de se demander comment se comportent les spécialisés G_{|a} de G lorsque a parcourt V. Forment-ils une base de Gröbner de J_{|a} par rapport à <? C’est la question à laquelle nous allons répondre. Décrivons le déroulement de ce chapitre. Dans un premier temps, nous allons introduire un certain nombre de notations qui malgrès leur relative lourdeur seront nécessaires pour ce chapitre et pour les deux suivants. Dans un deuxième temps, nous répondrons à la question de départ dans ce que l’on va appeler le lemme de spécialisation faible. Pourquoi faible ? Car nous donnons dans un troisième temps une version qualifiée de forte de ce lemme. J’ai décidé de séparer les deux versions car la première est me semble-t-il plus facile à appréhender et finalement même si elle ne constitue qu’un cas particulier de son homologue ”forte” elle est en soi un résultat intéressant. Pour être plus précis, nous verrons que la spécialisation faible consiste en une spécialisation aux points fermés alors que la version forte est une spécialisation en tout point d’un sous-schéma de k^{m} (resp. (C^{m}, 0)) et nous verrons que la version forte de la spécialisation d’un idéal dépendant de C{a} se définit de façon plus naturelle que son homologue faible.

Nous finirons ce chapitre par des résultats auxiliares (lemme de réduction et application aux polynômes de Hilbert) qui nous seront utiles dans la suite.

A ma connaissance, une des premières références concernant et contenant les lemmes de spécialisations fortes et faibles (dans le cas algébrique) est [Lej-P] (citons aussi [Lej-P2] qui est la version publiée de la précédente).

1. Notations génériques

Dans le souci d’être aussi général que possible, donnons nous un anneau C qui soit commutatif, unitaire et intègre (il faudra penser à C comme l’anneau des coefficients, pour nous ce sera k[a] dans le cas algébrique et C{a} dans le cas analytique). On écrira A_{n}(C) pour désigner l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans C.

On se donne un bon ordre < compatible avec l’addition sur N^{2n}, on se donne aussi f ∈ A_{n}(C) qu’on écrit :

f = ∑_{αβ} c_{αβ}x^{α}∂_{x}^{β},

avec c_{αβ} ∈ C. On note N^{gen}(f) et on appelle nuage générique de f l’ensemble des (α, β) ∈ N^{2n} tels que c_{αβ} est non nul. Si aucune confusion n’est possible, on notera c_{αβ}(f) l’élément c_{αβ}(a) de l’écriture précédente, ce sera le coefficient de f indexé par (α, β). On notera aussi coef(f) ⊂ C l’ensemble des coefficients de f. On note exp_{<}(f) le maximum pour < de N^{gen}(f). S’il n’y a pas de confusion on dit que c’est l’exposant privilégié générique de f. Le coefficient c_{exp_{<}(f)}(f) jouera un rôle suffisement important dans la suite nous l’appelons le coefficient privilégié générique de f et on le note cp_{<}(f). Rappelons qu’il vit dans C. On notera aussi mp_{<}(f) = (x, ∂_{x})^{exp_{<}(f)} le monôme privilégié générique de f. Enfin on note tp_{<}(f) = cp_{<}(f)mp_{<}(f) le terme privilégié générique de f.

Maintenant, soit Q un idéal premier de C. Soit J un idéal de A_{n}(C) contenant Q. Nous allons définir les notions d’escalier générique et de base standard générique (sur V (Q)) de J par rapport à <.

On définit l’escalier générique de J (sur V (Q)) par rapport à < par :

exp_{<}(J) = {exp_{<}(f) ; f ∈ J et cp_{<}(f) ∉ Q}.

Il est clair que cet ensemble est un escalier, en ce sens qu’il est stable par translation dans N^{2n}. Ainsi par le lemme de Dickson, cet escalier admet un système fini de générateurs.

Soit G un sous-ensemble (fini) de J, on dit que G est une base standard générique (sur V (Q)) de J par rapport à < si :

∀g ∈ G, cp_{<}(g) ∉ Q et exp_{<}(J) = ⋃_{g∈G}(exp_{<}(g) + N^{2n}).

Dans ce qui suit, nous allons énoncer le premier lemme de spécialisation, mais avant cela nous apportons une petite précision sur la notion de spécialisation dans le cas analytique (où C = C{a}).

2. Lemmes de spécialisation

2.1. Spécialisation analytique. Dans le cas algébrique (évoqué plus haut) il n’y a aucun problème à définir le spécialisé d’un idéal J ⊂ A_{n}(k)[a] en un point a ∈ k^{m}. C’est simplement l’ensemble des spécialisés f_{|a} de f en a avec f qui parcourt J. Mais lorsque J est un idéal de A_{n}(C){a}, il faut être plus précis. C’est le but de ce paragraphe.

Dans le souci d’être général soit A un anneau (il faut penser à A = A_{n}(C) ou bien A = C[x_{1}, …, x_{n}], en tout cas A est une C-algèbre de type fini). Soit J un idéal (à gauche) de A{a} = A ⊗_{C} C{a}. Dans ce qui suit, nous allons définir, non pas le spécialisé de J en a mais une application nommée spécialisation. Ce sera un germe d’application sp_{J} de (C^{m}, 0) dans l’ensemble des idéaux de A.

Pour un ouvert U de C^{m}, on note O(U) les fonctions analytiques de U vers C. Soit R (sous-entendu l’ensemble des représentants d’un idéal de A{a}) défini

comme l’ensemble des couples (F, U) où U est un voisinage ouvert de 0 dans C^{m} et F est un sous-ensemble fini de A ⊗ O(U). Soit ∼ la relation définie sur R par : (F_{1}, U_{1}) ∼ (F_{2}, U_{2}) si et seulement si il existe un ouvert U tel que 0 ∈ U ⊂ U_{1} ∩ U_{2} et tel que les idéaux < F_{1}_{|U} > et < F_{2}_{|U} > de A ⊗ O(U) soient égaux (la notation F_{|U} désigne l’ensemble des restrictions f_{|U} de f à U lorsque f parcourt F). Clairement, la relation ∼ est une relation d’équivalence dont l’ensemble des classes s’identifie naturellement à l’ensemble des idéaux de A{a}.

Si E est un ensemble, on note F((C^{m}, 0), E) l’ensemble des germes d’applications de (C^{m}, 0) dans E.

Etant donné un idéal J de A{a}. On définit sp_{J} ∈ F((C^{m}, 0), {idéaux de A}) comme le germe dont un représentant est :

U_{1} → {idéaux de A}
a ↦ < F_{1}_{|a} >,

où (F_{1}, U_{1}) est un représentant de J.

Montrons qu’une telle application est bien définie. Pour cela, soit (F_{1}, U_{1}) et (F_{2}, U_{2}) deux représentants de J. Soit alors (pour i = 1, 2) ϕ_{i} : U_{i} → {idéaux de A} donnée par ϕ_{i}(a) =< F_{i}_{|a} >. Notons F_{1} = {f_{1}, …, f_{r_{1}}} et F_{2} = {g_{1}, …, g_{r_{2}}}. Il n’est alors pas difficile de voir qu’il existe un voisinage U ⊂ U_{1} ∩ U_{2} de 0 ∈ C^{m} et il existe s_{k}^{j} et t_{j}^{k} dans A ⊗ O(U) avec j = 1, …, r_{1} et k = 1, …, r_{2} tels que pour tout j et pour tout k :

f_{j}_{|U} = ∑_{k=1}^{r_{2}} s_{k}^{j}g_{k}_{|U} et g_{k}_{|U} = ∑_{j=1}^{r_{1}} t_{j}^{k}f_{j}_{|U}.

Par conséquent, pour tout a ∈ U, les idéaux < F_{1}_{|a} > et < F_{2}_{|a} > sont égaux, i.e. ϕ_{1}_{|U} = ϕ_{2}_{|U}. Autrement dit ϕ_{1} et ϕ_{2} représentent le même germe. L’application sp_{J} est bien définie. Maintenant que la spécilisation analytique est définie avec plus de rigueur, nous sommes en mesure d’énoncer le premier lemme de spécialisation.

2.2. Les énoncés.

2.2.1. La version faible. Nous allons énoncer le lemme de spécialisation faible dans le cas algébrique en faisant des remarques concernant le cas analytique mais les différentes assertions sont encore valables en écrivant respectivement C{a}, A_{n}(C){a} et A_{n}(C) à la place de k[a], A_{n}(k)[a] et A_{n}(k). On se donne un idéal Q premier dans k[a]. Soit J un idéal de A_{n}(k)[a] contenant Q. Soit G une base standard générique de J par rapport à <. Posons

h = ∏_{g∈G} cp_{<}(g),

il s’agit d’un élément de k[a] ∖ Q.

LEMME 4.1 (de spécialisation faible). Pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h),

exp_{<}(J_{|a}) = ⋃_{g∈G}(exp_{<}(g_{|a}) + N^{2n}).

REMARQUE 4.2 (Cas analytique). Au vu de ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, il suffit de travailler avec des représentants et de prendre a dans un petit voisinage de 0 ∈ C^{m}.

REMARQUE. – Nous voyons que J =< Q > si et seulement si G = ∅

auquel cas h = 1 (la notation < Q > désigne l’idéal engendré par Q).

– Pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h), le spécialisé G_{|a} de G en a est une base standard de J_{|a} dont l’escalier exp_{<}(J_{|a}) est constant égal à exp_{<}(J). Ceci justifie l’appellation de base standard générique et d’escalier générique sur V (Q).

Construction effective d’une base standard générique

En effet, nous avons vu l’existence théorique d’une <-base standard générique de J sur V (Q) (par le lemme de Dickson) mais on peut se demander comment en construire une algorithmiquement. Dans ce paragraphe, nous allons répondre à cette question.

On se donne donc J un idéal de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}) contenant un idéal premier Q de k[a] (resp. C{a}) et < un bon ordre sur N^{2n} compatible avec l’addition.

– Dans le cas algébrique, soit <^{alg} un bon ordre sur N^{m} compatible avec l’addition (rappelons que a est un système de m variables).

– Dans le cas analytique, soit <^{an} un ordre qui permette de faire des divisions dans C{a}, par exemple :

η <^{an} η′ ⟺ \begin{cases}|η| > |η′| \\ ou(|η| = |η′| et η <^{alg} η′. \end{cases}

On définit un nouvel ordre ≺ sur N^{2n+m} par :

(α, β, η) ≺ (α′, β′, η′) ⟺ \begin{cases}(α, β) < (α′, β′) \\ ou \\ (α, β) = (α′, β′) et η <_{0} η′, \end{cases}

où <_{0} est égal à <^{alg} dans le cas algébrique et <^{an} dans le cas analytique. Clairement, ≺ est un ordre compatible avec l’addition dans N^{2n+m}; il est bon dans le cas algébrique et permet de faire des divisions dans le cas analytique. Maintenant soit G̃ une ≺-base standard minimal de J. Un tel ensemble peut se construire (du moins dans le cas algébrique) effectivement si on connait un système fini de générateurs de l’idéal J (ceci se fait par l’algorithme de B. Buchberger). Avant d’aller plus loin, montrons que les trois assertions suivantes sont équivalentes pour tout g ∈ G̃ (on fait la preuve uniquement dans le cas algébrique).

(1) g ∈ Q.

(2) g ∈< Q >.

(3) cp_{<}(g) ∈ Q.

– Montrons 2 ⇒ 3. Par hypothèse g = ∑_{i} q_{i}(a)P_{i} où q_{i}(a) ∈ Q et P_{i} ∈ A_{n}(k)[a].

Ainsi

g = ∑_{αβ} ( ∑_{i} q_{i}(a)c_{αβ}(P_{i}))x^{α}∂_{x}^{β}.

Par identification, tous les coefficients de g sont dans Q, c’est le cas en particulier de cp_{<}(g).

– Montrons 3 ⇒ 1. Ecrivons g = cp_{<}(g)x^{α}∂_{x}^{β} + ⋯ où (α, β) = exp_{<}(f). Ainsi, puisque cp_{<}(g) ∈ Q ⊂ J :

exp_{≺}(g) = exp_{≺}(cp_{<}(g)) + (α, β, 0)

et

exp_{≺}(cp_{<}(g)) = exp_{≺}(g′) + (α_{1}, β_{1}, η_{1}),

avec g′ ∈ G̃. Par minimalité de G̃, on a (α, β, 0) = (α_{1}, β_{1}, η_{1}) = (0, 0, 0). Par conséquent g = cp_{<}(g) ∈ Q. L’implication 1 ⇒ 2 étant triviale, la preuve est terminée.

AFFIRMATION 4.3. Considérons G = G̃ ∖ Q. Alors G est une <-base standard générique de G sur V (Q).

Avant d’écrire la preuve, remarquons qu’il est possible (toujours dans le cas algébrique) d’obtenir effectivement G à partir de G̃, il suffit pour cela d’avoir une base standard de Q par rapport à <_{0} et de diviser chaque élément de G̃ ∩ k[a] par cette base pour savoir s’il appartient à Q.

Démonstration. On écrit la preuve dans le cas algébrique, en effet la seule chose dont nous aurons besoin est une division dans k[a] (resp. C{a}). Par les trois équivalences décrites plus haut, pour tout g ∈ G, le coefficient cp_{<}(g) n’appartient pas à Q. Il ne reste donc plus qu’à montrer que pour tout f ∈ J tel que cp_{<}(f) ∉ Q, il existe g ∈ G tel que exp_{<}(f) ∈ exp_{<}(g) + N^{2n}. Par élimination, l’ensemble G ∩ k[a] est une <^{alg}-base standard de J ∩ k[a]. Nous allons traiter deux cas :

(1) Cas où Q est inclus strictement dans J ∩ k[a] : dans ce cas, il existe g ∈ G̃ qui soit dans k[a] ∖ Q. Il est alors facile de voir que G est une <-base standard générique de J sur V (Q).

(2) Cas où Q = J ∩ k[a].

Dans ce cas, G̃ ∩ Q = G̃ ∩ k[a] et cet ensemble est une <^{alg}-base standard de Q. Soit f ∈ J tel que cp_{<}(f) ∉ Q. Ecrivons f = cp_{<}(f)mp_{<}(f) + f′ et divisons cp_{<}(f) par G̃ ∩ Q par rapport à <^{alg}. Notons r le reste (qui est non nul). Posons

f_{1} = r · mp_{<}(f) + f′.

On a alors : exp_{<}(f) = exp_{<}(f_{1}), f_{1} ∈ J et cp_{<}(f_{1}) = r ∉ Q. Maintenant, par définition de G̃, il existe g ∈ G̃ tel que exp_{≺}(f_{1}) ∈ exp_{≺}(g) + N^{2n+m} donc aussi exp_{<}(f_{1}) ∈ exp_{<}(g) + N^{2n}. Par l’absurde, si cp_{<}(g) ∈ Q ou encore (par la série d’équivalences précédente) si g ∈ Q alors exp_{<^{alg}}(r) ∈ exp_{<^{alg}}(g) + N^{m} ce qui est impossible par construction de r. Bilan :

exp_{<}(f) = exp_{<}(f_{1}) ∈ exp_{<}(g) + N^{2n},

avec g ∈ G̃ ∖ Q = G.

□

Nous n’écrirons pas de preuve directe du lemme de spécialisation faible car comme nous le verrons, ce lemme est un cas particulier du lemme de spécialisation forte qui suit.

2.2.2. La version forte. Afin d’énoncer le lemme suivant, nous avons besoin d’introduire quelques notations supplémentaires. Soit P un idéal premier de k[a] (resp. C{a}). On note [·]_{P} la classe d’un élément de k[a] (resp. C{a}) dans le quotient k[a]/P (resp. C{a}/P). On note k(P) (resp. C(P)) le corps des fractions de k[a]/P (resp. C{a}/P). Ce corps peut être vu comme le corps des fractions rationnelles (resp. des fonctions méromorphes) à pôle ne contenant pas V (P). Pour c ∈ k[a], on notera σ_{P} (c) = \frac{[c]_{P}}{1} ∈ k(P) (la définition étant identique dans C{a}). On prolonge cette définition aux éléments de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}) de la façon suivante : on écrit g = ∑_{αβ} c_{αβ}(g)x^{α}∂_{x}^{β} et on définit σ_{P} (g) ∈ A_{n}(k(P)) (resp. A_{n}(C(P))) par :

σ_{P} (g) = ∑_{αβ} \frac{[c_{αβ}(g)]_{P}}{1} x^{α}∂_{x}^{β}.

Maintenant si J est un idéal de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}), on définit l’idéal σ_{P} (J) comme l’idéal de A_{n}(k(P)) (resp. A_{n}(C(P))) engendré par les σ_{P} (g) pour g ∈ J. C’est le spécialisé de J en P. Ceci nous montre que de ce point de vue, la spécialisation forte est plus facile à définir dans le cas analytique.

Enonçons le lemme de spécialisation forte dans A_{n}(k)[a] (les choses étant identiques dans A_{n}(C){a}). Les hypothèses de départ sont les mêmes que dans la version faible, à savoir la donnée d’un idéal J de A_{n}(k)[a] contenant un idéal premier Q de k[a], une <-base standard générique G de J et h ∈ k[a] défini comme précédement.

LEMME 4.4. (de spécialisation forte) Pour tout idéal P ⊂ k[a] premier tel que h ∉ P ⊇ Q,

exp_{<}(σ_{P} (J)) = ⋃_{g∈G}(exp_{<}(σ_{P} (g)) + N^{2n}).

Démonstration. Afin d’être aussi général que possible, nous allons travailler avec J dans A_{n}(C) où C est un anneau commutatif, intègre et unitaire (non nécessairement noethérien) ; on voit A_{n}(C) comme la C algèbre engendrée par les x_{i} et les ∂_{x_{i}} avec des relations de commutations identiques à celles de A_{n}(k) et où C est dans le centre de A_{n}(C). Pour nous C est égal à k[a] ou C{a} mais nous appliquerons aussi le lemme avec C = O(U) où U est un petit voisinage ouvert connexe de 0 dans C^{m}. Comme au dessus, pour P ⊂ C premier, nous noterons [·]_{P} la classe dans C/P et σ_{P} (·) = \frac{[·]_{P}}{1} vu dans le corps des fractions de C/P. Nous étendons ces définitions à un élément de A_{n}(C).

Avant d’entamer la preuve proprement dite, faisons une remarque. Pour tout f ∈ A_{n}(C), on a :

exp_{<}(σ_{P} (f)) = exp_{<}(f) ⟺ cp_{<}(f) ∉ P.

Ainsi pour tout P tel que h ∉ P et pour tout g ∈ G, on a :

exp_{<}(σ_{P} (g)) = exp_{<}(g).

Soit maintenant f′ ∈ σ_{P} (J) ∖ 0. Le but est de montrer l’existence d’un g ∈ G tel que exp_{<}(f′) ∈ exp_{<}(g) + N^{2n}. Par définition, on peut écrire :

f′ = ∑_{i} \frac{[Γ_{i}]_{P}}{[γ_{i}]_{P}} \frac{[f_{i}]_{P}}{1} ,

avec Γ_{i} ∈ A_{n}(C), γ_{i} ∈ C ∖ Q et f_{i} ∈ J, par suite il est facile d’obtenir :

f′ = \frac{[f]_{P}}{[γ]_{P}} ,

où f ∈ J et γ ∈ C ∖ Q. Puisque J contient Q, on peut supposer que cp_{<}(f) n’appartient pas à Q. Ainsi par définition de G, il existe g ∈ G tel que exp_{<}(f) ∈ exp_{<}(g) + N^{2n}. En utilisant le caractère bon de <, nous allons montré qu’il existe f̃ ∈ J tel que :

(1) il existe c ∈ C ∖ Q tel que f′ = σ_{P} (c)σ_{P} (f̃),
(2) cp_{<}(f̃) ∉ P.

Supposons que cp_{<}(f) ∈ P. Soit λ = cp_{<}(f)m_{0} avec m_{0} = (x, ∂_{x})^{exp_{<}(f)−exp_{<}(g)}. Nous avons :

mp_{<}(f) = m_{0}mp_{<}(g) + λ′ avec exp_{<}(λ′) < exp_{<}(f).

Ecrivons : f = cp_{<}(f)mp_{<}(f) + v et g = cp_{<}(g)mp_{<}(g) + w (par définition, on a exp_{<}(v) < exp_{<}(f) et de même pour g et w). Posons :

f_{1} = cp_{<}(g)f − cp_{<}(f)m_{0}g.

On a : f_{1} ∈ J et σ_{P} (f_{1}) = σ_{P} (cp_{<}(g))σ_{P} (f) ainsi f′ = σ_{P} (c_{1})σ_{P} (f_{1}) avec c_{1} ∉ P. De plus nous avons :

f_{1} = cp_{<}(f)cp_{<}(g)(v + λ′) − cp_{<}(f)m_{0}w,

ce qui implique que exp_{<}(f_{1}) < exp_{<}(f). Comme Q ⊂ J, on peut supposer cp_{<}(f_{1}) ∉ Q. Si le coefficient privilégié cp_{<}(f_{1}) de f_{1} est dans P, on applique à f_{1} le même procédé qu’à f. Comme < est un bon ordre, un tel processus doit s’arrêter. Ainsi il existe f̃ ∈ J qui satisfait au deux conditions écrites plus haut. Soit donc g̃ ∈ G tel que exp_{<}(f̃) ∈ exp_{<}(g̃) + N^{2n}.

Pusique cp_{<}(f̃) ∉ P, on a : exp_{<}(f̃) = exp_{<}(σ_{P} (f̃)). De plus comme h ∉ P, on a exp_{<}(g̃) = exp_{<}(σ_{P} (g̃)). Comme σ_{P} (c)σ_{P} (f̃) = f′, on peut conclure :

exp_{<}(f′) ∈ exp_{<}(σ_{P} (g̃)) + N^{2n}.

Le lemme est démontré. □

Nous avons dit que le lemme de spécialisation faible est un cas particulier de son homologue forte, en effet :

REMARQUE 4.5. (Comment retrouver le lemme de spécialisation faible)

– Cas algébrique. Pour a_{0} ∈ k^{m} on considère m_{a_{0}} l’idéal maximal de k[a] centré en a_{0} (i.e. engendré par les a^{i} −a_{0}^{i} pour i = 1, …, m). On a a_{0} ∈ V (Q)∖V (h) si et seulement si h ∉ m_{a_{0}} ⊇ Q. De plus k(m_{a_{0}}) = k. On voit donc qu’en appliquant le lemme fort à des P de la forme m_{a_{0}}, on retrouve le lemme faible.

– Cas analytique. Soit G′ une famille de représentants des éléments de G et soit U un ouvert (connexe) de C^{m} contenant 0 tel que (G′, U) représente l’idéal J. Notons J′ ⊂ O(U) l’idéal engendré par G′. Soient Q′ et h′ des représentants respectifs de Q et h. Par le lemme de spécialisation forte (nous avons vu dans sa preuve que nous pouvons l’appliquer ici), on a : pour tout idéal premier P′ de O(U) tel que h′ ∉ P′ ⊇ Q′,

exp_{<}(σ_{P′}(J′)) = ⋃_{i=1}^{q}(exp_{<}(σ_{P′}(g′_{i})) + N^{2n}).

En prenant pour chaque a ∈ U, P′ égal à l’idéal maximal de O(U) centré en a, on obtient l’énoncé du lemme de spécialisation faible analytique (en effet l’énoncé consiste à travailler avec un représentant et nous avons vu dans le paragraphe 2.1 que le resultat ne dépend pas du choix du représentant).

REMARQUE 4.6. Nous avons décidé d’exposer cette section avec un idéal de A_{n}(k)[a] (dans le cas algébrique pour fixer les idées) mais il faut néanmoins dire que tous les résultats sont encore valables dans le cas d’un idéal de A_{n}(k)⟨z⟩[a] ou de k[x][a] pourvu que l’ordre de départ soit bon.

3. Résultats complémentaires

Dans cette section, nous incluons une application facile du lemme de spécialisation (faible), à savoir la constance générique du polynôme de Hilbert (introduit dans le chapitre 2) associé à un idéal de k[y_{1}, …, y_{n}][a] dépendant du système de paramètres a, il en résulte la constance générique de la dimension et du degré de la variété algébrique définie par l’idéal en question dans le cas où k est algébriquement clos. Nous y ajoutons un autre joli résultat que nous avons baptisé ”lemme de réduction”. Il s’agit d’un résultat crucial dans la preuve de la constructibilité de l’éventail de Gröbner. Mais avant cela, voyons un lemme dit de constructibilité qui bien que trivial introduit l’esprit dans lequel vont se dérouler les deux chapitres suivants.

3.1. Lemme de constructibilité. Dans ce court paragraphe, nous montrons un lemme que nous utiliserons assez fréquement. Les hypothèses du lemme sont assez générales pour englober la majorité des cas que nous traiterons.

Rappelons qu’étant donné A ⊂ k^{m}, un ensemble localement fermé de A est la différence de deux fermés de Zariski de A. De même, soit A inclus dans un voisinage de 0 ∈ C^{m}, un ensemble localement fermé de A est une différence de deux fermés de Zariski de A. Si A ⊂ k^{m}, un constructible de A est une union finie d’ensembles localement fermés de A et de même dans le cas analytique. Signalons que les constructibles forment la plus petite classe des parties de A stables par union finie, intersection finie et complémentaire et contenant les fermés de Zariski de A.

Soit a = (a^{1}, …, a^{m}) un système de paramètres algébriques (resp. analytiques). Supposons donnée une application O qui à a de k^{m} (resp. d’un voisinage de 0 dans C^{m}) associe un objet O_{a} de la catégorie des ensembles (éventuellement un singleton, par exemple un polynôme). Et supposons que pour tout idéal Q premier de k[a] (resp. de C{a}), il existe h ∈ k[a] ∖ Q (resp. h ∈ C{a} ∖ Q) tel que l’application O soit constante sur V (Q) ∖ V (h), voici l’énoncé du lemme dans le cas algébrique.

LEMME 4.7. Il existe une partition finie k^{m} = ⊔W en ensembles localement fermés telle que sur chaque W la restriction de O est constante.

REMARQUE. Dans la version analytique du lemme il faut remplacer k^{m} par un voisinage de 0 ∈ C^{m} et ”localement fermés” par ”localement fermés analytiques”

Nous écrivons la preuve dans le cas algébrique mais elle se fait à l’identique dans le cas analytique.

Démonstration. Démontrons le résultat (à priori) plus général suivant : Tout fermé de Zariski Y ⊂ k^{m} s’écrit comme union de localement fermés sur lesquels la restriction de O est constante. La preuve de ceci se fait par récurrence sur la dimension de Y dim Y. Si dim Y = 0, le résultat est trivial. Supposons donc dim Y ≥ 1. Ecrivons Y = V (Q_{1})∪⋯∪V (Q_{r}) où chaque Q_{i} est un idéal premier de k[a]. Pour chaque i, soit h_{i} ∈ k[a] ∖ Q_{i} tel que la restriction de O à V (Q_{i}) ∖ V (h_{i}) soit constante. L’ensemble Y s’écrit de la façon suivante :

Y = ( ⨆_{i=1}^{r} V (Q_{i}) ∖ V (h_{i})) ⨆ Y′

avec Y′ = ⨆_{i=1}^{r} (V (Q_{i}) ∩ V (h_{i})) pour lequel dim Y′ < dim Y car, rappelons le, pour

chaque i, h_{i} ∉ Q_{i}. En appliquant l’hypothèse de récurrence à Y′, on obtient le résultat cherché. Appliquons ce résultat à Y = k^{m}, on obtient une écriture de k^{m} en une union finie de localement fermés W′ telle que sur chaque W′, la restriction de O est constante. Pour obtenir la partition recherchée, il suffit de réorganiser l’écriture précédente sachant que les ensembles constructibles sont stables par intersection et réunion finie. □

3.2. Polynôme de Hilbert générique. Voici les donnés qui comme précédement se divisent en deux cas : algébriques et analytiques. On se donne un système de paramètres a = (a^{1}, …, a^{m}), des coordonnées y = (y_{1}, …, y_{n}) et un idéal J de k[y][a] (resp. de C[y]{a}). Voici les résultats auxquels on veut arriver.

PROPOSITION 4.8. Soit Q un idéal premier de k[a] (resp. C{a}) contenu dans J. Il existe h ∈ k[a]∖Q (resp. h ∈ C{a}∖Q) tel que pour tout a ∈ V (Q)∖V (h), le polynôme de Hilbert de k[y]/J_{|a} est constant.

COROLLAIRE 4.9. Dans le cas où k algébriquement clos (dans le cas analytique, k = C) , la dimension et le degré de la variété définie par J_{|a} sont constants sur V (Q) ∖ V (h).

COROLLAIRE 4.10. Il existe une partition finie de k^{m} (resp. d’un voisinage de 0 ∈ C^{m}) en ensembles localement fermés (resp. localement fermés analytiques) telle que sur chaque strate de cette partition, le polynôme de Hilbert soit constant.

Pour ce dernier corollaire, il suffit pour chaque Q de poser J_{Q} = J+ < Q > de lui appliquer la proposition 4.8 et de remarquer que pour tout a ∈ V (Q), les spécialisés J_{|a} et J_{Q}_{|a} sont égaux. On est alors dans les conditions du lemme de constructibilité. Pour le corollaire précédent, le lecteur est prié de se reporter à la proposition suivante.

DEFINITION. Soit I un idéal de k[y] et E ⊂ N^{n} un escalier (i.e. E = E + N^{n}).

– On définit la fonction de Hilbert de I, HF_{I} : N → N par

HF_{I}(r) = dim_{k} (k[y]_{≤r}/I_{≤r})

où k[y]_{≤r} = {P ∈ k[y] / deg_{y}(P) ≤ r} et I_{≤r} = I ∩ k[y]_{≤r}.

– On définit la fonction de Hilbert de E, HF_{E} de N dans N par HF_{E}(r) = card{α ∈ N^{n} / |α| ≤ r et α ∈ N^{n} ∖ E}.

PROPOSITION 4.11. (cf [C-L-O])

– Il existe un polynôme HP_{I} ∈ Q[r] tel que pour tout entier r assez grand HF_{I}(r) = HP_{I}(r). De plus le terme dominant de HP_{I} est de la forme suivante \frac{e}{d!}r^{d} où e et d sont des entiers positifs. On appelle HP_{I} le polynôme de Hilbert de I.

– Supposons k algébriquement clos. Dans ce cas la dimension et le degré de V (I) sont respectivement d et e.

Sur N^{n}, introduisons l’ordre <^{T} suivant qu’on appelle l’ordre total :

α <^{T} α′ ⟺ \begin{cases}|α| < |α′| \\ ou \\ |α| = |α′| et α <_{0} α′ \end{cases}

où <_{0} est un bon ordre quelconque compatible avec + sur N^{n}.

LEMME 4.12. Soit I un idéal de k[y] et E = exp_{<^{T}} (I) alors HF_{I} = HF_{E}.

Démonstration. Fixons un entier r positif. Notons Δ̄_{r} = {α ∈ N^{n}∖exp_{<^{T}} (I) / |α| ≤ r} et A(r) = {[y^{α}] ∈ k[y]_{≤r}/I_{≤r} / α ∈ Δ̄_{r}} où [·] désigne la classe dans le quotient k[y]_{≤r}/I_{≤r}. Par définition, nous avons HF_{E}(r) = card(Δ̄_{r}). Montrons que A(r) est une base de k[y]_{≤r}/I_{≤r}. Libre : soit ∑_{α∈Δ̄_{r}} λ_{α}[y^{α}] = 0 alors P = ∑_{α} λ_{α}y^{α} est dans I. Si un des λ_{α} est non nul

alors l’exposant de P par rapport <^{T} est dans Δ̄_{r} ce qui est impossible. Générateur : soit P ∈ k[y]_{≤r}. Divisons P par une <^{T} -base standard de I et notons R le reste, on a [P] = [R]. Par division, on a exp_{<^{T}} (R) ≤_{T} exp(P)_{<^{T}} donc en particulier deg_{y}(R) ≤ r, on a aussi N (R) ⊂ N^{n} ∖ exp_{<^{T}} (I). Par conséquent [R] s’écrit comme combinaison linéaire des éléments de A(r). Bilan : HF_{I}(r) = card A(r) = card Δ̄_{r} = HF_{exp_{<^{T}} (I)}(r). □

COROLLAIRE 4.13. Si deux idéaux I_{1} et I_{2} de k[y] ont même escalier par rapport à <^{T} alors ils ont le même polynôme de Hilbert.

Nous sommes maintenant en mesure de démontrer la proposition 4.8.

démonstration de 4.8. Nous faisons la preuve dans le cas algébrique mais le cas analytique ne présente aucune difficulté supplémentaire. D’après le lemme de spécialisation faible, il existe h ∈ k[a] ∖ Q tel que sur V (Q) ∖ V (h) l’escalier de J_{|a} par rapport à <^{T} est constant ce qui donne la constance du polynôme de Hilbert. □

3.3. Lemme de réduction. Il s’agit d’un résultat dont on se servira dans le chapitre consacré à la constructibilité des éventails de Gröbner algébriques. L’idée de ce lemme est qu’étant donné un idéal J de A_{n}(k)[a] (on se place par exemple dans le cadre algébrique) contenant un idéal premier Q de k[a], un élément g ∈ A_{n}(k)[a] et un ordre < sur N^{2n}, on aimerait réduire g par rapport à l’escalier générique de J, c’est-à-dire que pour tout a tel que cp_{<}(g)(a) ≠ 0, le spécialisé de g en a est réduit par rapport à l’escalier de générique de J. Ce procédé de réduction sert par exemple à fabriquer des éléments de J qui pour un a générique se spécialisent en la base standard réduite minimale de J_{|a} (c’est ce que nous verrons dans le chapitre 6). Voici les hypothèses du lemme.

– J est un idéal de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}) contenant un idéal premier Q de k[a] (resp. C{a}).

– < est un bon ordre compatible avec l’addition sur N^{2n}.

– E = exp_{<}(J) l’escalier générique de J.

– g est un élément de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}).

LEMME 4.14 (de réduction). Il existe g̃ ∈ A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}) et c(a) ∉ Q tels que :

(i): c(a) · g − g̃ ∈ J

(ii): tp_{<}(g̃) = c(a) · tp_{<}(g)

(iii): N^{gen}(g̃) ∖ {exp_{<}(g̃)} ⊂ N^{2n} ∖ E

(iv): ∀(α, β) ∈ N^{gen}(g̃) ∖ {exp_{<}(g̃)}, c_{αβ}(g̃) ∉ Q

Démonstration. On écrit la preuve dans le cas algébrique. Soit {g_{1}, …, g_{r}} une <-base standard générique minimale de J (i.e. l’ensemble {exp_{<}(g_{k}), k = 1, …, r} engendre de façon minimale l’escalier E). Nous allons construire une suite (g̃_{i}) finie par récurrence sur i. Posons g̃_{0} = g et pour un i ∈ N supposons contruit g̃_{i}. Considérons l’ensemble suivant :

A_{i} = (N^{gen}(g̃_{i}) ∖ exp_{<}(g̃_{i})) ∩ E.

Si A_{i} est vide, la construction s’arrête sinon soit (α, β) le maximum de A_{i} pour l’ordre <. Il existe alors k tel que (α, β) = exp_{<}(g_{k}) + (α′, β′) avec (α′, β′) ∈ N^{2n}. On pose alors :

g̃_{i+1} = cp_{<}(g_{k}) · g̃_{i} − c_{αβ}(g̃_{i}) · x^{α′}∂_{x}^{β′} · g_{k}.

On obtient :

(a): tp_{<}(g̃_{i})/tp_{<}(g̃_{i+1}) ∈ k[a] ∖ Q

(b): max_{<} A_{i+1} < (α, β) si A_{i+1} ≠ ∅

Par (b), la suite des g̃_{i} s’arrête, on note g̃ son dernier terme. Il est clair que g̃ vérifie (i) et (ii) grâce à (a) et (iii) parce que A_{i} est vide. Pour avoir (iv), il suffit d’enlever à g̃ tous les termes c_{αβ}x^{α}∂_{x}^{β} pour lesquels c_{αβ} est dans Q. □

CHAPITRE 5 Polynôme de Bernstein-Sato générique

Dans ce chapitre nous allons considérer la situation suivante. On se donne f_{1}, …, f_{p} dépendant de x = (x_{1}, …, x_{n}) et a = (a^{1}, …, a^{m}). Les a^{i} seront considérés comme des paramètres et les f_{j} dépendront polynomialement ou analytiquement de a. Il est naturel de se demander comment se comporte l’idéal de Bernstein-Sato B^{v} du spécialisé en a dans k^{m} (k étant un corps qui est C dans le cas où le paramètre a est analytique) lorsque a parcourt k^{m} (ou un petit voisinage de 0 ∈ C^{m} quand a est analytique). Il se trouve que cette question est très proche de celle de l’existence d’un polynôme de Bernstein-Sato générique ou relatif. Mais la voie que nous empruntons qui est celle de l’utilisation des bases de Gröbner et plus précisement de la spécialisation des bases de Gröbner conduit naturellement à celle de l’existence d’un (ou ”du” dans le cas p = 1) polynôme de Bernstein-Sato générique. En effet les lemmes de spécialisation se résument en disant qu’une base de Gröbner global se spécialise génériquement en une base de Gröbner dans la fibre. Dans l’étude de l’existence de polynôme de Bernstein-Sato générique, il faut distinguer plusieurs cas selon que les f_{j} sont analytiques ou polynomiaux en x ou en a. Rappelons les faits connus :

– Si la variable x est analytique, alors dans le cas d’une fonction (i.e. p = 1), le polynôme de Bernstein générique existe si f(x, 0) est à singularité isolée (voir [Br-Ge-M]). Dans le cas de plusieurs fonctions, H. Biosca [Bi] a montré sous l’hypothèse d’intersection complète à singularité isolé de toutes les familles (f_{j_{1}}(x, 0), …, f_{j_{r}}(x, 0)), qu’il existe un polynôme de Bernstein-Sato générique. Signalons encore l’exemple suivant dû à H. Biosca [Bi] :

f(x_{1}, x_{2}, a^{1}, a^{2}, a^{3}) = x_{1}^{2} sin(x_{2}) − a^{1}x_{1} − a^{2}x_{2} − a^{3},

pour lequel il n’y a pas de polynôme de Bernstein-Sato générique. Cet exemple montre que quand x est analytique, il n’y a pas nécessairement de polynôme de Bernstein-Sato générique.

– Si la variable x est polynomiale. Alors il existe toujours un polynôme de Bernstein-Sato générique. Ce résultat est démontré par H. Biosca dans [Bi]. C’est ce cas qui est l’objet de la section 2 du présent chapitre dans laquelle nous précisons et généralisons le résultat de H. Biosca (voir plus bas).

Comme il vient d’être dit, dans ce chapitre nous étudirons la question dans le cas où les f_{j} dépendent polynomialement de x. En fait dans le cas où x est analytique, notre approche de la question ne nous permet pas d’aboutir (voir la remarque 5.7 pour plus d’explications) et c’est normal puisque l’on sait que le polynôme de Bernstein-Sato générique n’existe pas en général. Nous avons scindé le chapitre en deux sections. Dans la première, nous traitons le cas d’une fonction à part car nous pouvons répondre de manière complète à la question de départ (sur l’etude du comportment de B^{v}). Dans la seconde partie, nous obtenons des résultats partiels comme par exemple que l’idéal de Bernstein-Sato générique se spécialise génériquement en l’idéal de Bernstein-Sato ”en bas” (voir la proposition 5.11) et nous obtenons aussi l’existence d’un polynôme de Bernstein-Sato générique rationnel sur un germe de variété analytique irréductible dans le cas analytique (i.e. où le système de paramètres a est analytique) et sur une variété algébrique irréductible dans le cas algébrique sur n’importe quel corps k et ceci grâce aux chapitres précédents.

1. Cas d’une fonction

Nous allons nous intéresser au problème suivant. On se donne un polynôme f que l’on écrit :

(†) f = ∑_{|α|≤d} g_{α}(a)x^{α}.

Comme dans le chapitre précédent, on va traiter deux cas (algébrique et analytique). Ainsi f est vu respectivement dans k[x][a] ou dans C[x]{a} où x = (x_{1}, …, x_{n}), d est un entier positif et a = (a^{1}, …, a^{m}) est un système de paramètres. Pour chaque a ∈ k^{m} (resp. a dans un voisinage de 0 ∈ C^{m}), on note f_{|a} ∈ k[x] le spécialisé de f en a et b_{f_{|a}} le polynôme de Bernstein global de f_{|a}.

On se propose d’étudier le comportement du polynôme b_{f_{|a}} lorsque a parcourt k^{m} (resp. un petit voisinage de 0 dans C^{m}).

Il est facile de voir que dans le cas algébrique, on peut supposer que f soit de la forme suivante :

(‡) f = ∑_{|α|≤d} a_{α}x^{α},

où a = (a_{α})_{α∈N^{n}/ |α|≤d} et m est le nombre de a_{α} présents dans l’écriture de f. Dans le reste de la section, dire que nous sommes dans ”le cas algébrique” signifiera que f aura sera de la forme (‡). Nous dirons qu’on est dans le cas analytique si f est de la forme (†) avec des g_{α} qui sont dans C{a} où a est un système de m variables.

On se propose de montrer la chose suivante.

THEOREME 5.1 (dans le cas algébrique). Soit Y un fermé de Zariski de k^{m} défini par des polynômes de Q[a]. Il existe une partition finie Y = ∪(V ∖ V′) telle que :

– Chaque V et V′ est un fermé de Zariski défini par des polynômes de Q[a].

– Sur chaque ensemble V ∖ V′, le polynôme de Bernstein b_{f_{|a}} est constant.

REMARQUE 5.2. Si on prend Y = k^{m}, on retrouve le résultat démontré par A. Leykin dans [L] par des méthodes similaires à celles que nous adoptons ici. Signalons aussi le papier de J. Briançon et P. Maisonobe [Br-Mai] dans lequel les auteurs démontrent ce même résultat par des méthodes différentes.

Comme conséquence, on obtient l’enoncé dans le cas analytique :

COROLLAIRE 5.3 (dans le cas analytique). Soit Y un germe de variétés analytiques en 0 ∈ C^{m}. Il existe alors une partition finie Y = ∪(V ∖ V′) telle que :

– Chaque V et V′ est un germe de variétés analytiques.

– Sur chaque ensemble V ∖ V′, le polynôme de Bernstein b_{f_{|a}} est constant.

Voyons comment obtenir ce corollaire à partir du théorème précédent.

Démonstration de 5.3. Soit f′ = ∑_{|α|≤d} b_{α} vu dans C[b] où b = (b^{1}, …, b^{m}) et m est le nombre de α ∈ N^{n} de longueur majorée par d. Considérons le changement de coordonnées suivant :

a ∈ (C^{m}, 0) ↦ b = (b_{α} = g_{α}(a))_{|α|≤d} ∈ C^{m}.

Par le théorème précédent , il existe une partition de C^{m} = ∪W en localement fermés algébriques W = V ∖ V′. Par image réciproque, cela donne une partition de (C^{m}, 0) = ∪ϕ^{−1}(W) en localement fermés analytiques ϕ^{−1}(W) = ϕ^{−1}(V)∖ϕ^{−1}(V′). De plus, pour chaque W, le polynôme de Bernstein de f′_{|b} est constant lorsque b parcourt W ce qui entraine que le polynôme de Bernstein de f_{|a} est constant sur ϕ^{−1}(W) (rappelons qu’on travaille avec un représentant de ϕ^{−1}(W) et que le résultat est indépendant du choix de ce dernier). Cela démontre le corollaire lorsque Y = (C^{m}, 0). Pour un germe de varieté quelconque Y, il suffit de prendre la trace sur Y de la partition obtenue sur (C^{m}, 0). □

Pour démontrer le théorème 5.1, nous allons nous baser sur un algorithme de calcul du polynôme de Bernstein, l’algorithme de T. Oaku (voir [O]). Nous allons donner la version de T. Oaku qui calcule le polynôme de Bernstein ”absolu” c’està-dire pour un polynôme f ∈ k[x] puis nous donnerons une version qualifiée de générique.

1.1. L’algorithme de T. Oaku absolu. Ici nous supposons donc que f appartient à k[x].

(1) Soit I =< t − f, ∂_{x_{i}} + \frac{∂f}{∂x_{i}} ∂_{t}, i = 1, …, n >⊂ A_{n+1}(k),

(2) Soit I_{1} =< 1 − y_{1}y_{2}, y_{1}t − f, y_{1}∂_{x_{i}} + \frac{∂f}{∂x_{i}} ∂_{t}, i = 1, …, n >⊂ A_{n+1}(k)[y_{1}, y_{2}],

(3) Soit I_{2} = I ∩ A_{n}(k)[−∂_{t}t] ⊂ A_{n}(k)[s] où s = −∂_{t}t.

On calcule I_{2} à partir de I_{1} de la façon suivante :

– Soit G_{1} une base standard de I_{1} par rapport à un ordre qui élimine les variables y_{1} et y_{2}.

– Soit G_{2} = G_{1} ∩ A_{n+1}(k).

Affirmation : G_{2} est V -homogène i.e. tous ses éléments le sont.

– Pour chaque P ∈ G_{2}, notons ψ(P)(s) ∈ A_{n}(k)[s] l’élément obtenu de la manière suivante : Notons P′ = S.P où S = t^{ord^{V} (P)} si ord^{V} (P) ≥ 0 et S = ∂_{t}^{−ord^{V} (P)} sinon. P′ est alors V -homogène d’ordre 0 et peut donc s’écrire dans A_{n}(k)[−∂_{t}t]. ψ(P)(s) ∈ A_{n}(k)[s] est alors défini par ψ(P)(−∂_{t}t) = P′.

– L’idéal I_{2} est engendré par l’ensemble ψ(G_{2}) des ψ(P) pour P ∈ G_{2}.

(4) Soit I_{3} = I_{2} + A_{n}(k)[s] · f ⊂ A_{n}(k)[s].

(5) Soit I_{4} = I_{3} ∩ k[s].

(6) b_{f} est le générateur unitaire de I_{4}.

Cet algorithme est un moyen parmi d’autres (voir [Br-Mai2] pour une autre approche) de déduire du résultat fondamental de M. Kashiwara et B. Malgrange que le polynôme de Bernstein est à racines dans Q donc en particulier appartient à Q[s].

PROPOSITION 5.4. Soit f ∈ k[x]. Les racines de b_{f} sont dans Q.

Remarquons qu’on a vu un résultat similaire dans le cas de p polynômes dans le chapitre 3 (en utilisant les B_{L} et les b_{L}). En fait la preuve écrite ci-dessous fait appel aux mêmes arguments.

Démonstration. Notons c_{1}, …, c_{p} ∈ k les coefficients de f, et soit K le corps Q(c_{1}, …, c_{p}). Puisque K ⊆ k, b_{k} divise b_{K} mais en observant chaque étape de l’algorithme de T. Oaku, on constate que tout les calculs se font dans K, donc b_{k} = b_{K}. D’autre part, on peut inclure K dans C. En utilisant les mêmes arguments, on montre que b_{K} = b_{C}. En utilisant le résultat de Kashiwara [K] sur la rationalité des racines du polynôme de Bernstein locale et sachant que b_{C} est le ppcm de tous les polynômes locaux (voir par ex. [Br-Mai], voir aussi la preuve de la proposition dans laquel on montre que le ppcm des b_{L} locaux est égal au b_{L} global), on conclut que b_{k} est à racines rationnelles. □

1.2. L’algorithme de T. Oaku générique. Comme dans le chapitre précédent, soit Q un idéal premier de k[a] et soit f ∈ k[x][a] comme décrit plus haut. Considérons les idéaux suivants.

(1) I_{Q} =< t − f, ∂_{x_{i}} + \frac{∂f}{∂x_{i}} ∂_{t}, i = 1, …, n > + < Q >⊂ A_{n+1}(k)[a]
(2) I_{1,Q} =< 1 − y_{1}y_{2}, y_{1}t − f, y_{1}∂_{x_{i}} + \frac{∂f}{∂x_{i}} ∂_{t}, i = 1, …, n > + < Q >
⊂ A_{n+1}[y_{1}, y_{2}](k)[a]
(3) I_{2,Q} = I_{Q} ∩ A_{n}(k)[−∂_{t}t][a] ⊂ A_{n}(k)[s][a] où s = −∂_{t}t
(4) I_{3,Q} = I_{2,Q} + A_{n}(k)[s][a] · f ⊂ A_{n}(k)[s][a]
(5) I_{4,Q} = I_{3,Q} ∩ k[s][a]

Remarquons que tous ces idéaux contiennent Q. Pour un idéal J dépendant de a, on note comme d’habitude J_{|a} son spécialisé en a ∈ k^{m} ainsi on notera I_{Q}_{|a}, I_{1,Q}_{|a}, etc. D’autre part, nous avons les idéaux I, I_{1}, etc, correspondants à f_{|a}, nous les noterons I(f_{|a}), I_{1}(f_{|a}), ... Par ailleurs, considérons une base standard minimale G de I_{1,Q} pour un ordre ≺ qui élimine les variables y_{1}, y_{2} (plus précisement il privilégie d’abord les monômes en y_{1}, y_{2} puis en x_{i}, t, ∂_{x_{i}}, ∂_{t} et enfin en a), nous avons vu que dans ces conditions, G∖Q est une base standard générique de I_{1,Q} par rapport à < qui est la restriction de ≺ à N^{2n+2+2}. Soit alors h_{1} ∈ k[a] le polynôme donné par le lemme de spécialisation faible (remarquons que ce lemme est énoncé dans A_{n}(k)[a] mais il fonctionne aussi bien ici dans A_{n+1}(k)[y_{1}, y_{2}][a]). De même soit h_{2} ∈ k[a] le polynôme obtenu en appliquant le lemme de spécialisation à une base standard minimale de I_{3,Q} pour un ordre qui élimine les variables x_{i} et ∂_{x_{i}}. Enfin notons h = h_{1}h_{2}.

PROPOSITION 5.5. (1) Pour tout a ∈ V (Q), I(f_{|a}) = I_{Q}_{|a} et I_{1}(f_{|a}) =

I_{1,Q}_{|a}
(2) Pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{1}), I_{2}(f_{|a}) = I_{2,Q}_{|a} et I_{3}(f_{|a}) = I_{3,Q}_{|a}
(3) Pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h), I_{4}(f_{|a}) = I_{4,Q}_{|a}

Démonstration. (1) Il est clair que (\frac{∂f}{∂x_{i}})_{|a} = \frac{∂f_{|a}}{∂x_{i}}, les deux égalités en découlent.

(2) Il est clair que si on a l’égalité pour I_{2} alors on l’a pour I_{3}. Montrons donc la première. Soit ≺ l’ordre (introduit ci-dessus) sur N^{2n+2+2+m} qui élimine les variables y_{1}, y_{2} et soit G une ≺-base standard minimale de I_{1,Q}. Si on étend la définition du symbole ψ à des éléments dépendants de a, nous avons que ψ(G∩A_{n+1}[a]) engendre I_{2,Q} et par suite ψ(G∩A_{n+1}[a])_{|a} engendre I_{2,Q}_{|a}. D’autre part, pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{1}), G_{|a} est une <-base standard de I_{1}(f_{|a}) si on note < la restriction de ≺ à N^{2n+2+2}. Ainsi ψ(G_{|a} ∩ A_{n+1}) engendre I_{2}(f_{|a}). Nous avons G_{|a} ∩ A_{n+1} = (G ∩ A_{n+1}[a])_{|a}. En effet pour g ∈ G, g dépend de y_{i} si et seulement si son terme dominant tp_{<} en dépend. Pour conclure, il est clair que ψ((G ∩ A_{n+1}[a])_{|a}) = ψ(G ∩ A_{n+1}[a])_{|a}. Par conséquent les idéaux I_{2,Q}_{|a} et I_{2}(f_{|a}) admettent un même système de générateurs.

(3) Notons G une base standard minimale de I_{3,Q} introduite plus haut. Comme au point précédent, les ensembles G_{|a} ∩ k[s] et (G ∩ k[s][a])_{|a} sont égaux sur V (Q) ∖ V (h) et engendrent I_{4}(f_{|a}) et I_{4,Q}_{|a}.

□

1.3. La preuve du résultat principal. Nous allons démontrer le théorème 5.1. Tout d’abord, voici un lemme nécessaire à la preuve, nous l’avons baptisé lemme de rationalité.

Soit c(y) = ∑_{α} c_{α}(a)y^{α} dans k[a][y] où y = (y_{1}, …, y_{n}), α ∈ N^{n}, a = (a^{1}, …, a^{m}). Soit Q un idéal premier de k[a]. Soit α_{0} un multi-indice quelconque intervenant dans l’écriture de c. Soit h ∈ k[a] tel que V (Q) ⊈ V (h) ⊇ V (c_{α_{0}}).

LEMME 5.6 (de rationalité). Supposons que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h), le spécialisé (c(y)/c_{α_{0}})_{|a} soit dans Q[y]. Alors il existe p(y) ∈ Q[y] tel que pour tout a de V (Q) ∖ V (h) on ait c_{|a}(y) = c_{α_{0}}_{|a}p(y).

Pour dire les choses plus simplement, si c(y) se spécialise génériquement sur Q[y] alors à un multiple scalaire près, c’est génériquement le même spécialisé.

Démonstration. Pour un α fixé, notons d(a) = c_{α}(a)/c_{α_{0}}(a) définie sur l’ensemble V (Q)∖V (h) que nous noterons W dans cette preuve. D’après ([Ha], Théorème 3.16), l’image par d(W) est constructible dans C, or par hypothèse d(W) ⊆ Q, par conséquent d(W) est une union finie de points rationnels. Par l’irréductibilité de V (Q), d(W) est un singleton. □

Voici maintenant la preuve du thórème 5.1.

Démonstration. Comme pour lemme de constructibilité, elle se fera par récurrence sur la dimension dim Y de Y. Si dim Y = 0, le résultat est trivial. Supposons donc dim Y ≥ 1. Ecrivons Y = V (Q_{1}) ∪ ⋯ ∪ V (Q_{r}) où chaque Q_{i} est un idéal premier de Q[a]. Pour chaque Q = Q_{1}, …, Q_{r}, appliquons l’algorithme de T. Oaku générique décrit précédement et notons h_{i} le h correspondant. Du fait que les Q_{i} sont dans Q[a], chaque I_{j,Q_{i}} est défini sur Q et par conséquent, les polynômes h_{1}, …, h_{r} sont aussi dans Q[a]. Avant d’aller plus loin, fixons i ∈ {1, …, r} et montrons que sur V (Q_{i}) ∖ V (h_{i}), b_{f_{|a}} est constant. Notons G la base standard utilisée pour calculer I_{4,Q_{i}}. Puisque tous les I_{4,Q_{i}}_{|a} sont principaux et ont un escalier constant (en dehors de V (h_{i})), il existe g_{i} ∈ G tel que g_{i}_{|a} engendre I_{4,Q_{i}}_{|a} qui est égal à I_{4}(f_{|a}) d’après ce qui précède. Rappelons que g ∈ Q[a][s]. Notons c(a) ∈ Q[a] son coefficient privilégié. Alors pour tout a ∈ V (Q_{i}) ∖ V (h_{i}), (g_{i}(s, a)/c(a))_{|a} est le polynôme de Bernstein b_{f_{|a}}. Puisque le polynôme de Bernstein de chaque f_{|a} est dans Q[s], on peut appliquer le lemme de rationalité ce qui montre qu’il existe un polynôme b_{i}(s) ∈ Q[s] tel que pour tout a ∈ V (Q_{i}) ∖ V (h_{i}) on ait b_{f_{|a}} = b_{i}. Reprenons le fil de la preuve. L’ensemble Y s’écrit comme réunion finie sous la forme suivante :

Y = ( ⨆_{i=1}^{r} V (Q_{i}) ∖ V (h_{i})) ⨆ Y′

avec Y′ = ⨆_{i=1}^{r}(V (Q_{i}) ∩ V (h_{i})) pour lequel dim Y′ < dim Y car, rappelons le, pour

chaque i, h_{i} ∉ Q_{i}. Il ne reste plus qu’à appliquer l’hypothèse de récurrence à Y′ qui est bien défini sur Q et le théorème est démontré. □

2. Cas de plusieurs fonctions

Dans la section précédente et dans le cas d’une fonction f, nous avons pu répondre de manière complète à la question de savoir comment se comporte l’idéal de Bernstein-Sato B(f_{|a}) lorsque le système de paramètres parcourt k^{m} (resp. un voisinage de 0 ∈ C^{m}). Ici nous essayons dans la mesure du possible de répondre à la même question dans le cas de p polynômes dépendant d’un système de paramètre a. Le problème est que nous savons peu de choses sur l’idéal B^{v}. Nous savons par [Br-May] qu’il n’est pas principal en général. En fait la seule chose connue dont on peut se servir est l’existence pour toute fonction polynomiale f = (f_{1}, …, f_{p}) ∈ k[x]^{p} d’un élément rationnel non nul dans B^{v}(f) (ce qui a été démontré dans le chapitre 3). Ceci limite sérieusement l’espoir d’apporter une réponse exhaustive à la question de départ, néanmoins nous sommes capable de montrer l’existence d’un polynôme de Bernstein-Sato générique rationnel dans les cas :

– algébrique où f_{1}, …, f_{p} appartiennent à k[x][a].

– analytique où f_{1}, …, f_{p} appartiennent à C[x]{a}.

Rappelons encore une fois que H. Biosca démontre l’existence d’un polynôme de Bersntein-Sato générique dans ces situations et avec k = C.

REMARQUE 5.7. Dans le cas où les f_{j} dépendent analytiquement de x, les méthodes que nous utilisons (lemmes de spécialisation) ne nous permettent pas d’aboutir car en regardant bien l’algorithme de T. Oaku, il faut à un certain moment faire un calcul de base standard qui élimine les variables x_{i} et ∂_{x_{i}}. Or lorsque l’idéal dépend analytiquement des x_{i}, il n’est semble-t-il pas possible de les éliminer.

Avant d’aller plus loin, nous rappelons la notion de polynôme de Bernstein-Sato générique et énonçons les résultats principaux de cette section.

Etant donné v ∈ N^{p} et Q premier dans k[a] (resp. C{a}), considérons les deux situations suivantes :

Cas algébrique: Supposons f_{1}, …, f_{p} dans k[x][a] et Q premier dans k[a] et supposons qu’aucun f_{j} ne soit dans k[x] ⊗_{k} Q. S’il existe b(s) ∈ k[s] ∖ 0 et h(a) ∈ k[a] ∖ Q tels que :

h(a)b(s)f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} ∈ A_{n}(k)[s][a]f_{1}^{s_{1}+v_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}+v_{p}} + (k[x, \frac{1}{f_{1} ⋯ f_{p}} , s] ⊗_{k} Q)f^{s},

alors b(s) est dit polynôme de Bernstein-Sato générique de f = (f_{1}, …, f_{p}) sur V (Q).

Cas analytique: Supposons f_{1}, …, f_{p} dans C[x]{a} et Q premier dans C{a} et qu’aucun f_{j} ne soit dans C{x} ⊗_{C} Q. S’il existe b(s) ∈ C[s] ∖ 0 et h(a) ∈ C{a} ∖ Q tels que :

h(a)b(s)f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} ∈ A_{n}(C)[s]\{a\}f_{1}^{s_{1}+v_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}+v_{p}} + (C\{x\}[\frac{1}{f_{1} ⋯ f_{p}} , s] ⊗_{C} Q)f^{s},

alors b(s) est dit polynôme de Bernstein-Sato générique de f = (f_{1}, …, f_{p}) sur V (Q).

Reprenons les notations du lemme de spécialisation forte, le but de la présente section est de montrer le théorème suivant.

THEOREME 5.8.

Cas algébrique: Soit Q un idéal premier dans k[a]. Alors il existe h ∈ k[a]∖ Q et b(s) ∈ Q[s] ∖ 0 tel que pour tout idéal premier P ⊂ k[a] tel que h ∉ P ⊇ Q on ait

b(s)(σ_{P} (f))^{s} ∈ A_{n}(k(P))[s](σ_{P} (f))^{s+v}.

Cas analytique: Soit Q un idéal premier dans C{a}. Alors il existe h ∈ C{a} ∖ Q et b(s) ∈ Q[s] ∖ 0 tel que pour tout idéal premier P ⊂ C{a} tel que h ∉ P ⊇ Q on ait

b(s)(σ_{P} (f))^{s} ∈ A_{n}(C(P))[s](σ_{P} (f))^{s+v}.

COROLLAIRE 5.9. Sous les hypothèses du théorème précédent, pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h), b(s) appartient à B^{v}(f_{|a}).

Comme autre corollaire, nous avons aussi :

COROLLAIRE 5.10. Il existe une partition finie de k^{m} (resp. d’un voisinage de 0 ∈ C^{m}) constituée d’ensembles localement fermés W (resp. localement fermés analytiques) telle que pour chaque W, il existe b(s) ∈ Q[s] qui appartient à B^{v}(f_{|a}) pour tout a dans W.

Ce corollaire se démontre de manière similaire au lemme de constructibilité.

La preuve du théorème 5.8 va s’étaler sur trois paragraphes. Dans les deux premiers, nous allons décrire la version absolu et générique de l’algorithme de T. Oaku du calcul de l’idéal de Bernstein-Sato et dans le troisième, nous ferons la preuve proprement dite mais avant cela, voyons comment l’énoncé du théorème 5.8 est équivalent à la notion de polynôme de Bernstein-Sato générique sur V (Q) (notion rappelée plus haut).

Montrons l’équivalence dans le cas algébrique, le cas analytique se traite de la même manière. Etant donné Q premier dans k[a], il s’agit de montrer l’équivalence entre :

(i): Il existe b(s) ∈ Q[s] ∖ 0 et h(a) ∈ k[a] ∖ Q tels que :

h(a)b(s)f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} ∈ A_{n}(k)[s][a]f_{1}^{s_{1}+v_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}+v_{p}} + (k[x, \frac{1}{f_{1} ⋯ f_{p}} , s] ⊗_{k} Q)f^{s}.

et

(ii): Il existe b(s) ∈ Q[s] ∖ 0 et h(a) ∈ k[a] ∖ Q tels que pour tout idéal premier P tel que h ∉ P ⊇ Q, on ait :

b(s)(σ_{P} (f))^{s} ∈ A_{n}(k(P))[s](σ_{P} (f))^{s+v}.

L’implication (i)⇒(ii) est triviale, montrons l’implication réciproque. Pour cela, prenons P = Q. Cela donne :

b(s)([f]_{Q})^{s} = \frac{[U(a, s)]_{Q}}{[h_{0}(a)]_{Q}} ([f]_{Q})^{s+v},

ou encore, en chassant les dénominateurs, h_{0}(a)b(s)f^{s} − U(a, s)f^{s+v} est nul pour tout a ∈ V (Q) avec U(a, s) ∈ A_{n}(k)[s, a] et h_{0}(a) ∈ k[a]∖Q. Comme aucun f_{j} n’est dans k[x]⊗_{k}Q, cela signifie que L(a) = h_{0}(a)b(s)−U(a, s)f^{v} s’annule génériquement sur V (Q) (rappelons que L(a) ∈ k[x, s, 1/f_{1} ⋯ f_{p}][a]). Comme Q est premier, L(a) est dans k[x, s, 1/f_{1} ⋯ f_{p}] ⊗_{k} Q. L’implication (ii)⇒(i) est démontrée.

2.1. L’algorithme de T. Oaku absolu. On se place dans le cas où les f_{j} sont dans k[x]. La référence pour l’algorihtme qui suit est [O-T].

(1) Soit I =< t_{j} − f_{j}, j = 1, …, p, ∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}, i = 1, …, n >⊂ A_{n+p}(k),

(2) Soit I_{1} =< 1 − y_{j}y′_{j}, y_{j}t_{j} − f_{j}, j = 1, …, p, y_{1} ⋯ y_{p}∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}, i =

1, …, n >⊂ A_{n+p}(k)[y, y′] = A_{n+p}(k)[y_{1}, …, y_{p}, y′_{1}, …, y′_{p}],

(3) Soit I_{2} = I ∩ A_{n}(k)[−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}] ⊂ A_{n}(k)[s] = A_{n}(k)[s_{1}, …, s_{p}] où s_{j} = −∂_{t_{j}}t_{j}. On calcule I_{2} à partir de I_{1} de la façon suivante :

– Soit G_{1} une base standard de I_{1} par rapport à un ordre qui élimine les variables y_{j} et y′_{j}.

– Soit G_{2} = G_{1} ∩ A_{n+p}(k).

Affirmation : G_{2} est V -multihomogène i.e. tous ses éléments le sont.

– Pour chaque P ∈ G_{2}, notons ψ(P)(s) ∈ A_{n}(k)[s] l’élément obtenu de la manière suivante : Notons P′ = S_{1} ⋯ S_{p} · P où S_{j} = t_{j}^{ord^{V_{j} (P)}} si ord_{j}^{V} (P) ≥ 0 et S_{j} =

∂_{t_{j}}^{−ord^{V_{j} (P)}} sinon.

P′ est alors V -multihomogène d’ordre 0 et peut donc s’écrire dans A_{n}(k)[−∂_{t}t]. ψ(P)(s) ∈ A_{n}(k)[s] est alors défini par ψ(P)(−∂_{t}t) = P′.

– L’idéal I_{2} est engendré par l’ensemble ψ(G_{2}) des ψ(P) pour P ∈ G_{2}.

(4) Soit I_{3} = I_{2} + A_{n}(k)[s] · f_{1}^{v_{1}} ⋯ f_{p}^{v_{p}} ⊂ A_{n}(k)[s].
(5) Soit I_{4} = I_{3} ∩ k[s].
(6) I_{4} est l’idéal de Bernstein-Sato B^{v}(f_{1}, …, f_{p}).

2.2. L’algorithme de T. Oaku générique. Ici on reprend l’hypothèse sur les f_{j}, à savoir f_{j} appartient à k[x][a] (resp. C[x]{a}). Soit Q un idéal premier de k[a] (resp. C{a}).

L’algorithme qui suit est écrit dans le cas algébrique, les modifications dans le cas analytiques sont évidentes.

(1) I_{Q} =< t_{j} − f_{j}, j = 1, …, p, ∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}, i = 1, …, n > + < Q >⊂

A_{n+p}(k)[a]

(2) I_{1,Q} =< 1 − y_{j}y′_{j}, y_{j}t_{j} − f_{j}, j = 1, …, p, y_{1} ⋯ y_{p}∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}, i =

1, …, n > + < Q >⊂ A_{n+p}(k)[y, y′][a] = A_{n+p}(k)[y_{1}, …, y_{p}, y′_{1}, …, y′_{p}][a]

(3) I_{2,Q} = I_{Q}∩A_{n}(k)[−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}][a] ⊂ A_{n}(k)[s][a] = A_{n}(k)[s_{1}, …, s_{p}][a] où s_{j} = −∂_{t_{j}}t_{j}

(4) I_{3,Q} = I_{2,Q} + A_{n}(k)[s][a] · f_{1}^{v_{1}} ⋯ f_{p}^{v_{p}} ⊂ A_{n}(k)[s][a]

(5) I_{4,Q} = I_{3,Q} ∩ k[s][a]

PROPOSITION 5.11. (1) Soit G une base standard de I_{4,Q} ⊂ k[a][s] par rapport à un ordre qui privilégie les variables s_{j}. Il existe h_{0} ∈ k[a] ∖ Q tel que pour tout P ⊂ k[a] premier tel que h ∉ P ⊇ Q, σ_{P} (G) est une base standard de B^{v}(σ_{P} (f)).

(2) Il existe h_{0} ∈ k[a] ∖ Q tel que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{0}) on ait B^{v}(f_{|a}) = I_{4,Q}_{|a}.

(3) Il existe h_{1} ∈ k[a] ∖ Q tel que le polynôme de Hilbert de I_{4,Q}_{|a} soit constant sur V (Q) ∖ V (h_{1}).

La preuve des deux premiers points est identique à celle de la proposition 5.5 à part que pour le premier point on utilise le lemme de spécialisation forte au lieu du faible. Pour le troisième point, on se réfère au paragraphe consacré au polynôme de Hilbert générique (du chapitre précédent).

Remarquons que le point 1 donne une sorte de constructibilité en un sens faible. En effet, comme dans le lemme de constructibilité, on peut partitionner k^{m} en ensembles localement fermés W de telle sorte que sur chaque W il existe un ensemble G_{W} ⊂ k[a][s] tel que pour tout a dans W, le spécialisé G_{W}_{|a} engendre B^{v}(f_{|a}). Dit autrement, l’idéal B^{v}(f_{|a}) est continu par rapport à a sur chaque W. Nous avons employé le terme de constructibilité faible car on ne sait pas si B^{v}(f_{|a}) est constant sur W (comme c’est le cas quand p = 1).

REMARQUE 5.12. En remplaçant k[a] par C{a} dans la proposition précédente, on obtient la version analytique de cette même proposition.

En combinant les deux points de la proposition précédente, c’est-à-dire en se plaçant sur V (Q) ∖ V (h_{0}h_{1}), on est en mesure d’appliquer le lemme de constructiblité, ce qui donne :

COROLLAIRE 5.13. L’espace k^{m} (resp. Un voisinage de 0 ∈ C^{m}) se partionne en ensembles localement fermés (resp. localement fermés analytiques) W de façon telle que sur chaque W le polynôme de Hilbert de B^{v}(f_{|a}) est constant.

2.3. Preuve du théorème 5.8. La voici dans le cas algébrique. Il n’y pas de plus de difficultés dans le cas analytique.

Démonstration. Revenons à l’algorithme générique de T. Oaku du paragraphe précédent. En appliquant deux fois le lemme de spécialisation forte (d’abord dans A_{n+p}(k)[y, y′][a] puis dans A_{n}(k)[s][a]), on obtient h_{1} ∈ k[a] ∖ Q et G ⊂ I_{4,Q} tels que pour tout P ⊂ k[a] premier tel que h_{1} ∉ P ⊇ Q, l’ensemble σ_{P} (G) soit une base standard de σ_{P} (I_{4,Q}) (pour un ordre qui nous importe peu, ce qui compte c’est que σ_{P} (G) engendre σ_{P} (I_{4,Q})). D’autre part, il est facile de montrer (toujours à l’aide du lemme de spécialisation forte) qu’il existe h_{2} ∉ Q tel que pour tout P ⊇ Q ne contenant pas h_{2}, l’idéal de Bernstein-Sato B^{v}(σ_{P} (f)) ⊂ k(P)[s] est égal à σ_{P} (I_{4,Q}) (remarquons que c’est exactement ce que dit le premier point de la proposition 5.11). Maintenant, d’après le chapitre 3, il existe dans B^{v}(σ_{Q}(f)) un élément b(s) qui est dans Q[s]. Ainsi pour chaque g ∈ G, il existe A_{g} ∈ k[a, s] et a_{g} ∈ k[a] ∖ Q tels que :

b(s) = ∑_{g∈G} \frac{[A_{g}]}{[a_{g}]} · \frac{[g]}{1}

où [·] désigne la classe dans k[a]/Q. Notons alors h_{3} = ∏_{g∈G} a_{g}, on a h_{3} ∉ Q. De plus,

on a h_{3}b(s) − ∑_{g∈G} A′_{g} · g ∈ k[a, s] · Q ⊂ I_{4,Q} avec A′_{g} ∈ k[a, s], ainsi h_{3}b(s) ∈ I_{4,Q}.

En posant h = h_{1}h_{2}h_{3} ∉ Q, il est clair que pour tout P premier de k[a] tel que h ∉ P ⊇ Q, le polynôme b(s) appartient à B^{v}(σ_{P} (f)). □

CHAPITRE 6 Constructibilité de l’éventail de Gröbner

Dans ce chapitre, on considère un idéal I ⊂ A_{n}(k)[a] où a est comme avant un système de paramètres algébriques ou analytiques. On cherche à savoir comment se comporte l’éventail de Gröbner de h(I_{|a}) quand a parcourt k^{m} (resp. un voisinage de 0 dans C^{m}). La réponse est que leur nombre est fini et que l’espace des paramètres se partitionne en ensembles localement fermés (resp. localement fermés analytiques) sur lesquels l’eventail de Gröbner de h(I_{|a}) est constant. Les méthodes utilisées sont les mêmes que précédement. En fait l’idée est d’être en mesure d’appliquer le lemme de constructibilité.

1. Rappels et énoncé du résultat principal

Rappelons comment est défini l’éventail de Gröbner associé à un idéal I de A_{n}(k) d’après [A-C-G 1] et [A-C-G 2]. Remarque : nous citons [A-C-G 2] car les auteurs y ont donné des définitions et des résultats (plus précis que dans [A-C-G 1]) dont nous nous inspirons ici...

Notons U l’ensemble des formes linéaires L : R^{n} → R vérifiant L(α, β) = ∑_{i} e_{i}α_{i} + ∑_{i} f_{i}β_{i} avec e_{i} + f_{i} ≥ 0. A une telle forme L on peut associer une filtration F_{L,•} sur A_{n}(k) ainsi qu’un gradué associé gr^{L}(A_{n}(k)). Cette filtration s’étend à A_{n}(k)⟨z⟩ et donne le gradué gr^{L}(A_{n}(k)⟨z⟩). Pour P ∈ A_{n}(k) (resp. P ∈ A_{n}(k)⟨z⟩) on définit le symbole principal σ^{L}(P) dans gr^{L}(A_{n}(k)) (resp. dans gr^{L}(A_{n}(k)⟨z⟩)) et pour un idéal I ⊂ A_{n}(k), on note gr^{L}(I) l’idéal de gr^{L}(I) engendré par le symbole principal des éléments de I (et de même pour un idéal de A_{n}(k)⟨z⟩). Maintenant pour L et L′ dans U, on définit la relation d’équivalence suivante :

L ∼ L′ ⟺ gr^{L}(A_{n}(k)⟨z⟩) ≃ gr^{L′}(A_{n}(k)⟨z⟩) et gr^{L}(h(I)) ≃ gr^{L′}(h(I)).

La partition de U induite par cette relation est ce qu’on appelle l’éventail de Gröbner de h(I), on le note E(h(I)). Dans [A-C-G 1] et [A-C-G 2], les auteurs ont montré que cette partition était une partition finie constituée de cônes polyhédraux convexes rationnels.

Il y a une autre manière de définir cet éventail : Considérons les ordres <_{L} sur N^{2n} et <_{L}^{h} sur N^{2n+1} définis par :

(α, β) <_{L} (α′, β′) ⟺ L(α, β) < L(α′, β′) ou (= et (α, β) <_{0} (α′, β′))

où <_{0} est un bon ordre sur N^{2n} fixé.

(α, β, k) <_{L}^{h} (α′, β′, k′) ⟺ \begin{cases}|α| + |β| + k < |α′| + |β′| + k′ \\ ou (= et (α, β) <_{L} (α′, β′)) \end{cases}

Dans [A-C-G 1] et [A-C-G 2], les auteurs montrent que l’ensemble des exp_{<_{L}^{h}}(h(I)) pour L ∈ U est fini et notent U_{E} = {L ∈ U| exp_{<_{L}^{h}}(h(I)) = E} pour E ⊆ N^{2n+1} vérifiant E = E+N^{2n+1}. Pour L ∈ U, considérons g_{1}, …, g_{r} la base standard réduite minimale de h(I) par rapport à <_{L}^{h} et définissons L ∼ L′ par

L ∼ L′ ⟺ ∀i = 1, …, r σ^{L}(g_{i}) = σ^{L′}(g_{i}).

Pour L et L′ dans un même U_{E}, cette relation est une relation d’équivalence. On partitionne alors U en l’union finie des U_{E} et sur chaque U_{E} on considère la partition induite par la relation précédente. La partition de U ainsi obtenue est alors l’éventail de Gröbner de h(I). En fait, il y a un certain abus de notations car pour pouvoir écrire σ^{L}(Q_{i}) = σ^{L′}(Q_{i}) il faut déja que gr^{L}(A_{n}(k)⟨z⟩) et gr^{L′}(A_{n}(k)⟨z⟩) soient isomorphes. Par conséquent, la partition de U se fait de la manière suivante, on le partitionne de sorte que les gradués de A_{n}(k)⟨z⟩ soient isomorphes, cette partition est constituée de cônes polyhédraux rationnels convexes (voir la section 2 du chapitre premier). Et c’est sur chaque constituant de cette partition qu’on effectue la construction précédente.

Nous reprenons la situation de l’introduction. A partir de maintenant, on désigne par I un idéal de A_{n}(k)[a] (resp. A_{n}(C){a}) et Q un idéal premier de k[a] (resp. C{a}). Dans cette section, on se propose de montrer la

PROPOSITION 6.1. Il existe h_{Q} ∈ k[a]∖Q (resp. C{a}∖Q) tel que l’éventail de Gröbner E(h(I_{|a})) est constant sur V (Q) ∖ V (h_{Q}).

En appliquant le lemme de constructiblité, on démontre le théorème suivant :

THEOREME 6.2. Il existe une partition de k^{m} (resp. un voisinage de 0 dans C^{m}) constituée d’ensembles localement fermés (resp. localement fermés analytiques) W telle que sur chaque W l’éventail de Gröbner de h(I_{|a}) est constant.

L’objet de la section est de mettre en place une preuve de la proposition 6.1. Cette preuve sera basée sur le lemme de spécialisation. Avant tout nous devons nous pencher sur les opérations d’homogénéisation et de spécialisation ce qui est le but du paragraphe suivant. Dans la suite, nous noterons J_{Q} = h(I)+ < Q >⊂ A_{n}(k)⟨z⟩[a] (resp. A_{n}(C)⟨z⟩{a}).

2. Homogénéisation et spécialisation

Pour P ∈ A_{n}(k)[a], nous définissons son homogénéisé h(P) de la façon suivante : on écrit P = ∑_{αβ} c_{αβ}(a)x^{α}∂_{x}^{β} et on pose h(P) = ∑ c_{αβ}(a)x^{α}∂_{x}^{β}z^{d−|α|−|β|} où d = max{|α| + |β|/ c_{αβ}(a) ≠ 0} est le degré total en x et ∂_{x} de P. On définit alors h(I) comme l’idéal de A_{n}(k)⟨z⟩[a] engendré par les h(P) pour P ∈ I.

Les notations précédentes se généralisent facilement au cas analytique.

LEMME 6.3. Il existe h_{0}(a) ∈ k[a] ∖ Q (resp. C{a} ∖ Q) tel que pour tout a_{0} ∈ V (Q) ∖ V (h_{0}) on ait h(I_{|a_{0}}) = h(I)_{|a_{0}}.

Nous allons démontrer ce lemme uniquement dans le cas algébrique car la preuve marche aussi bien dans l’autre cas. Soit <^{T} l’ordre total sur N^{2n} définit par

(α, β) <^{T} (α′, β′)
⟺ |α| + |β| < |α′| + |β′| ou (= et (α, β) <_{0} (α′, β′))

où <_{0} désigne un bon ordre quelconque compatible avec + sur N^{2n}. On note aussi ≺^{T} l’ordre sur N^{2n+m} associé à <^{T} (voir les notations génériques dans le chapitre 4). Pour la preuve du lemme, nous aurons besoin de ceci :

AFFIRMATION 6.4. Soit I_{0} un idéal de A_{n}(k) et g_{1}, …, g_{r} ∈ I une <^{T} -base standard alors les h(g_{i}) engendrent h(I_{0}) ⊂ A_{n}(k)⟨z⟩.

Démonstration. Soit g ∈ I_{0} alors par division, on peut écrire g = ∑_{1}^{r} q_{i}g_{i} avec deg(g) ≥ deg(q_{i}g_{i}) si q_{i} ≠ 0. Par conséquent h(g) = ∑_{1}^{r} z^{l_{i}}h(q_{i})h(g_{i}) avec l_{i} = deg(g) − deg(q_{i}g_{i}). □

démonstration du lemme 6.3. Notons I_{Q} = I+ < Q >⊂ A_{n}(k)[a]. Soit G = {g_{1}, …, g_{r}, g_{r+1}, …, g_{q}} la ≺^{T} -base standard réduite minimale de I_{Q} (où seuls

les r premiers ne sont pas dans Q) et h_{0} = ∏_{i=1}^{r} lc_{<^{T}} (g_{i}) (comme dans le lemme de

spécialisation faible). Soit a_{0} ∈ V (Q) ∖ V (h_{0}). Nous allons montrer que h(I_{|a_{0}}) et h(I)_{|a_{0}} admettent un même système de générateurs. Soit f ∈ I ⊂ I_{Q}. On a f = ∑_{i=1}^{q} u_{i}g_{i} avec deg^{T} (f) ≥ deg^{T} (u_{i}g_{i}) par conséquent,

h(f) = ∑_{i=1}^{q} z^{l_{i}}h(u_{i})h(g_{i}) avec l_{i} ∈ N

= ∑_{i=1}^{r} z^{l_{i}}h(u_{i})h(g_{i}) + ∑_{i=r+1}^{q} z^{l_{i}}h(u_{i})g_{i} car g_{r+k} ∈ Q ⊂ k[a] si k ≥ 1

Ainsi h(f)_{|a_{0}} s’écrit comme combinaison des {h(g_{i})_{|a_{0}} / i = 1, …, r} or h(I)_{|a_{0}} est engendré par les h(f)_{|a_{0}} pour f ∈ I donc par les h(g_{i})_{|a_{0}} i = 1, …, r. D’autre part (par le lemme de spécialisation faible) g_{1}_{|a_{0}}, …, g_{r}_{|a_{0}} forment une <^{T} - base standard de I_{|a_{0}} donc par l’affirmation ci-avant, h(I_{|a_{0}}) est engendré par les h(g_{i}_{|a_{0}}). Pour conclure, il ne reste plus qu’à remarquer que pour i = 1, …, r, h(g_{i}_{|a_{0}}) = h(g_{i})_{|a_{0}} car (exp_{<^{T}} (g_{i}) = exp_{<^{T}} (g_{i}_{|a_{0}})). □

3. Résultats de finitude

Suivant le chapitre 4, nous notons ≺_{L}^{h} l’ordre sur N^{2n+m+1} défini à partir de <_{L}^{h} sur N^{2n+1}.

LEMME 6.5. Pour f ∈ A_{n}(k)⟨z⟩[a] (resp. A_{n}(C)⟨z⟩{a}), l’ensemble

{exp_{≺_{L}^{h}} /L ∈ U} est fini.

Démonstration. Dans le cas algébrique, c’est immédiat car le diagramme de Newton de f est fini. Plaçons nous dans le cas analytique. On écrit f = ∑ c_{αβk}(a)x^{α}∂_{x}^{β}z^{k}. Pour tout (α, β, k), on note η(α, β, k) l’exposant de c_{αβk}(a) par rapport à ≺_{L}^{h}. Rappelons que cet exposant est égal à exp_{≺_{0}^{an}}(c_{αβk}(a)) (voir les notations génériques dans le chapitre 4). Il est alors clair que exp_{≺_{L}^{h}}(f) se trouve parmi l’ensemble des (α, β, k, η(α, β, k)) pour (α, β, k) dans le nuage générique de f qui est fini. □

Rappelons que J_{Q} ⊂ A_{n}(k)⟨z⟩[a] (resp. A_{n}(C)⟨z⟩{a}) désigne h(I)+ < Q >.

LEMME 6.6. L’ensemble {exp_{≺_{L}^{h}}(J_{Q})/L ∈ U} est fini.

La preuve est presque mot à mot celle du théorème 5 de [A-C-G 2]. On en déduit immédiatement le corollaire suivant.

COROLLAIRE 6.7. L’ensemble {exp_{<_{L}^{h}}(J_{Q})/L ∈ U} est fini.

Pour E ⊂ N^{2n+1}, notons U_{E}^{gen} = {L ∈ U/ exp_{<_{L}^{h}}(J_{Q}) = E}. Notons aussi ES^{gen}(J_{Q}) l’ensemble des escaliers génériques exp_{<_{L}^{h}}(J_{Q}) de J_{Q} lorsque L parcourt U.

PROPOSITION 6.8. Soit E ∈ ES^{gen}(J_{Q}) et L ∈ U_{E}^{gen} alors il existe g_{1}, …, g_{r} dans J_{Q} tels que :

(a): {exp_{<_{L}^{h}}(g_{i}), i = 1, …, r} engendre E de façon minimale

(b): ∀i = 1, …, r, N^{gen}(g_{i}) ∖ exp_{<_{L}^{h}}(g_{i}) ⊂ N^{2n+1} ∖ E
(c): ∀i = 1, …, r, coef(g_{i}) ∩ Q = ∅

Nous appellerons un tel système une E-pseudo-base standard de J_{Q}.

Remarquons qu’un tel système n’est pas unique et n’est pas une base standard de J_{Q} mais fournit (génériquement) après spécialisation (à des multiples de k près dans le cas algébrique et C dans le cas analytique) la base standard réduite minimale. Plus précisement nous avons :

COROLLAIRE 6.9. Soit L′ ∈ U_{E}^{gen} et a_{0} ∉ V (∏_{i=1}^{r} lc_{<_{L}^{h}}(g_{i})) alors les g_{i}_{|a_{0}} forment la <_{L′}^{h}-base standard réduite minimale de J_{Q}_{|a_{0}}.

En effet, le point important est que cp_{<_{L}^{h}}(g_{i}) = cp_{<_{L′}^{h}} (g_{i}) ce qui permet d’appliquer le lemme 1.28.

démonstration de la proposition. Soit L ∈ U_{E}^{gen} et soit {g′_{1}, …, g′_{r}, …} une ≺_{L}^{h}-base standard minimale de J_{Q} et quitte à renuméroter les g′_{i}, on peut supposer que l’ensemble des exp_{<_{L}^{h}}(g′_{i}) pour i = 1, …, r engendre E de façon minimale. Pour chaque i = 1, …, r, soit g_{i} ∈ J_{Q} l’élément qu’on obtient en appliquant le lemme de réduction à g′_{i}. L’ensemble des g_{i} ainsi obtenus répond au problème. □

4. Preuve de la proposition 6.1

La preuve est la même dans les cas algébrique et analytique, la voici.

Démonstration. Pour chaque E ∈ ES^{gen}(J_{Q}) soit G_{E} une (on fait un choix) E-pseudo base de J_{Q}. On pose alors

h_{Q} = h_{0} · ∏_{E∈ES^{gen}(J_{Q})} ∏_{g∈G_{E}} ∏_{c∈coef(g)} c

où h_{0} a été construit à la section 1 du présent chapitre. Nous allons montrer l’équivalence suivante pour L, L′ ∈ U et a_{1}, a_{2} ∈ V (Q) ∖ V (h_{Q}) :

gr^{L}(h(I_{|a_{1}})) ≃ gr^{L′}(h(I_{|a_{1}})) ⟺ gr^{L}(h(I_{|a_{2}})) ≃ gr^{L′}(h(I_{|a_{2}}))

ce qui montrera bien la proposition 6.1. Les choses étant symétriques en a_{1} et a_{2} nous montrerons seulement l’implication ”gauche ⇒ droite”.

Du fait que a_{1} ∉ V (h_{0}), nous avons l’égalité gr^{L}(J_{Q}_{|a_{1}}) = gr^{L′}(J_{Q}_{|a_{1}}) et comme gr^{L}(J_{Q}_{|a_{1}}) et J_{Q}_{|a_{1}} ont le même escalier par rapport à <_{L}^{h} et à <_{L′}^{h}, les formes L et L′ sont dans un même U_{E}^{gen} pour E ∈ ES^{gen}(J_{Q}). Soit alors g_{1}, …, g_{r} les éléments de G_{E} (ils vérifient les conditions de la proposition 6.8). Par spécialisation en a_{1}, les g_{i}_{|a_{1}} forment la base standard réduite minimale de h(I_{|a_{1}}) (à des multiples de k près, resp. C près) pour <_{L}^{h} et <_{L′}^{h} donc

∀i = 1, …, r σ^{L}(g_{i}_{|a_{1}}) = σ^{L′}(g_{i}_{|a_{1}})

or, du fait que a_{1} ∉ V (h_{Q}), nous avons σ^{L}(g_{i}_{|a_{1}}) = σ^{L}(g_{i})_{|a_{1}} et de même pour L′. Pour la même raison, nous avons aussi :

σ^{L}(g_{i})_{|a_{1}} = σ^{L′}(g_{i})_{|a_{1}} ⟺ σ^{L}(g_{i}) = σ^{L′}(g_{i}).

Après spécialisation en a_{2}, on obtient :

σ^{L}(g_{i})_{|a_{2}} = σ^{L′}(g_{i})_{|a_{2}}

puis

σ^{L}(g_{i}_{|a_{2}}) = σ^{L′}(g_{i}_{|a_{2}})

or les g_{i}_{|a_{2}} forment la <_{L}^{h} (et la <_{L′}^{h})-base standard réduite minimale de h(I_{|a_{2}}), par conséquent :

gr^{L}(h(I_{|a_{2}})) = gr^{L′}(h(I_{|a_{2}})).

La proposition 6.1 est démontrée. □

5. Application au polynôme de Bernstein-Sato générique

On se donne v = (v_{1}, v_{2}) ∈ N^{2} et f_{1}, f_{2} (i.e. on suppose p = 2, nous verrons pourquoi plus loin) dépendant polynomialement de x et dépendant d’un système de paramètres a algébriques (resp. analytiques). Soit Q un idéal premier de k[a] (resp. C{a}). On se propose de montrer le résultat suivant :

PROPOSITION 6.10. Il existe h = h(a) ∉ Q et il existe b(s_{1}, s_{2}) ∈ Q[s_{1}, s_{2}] tel que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h) l’idéal de Bernstein-Sato B^{v}((f_{1}, f_{2})_{|a}) contienne b(s_{1}, s_{2}).

Nous savons déja que ce résultat est vrai pour p quelconque, ce fut l’objet du chapitre précédent mais nous proposons ici une autre preuve basée sur la proposition 6.1 qui assure que l’éventail de Gröbner est constant génériquement. La raison pour laquelle on suppose p = 2 est que nous allons aussi nous appuyer sur le théorème 2.10 pour lequel l’assertion 2 n’est valable que pour p = 2.

Nous n’allons pas donner tous les détails de la preuve mais seulement les principales étapes. Pour ne pas alourdir les choses, nous décrirons la preuve dans le cas algébrique. Le cas analytique se traite de la même façon.

Notons I l’idéal de A_{n}(k)[a] engendré par t_{j}−f_{j} pour j = 1, 2 et ∂_{x_{i}}+∑_{j=1}^{2} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}} et I_{Q} = I+ < Q >. On note comme précédement h(I) ⊂ A_{n}(k)⟨z⟩[a] et J_{Q} = h(I)+ < Q >. Tout d’abord ce qui nous intéresse ici, c’est l’éventail E_{V} mais nous pouvons montrer comme cela a été fait pour E que :

– Il existe h_{1} ∉ Q tel que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{1}) l’éventail E_{V} (h(I_{|a})) est

constant. Notons le E_{V}^{gen}.

Nous avons vu au chapitre 3 qu’il existe un algorithme de calcul de b_{L} pour chaque L ∈ Sq(E_{V}^{gen}). Cet algorithme donne lieu à l’assertion suivante :

– Il existe h_{2} ∉ Q tel que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{2}) le b_{L} de l’idéal I_{|a} soit

constant. On le note naturellement b_{L}^{gen}. Cette assertion se montre en suivant les méthodes du chapitre précédent où nous avions utilisé l’algorithme de T. Oaku générique. Dans l’assertion 2 du théorème 2.10, il est démontré l’existence de κ = (κ^{1}, 0) tel que :

\overline{V}_{w}(A_{n}(k)/I_{0}) ⊂ V_{w+κ}(A_{n}(k)/I_{0}) pour tout w ∈ Z^{2}.

Or si on observe la construction d’un tel κ on s’aperçoit qu’il est entièrement définit par le nuage des bases de Gröbner réduites associé à σ ∈ E_{V} (h(I_{0})).

De plus dans la preuve de la constance générique de l’éventail de Gröbner on voit que pour a en dehors d’un certain h_{Q} ∉ Q, le nuage des bases de Gröbner de I_{|a} associées à chaque cône σ est constant, ce qui entraine :

– Il existe h_{3} ∉ Q et il existe κ = (κ^{1}, 0) tels que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{3}),

\overline{V}_{w}(A_{n}(k)/I_{|a}) ⊂ V_{w+κ}(A_{n}(k)/I_{|a}) pour tout w ∈ Z^{2}.
On le note κ^{gen}.

Posons maintenant

b(s_{1}, s_{2}) = ∏_{L∈E_{V}^{gen}} ∏_{−L(κ^{gen}+v)<k≤0} b_{L}^{gen}(L(s_{1}, s_{2}) − k).

On voit alors que pour tout a ∈ V (Q) ∖ V (h_{1}h_{2}h_{3}), b(s_{1}, s_{2}) appartient à B^{v}(f_{|a}).

Troisième partie

Aspects plus calculatoires

CHAPITRE 7 Algorithm for computing Bernstein-Sato ideals associated with a polynomial mapping

Ce chapitre est dans une certaine mesure indépendant du reste de la thèse. Il s’agit d’un travail réalisé au cours de ma première année de thèse. Ce travail a donné lieu à un article [Ba] (qui porte le titre du présent chapitre) publié au Journal of Symbolic Computation no 32 pages 643-662 paru en 2001. Cet article consiste en un algorithme de calcul de certains idéaux de Bernstein-Sato. L’algorithme de T. Oaku utilisé dans le chapitre 5 existait avant cet article. D’autre part pour p = 1, il existait un autre algorithme aussi dû à T. Oaku et c’est ce dernier que nous avons généralisé dans le cas p ≥ 2. Les deux algorithmes se font par des calculs de bases de Gröbner. Il est bien connu que le nombre de variables compte énormement dans la complexité algorithmique de ce genre de calculs. Aussi notre algorithme permet de calculer certains idéaux de Bernstein-Sato avec des calculs de bases de Gröbner qui font intervenir au plus 2n+3p variables contre 2n+4p variables pour l’algorithme de T. Oaku. C’est ce gain dans le nombre de variables qui justifie l’intérêt de ce nouvel algorithme. Néanmoins, il existe d’autres conséquences des techniques utilisées dans cet article. C’est pour cette raison que le lecteur trouvera à la suite de l’article une section consacrée à leur mise en valeur.

96 7. ALGORITHM FOR B.-S. IDEALS ASSOCIATED WITH A POLYNOMIAL MAPPING

Algorithm for Computing Bernstein-Sato Ideals Associated with a Polynomial Mapping

ROUCHDI BAHLOUL

Abstract : Let f_{1}, …, f_{p} be polynomials in n variables with coefficients in a field K. We associate with these polynomials a number of functional equations and of related ideals B, B_{j} and B_{Σ} of K[s_{1}, …, s_{p}] called Bernstein-Sato ideals. Using standard basis techniques, our purpose is to give an algorithm for computing generators of B_{j} and B_{Σ}.

1. Introduction

Let n, p be two strictly positive integers. Let f_{1}(x), …, f_{p}(x) ∈ K[x] := K[x_{1}, …, x_{n}] be p polynomials of n variables with coefficients in a field K of characteristic zero. Denote by A_{n} = K[x_{1}, …, x_{n}] < ∂_{x_{1}}, …, ∂_{x_{n}} > the Weyl algebra with n variables and let s_{1}, …, s_{p} be new variables. Denote by L = K[x][f_{1}^{−1}, …, f_{p}^{−1}, s_{1}, …, s_{p}] · f^{s} the free module generated by the symbol f^{s} where f^{s} is a notation for f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}. L has a natural A_{n}[s]-module structure where A_{n}[s] := A_{n}[s_{1}, …, s_{p}]. We have for instance :

∂_{x_{i}}(g(x, s)f^{s−m}) = (\frac{∂g}{∂x_{i}} f^{−m} + ∑_{j=1}^{p} g(x, s)(s_{j} − m_{j})\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} f_{j}^{−1}f^{−m})f^{s}

where g(x, s) ∈ K[x][s] and m ∈ N^{p}. Consider the following ideals of K[s], called Bernstein-Sato ideals :

– B = {b(s) ∈ K[s] / b(s)f^{s} ∈ A_{n}[s]f^{s+1}},

– B_{j} = {b(s) ∈ K[s] / b(s)f^{s} ∈ A_{n}[s]f_{j}f^{s}} for j ∈ {1, …, p},
– B_{Σ} = {b(s) ∈ K[s] / b(s)f^{s} ∈ ∑_{j=1}^{p} A_{n}[s]f_{j}f^{s}},

where f^{s+1} := f_{1}^{s_{1}+1} ⋯ f_{p}^{s_{p}+1}. Remark that, in the local analytic case, these ideals have been studied by C. Sabbah (see [S1]) who showed that they are not zero. In the algebraic case studied here, B ≠ 0 can be obtained by a way similar to that used when p = 1 (see [Be] and [Bj]). We take the notations of H. Maynadier (see [May1] and [May2]). Our purpose, in this paper, is to give an explicit algorithm for computing the ideals B_{j} and B_{Σ} (i.e. an algorithm that gives generators of these ideals). In [O-T], T. Oaku and N. Takayama solved the problem for B using the relation :

B = (Annf^{s} + A_{n}[s]f_{1} ⋯ f_{p}) ∩ K[s]

by a computation of Annf^{s} the annihilator of f^{s} in A_{n}[s]. The ideal Annf^{s} is obtained as the intersection of the ideal I (the annihilator of f^{s} in A_{n+p} = A_{n}[t_{1}, …, t_{p}] < ∂_{t_{1}}, …, ∂_{t_{p}} >, see section 4 of the present paper for instance) and the subring A_{n}[−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}]. This intersection is obtained by a Groebner basis computation in 2n + 4p variables. The relations :

B_{j} = (Annf^{s} + A_{n}[s]f_{j}) ∩ K[s],
B_{Σ} = (Annf^{s} + A_{n}[s]f_{1} + ⋯ + A_{n}[s]f_{p}) ∩ K[s]

show that our initial problem is completely resolved using this method. On the other hand, in the case p = 1, those three kinds of ideals are equal and another algorithm to compute B has been proposed by T. Oaku (in [O2]) . In this paper, T. Oaku works with a filtration, called the V -filtration, which gives what we call the V -order, and with these objects he computes a V -standard basis of the ideal I of A_{n+1} = A_{n}[t] < ∂_{t} >, the annihilator of f^{s} in A_{n+1}, after which he obtains generators of an ideal of A_{n}[s] denoted ψ(I) and with an elimination algorithm, he finally obtains a system of generators of the ideal B.

In the present paper, we try to generalize this algorithm. In our case, where p ≥ 2, we have to deal with p filtrations V_{1}, …, V_{p} or equivalently with a multifiltration V. For each ideal J = B_{j}, B_{Σ}, we have the ≺_{J}-order which allows us to compute a ≺_{J}-standard basis of I in A_{n+p} but the difficulty in our case is the following : to compute ψ_{J}(I) (the analogue of Oaku’s ψ(I)) we have to find generators of I which are adapted to the ideal J (for instance, V -regular for B_{Σ}, Bj-good for B_{j}, etc) and for this reason, we use an homogenization technique (see section 6) which makes impossible a number of undesirable divisions. After this homogenization, the rest of the algorithm is similar to Oaku’s. Remark that with this method, Groebner basis computations are done in (at most) 2n + 3p variables.

In section 2, we recall how to compute a standard basis with respect to an order which is not a well-order. In section 3, we introduce the V -multifiltration in A_{n+p} and all the objects which are linked with it, and all the usual elementary properties of these objects. In section 4, and following B. Malgrange (see [Mal]), we introduce I the annihilator of f^{s} in A_{n+p} and we establish the link between functional equations and this ideal. In section 5, we introduce the three Bernstein-Sato ideals that we are interested in, and following T. Oaku, we also introduce the ideals ψ_{B}, ψ_{B_{j}} and ψ_{B_{Σ}} of A_{n}[s] and we show the link between these ideals and the Bernstein-Sato ones. In section 6, we give the algorithms for computing B_{j} and B_{Σ} (in fact ψ_{B_{j}} and ψ_{B_{Σ}}), after having described and used the homogenization techniques which are specific to these algorithms. We end off this section with some examples. One has been made by hand and the other ones using KAN (see [T]).

In this paper, ideal means left ideal.

I wish to thank Prof. Michel Granger for his advice.

2. Standard basis with respect to a non-well order

In this section, we will recall the process of building a standard basis as in [C-N]. This is classical except for the fact that we add parameters u_{1}, …, u_{q}, as developped below, in view of frequent applications, especially in 6.5.

We are going to work in A_{n}[u] = A_{n}[u_{1}, …, u_{q}], with q ∈ N. It is a usual polynomial ring in which u_{i} commutes with the other variables. This section is nevertheless worthwhile even if q = 0, where we work in A_{n}. Let ≺ be a total order of N^{2n+q} which is compatible with the structure of A_{n} i.e. :

exp_{≺}(1) ≺ exp_{≺}(x_{i}∂_{x_{i}}) = exp_{≺}(∂_{x_{i}}x_{i})

and we suppose this order to be compatible with sums while not necessarily being a well-order.

We recall that for P ∈ A_{n}[u] written :

P = ∑ p_{α,β,γ}x^{α}∂_{x}^{β}u^{γ} with p_{α,β,γ} ∈ K, (α, β, γ) ∈ N^{2n+q},

We define :

– the privileged exponent of P :

exp_{≺}(P) = {max_{≺}(α, β, γ)/p_{α,β,γ} ≠ 0}

– the privileged monomial of P :

mp_{≺}(P) = p_{exp_{≺}(P)}(x, ∂_{x}, u)^{exp_{≺}(P)}

– the Newton diagram of P :

ND(P) = {(α, β, γ) ∈ N^{2n+q}/p_{α,β,γ} ≠ 0}.

Let I be an ideal of A_{n}[u]. We suppose that we know a finite system of generators of I. The purpose of this section is to give an algorithm to compute a ≺-standard basis of I and more precisely, we are going to prove :

Proposition 2.1. There exists P_{1}, …, P_{m} ∈ I such that for each P ∈ I there exists W_{1}, …, W_{m} ∈ A_{n}[u] such that :

– P = W_{1}P_{1} + ⋯ + W_{m}P_{m}

– ∀j = 1, …, m exp_{≺}(W_{j}P_{j}) ⪯ exp_{≺}(P) if W_{j} ≠ 0

To construct such operators, we are going to introduce a new variable z and work in A_{n}[u] < z > as in [C-N]. Let A_{n}[u] < z > be the K-algebra generated by x_{i}, ∂_{x_{i}}, u_{i}, z with the following relations :

– ∀i = 1, …, q, u_{i} commutes with the other variables.

– z commutes with the other variables.

– ∀i, j [x_{i}, x_{j}] = [∂_{x_{i}}, ∂_{x_{j}}] = 0.

– ∀i, j [∂_{x_{i}}, x_{j}] = δ_{ij}z^{2}, where δ_{ij} = 1 if i = j and δ_{ij} = 0 if i ≠ j. On N^{2n+q+1}, we define the order ≺^{h} by :

(α, β, γ, i) ≺^{h} (α′, β′, γ′, i′) ⟺ \{ \begin{matrix}& |α| + |β| + |γ| + i < |α′| + |β′| + |γ′| + i′ \\ or & (|α| + |β| + |γ| + i = |α′| + |β′| + |γ′| + i′ \\ & and (α, β, γ) ≺ (α′, β′, γ′)) \end{matrix}

We remark that ≺^{h} is an order compatible with sums is a well-order.

For P ∈ A_{n}[u], let us write

P = ∑ a_{α,β,γ}x^{α}∂_{x}^{β}u^{γ}.

We denote ord^{T} (P) = max{|α|+|β|+|γ|/a_{α,β,γ} ≠ 0}. We define h(P) ∈ A_{n}[u] < z > by :

h(P) = ∑ a_{α,β,γ}x^{α}∂_{x}^{β}u^{γ}z^{ord^{T} (P)−|α|−|β|−|γ|}

Thanks to the relations in A_{n}[u] < z >, we have :

∀P, Q ∈ A_{n}[u], h(P Q) = h(P)h(Q).

We define the ideal h(I) ⊆ A_{n}[u] < z > by the following : Let Q_{1}, …, Q_{r} be generators of I , we define

h(I) = ∑_{i=1}^{r} A_{n}[u] < z > ·h(Q_{i})

Assertion 1 : We can compute a ≺^{h}-standard basis H_{1}(z), …, H_{m}(z) of h(I) (in the sense of 2.1) consisting of T -homogeneous operators (see next remark).

Remark : H ∈ A_{n}[u] < z > is said to be T -homogeneous with a total order ord^{T} (H) = d if it is written :

H = ∑_{α,β,γ} a_{α,β,γ}x^{α}∂_{x}^{β}u^{γ}z^{d−|α|−|β|−|γ|}

In order to prove the assertion 1, we just have to remark that ≺^{h} is a well-order and that divisions in A_{n}[u] < z > preserve homogeneity. Then the H_{j} constucted from the h(Q_{i}) (by division of semisyzygies, see [Lej] for the commutative case, see also [C-G]) will be homogeneous.

Assertion 2 : The system H_{1}(1), …, H_{m}(1) gives the P_{j} of proposition 2.1. Let us prove the assertion 2. Let P ∈ I, there exists B_{1}, …, B_{r} ∈ A_{n}[u] such that P = ∑ B_{i}Q_{i}. There exists k, k_{1}, …, k_{r} ∈ N such that

z^{k}h(P) = z^{k_{1}}h(B_{1}Q_{1}) + ⋯ + z^{k_{r}}h(B_{r}Q_{r}).

We have h(B_{i}Q_{i}) = h(B_{i})h(Q_{i}) then z^{k}h(P) ∈ h(I). Let us divide z^{k}h(P) by the H_{j}(z), we have :

– z^{k}h(P) = ∑ U_{j}(z)H_{j}(z)

– ∀j exp_{≺^{h}}(z^{k}h(P)) ⪰^{h} exp_{≺^{h}}(U_{j}H_{j}) if U_{j} ≠ 0
– ∀j U_{j} is T -homogeneous.

Denote (α, β, γ, i) = exp_{≺^{h}}(z^{k}h(P)) and (α_{j}, β_{j}, γ_{j}, i_{j}) = exp_{≺^{h}}(U_{j}H_{j}). Since all the terms in the sum are T -homogeneous (with order equal to k + ord^{T} (P)), we have (α, β, γ) ⪰ (α_{j}, β_{j}, γ_{j}). And also because of homogeneity we have (α, β, γ) = exp_{≺^{h}}(P) and (α_{j}, β_{j}, γ_{j}) = exp_{≺^{h}}(U_{j}(1)H_{j}(1)). So P = ∑ U_{j}(1)H_{j}(1) with exp_{≺}(P) ⪰ exp_{≺}(U_{j}(1)H_{j}(1)). The assertion 2 is proved and so is proposition 2.1.

3. V-multifiltration

Definition 3.1. Let P ∈ A_{n+p}, P ≠ 0, P can be written in only one way as follows :

P = ∑ a_{μ,ν}t^{μ}∂_{t}^{ν} with μ, ν ∈ N^{p}, a_{μ,ν} ∈ A_{n}.

We define :

– For j = 1, …, p, the V_{j}-order of P

ord^{V_{j}}(P) = max{ν_{j} − μ_{j} / a_{μ,ν} ≠ 0}

– The V -order of P

ord^{V} (P) = (ord^{V_{1}}(P), …, ord^{V_{p}}(P))

– For j = 1, …, p, the V_{j}-principal symbol of P

σ^{V_{j}}(P) = ∑_{ν_{j}−μ_{j}=ord^{V_{j}} (P)} a_{μ,ν}t^{μ}∂_{t}^{ν}

– For m ∈ Z^{p}, the V -partial symbol of order m of P

σ_{m}^{V}(P) = ∑_{ν−μ=m} a_{μ,ν}t^{μ}∂_{t}^{ν}

– The V - principal symbol of P

σ^{V} (P) = σ_{ord^{V} (P)}^{V}(P).

For m ∈ Z^{p}, we denote

V_{m}(A_{n+p}) = {P ∈ A_{n+p} / ∀j = 1, …, p ord^{V_{j}}(P) ≤ m_{j}}.

Remark 3.2. We may have σ^{V} (P) = 0 without having P = 0. For instance, if p = 2 and P = t_{1} + t_{2}, σ^{V} (P) = 0.

As usual, we have the following properties :

Lemma 3.3. Let P, Q ∈ A_{n+p}, P, Q ≠ 0, we have :

– ord^{V} (P Q) = ord^{V} (P) + ord^{V} (Q)

– σ^{V} (P Q) = σ^{V} (P)σ^{V} (Q)

– σ^{V_{j}}(P Q) = σ^{V_{j}}(P)σ^{V_{j}}(Q)

4. Bernstein-Sato equations and Malgrange point of view

Consider

L = K[x][f_{1}^{−1}, …, f_{p}^{−1}, s] · f^{s}

the free module generated by the symbol f^{s} where f^{s} := f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}}. L has an A_{n}[s]-module structure. Thus for instance we have :

∂_{x_{i}}(g(x, s)f^{s−m}) = (\frac{∂g}{∂x_{i}} f^{−m} + ∑_{j=1}^{p} g(x, s)(s_{j} − m_{j})\frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} f_{j}^{−1}f^{−m})f^{s}

where g(x, s) ∈ K[x][s] and m ∈ N^{p}.

Now let us introduce an A_{n+p}-module structure on L : If j = 1, …, p and g(s) ∈ K[x][f^{−1}, s], we define :

t_{j}.(g(s)f^{s}) = g(s_{1}, …, s_{j} + 1, …, s_{p})f_{j}f^{s}
∂_{t_{j}}.(g(s)f^{s}) = −s_{j}g(s_{1}, …, s_{j} − 1, …, s_{p})f_{j}^{−1}f^{s}.

We can easily check that (∂_{t_{j}}.t_{j}).(g(s)f^{s}) = (t_{j}.∂_{t_{j}} + 1).(g(s)f^{s}).

We have the following relations :

(i): −∂_{t_{j}}t_{j}(g(s)f^{s}) = s_{j}g(s)f^{s} if g(s) ∈ K[x][f^{−1}, s]

(ii): (t_{j} − f_{j}(x)).f^{s} = 0 ∀j = 1, …, p

(iii): (∂_{x_{i}} + ∑_{j} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}}).f^{s} = 0 ∀i = 1, …, n We have the inclusions :

A_{n}[s]f^{s} ⊆ A_{n+p}f^{s} ⊆ L

Remark that the first inclusion comes from (i).

As in lemma 4.1 of [Mal], we have :

Lemma 4.1. Let

I = ∑_{j=1}^{p} A_{n+p}(t_{j} − f_{j}(x)) + ∑_{i=1}^{n} A_{n+p}(∂_{x_{i}} + ∑_{j=1}^{p} \frac{∂f_{j}}{∂x_{i}} ∂_{t_{j}})

Then I is maximal in A_{n+p}.

proof. Let ϕ : K^{n+p} ⟶ K^{n+p} defined by
ϕ(x_{1}, …, x_{n}, t_{1}, …, t_{p}) = (x_{1}, …, x_{n}, t_{1} − f_{1}(x), …, t_{p} − f_{p}(x)).

ϕ is bijective and induces an isomorphism ϕ_{∗} on the ring A_{n+p}. The image of I is

ϕ_{∗}(I) = ∑_{j=1}^{p} A_{n+p}t_{j} + ∑_{i=1}^{n} A_{n+p}∂_{x_{i}},

Moreover, it’s easy to see that :

I maximal is equivalent to ϕ_{∗}(I) maximal.

We suppose, in the rest of the proof, that I = ∑ A_{n+p}t_{j} + ∑ A_{n+p}∂_{x_{i}}. Let P ∈ A_{n+p} ∖ I, denote I′ = I + A_{n+p}P. We shall prove that I′ = A_{n+p}. Write

P = ∑ a_{αβγδ}x^{α}∂_{t}^{β}t^{γ}∂_{x}^{δ} with α, δ ∈ N^{n}, β, γ ∈ N^{p}, a_{αβγδ} ∈ K

then

P ∈ ∑ a_{αβ00}x^{α}∂_{t}^{β} + I.

Thus we can assume that P is of the following form :

P = ∑ a_{αβ}x^{α}∂_{t}^{β} = ∑ a_{β}(x)∂_{t}^{β}.

Let μ(P) = max{|β|, a_{β} ≠ 0}. We shall prove by induction on μ(P) that there exists a(x) ∈ K[x] ∩ I′, a(x) ≠ 0. If μ(P) = 0 then the assertion is true. Assume that μ(P) > 0. Write

P = Q + a_{β′}∂_{t}^{β′} with |β′| = μ(P).

Let j be such that β′_{j} ≠ 0 and denote by C = [P, t_{j}] the commutator of P and t_{j}. Then on one hand C ∈ I′ and C ≠ 0, and on the other hand μ(C) < μ(P), we then apply the induction hypothesis. At this point, we have proved the existence of a(x) ∈ K[x], a(x) ≠ 0 in I′. For such an a, consider ν(a) = max{deg_{x_{1}}(a), …, deg_{x_{n}}(a)}, and let us show by induction on ν(a) that 1 ∈ I′. If ν(a) = 0 then 1 ∈ I′. Assume ν(a) > 0 and let i such that deg_{x_{i}}(a) = ν(a), then

\frac{∂a}{∂x_{i}} = [a, ∂_{x_{i}}] ∈ I′ and deg_{x_{i}}(\frac{∂a}{∂x_{i}}) < deg_{x_{i}}(a).

After a finite number of steps we obtain the existence of b(x) ∈ I′, b(x) ≠ 0 with ν(b) < ν(a). We then apply the induction hypothesis which gives 1 ∈ I′.

□

Lemma 4.2. I is the annihilator of f^{s} in A_{n+p}.

proof. Denote by I′ = {P ∈ A_{n+p}/P · f^{s} = 0} the annihilator of f^{s} in A_{n+p}. Using the relations (ii) and (iii), we have I ⊆ I′, moreover I′ ≠ A_{n+p} because 1 ∉ I′, then by the previous lemma I = I′ □

As a consequence, we have :

Corollary 4.3. Let P (s) ∈ A_{n}[s]. We have :

P (s) · f^{s} = 0 in L ⟺ P (−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}) ∈ I.

proof. By the relation (i) we have : P (s)f^{s} = P (−∂_{t}t)f^{s}, and the previous lemma ends the proof. □

5. Bernstein-Sato ideals

Definition 5.1. Consider the ideals of K[s] = K[s_{1}, …, s_{p}] :

– B = {b(s) ∈ K[s] / b(s)f^{s} ∈ A_{n}[s]f^{s+1}}

– B_{j} = {b(s) ∈ K[s] / b(s)f^{s} ∈ A_{n}[s]f_{j}f^{s}} for j = 1, …, p

– B_{Σ} = {b(s) ∈ K[s] / b(s)f^{s} ∈ ∑_{j=1}^{p} A_{n}[s]f_{j}f^{s}} with f^{s+1} := f_{1}^{s_{1}+1} ⋯ f_{p}^{s_{p}+1}.

We have the inclusions :

B ⊆ B_{j} ⊆ B_{Σ}.

Our purpose is to give an algorithm for computing B_{Σ} and B_{j}.

Definition 5.2. Let P ∈ A_{n+p} such that ord^{V} = (m_{1}, …, m_{p}). We define ψ(P)(s) ∈ A_{n}[s_{1}, …, s_{p}] by the following :

ψ(P)(−∂_{t_{1}}t_{1}, …, −∂_{t_{p}}t_{p}) = σ^{V} (S_{1}. . . . .S_{p}P)

with

S_{j} = \begin{cases}t_{j}^{m_{j}} if m_{j} > 0 \\ ∂_{t_{j}}^{−m_{j}} if m_{j} ≤ 0. \end{cases}

We define the following ideals of A_{n}[s] (we still denote by I the annihilator of f^{s} in A_{n+p}) by :

– ψ_{B}(I) = {ψ(P) / P ∈ I, ord^{V} (P) = 0, ∀j ord^{V_{j}}(P − σ^{V} (P)) < 0} ∪ (0)

– ψ_{B_{Σ}}(I) = {ψ(P) / P ∈ I, ord^{V} (P) = 0} ∪ (0)

– ψ_{B_{j}}(I) = {ψ(P) / P ∈ I, ord^{V} (P) = 0, ord^{V_{j}}(P − σ^{V} (P) < 0} ∪ (0)

Lemma 5.3. Let b(s) ∈ K[s], we have :

a: b(s) ∈ B ⟺ b(−∂_{t}t) ∈ I + V_{0}(A_{n+p})t_{1} ⋯ t_{p}

b: b(s) ∈ B_{j} ⟺ b(−∂_{t}t) ∈ I + V_{0}(A_{n+p})t_{j}

c: b(s) ∈ B_{Σ} ⟺ b(−∂_{t}t) ∈ I + ∑ V_{0}(A_{n+p})t_{j}

proof. We shall now prove the assertion b, the other assertions can be proved in a similar way. ⟹ : b(s) ∈ B_{j} is equivalent to the existence of P (s) ∈ A_{n}[s] such that b(s)f^{s} = P (s)f_{j}f^{s}, or (b(s) − P (s)f_{j}).f^{s} = 0, then by corollary 4.3, b(−∂_{t}t) − P (−∂_{t}t)f_{j} ∈ I, and using the relation (ii) of section 4, we obtain :

(4)  b(s) ∈ B_{j} ⟺ b(−∂_{t}t) − P (−∂_{t}t)t_{j} ∈ I

thus this implication is proved. ⟸ : By hypothesis, there exists Q ∈ V_{0}(A_{n+p}) such that b(−∂_{t}t) − Q.t_{j} ∈ I. Since Q ∈ V_{0}(A_{n+p}), we can write it as :

Q = ∑_{m∈N^{p}} Q_{m}(−∂_{t}t)t^{m}

with Q_{m}(−∂_{t}t) ∈ A_{n}[−∂_{t}t]. Using the relation (ii) of section 4, we obtain :

Qt_{j} ∈ I + (\underbrace{∑ Q_{m}(−∂_{t}t)f^{m}}_{P (−∂_{t}t)})t_{j}

hence b(−∂_{t}t) − P (−∂_{t}t)t_{j} ∈ I. Using (4), we end the proof. □

As a consequence, we have :

Proposition 5.4. We still denote by I the annihilator of f^{s} in A_{n+p}.

a: ψ_{B}(I) ∩ K[s] = B

b: ψ_{B_{j}}(I) ∩ K[s] = B_{j}

c: ψ_{B_{Σ}}(I) ∩ K[s] = B_{Σ}

proof. We only prove the assertion b (the other assertions being similar). Let b(s) ∈ ψ_{B_{j}}(I) ∩ K[s]. Then there exists Q ∈ I with ord^{V} (Q) = 0 such that ord^{V_{j}}(Q − σ^{V} (Q)) < 0 and such that b(s) = ψ(Q)(s), or b(−∂_{t}t) = σ^{V} (Q). Write

Q − σ^{V} (Q) = Q′t_{j} with Q′ ∈ V_{0}(A_{n+p}).

We have b(−∂_{t}t) + Q′t_{j} ∈ I. Then by the previous lemma, b(s) ∈ B_{j}. Let b(s) ∈ B_{j}. Then by the previous lemma, there exists Q ∈ I and Q′ ∈ V_{0}(A_{n+p}) such that

b(−∂_{t}t) = Q − Q′t_{j}.

Thus we see that ord^{V} (Q) = (0, …, 0) and b(s) = ψ(Q)(s), i.e. b(s) ∈ ψ_{B_{j}}(I) ∩ K[s]. □

Remark 5.5. If we can compute generators of ψ_{B_{j}}(I) then we will easily compute generators of B_{j}. Actually, if we compute a standard basis G_{1}, …, G_{q} with respect to an order which eliminates the variables x_{i} and ∂_{x_{i}} then {G_{1}, …, G_{q}} ∩ K[s] will generate B_{j} on K[s]. The same remark can be applied to ψ_{B_{Σ}}(I) and B_{Σ}. Thus, in the next section, we will compute ψ_{B_{Σ}}(I) and ψ_{B_{j}}(I).

6. Computation of B_{Σ} and B_{j}

In this section, we present the main result of this paper. Let us see how this section is organized. As we saw in proposition 5.4 and in remark 5.5, it is enough to compute ψ_{B_{Σ}}(I) and ψ_{B_{j}}(I) to obtain B_{Σ} and B_{j}. The way we will compute ψ_{B_{Σ}}(I) and ψ_{B_{j}}(I) is the following :

– We introduce new variables y_{1}, …, y_{p} which commute with A_{n+p}.

– Given an ideal J of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}] and j ∈ {1, …, p} \ {j_{1}, …, j_{k}}, we define h^{V_{j}}(J) ideal of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}, y_{j}]. Given generators of J, we show how to find generators of h^{V_{j}}(J).

– We define an ideal h(I) of A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}] as h(I) = h^{V_{2}}(h^{V_{3}}(⋯ h^{V_{p}}(I) ⋯)) (see 6.7). It is an ideal obtained by p − 1 homogenizations starting from I ⊂ A_{n+p}. In fact we construct h^{V_{p}}(I) ⊂ A_{n+p}[y_{p}], then h^{V_{p−1}}(h^{V_{p}}(I)) ⊂ A_{n+p}[y_{p−1}], etc.

– By definition, we can compute generators (finite in number) of h(I).

– We introduce a multigraduation on A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}] given by a multiform H = (H_{2}, …, H_{p}). For G ∈ A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}], we have a notion of being H-multihomogeneous. An ideal J of A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}] is said to be H-multi-homogeneous if it can be generated by H-multihomogeneous elements.

– For an element of A_{n+p} (or A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}]) we introduce a notion of V - regularity (resp. V_{j}-goodness).

– We introduce an order ≺_{B_{Σ}} (resp. ≺_{B_{j}}) which is used to detect if an element is V -regular (resp. V_{j}-good) or not (see propositions 6.16 and 6.22). If G ∈ A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}] is H-multihomogeneous, then thanks to proposition 6.16 (resp. 6.22) and lemma 6.11 we can express the fact that G is V -regular (resp. B_{j}-good) or not by a property of non-divisibility by y_{j} (see 6.17).

– Lemma 6.12 shows that h(I) is H-multihomogeneous. A consequence is that there exists a standard basis of h(I) with respect to ≺_{B_{Σ}} (resp. ≺_{B_{j}}) made of H-multihomogeneous elements.

– Finally, proposition 6.19 (resp. 6.23) shows that a standard basis of h(I) with respect to ≺_{B_{Σ}} (resp. ≺_{B_{j}}) gives a system of generators of ψ_{B_{Σ}}(I) (resp. ψ_{B_{j}}(I)), by keeping only the V -regular (resp V_{j}-good) elements.

6.1. Homogenizations. Let y_{1}, …, y_{p} be p new variables. Let k ∈ {0, …, p − 1}. If k ∈ {1, …, p − 1}, let {j_{1}, …, j_{k}} be a part of {1, …, p} of cardinal equal to k. If k = 0 then we set A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}] = A_{n+p} and {j_{1}, …, j_{k}} = ∅. Let j ∈ {1, …, p} ∖ {j_{1}, …, j_{k}}.

Definition 6.1. Let P ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}], and denote m_{j} = ord^{V_{j}}(P). We define h^{V_{j}}(P) ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}, y_{j}] in the following way : Let us write

P = ∑ a_{μν}t^{μ}∂_{t}^{ν} μ, ν ∈ N^{p}, a_{μν} ∈ A_{n}[y_{1}, …, y_{j_{k}}].

Set :

h^{V_{j}}(P) = ∑ a_{μν}t^{μ}∂_{t}^{ν}y_{j}^{m_{j}−(ν_{j}−μ_{j})}.

Lemma 6.2. For each P, Q ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}],

h^{V_{j}}(P Q) = h^{V_{j}}(P)h^{V_{j}}(Q).

6. COMPUTATION OF B_{Σ} AND B_{j} 105

proof. The proof is based on the following : If V_{j}(t^{μ}∂_{t}^{ν}) = m and V_{j}(t^{μ′}∂_{t}^{ν′}) = m′ then :

– V_{j}(t^{μ}∂_{t}^{ν}t^{μ′}∂_{t}^{ν′}) = m + m′

– t^{μ}∂_{t}^{ν}t^{μ′}∂_{t}^{ν′} = ∑ c_{μ′′,ν′′}t^{μ′′}∂_{t}^{ν′′}
with V_{j}(t^{μ′′}∂_{t}^{ν′′}) = m + m′ if c_{μ′′,ν′′} ≠ 0.

This follows from the Leibniz rule :

∂_{t_{j}}^{k} · a = ∑_{i=0}^{k} (\begin{matrix}k \\ i \end{matrix} ) \frac{∂^{i}a}{∂t_{j}}∂_{t_{j}}^{k−i}

In fact we can say that V_{j}-homogeneity is preserved by products. □

Lemma 6.3. Let P, P_{1}, …, P_{d} ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}] be such that P = P_{1} +⋯+P_{d} with ∀i ord^{V_{j}}(P_{i}) ≤ ord^{V_{j}}(P), then there exists l_{1}, …, l_{d} ∈ N such that :

h^{V_{j}}(P) = y_{j}^{l_{1}}h^{V_{j}}(P_{1}) + ⋯ + y_{j}^{l_{d}}h^{V_{j}}(P_{d}).

In fact l_{i} = ord^{V_{j}}(P) − ord^{V_{j}}(P_{i}).

Definition 6.4. Let J be an ideal of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}]. We define h^{V_{j}}(J) as the ideal of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}, y_{j}] generated by {h^{V_{j}}(P) / P ∈ J}.

Proposition 6.5. Let J be an ideal of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}]. There exists P_{1}, …, P_{q} in J such that for each P ∈ J there exists C_{1}, …, C_{q} ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}] such that :

P = ∑ C_{i}P_{i} with ord^{V_{j}}(C_{i}P_{i}) ≤ ord^{V_{j}}(P) if C_{i} ≠ 0.

Moreover, we can obtain these P_{i} in an algorithmic way if we know a finite system of generators of J.

proof. We just apply proposition 2.1 to the order ≺_{V_{j}} defined on N^{2n+2p+k} by the following :

(α, β, μ, ν, η) ≺_{V_{j}} (α′, β′, μ′, ν′, η′)

⟺ \{ \begin{matrix}& ν_{j} − μ_{j} < ν′_{j} − μ′_{j} \\ or & (ν_{j} − μ_{j} = ν′_{j} − μ′_{j} and (α, β, μ, ν, η) ≺ (α′, β′, μ′, ν′, η′)) \end{matrix}

where ≺ is a total well-order compatible with sums, the parameters of 2.1 being y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}} here. □

Corollary 6.6. Let J be an ideal of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}] and let P_{1}, …, P_{q} ∈ J be as in proposition 6.5, then h^{V_{j}}(J) is generated by h^{V_{j}}(P_{1}), …, h^{V_{j}}(P_{q}).

proof. Let P ∈ J. By proposition 6.5, there exists C_{1}, …, C_{q} ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}] such that :

P = ∑ C_{i}P_{i} with ord^{V_{j}}(C_{i}P_{i}) ≤ ord^{V_{j}}(P) if C_{i} ≠ 0.

By lemma 6.2 and lemma 6.3, we have :

h^{V_{j}}(P) = y_{j}^{l_{1}}h^{V_{j}}(C_{1})h^{V_{j}}(P_{1}) + ⋯ + y_{j}^{l_{q}}h^{V_{j}}(C_{q})h^{V_{j}}(P_{q}).
□

6.2. The homogenized ideal h(I). From now on, y denotes (y_{2}, …, y_{p}).

Definition 6.7. We still denote by I the annihilator of f^{s} in A_{n+p}. We define by a descending induction an ideal h(I) by :

– h_{p+1}(I) = I,

– h_{k}(I) = h^{V_{k}}(h_{k+1}(I)),

– h(I) = h_{2}(I). We can write :

h(I) = h^{V_{2}}(h^{V_{3}}(⋯ h^{V_{p}}(I) ⋯)).

This is an ideal of A_{n+p}[y] = A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}]. Similarly, for P ∈ A_{n+p} we define h(P) ∈ A_{n+p}[y] by :

h(P) = h^{V_{2}}(h^{V_{3}}(⋯ h^{V_{p}}(P) ⋯)).

For example, for p = 3, we have :

h^{V_{3}}(I) = {∑_{j} E_{j}(y_{3})h^{V_{3}}(Q_{j}) / Q_{j} ∈ I, E_{j}(y_{3}) ∈ A_{n+p}[y_{3}]}

h^{V_{2}}(h^{V_{3}}(I)) = {∑_{i} F_{i}(y_{2}, y_{3})h^{V_{2}}( ∑_{j} E_{i,j}(y_{3})h^{V_{3}}(Q_{i,j}))}

with Q_{i,j} ∈ I, E_{i,j} ∈ A_{n+p}[y_{3}], F_{i}(y_{2}, y_{3}) ∈ A_{n+p}[y_{2}, y_{3}]. It is easy to see that for P ∈ I we have h(P) ∈ h(I). Lemma 6.12 says that conversely, h(I) is generated by such elements, which is not completely direct.

Remark 6.8. Following proposition 6.5 and corollary 6.6, we can obtain in an algorithmic way generators (finite in number) of h(I).

Definition 6.9.

For j = 2, …, p, we define the linear form H_{j} on N^{2n+2p+p−1} by :

H_{j}(α, β, μ, ν, η) = η_{j} + ν_{j} − μ_{j}.

We denote by H the multiform (H_{2}, …, H_{p}).

– – Let G = G(y) ∈ A_{n+p}[y]. Write :

G = ∑ a_{μ,ν,η}t^{μ}∂_{t}^{ν}y^{η} μ, ν ∈ N^{p}, η ∈ N^{p−1}, a_{μ,ν,η} ∈ A_{n}.

- We define σ_{d_{j}}^{H_{j}}(G) the partial H_{j}-symbol of G with order equal to d_{j} ∈ Z

by :

σ_{d_{j}}^{H_{j}}(G) = ∑_{η_{j}+ν_{j}−μ_{j}=d_{j}} a_{μ,ν,η}t^{μ}∂_{t}^{ν}y^{η}.

- G is said to be H_{j}-homogeneous with ord^{H_{j}}(G) = d_{j} if G = σ_{d_{j}}^{H_{j}}(G).

- G is said to be H-homogeneous (or H-multihomogeneous) with ord^{H}(G) = d = (d_{2}, …, d_{p}) if for each j = 2, …, p, G is H_{j}-homogeneous of order equal to d_{j}. We define σ_{d}^{H}(G) the H-symbol with order equal to d = (d_{2}, …, d_{p}) of G by :

σ_{d}^{H}(G) = ∑_{∀j,η_{j}+ν_{j}−μ_{j}=d_{j}} a_{μ,ν,η}t^{μ}∂_{t}^{ν}y^{η}.

We have :

σ_{d}^{H}(G) = σ_{d_{2}}^{H_{2}}(⋯ σ_{d_{p}}^{H_{p}}(G) ⋯).

Remark that the operations σ_{d_{j}}^{H_{j}} commute with each other.

This yields the four following results :

Lemma 6.10. We take the notations of definition 6.4 : Let J be an ideal of A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}], let G ∈ h^{V_{j}}(J). Then for each m ∈ Z, we have σ_{m}^{H_{j}}(G) ∈ h^{V_{j}}(J).

proof. By definition of h^{V_{j}}(J), there exists P_{1}, …, P_{e} ∈ J and R_{1}, …, R_{e} ∈ A_{n+p}[y_{j_{1}}, …, y_{j_{k}}, y_{j}] such that G = ∑_{i} R_{i}h^{V_{j}}(P_{i}). Since σ_{m}^{H_{j}}(G) = ∑_{i} σ_{m}^{H_{j}}(R_{i}h^{V_{j}}(P_{i})), we can assume that G = Rh^{V_{j}}(P) with P ∈ J. Write R = ∑_{l∈Z} σ_{l}^{H_{j}}(R), we have :

Rh^{V_{j}}(P) = ∑_{l} σ_{l}^{H_{j}}(R)h^{V_{j}}(P).

By the same calculation as in 6.2, we can prove that σ_{l}^{H_{j}}(R)h^{V_{j}}(P) is H_{j}-homogeneous with ord^{H_{j}} equal to l + ord^{H_{j}}(h^{V_{j}}(P)) = l + ord^{V_{j}}(P) so we have :

σ_{m}^{H_{j}}(Rh^{V_{j}}(P)) = σ_{m−ord^{V_{j}} (P)}^{H_{j}}(R)h^{V_{j}}(P)

which ends the proof. □

Lemma 6.11. For each G ∈ A_{n+p}[y] H-homogeneous, there exists l = (l_{2}, …, l_{p}) ∈ N^{p−1} such that G = y^{l}h(G(1, …, 1)).

Lemma 6.12. h(I) is the ideal of A_{n+p}[y_{2}, …, y_{p}] generated by the set {h(P)/P ∈ I, P ≠ 0}.

proof. First, it is clear that for each P in I, h(P) is in h(I). Conversely, let G ∈ h(I). Since G = ∑_{k∈Z^{p−1}} σ_{k}^{H}(G), we are reduced to prove that each σ_{k}^{H}(G) is in the ideal generated by {h(P)/P ∈ I}. In fact we shall prove that for each k = (k_{2}, …, k_{p}) ∈ Z^{p−1}, there exists l = (l_{2}, …, l_{p}) ∈ N^{p−1} and Q ∈ I such that σ_{k}^{H}(G) = y^{l}h(Q), which will prove the lemma. The proof will be constructed by induction on r the number of homogenizations (the claim in step r of this induction being the following : h_{p+1−r}(I) is generated by all the h^{V_{p+1−r}}(… h^{V_{p}}(P) …) with P ∈ I).

– If r = 1 :

In this case, we have h(I) = h^{V_{p}}(I), H = H_{p}, k ∈ Z. By 6.10 we have σ_{k}^{H}(G) ∈ h(I), so σ_{k}^{H}(G)_{|y_{p}=1} ∈ I. As in lemma 6.11, there exists l ∈ N such that σ_{k}^{H}(G) = y_{p}^{l}h^{V_{p}}(σ_{k}^{H}(G)_{|y_{p}=1}). This proves the result for r = 1.

– The induction step :

In order to avoid too many notations, we will assume that the result is true for r = p − 2 and we will prove it for r = p − 1 (i.e. we only make the last step of the induction which is completely similar to the rth step). Let us assume the result true for h^{V_{3}}(⋯ h^{V_{p}}(I)). We have :

σ_{k}^{H}(G) = σ_{k′}^{H′}(σ_{k_{2}}^{H_{2}}(G)) where H′ = (H_{3}, …, H_{p}) and k′ = (k_{3}, ⋯, k_{p}).

Denote G′ = σ_{k_{2}}^{H_{2}}(G)_{|y_{2}=1} then using 6.10, we have G′ ∈ h^{V_{3}}(⋯ h^{V_{p}}(I) ⋯),

moreover there exists l′_{2} ∈ N such that σ_{k_{2}}^{H_{2}}(G) = y_{2}^{l′_{2}}h^{V_{2}}(G′). Thus we have :

σ_{k}^{H}(G) = σ_{k′}^{H′}(y_{2}^{l′_{2}}h^{V_{2}}(G′))
= y_{2}^{l′_{2}}σ_{k′}^{H′}(h^{V_{2}}(G′)).

Assertion : ∃l′′_{2} ∈ Z such that σ_{k′}^{H′}(h^{V_{2}}(G′)) = y_{2}^{l′′_{2}}h^{V_{2}}(σ_{k′}^{H′}(G′)).

Let G′′ be such that G′ = σ_{k′}^{H′}(G′) + G′′ then we have :

h^{V_{2}}(G′) = y_{2}^{l′′_{2}}h^{V_{2}}(σ_{k′}^{H′}(G′)) + y_{2}^{l′′′_{2}}h^{V_{2}}(G′′)

with l′′_{2} = 0 or l′′′_{2} = 0, after which, σ_{k′}^{H′}(h^{V_{2}}(G′)) = y_{2}^{l′′_{2}}h^{V_{2}}(σ_{k′}^{H′}(G′)).

Let l_{2} = l′_{2} + l′′_{2}, we have :

σ_{k}^{H}(G) = y_{2}^{l_{2}}h^{V_{2}}(σ_{k′}^{H′}(G′)).

We apply the induction hypothesis :

σ_{k′}^{H′}(G′) = y_{3}^{l_{3}} ⋯ y_{p}^{l_{p}}h^{V_{3}}(⋯ h^{V_{p}}(Q) ⋯) with Q ∈ I.

Finally we have

σ_{k}^{H}(G) = y^{l}h(Q) with l = (l_{2}, …, l_{p}) and Q ∈ I.
□

Corollary 6.13. For each G ∈ h(I), we have G_{|y=(1,...,1)} ∈ I.

Another consequence of lemma 6.12 is that h(I) is multihomogeneous : if we compute a standard basis of h(I) with respect to some order, then we will be able to construct another standard basis whose elements will be H-homogeneous : let us denote by G_{1}, …, G_{q} such a basis, then {σ_{k}^{H}(G_{i})/k ∈ Z^{p−1}, i = 1, …, q} will be another standard basis. In fact we shall see that, in our case, only q elements of this system will be useful.

6.3. Computation of B_{Σ}. From now on, we denote by V^{+} the linear form on N^{2p} :

V^{+}(μ, ν) = ν_{2} − μ_{2} + ⋯ + ν_{p} − μ_{p}.

We naturally extend V^{+} on N^{2n+2p+p−1}.

Definition 6.14. Let G(y) ∈ A_{n+p}[y]. Then we say that G(y) (or G(1)) is V -regular if σ^{V} (G(1)) ≠ 0.

Definition 6.15. On N^{2n+2p+p−1} we define the following order :

(α, β, μ, ν, η) ≺_{B_{Σ}} (α′, β′, μ′, ν′, η′)

⟺ \{ \begin{matrix}& ν_{1} − μ_{1} < ν′_{1} − μ′_{1} \\ or & ( = and V^{+}(μ, ν) < V^{+}(μ′, ν′)) \\ or & ( = and = and |η| < |η′|) \\ or & ( = and = and = and (α, β, μ, ν, η) ≺ (α′, β′, μ′, ν′, η′)) \end{matrix}

where ≺ is a total well-order compatible with sums.

Proposition 6.16. Let P ∈ A_{n+p},
P is V -regular ⟺ mp_{≺_{B_{Σ}}} (h(P)) has no y_{j} in its factorization,

where mp_{≺_{B_{Σ}}} (h(P)) is the privileged monomial of h(P) with respect to the order ≺_{B_{Σ}}.

proof. Denote γ = exp_{≺_{B_{Σ}}} (P). We have :
mp_{≺_{B_{Σ}}} (h(P)) has no factors y_{j} ⟺ ∀j = 2, …, p V_{j}(γ) = ord^{V_{j}}(P).

Assume that ∀j = 2, …, p V_{j}(γ) = ord^{V_{j}}(P). By the definition of ≺_{B_{Σ}}, we also have V_{1}(γ) = ord^{V_{1}}(P), hence γ ∈ ND(σ^{V} (P)) and then σ^{V} (P) ≠ 0, i.e. P is V - regular. Conversely, assume that P is V -regular. Then let γ_{0} ∈ ND(σ^{V} (P)). By the definition of ≺_{B_{Σ}}, we have V_{1}(γ_{0}) = V_{1}(γ), then, by the same definition, we have :

V_{2}(γ) + ⋯ + V_{p}(γ) = V^{+}(γ) ≥ V^{+}(γ_{0}) = ord^{V_{2}}(P) + ⋯ + ord^{V_{p}}(P),

but, since ∀j = 2, …, p V_{j}(γ) ≤ ord^{V_{j}}(P) we have

∀j = 2, …, p V_{j}(γ) = ord^{V_{j}}(P)

and then mp_{≺_{B_{Σ}}} (h(P)) has no y_{j} in its factorization. □

Corollary 6.17. Let G = G(y) ∈ A_{n+p}[y] such that G is H-homogeneous then :

mp_{≺_{B_{Σ}}} (G) has no y_{j} in its factorization ⟹ G is V -regular

proof. This is a direct consequence of lemma 6.11, corollary 6.13 and proposition 6.16. □

Computation of B_{Σ} We first give a lemma :

Lemma 6.18. Let q, P ∈ A_{n+p} with q a monomial, such that ord^{V} (qP) = (0, …, 0), then σ^{V} (qP) ∈ A_{n}[−∂_{t}t]ψ(P)(−∂_{t}t).

proof. We have :

(i): t_{j}^{k}∂_{t_{j}}^{k} ∈ K[−∂_{t_{j}}t_{j}]

(ii): t^{k}c(−∂_{t}t) ∈ K[−∂_{t}t]t^{k} with c(x) ∈ K[x]

We prove (i) by an induction on k (for k = 0, (i) is true) :

t^{k}∂_{t}^{k} = t^{k}∂_{t}∂_{t}^{k−1}
= (∂_{t}t^{k} − kt^{k−1})∂_{t}^{k−1}
= (∂_{t}t − k)t^{k−1}∂_{t}^{k−1}

hence (i) is true by the induction hypothesis. For (ii), we remark that it is enough to prove the result for c(x) = x :

t^{k}∂_{t}t = (∂_{t}t^{k} + kt^{k−1})t
= (∂_{t}t + k)t^{k}.

Using these relations, it is easy to see that q ∈ A_{n}[−∂_{t}t]S_{1} ⋯ S_{p} (see the notations of definition 5.2), thus :

σ^{V} (qP) ∈ A_{n}[−∂_{t}t]σ^{V} (S_{1} ⋯ S_{p}P)(−∂_{t}t).
□

Let G_{1}(y), …, G_{q}(y), …, G_{q+r}(y) be a ≺_{B_{Σ}}-standard basis of h(I) (in the sense of proposition 2.1) such that G_{1}, …, G_{q} are V -regular and not the next ones. By Lemma 6.12, h(I) is H-homogeneous so that for each G_{i} from this basis and each k ∈ Z^{p−1}, we have σ_{k}^{H}(G_{i}) ∈ h(I). For each i = 1, …, q + r, let k_{i} ∈ Z^{p−1} such that

exp_{≺_{B_{Σ}}} (G_{i}) = exp_{≺_{B_{Σ}}} (σ_{k_{i}}^{H}(G_{i}))

and let H_{i}(y) = σ_{k_{i}}^{H}(G_{i}), H_{i} is H-homogeneous. We shall prove that :

Proposition 6.19. ψ_{B_{Σ}}(I) is generated by ψ(H_{1}(1)), …, ψ(H_{q}(1)).

Remark that ∀i, ψ(H_{i}(1)) ∈ ψ_{B_{Σ}}(I) by corollary 6.13

proof. Let P ∈ I, P ≠ 0, be V -regular and such that ord^{V} (P) = (0, …, 0). We have h(P) ∈ h(I), and therefore :

∃j_{0} ∈ {1, …, q + r} / exp_{≺_{B_{Σ}}} (h(P)) ∈ exp(H_{j_{0}}) + N^{2(n+p)+p−1}.

By proposition 6.16 (applied to P) and corollary 6.17 (applied to H_{1}, …, H_{q+r}), we have necessarily j_{0} ∈ {1, …, q}. Let m_{j_{0}} be the monomial such that

mp_{≺_{B_{Σ}}} (h(P)) = m_{j_{0}}mp_{≺_{B_{Σ}}} (H_{j_{0}}).

Necessarily m_{j_{0}} and mp_{≺_{B_{Σ}}} (H_{j_{0}}) have no y_{j} in their factorization.

We set P̃_{1} = h(P) − m_{j_{0}}H_{j_{0}}, we have P̃_{1} ∈ h(I). If σ_{(0,...,0)}^{V}(P̃_{1}) = 0 then we stop the process. If σ_{(0,...,0)}^{V}(P̃_{1}) ≠ 0 then :

– P̃_{1} is H-homogenous.

– P̃_{1} = y^{m}h(P̃_{1|y=(1,...,1)}) with m ∈ N^{p−1}.

– ∀j = 2, …, p, ord^{V_{j}}(P̃_{1}) = 0

– It follows that m = (0, …, 0) and P̃_{1} = h(P̃_{1|y=(1,...,1)}) is V -regular.

– In this case, we can apply the process with P replaced by P̃_{1|y=(1,...,1)}. We continue the process :

P̃_{k+1} = P̃_{k} − m_{j_{k}}H_{j_{k}}

with ∀k, j_{k} ∈ {1, …, q}, and we stop the process as soon as σ_{(0,...,0)}^{V}(P̃_{s+1}) = 0 i.e. when all the monomials of σ^{V} (P) are eliminated. Remark that the restriction of ≺_{B_{Σ}} to {(α, β, μ, ν, η) ∈ N^{2n+2p+p−1}/∀j = 1, …, p ν_{j} − μ_{j} = 0} is a well-order and that for all k < s

exp_{≺_{B_{Σ}}} (σ_{(0,...,0)}^{V}(P̃_{k+1})) = exp_{≺_{B_{Σ}}} (P̃_{k+1}) ≺_{B_{Σ}} exp_{≺_{B_{Σ}}} (P̃_{k}) = exp_{≺_{B_{Σ}}} (σ_{(0,...,0)}^{V}(P̃_{k})).

Thus we obtain :

h(P) = ∑_{k=0}^{s} m_{j_{k}}H_{j_{k}} + P̃_{s+1}

with

\begin{cases}∀k, j_{k} ∈ \{1, …, q\} \\ ∀k, ord^{V} (m_{j_{k}}H_{j_{k}}) = (0, …, 0) \\ σ_{(0,...,0)}^{V}(P̃_{s+1}) = 0. \end{cases}

Finally

σ_{(0,...,0)}^{V}(P) = ∑_{k=0}^{s} σ_{(0,...,0)}^{V}(m_{j_{k}}(1)H_{j_{k}}(1))

and by lemma 6.18, ∀k, σ_{(0,...,0)}^{V}(m_{j_{k}}H_{j_{k}}(1)) ∈ A_{n}[−∂_{t}t]ψ(H_{j_{k}}(1))(−∂_{t}t) hence

ψ(P) ∈ ∑_{i=0}^{q} A_{n}[s]ψ(H_{i}(1))(s).

□

We then find a finite system of generators of ψ_{B_{Σ}}, and by remark 5.5 we can compute B_{Σ}.

6.4. Computation of B_{j}. Since we can permute f_{1} and f_{j}, we can assume that j = 1, thus we shall compute B_{1}.

Definition 6.20. Let G(y) ∈ A_{n+p}[y]. We say that G(y) (or G(1)) is B_{1}-good if we have the following condition :

ord^{V_{1}}(G(1) − σ^{V} (G(1))) < ord^{V_{1}}(G(1)).

Definition 6.21. On N^{2n+2p+p−1} we define the following order :

(α, β, μ, ν, η) ≺_{B_{1}} (α′, β′, μ′, ν′, η′)

⟺ \{ \begin{matrix}& ν_{1} − μ_{1} < ν′_{1} − μ′_{1} \\ or & ( = and V^{+}(μ′, ν′) < V^{+}(μ, ν)) \\ or & ( = and = and |η| < |η′|) \\ or & ( = and = and = and (α, β, μ, ν, η) ≺ (α′, β′, μ′, ν′, η′)) \end{matrix}

where ≺ is a total well-order compatible with sums.

Proposition 6.22. Let P ∈ A_{n+p},

P is B_{1}-good ⟺ mp_{≺_{B_{1}}} (h(P)) has no y_{j} in its factorization.

proof. Denote γ = exp_{≺_{B_{1}}} (P). As in proposition 6.16, we have :

mp_{≺_{B_{1}}} (h(P)) has no factors y_{j} ⟺ ∀j = 2, …, p V_{j}(γ) = ord^{V_{j}}(P).

Assume that P is not B_{1}-good, i.e. there exists γ′ ∈ ND(P) ∖ ND(σ^{V} (P)) such that V_{1}(γ′) = ord^{V_{1}}(P) then V^{+}(γ) ≤ V^{+}(γ′) < ord^{V_{2}}(P) + ⋯ + ord^{V_{p}}(P) and then mp_{≺_{B_{1}}} (h(P)) has an y_{j} in its factorization. Conversely, assume that P is B_{1}-good, then σ^{V} (P) = σ^{V_{1}}(P). But, by the definition of ≺_{B_{1}}, γ ∈ ND(σ^{V_{1}}(P)). Then γ ∈ ND(σ^{V} (P)) and then V_{j}(γ) = ord^{V_{j}}(P) ∀j = 2, …, p, i.e. mp_{≺_{B_{1}}} (h(P)) has no factors y_{j}. □

Computation of B_{1} Let G_{1}(y), …, G_{q}(y), …, G_{q+r}(y) a ≺_{B_{1}}-standard basis of h(I) (in the sense of

proposition 2.1) such that G_{1}, …, G_{q} are B_{1}-good and not the next ones. For each i = 1, …, q + r, let k_{i} ∈ Z^{p−1} such that

exp_{≺_{B_{1}}} (G_{i}) = exp_{≺_{B_{1}}} (σ_{k_{i}}^{H}(G_{i}))

and let H_{i}(y) = σ_{k_{i}}^{H}(G_{i}) : H_{i} is H-homogeneous, and we can prove in the same way as for ψ_{B_{Σ}}(I) that :

Proposition 6.23. ψ_{B_{1}}(I) is generated by ψ(H_{1}(1)), …, ψ(H_{q}(1)).

As before, we can obtain generators of B_{1} using remark 5.5.

6.5. Examples.

(1) Let f_{1} ∈ K[x_{1}, …, x_{m}], f_{2} ∈ K[x_{m+1}, …, x_{n}], with m < n. Let b_{1} and b_{2} be the Bernstein polynomials associated repectively with f_{1} and f_{2} then we can show that :

B_{1} = K[s_{1}, s_{2}]b_{1}(s_{1}) and B_{Σ} = K[s_{1}, s_{2}](b_{1}(s_{1}), b_{2}(s_{2}))

(2) An example treated by hand.

Let f_{1}(x_{1}, x_{2}) = x_{1} + x_{2}^{2} and f_{2}(x_{1}, x_{2}) = x_{1}. The ideal I of A_{4} is generated by : P_{1} = t_{1} − x_{1} − x_{2}^{2}, P_{2} = t_{2} − x_{1}, P_{3} = ∂_{x_{1}} + ∂_{t_{1}} + ∂_{t_{2}} and P_{4} = ∂_{x_{2}} + 2x_{2}∂_{t_{1}}. Using semisyzygies, we can see that P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} is already a V_{2}-standard basis of I. To make these calculations we decided that mp_{≺_{V_{2}}} (P_{1}) = −x_{2}^{2} and mp_{≺_{V_{2}}} (P_{4}) = ∂_{x_{2}}. Thus h(I) = h^{V_{2}}(I) is generated by Q_{1} = h(P_{1}), Q_{2} = h(P_{2}), Q_{3} = h(P_{3}), Q_{4} = h(P_{4}). By a number of divisions of semisyzygies, we obtain the following elements of h(I) : Q_{5} = x_{2}∂_{x_{2}} + 2t_{2}∂_{t_{2}} + 2t_{1}∂_{t_{1}} + 2y_{2}t_{2}∂_{x_{1}} + 2, Q_{6} = 2x_{2}∂_{t_{2}} + 2x_{2}∂_{x_{1}}y_{2} − ∂_{x_{2}}y_{2}, Q_{7} = 4t_{1}∂_{t_{1}}^{2} + 4t_{2}∂_{t_{2}}∂_{t_{1}} + 6∂_{t_{1}} − 4∂_{x_{1}}t_{2}∂_{t_{2}} − 4t_{2}y_{2}∂_{x_{1}}^{2} − ∂_{x_{2}}^{2}, Q_{8} = 4t_{1}∂_{t_{1}}∂_{t_{2}} +4t_{2}∂_{t_{2}}^{2} +6∂_{t_{2}} +6∂_{x_{1}}y_{2} +∂_{x_{2}}^{2}y_{2} +8t_{2}∂_{t_{2}}∂_{x_{1}}y_{2} +4t_{1}∂_{t_{1}}∂_{x_{1}}y_{2} + 4t_{2}∂_{x_{1}}^{2}y_{2}^{2}. These divisions are made with respect to the order ≺_{B_{Σ}}. Remember that, for two multi-indices ω and ω′, we first compare V_{1}(ω) and V_{1}(ω′) then V_{2}(ω) and V_{2}(ω′) and then we compare ω and ω′ using a well-order ≺. Here we decided that ≺ is a lexical order such that exp_{≺}(x_{2}) ≻ exp_{≺}(t_{1}) ≻ ζ where ζ = max_{≺}{exp_{≺}(ξ)/ξ ∈ {x_{1}, ∂_{x_{1}}, ∂_{x_{2}}, t_{2}, ∂_{t_{1}}, ∂_{t_{2}}, y_{2}}}. In fact, the computation of a ≺_{B_{Σ}}-standard basis of h(I) is not complete but at this point we can see that Q_{7} and Q_{8} are V -regular and we have : ψ(Q_{7}) = (s_{1} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) and ψ(Q_{8}) = (s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3). Let E be the ideal of K[s_{1}, s_{2}] generated by ψ(Q_{7}) and ψ(Q_{8}). We have the inclusion E ⊂ B_{Σ}. We also prove that B_{Σ} ⊂ K[s_{1}, s_{2}](s_{1} + 1, s_{2} + 1) (by taking s_{1} = −1, s_{2} = −1 in a functional equation).

Proposition 6.24. We have B_{Σ} = E.

proof. If the inclusion E ⊂ B_{Σ} is not an equality, then we can construct an element b(s_{1}, s_{2}) in B_{Σ} such that for all c ∈ Z \ 4, (2s_{1} + 2s_{2} + c) does not divide b. Using an argument of H. Maynadier (see [May1]), it would follow that

(s_{1} + 1)(s_{2} + 1)Π_{d_{1},d_{2}∈N,d_{1}+d_{2}≤l−1}b(s_{1} + d_{1}, s_{2} + d_{2}) where l ∈ N

is in B. But, according to loc.cit., B is principal and generated by (s_{1} + 1)(s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)(2s_{1} + 2s_{2} + 5). Contradiction. □

(3) The next examples have been made using the software KAN (see [T]). The results for B come from [May1]. (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{1} + x_{2}^{2})

– B_{Σ} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3), (s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) >

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) >

– B =< (s_{1} + 1)(s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)(2s_{1} + 2s_{2} + 5) >

(4) (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{1} + x_{2}^{3})

– B_{Σ} =< (s_{1} + 1)(3s_{1} + 3s_{2} + 4)(3s_{1} + 3s_{2} + 5), (s_{2} + 1)(3s_{1} + 3s_{2} + 4)(3s_{1} + 3s_{2} + 5) >

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(3s_{1} + 3s_{2} + 4)(3s_{1} + 3s_{2} + 5) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)(3s_{1} + 3s_{2} + 4)(3s_{1} + 3s_{2} + 5) >

– B =< (s_{1} +1)(s_{2} +1)(3s_{1} +3s_{2} +4)(3s_{1} +3s_{2} +5)(3s_{1} +3s_{2} +7)(3s_{1} + 3s_{2} + 8) >

(5) (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{1}^{2} + x_{2}^{3})

– B_{Σ} =< (s_{1} + 1)(3s_{1} + 6s_{2} + 5)(3s_{1} + 6s_{2} + 7), (s_{2} + 1)(3s_{1} + 6s_{2} + 5)(3s_{1} + 6s_{2} + 7) >

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(3s_{1} + 6s_{2} + 5)(3s_{1} + 6s_{2} + 7) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)(3s_{1} + 6s_{2} + 5)(3s_{1} + 6s_{2} + 7)(3s_{1} + 6s_{2} + 8)(3s_{1} + 6s_{2} + 10) >

– B =< (s_{1} +1)(s_{2} +1)(3s_{1} +6s_{2} +5)(3s_{1} +6s_{2} +7)(3s_{1} +6s_{2} +8)(3s_{1} + 6s_{2} + 10)(3s_{1} + 6s_{2} + 11)(3s_{1} + 6s_{2} + 13) >

(6) (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, x_{1}^{3} + x_{2}^{2})

– B_{Σ} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 6s_{2} + 5), (s_{2} + 1)(2s_{1} + 6s_{2} + 5) >

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 6s_{2} + 5) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)(2s_{1} + 6s_{2} + 5)(2s_{1} + 6s_{2} + 7)(2s_{1} + 6s_{2} + 9) >

– B =< (s_{1} +1)(s_{2} +1)(2s_{1} +6s_{2} +5)(2s_{1} +6s_{2} +7)(2s_{1} +6s_{2} +9)(2s_{1} + 6s_{2} + 11) >

(7) (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2} + x_{2}^{3}, x_{1}^{3} + x_{2}^{2})

– B_{Σ} =< (s_{1} +1)(4s_{1} +6s_{2} +5)(4s_{1} +6s_{2} +7)(6s_{1} +4s_{2} +5)(6s_{1} +4s_{2} + 7), (s_{2} +1)(4s_{1} +6s_{2} +5)(4s_{1} +6s_{2} +7)(6s_{1} +4s_{2} +5)(6s_{1} +4s_{2} +7) >

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(4s_{1} + 6s_{2} + 5)(4s_{1} + 6s_{2} + 7)(6s_{1} + 4s_{2} + 5)(6s_{1} + 4s_{2} + 7)(6s_{1} + 4s_{2} + 9) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)(4s_{1} + 6s_{2} + 5)(4s_{1} + 6s_{2} + 7)(6s_{1} + 4s_{2} + 5)(6s_{1} + 4s_{2} + 7)(4s_{1} + 6s_{2} + 9) >

Some ramarks :

- The computation of B for example 7 seems to be hard. We tried using the algorithm of Oaku (in [O-T]) but the computer did not succeed.

- We can see that in examples 4, 5, 6 and 7, we don’t have B_{Σ} = B_{1} + B_{2}.

- In these examples, B can be obtained as follows : Take B_{2}(s_{1} + 1, s_{2}) := {b(s_{1} + 1, s_{2})/b(s_{1}, s_{2}) ∈ B_{2}} then B = B_{1}.B_{2}(s_{1} + 1, s_{2}). Remark that we also have B = B_{1}(s_{1}, s_{2} + 1).B_{2} where B_{1}(s_{1}, s_{2} + 1) = {b(s_{1}, s_{2} + 1)/b(s_{1}, s_{2}) ∈ B_{1}}.

Compléments à l’article précédent

6.6. Résultats généraux. Considérons un idéal I de A_{m} et L_{1}, …, L_{p} des formes linéaires prises sur N^{2m} appartenant à U. Notons L = (L_{1}, …, L_{p}). Dans le cas p = 1, posons L = L_{1}. Voici un certain nombre de questions naturelles que l’on peut se poser :

(1) Dans le cas p = 1, on sait calculer gr^{L}(I). Que dire quand p ≥ 2 ?

(2) Quand p = 2, nous avons des éléments qui ont une pente, les autres etant appelés L-réguliers. Peut on en (les) trouver s’ils existent ?

(3) Même question dans le cas général p ≥ 2.

Pour toutes (en fait elles n’en font qu’une) ces questions, le processus d’homogénéisation utilisé dans l’article en question permet de répondre explicitement.

Pour cela considérons l’idéal h^{2,.,p}(I) = h^{L_{2}}(⋯ h^{L_{p}}(I) ⋯) ⊂ A_{m}[y_{2}, …, y_{p}] = A_{m}[y] que nous noterons h(I) dans cette section. De plus, considérons l’ordre ≺_{L_{1}} définit sur N^{2m+p−1} par :

(α, β, η) ≺_{L_{1}} (α′, β′, η′) ⟺
L_{1}(α, β) < L_{1}(α′, β′)
ou égalité et L^{+}(α, β) < L^{+}(α′, β′)
ou égalités et |η| < |η′|
ou égalités et (α, β, η) <_{0} (α′, β′, η′)

où L^{+} désigne la forme linéaire L_{2} + ⋯ + L_{p} et <_{0} est un bon ordre sur N^{2m+p−1} compatible avec l’addition.

Remarquons que dans l’article au JSC, on a m = n + p et L_{j} = V_{j} et dans ce cas cet ordre n’est rien d’autre que ≺_{B_{Σ}}. Comme dans ce papier, h(I) se calcule par p−1 calculs de ≺_{L_{j}}-bases standards avec à chaque fois homogénéisation de la base standard obtenue.

Maintenant considérons la base standard H de h(I) par rapport à ≺_{L_{1}} obtenue de la façon suivante (similaire à celle de la proposition 6.19 de l’article). On considère une ≺_{L_{1}}-base standard de h(I) qui est H-homogène (avec les notations de l’article). Pour chaque élément de cet base, on prend le symbole σ_{k}^{H} (k ∈ Z^{p−1}) qui contient l’exposant privilégié de l’élément en question. Le nouvel ensemble ainsi contruit qu’on baptise H est aussi une base standard de h(I) pour ≺_{L_{1}} mais constituée d’éléments H-homogènes. Nous avons le résultat suivant :

PROPOSITION 7.1.

(a): Il existe dans I un élément L-régulier si et seulement si H en contient.

Notons H_{1}, …, H_{r} les éléments L-réguliers de h(I).

(b): L’ensemble {σ^{L}(H_{k}) , k = 1, …, r} engendre gr^{L}(I). (c): gr^{L}(I) = (0) ⟺ H n’a pas d’éléments L-réguliers.

Démonstration. Elle est en tout point semblable à celle de la proposition 6.19 du papier au JSC. □

6.7. Résultats concernant l’article précédent. Ici m = n + p et I désigne l’annulateur de f^{s} = f_{1}^{s_{1}} ⋯ f_{p}^{s_{p}} dans A_{n+p}.

Commençons par une remarque qui n’a pas été faite dans l’article au JSC.

REMARQUE 7.2. ψ_{B_{Σ}}(I) est isomorphe à l’anneau gr_{(0,...,0)}^{V} = {σ^{V} (P)/P ∈ I, ord^{V} (P) = (0, …, 0)} via l’application s_{j} ↦ −∂_{t_{j}}t_{j}.

L’intérêt du résultat suivant consiste dans le fait que pour calculer l’annulateur de I dans A_{n}[s] autrement dit I ∩ A_{n}[−∂_{t}t], l’algorithme de T. Oaku utilise 2n + 2p + 2p variables alors qu’ici on fait des calculs avec au plus 2n + 2p + p variables. Dans le cas p = 2, on ne gagne que deux variables mais ça peut être décisif.

PROPOSITION 7.3. Ici h(I) désigne l’idéal h^{V_{1}}(⋯ h^{V_{p}}(I) ⋯) de A_{n+p}[y] = A_{n+p}[y_{1}, …, y_{p}]. Soit H une base standard de h(I) pour un ordre qui élimine les variables y_{j}. Alors I ∩ A_{n}[s] est engendré par l’ensemble des ψ(H) pour H ∈ H ∩ A_{n+p}. Rappelons que ψ(H)(s) est défini par : ψ(H)(−∂_{t}t) = σ^{V} (S_{1}(H) ⋯ S_{p}(H)H) où

S_{j}(H) = t_{j}^{ord^{V_{j}} (H)} si ord^{V_{j}}(H) ≥ 0 et S_{j}(H) = ∂_{t_{j}}^{−ord^{V_{j}} (H)} sinon.

Dans l’algorithme de Oaku, on a besoin de rajouter les générateurs de la forme 1 − y_{j}y′_{j} de manière à ce que h^{V} (P) soit dans l’idéal pour lequel on fait un calcul de base standard (d’où la necessité de rajouter p variables supplémentaires y′_{1}, …, y′_{p}). Mais ici, on a tout fait pour avoir h^{V} (P) ∈ h(I). Pour le reste de la preuve, il n’y a aucune différence avec celle de l’algorithme de Oaku. Pour conclure, une dernière remarque.

REMARQUE 7.4.

– Grâce à cette proposition, on dispose d’un algorithme qui permet de calculer l’idéal B avec au plus 2n + 3p variables comme c’était le cas pour B_{j} et B_{Σ} dans l’article au JSC.

– Signalons que J. Briançon et P. Maisonobe ont obtenu dans [Br-Mai] un algorithme de calcul de l’idéal de Bernstein-Sato B (algorithme qui donne en fait tous les idéaux B^{v}) avec des bases de Gröbner utilisant au plus 2n + 2p variables dans l’anneau ”intermédiaire” A_{n}[∂_{t}, s].

ANNEXE A Calculs sur Kan

Dans cette annexe, nous avons rassemblé un certain nombre de calculs faits pour la plus grande partie en utilisant le logiciel Kan développé par N. Takayama [T]. Pour les calculs demandant moins de puissance (comme la factorisation ou le calcul de b_{L} à partir de B_{L}), nous nous sommes servi de Maple.

Dans une premiere section, nous nous intéressons à l’exemple pour lequel J. Briançon et H. Maynadier [Br-May] ont montré que l’idéal B analytique n’est pas principal. Nous calculons sur cet exemple les idéaux de Bernstein-Sato B_{Σ}, B_{1}, B_{2} et B et nous constatons que B_{1} n’est pas principal alors que B l’est.

Sur ce même exemple et comme B_{1} n’est pas principal, il est intéressant d’introduire un paramètre afin de calculer l’idéal de Bernstein-Sato générique. C’est l’objet de la section 2. Nous y traitons un autre exemple.

Dans la troisième section, nous calculons sur trois exemples (dont celui de [Br-May]) à deux fonctions les différents idéaux B_{L} ainsi que les b_{L} pour les pentes données par les ”sauts” des B_{L}. Nous y répondons à un certain nombre de questions naturelles dont une (voir A.1) qui consiste à se demander si l’idéal B^{v} (v ∈ N^{2} étant donné) est engendré par des éléments de la forme ∏_{L} ∏_{k≥0} b_{L}(L(s) + k).

Avant d’aller plus loin et pour la commodité du lecteur, rappelons les différents idéaux de Bernstein-Sato auxquels nous nous sommes intéressés.

Etant donnés f_{1}, …, f_{p} dans C[x] = C[x_{1}, …, x_{n}], voici les idéaux de Bernstein-Sato en question :

– B_{Σ} = {b(s) ∈ C[s_{1}, …, s_{p}] ; b(s)f^{s} ∈ ∑_{j=1}^{p} A_{n}(C)[s]f_{j}f^{s}},

– B_{j} = {b(s) ∈ C[s_{1}, …, s_{p}] ; b(s)f^{s} ∈ A_{n}(C)[s]f_{j}f^{s}} pour j = 1, …, p,
– B = {b(s) ∈ C[s_{1}, …, s_{p}] ; b(s)f^{s} ∈ A_{n}(C)[s]f_{1} ⋯ f_{p}f^{s}},
– B^{v} = {b(s) ∈ C[s_{1}, …, s_{p}] ; b(s)f^{s} ∈ A_{n}(C)[s]f_{1} ⋯ f^{s+v}} pour v ∈ N^{p}.

On constate par exemple que pour p = 2, on a B = B^{(1,1)}, B_{1} = B^{(1,0)} et B_{2} = B^{(0,1)}. Ceux que nous appelons idéaux de Bernstein-Sato analytiques sont définis comme les précédents en remplaçant A_{n}(C)[s] par D_{n}[s].

1. L’exemple de J. Briançon et H. Maynadier

Considérons l’application de C^{3} dans C^{2} donnée par :

(f_{1}, f_{2}) = (x_{3} , x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 2x_{3}x_{1}^{2}x_{2}^{2}).

Dans [Br-May], les auteurs ont montré que l’idéal de Bernstein-Sato analytique B n’est pas principal. Nous avons calculé les idéaux B_{Σ}, B_{1}, B_{2} et B (algébriques). Il en ressort les résultats suivants :

– B_{Σ} = B_{1} + B_{2}

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(2s_{2} + 1) , (s_{1} + 1)(s_{1} + 2) >
– B_{2} =< (s_{2} + 1)^{2}(4s_{2} + 5)(2s_{2} + 3)(2s_{2} + 1)(4s_{2} + 3) >
– B =< (s_{1} + 1)(s_{2} + 1)^{2}(4s_{2} + 5)(2s_{2} + 3)(2s_{2} + 1)(4s_{2} + 3) >

On peut en tirer un certain nombre de remarques :

– On voit donc que l’idéal B est principal dans le cas algébrique et pas dans le cas analytique.

– L’idéal B_{1} est quand à lui non principal, on en conclut que les idéaux B^{v} n’ont aucune raison d’être tous principaux ou tous non principaux.

– Si on note B_{1}(s_{1}, s_{2} + 1) = {b(s_{1}, s_{2} + 1) ; b(s_{1}, s_{2}) ∈ B_{1}} et B_{2}(s_{1} + 1, s_{2}) = {b(s_{1} + 1, s_{2}) ; b(s_{1}, s_{2}) ∈ B_{2}}. On peut alors montrer (en utilisant pas exemple Maple) l’égalité :

($) B = B_{1} · B_{2}(s_{1} + 1, s_{2}) + B_{1}(s_{1}, s_{2} + 1) · B_{2},

alors qu’on a des inclusions strictes : B_{1}B_{2}(s_{1} +1, s_{2}) ⊂ B et B_{1}(s_{1}, s_{2} +1)B_{2} ⊂ B.

Au vu de ce qui précède, on peut se poser la question de savoir si on a toujours une relation du type ($). On peut même se demander s’il est possible d’obtenir B^{v} à partir des B_{j} par ce genre de relations, pour n’importe quel v.

2. Polynôme de Bernstein-Sato générique

Etant donné que l’idéal B_{1} de l’exemple précédent est non principal, il est intéressant de se demander ce qui se passe si on rajoute un paramètre. C’est pour cela que nous avons regardé B_{1} dans les deux cas suivants :

(1) (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{3}, x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + ax_{3}x_{1}^{2}x_{2}^{2})
(2) (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{3}, ax_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 2x_{3}x_{1}^{2}x_{2}^{2})

Il en ressort pour le (1) : B_{1}(a) est indépendant de a pour tout a ≠ 0 et vaut le B_{1} de la section précédente, et pour a = 0, B_{1} =< (s_{1} + 1) >.

Pour le (2) : B_{1}(a) =< a(2s_{2} + 1)(s_{1} + 1), a(s_{1} + 2)(s_{1} + 1) > cette égalité étant valable en dehors de a = 0 et pour a = 0, on a B_{1} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 4s_{2} + 3)(2s_{1} + 4s_{2} + 4) >.

Un autre exemple Soit (f_{1}, f_{2})(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2} + ax_{1}x_{2} + x_{2}^{2} , x_{1}^{2} + x_{2}^{2}).

Si on note h(a) = a(a − 1)(a + 1)(a − 4)(a + 4)(3a^{2} + 77)(a^{2} + 16)(a^{2} + 4)(3a^{2} + 20)(a^{2} −12)(a^{2} +3)(a−2)(a+2)(a^{2} −2) alors l’idéal de Bernstein-Sato B de (f_{1}, f_{2})_{|a} est égal à :

B =< 32a^{2}(a − 2)(a + 2)(1 + s_{1})(1 + s_{2})(2s_{2} + 3 + 2s_{1})(s_{2} + 3 + s_{1})×
×(s_{2} + 2 + s_{1})(s_{2} + 1 + s_{1})(2s_{2} + 5 + 2s_{1}) >,

pour tout a tel que h(a) ≠ 0. A titre d’exemple, si a = 2 ou a = −2 alors :

B = ((s_{1} + 1)(2s_{1} + 1)(1 + s_{2})(s_{1} + s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 5)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)(s_{1} + s_{2} + 2)).

3. LES IDÉAUX B_{L} ET POLYNÔMES b_{L} 119

3. Les idéaux B_{L} et polynômes b_{L}

Les calculs suivants concernent les idéaux B_{L} et les polynômes b_{L} associés à deux fonctions. Etant donné un couple (f_{1}, f_{2}), le principe à été de poser L = d_{1}V_{1} + d_{2}V_{2} et de faire prendre à d = (d_{1}, d_{2}) ”beaucoup” de valeurs entières. Pour chaque valeur de d, nous avons (à l’aide de Kan) calculer l’idéal B_{L}. Cela donne lieu à un certain nombre de pentes L_{i} telles qu’entre L_{i} et L_{i+1} l’idéal B_{L} est constant. Bien entendu, notre méthode ne nous permet pas d’être certain d’obtenir tous les B_{L} possibles mais il y a de bonnes chances que ce soit les seuls.

Avant de poursuivre, introduisons certaines notations :

– Pour L = d_{1}V_{1} + d_{2}V_{2} on note B_{L} = B_{(d_{1},d_{2})}.

– Si L = d_{1}V_{1} + d_{2}V_{2} et L′ = d′_{1}V_{1} + d′_{2}V_{2}, la notation B_{⟩(d_{1},d_{2}),(d′_{1},d′_{2})⟨} = J signifiera que pour tout L′′ appartenant au cône ⟩L, L′⟨, l’idéal B_{L′′} est égal à J.

3.1. Exemple 1. Il s’agit de l’application suivante :

(f_{1}, f_{2}) = (x_{1} , x_{1} + x_{2}^{2}).

On trouve cinq idéaux B_{L} différents :

– B_{(1,0)} =< s_{1} + 1 >

– B_{⟩(1,0),(1,1)⟨} =< s_{1} + 1 , (s_{2} + 1)(2s_{2} + 1) >

– B_{(1,1)} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) , (s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) >

– B_{⟩(1,1),(0,1)⟨} =< s_{2} + 1 , (s_{1} + 1)(2s_{1} + 1) >

– B_{(0,1)} =< s_{2} + 1 >

Cela donne lieu à trois b_{L} différents :

– b_{(1,0)}(s_{1}) = s_{1} + 1

– b_{(1,1)}(u) = (u + 2)(2u + 3) et b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2}) = (s_{1} + s_{2} + 2)(2s_{2} + 2s_{2} + 3)

– b_{(0,1)}(s_{2}) = s_{2} + 1

Rappelons pour mémoire les idéaux B, B_{1}, B_{2} et B_{Σ} :

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3) >

– B =< (s_{1} + 1)(s_{2} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)(2s_{1} + 2s_{2} + 5) >

– B_{Σ} = B_{1} + B_{2} = B_{(1,1)}

Voici certaines questions naturelles que l’on est amené à se poser :

(1) Existe-t-il un polynôme c(u) tel que c(1 · s_{1} + 3 · s_{2}) appartienne à B_{(1,1)} ? On peut montrer à l’aide de Maple que la réponse est non.

(2) Existe-t-il un polynôme c(u) tel c(s_{1} + s_{2}) appartienne à B_{⟩(1,1),(0,1)⟨}? La réponse est oui et c’est b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2}) = (s_{1} + s_{2} + 2)(2s_{2} + 2s_{2} + 3). Il suffit pour cela de constater que :

b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2}) = (s_{1} + 1)(2s_{1} + 1) + [2(s_{1} + 1) + (2s_{1} + 2s_{2} + 3)](s_{2} + 1).

On constate que le lien entre les différents B_{L} n’est pas si clair. Cela pose aussi la question de savoir s’il y a des facteurs ”nécessaires” dans un élément de l’idéal B.

(3) Considérons le polynôme suivant :

c(s_{1}, s_{2}) = b_{(1,0)}(s_{1}) · b_{(0,1)}(s_{2}) · b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2}) · b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2} + 1)

qui est égal à

(s_{1} + 1)(s_{2} + 1)(s_{1} + s_{2} + 2)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)(s_{1} + s_{2} + 3)(2s_{2} + 2s_{2} + 5).

On constate que c(s_{1}, s_{2}) est un multiple strict du générateur de l’idéal B mais si on prend le produit de trois polynômes parmis b_{(1,0)}(s_{1}), b_{(0,1)}(s_{2}), b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2}) et b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2} + 1) on obtient un polynôme qui n’est pas dans l’idéal B. Cela répond à la question suivante :

QUESTION A.1. Etant donné v, l’idéal B^{v} est-il engendré par des polynômes s’écrivant ∏_{L} ∏_{k≥0} b_{L}(L(s) + k) ?

Comme on vient de le voir, la réponse est non. Ainsi le procédé par lequel on fabrique un polynôme de Bernstein-Sato (dans le chapitre 2) donne en général un ”gros” polynôme de Bernstein.

3.2. Exemple 2. Considérons l’application :

(f_{1}, f_{2}) = (x_{3} , x_{1}^{4} + x_{2}^{4} + 2x_{3}x_{1}^{2}x_{2}^{2}),

c’est encore une fois l’exemple dû à J. Briançon et H. Maynadier. D’abord, rappelons les idéaux B_{1}, B_{2} et B :

– B_{1} =< (s_{1} + 1)(2s_{2} + 1) , (s_{1} + 1)(s_{1} + 2) >

– B_{2} =< (s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(2s_{2} + 3)(4s_{2} + 3)(4s_{2} + 5) >
– B =< (s_{1} + 1)(s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(2s_{2} + 3)(4s_{2} + 3)(4s_{2} + 5) >

Comme dans l’exemple précédent, nous obtenons une ”pente” V_{1} +V_{2} et cinq idéaux B_{L} :

– B_{(1,0)} =< s_{1} + 1 >
– B_{⟩(1,0),(1,1)⟨} =< s_{1} + 1 , (s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(2s_{2} + 3)(4s_{2} + 3)(4s_{2} + 5) >

– B_{(1,1)} =< (s_{1} + 1)(s_{1} + 2) , (s_{1} + 1)(2s_{2} + 1) , (s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(2s_{2} + 3)(4s_{2} +

3)(4s_{2} + 5) >

– B_{⟩(1,1),(0,1)⟨} =< (s_{1} + 1)(s_{1} + 2) , (s_{1} + 1)(2s_{2} + 1) , (s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(4s_{2} +

3)(4s_{2} + 5) >
– B_{(0,1)} =< (s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(2s_{2} + 3)(4s_{2} + 3)(4s_{2} + 5) >

Cela donne trois b_{L} différents :

– b_{(1,0)}(s_{1}) = s_{1} + 1

– b_{(1,1)}(u) = (u + 2)^{2}(2u + 3)(2u + 5)(4u + 7)(4u + 9) et

b_{(1,1)}(s_{1} +s_{2}) = (s_{1} +s_{2} +2)^{2}(2s_{1} +2s_{2} +3)(2s_{1} +2s_{2} +5)(4s_{1} +4s_{2} +7)(4s_{1} +

4s_{2} + 9)
– b_{(0,1)}(s_{2}) = (s_{2} + 1)^{2}(2s_{2} + 1)(2s_{2} + 3)(4s_{2} + 3)(4s_{2} + 5)

Bien que (1, 1) soit une ”pente”, on voit que le polynôme b_{(1,1)}(s_{1}+s_{2}) est complètement inutile pour fabriquer un élément de B, de B_{1} ou de B_{2}. On voit que b_{(1,0)}(s_{1}) et b_{(0,1)}(s_{2}) suffisent. Bien entendu, il n’est pas impossible que b_{(1,1)}(s_{1} +s_{2}) apparaisse comme nécessaire si on veut fabriquer un élément de B^{v} avec v ”grand” (i.e. avec v_{1} et v_{2} qui seraient de grands entiers). En tout cas cela pose encore la question de savoir s’il y a des facteurs nécessaires ou non. Au vu de l’exemple qu’on vient de voir, il semble que non.

3.3. Exemple 3. Considérons l’application de C^{2} dans C^{2} donnée par :

(f_{1}, f_{2}) = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} , x_{1}^{3} + x_{2}^{2}).

Donnons d’abord les idéaux B_{1} et B_{2} (l’idéal B n’étant pas calculable avec les ressources dont je dispose) :

– B_{1} = (s_{1} + 1)(2s_{1} + 2s_{2} + 2)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)(4s_{1} + 6s_{2} + 5)(4s_{1} + 6s_{2} + 7)

– B_{2} = (s_{2}+1)(2s_{1}+2s_{2}+2)(2s_{1}+2s_{2}+3)(4s_{1}+6s_{2}+5)(4s_{1}+6s_{2}+7)(4s_{1}+6s_{2}+9)

Le calcul des B_{L} fait apparaitre trois ”pentes”, à savoir (1, 1), (2, 3) et (1, 2) : – B_{(1,0)} =< s_{2}(s_{1} + 1), (s_{1} + 1)^{2} >

– B_{⟩(1,0),(1,1)⟨} =< s_{2}(s_{1} + 1), (s_{1} + 1)^{2}, 2s_{2}^{3} + 3s_{2}^{2} + s_{1} + s_{2} + 1 >

– B_{(1,1)} =< (s_{1} + 1)(2s_{1} + 3 + 2s_{2})(s_{1} + 1 + s_{2}), (s_{2} + 1)(2s_{1} + 3 + 2s_{2})(s_{1} + 1 + s_{2}) >

– B_{⟩(1,1),(2,3)⟨} =< (s_{2} + 1)(6s_{2} + 4s_{1} + 5), (2s_{1} + 3 + 2s_{2})(s_{1} − s_{2}), (2s_{2} + 1)(2s_{2} − 1)(s_{2} + 1) >

– B_{(2,3)} =< (s_{2} + 1)(6s_{2} + 4s_{1} + 5), (6s_{2} + 4s_{1} + 5)(8s_{1}^{2} − 12s_{1}s_{2} + 18s_{2}^{2} + 15s_{2} + 1) >

– B_{⟩(2,3),(1,2)⟨} =< (s_{2} + 1)(6s_{2} + 4s_{1} + 5), (6s_{2} + 5)(6s_{2} + 13)(s_{2} + 2)(s_{2} + 1), (6s_{2} + 4s_{1} + 5)(8s_{1}^{2} − 12s_{1}s_{2} + 18s_{2}^{2} + 15s_{2} + 1) >

– B_{(1,2)} =< (6s_{2} + 7)(s_{2} + 1)(6s_{2} + 4s_{1} + 5), (s_{2} + 1)(−36s_{2}^{3} − 180s_{2}^{2} − 251s_{2} + 20s_{1} − 105), (s_{2} + 1)(6s_{2} + 4s_{1} + 5)(4s_{1} − 7 − 6s_{2}), 64s_{1}^{4} + 96s_{1}^{3} + 1188s_{2}^{3} + 28s_{1}^{2} + 60s_{1}s_{2} + 3636s_{2}^{2} + 54s_{1} + 3675s_{2} + 1225 >

– B_{⟩(1,2),(0,1)⟨} =< s_{1}(s_{2} + 1), (6s_{2} + 5)(6s_{2} + 7)(s_{2} + 1), 32s_{1}^{4} + 48s_{1}^{3} + 14s_{1}^{2} + 36s_{2}^{2} − 3s_{1} + 72s_{2} + 35 >

– B_{(0,1)} =< s_{1}(s_{2} + 1),

(6s_{2} + 5)(6s_{2} + 7)(s_{2} + 1) > Voici les polynômes b_{L} intéressants :

– b_{(1,0)}(s_{1}) = (s_{1} + 1)^{2}

– b_{(1,1)}(u) = (u + 1)(u + 2)(2u + 3)

b_{(1,1)}(s_{1} + s_{2}) = (s_{1} + s_{2} + 1)(s_{1} + s_{2} + 2)(2s_{1} + 2s_{2} + 3)

– b_{(2,3)}(u) = (u + 4)(u + 5)(2u + 5)

b_{(2,3)}(2s_{1} + 3s_{2}) = (2s_{1} + 3s_{2} + 4)(2s_{1} + 3s_{2} + 5)(4s_{1} + 6s_{2} + 5)

– b_{(1,2)}(u) = (u + 3)(2u + 5)(3u + 5)(3u + 7)(4u + 7)(4u + 9)

b_{(1,2)}(s_{1} +2s_{2}) = (s_{1} +2s_{2} +3)(2s_{1} +4s_{2} +5)(3s_{1} +6s_{2} +5)(4s_{1} +8s_{2} +7)(4s_{1} + 8s_{2} + 9)

– b_{(0,1)}(s_{2}) = (s_{2} + 1)(6s_{2} + 5)(6s_{2} + 7)

On peut faire deux remarques : La première est qu’on voit apparaitre dans certains B_{L} (par exemple dans B_{(1,2)}) des éléments non factorisables sur Q ce qui montre que les choses ne sont pas aussi simples que prévues. La deuxième est le fait (comme dans l’exemple 1) que certains b_{L} soient inutiles et que ceux qui nous permettent de construire un élément de B_{1} (par exemple) donnent un multiple strict du générateur de B_{1}.

Bibliographie

[A-C-G 1] A. Assi, F.J. Castro-Jiménez, M. Granger, The Gröbner fan of an A_{n}-module, Journal

of Pure and Applied Algebra 150, 27-39, 2000. [A-C-G 2] A. Assi, F.J. Castro-Jiménez, M. Granger, The analytic standard fan of a D-module,

Journal of Pure and Applied Algebra 164, 3-21, 2001.

[At] M.F. Atiyah Resolution of singularities and division of distributions, Comm. Pure Appl. Math. 23, 145-150, 1970.

[Ba] R. Bahloul, Algorithm for computing Bernstein-Sato ideals associated with a polynomial mapping, J. Symbolic Comput. 32, 643-662, 2001.

[Be] I. N. Bernstein, The analytic continuation of generalised functions with respect to a parameter, Funct. Anal. Appl. 6, 273-285, 1972.

[Be-G] I.N. Bernstein, I.M. Gelfand, Meromorphy of the function P^{λ}, Funkcional. Anal. i Priložen.

3 no. 1, 84-85, 1969.

[Bi] H. Biosca, Polynômes de Bernstein génériques et relatifs associés à une application analytique, Thèse, Nice-Sophia Antipolis, 1996.

[Bj] J.E. Björk, Rings of Differential Operators, volume 21 of North-Holland Math. Libr., Amsterdam, Noth-Holland, 1979.

[Br] J. Briançon, Passage du local au global, notes manuscrites. [Br-Ge-M] J. Brianon, F. Geandier, Ph. Maisonobe, Déformation d’une singularité isolée d’hyper-

surface et polynômes de Bernstein, Bull. Soc. Math. France 120, no 1, 15-49, 1992. [Br-G-M-M] J. Brianon, M. Granger, Ph. Maisonobe, M. Miniconi, Algorithme de calcul du po-

lynôme de Bernstein : cas non dégénéré, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 39, no. 3, 553-610, 1989.

[Br-Mai] J. Briançon, Ph. Maisonobe, Remarques sur l’idéal de Bernstein associé à des polynômes,

prépublication Université Nice-Sophia Antipolis n^{∘} 650, Mai 2002. [Br-Mai2] J. Briançon, Ph. Maisonobe, Examen de passage du local au global pour les polynômes de

Bernstein-Sato, 1990. [Br-May] J. Briançon, H. Maynadier, Equations fonctionnelles généralisées : transversalité et prin-

cipalité de l’idéal de Bernstein-Sato, J. Math. Kyoto Univ. 39, no. 2, 215-232, 1999.

[C] F.J. Castro-Jiménez, Thèse de troisième cycle, Univ. de Paris VII, 1984. [C-G] F.J. Castro-Jiménez, M. Granger, Explicit calculations in rings of differential operators, pre-

print Université d’Angers n^{∘} 40, 1997. [C-N] F.J. Castro-Jiménez, L. Nárvaez-Macarro, Homogenising differential operators, preprint n^{∘}

36, Universidad de Sevilla, 1997. [C-L-O] D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, 2ème édition, Springer-

Verlag, New York, 1996.

[Ge] I.M. Gelfand, Some aspects of functional analysis and algebra. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Amsterdam, 1954, Vol. 1, P. Erven, N.V. Noordhoff, Groningen, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1957.

[G] A. Gyoja, Bernstein-Sato’s polynomial for several analytic functions, J. Math. Kyoto Univ. 33-2, 399-411, 1993.

[Ha] J. Harris, Algebraic Geometry. A first course., Graduate Texts in Mathematics 133, Springer-Verlag, New York, 1992.

[Hi] H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. I, II, Ann. of Math. (2) 79, 109-203, 205-326, 1964.

[K] M. Kashiwara, B-functions and holonomic systems. Rationality of roots of B-functions, Invent. Math. 38, no 1, 33-53, 1976/1977.

[Lej] M. Lejeune-Jalabert, Effectivité des calculs polynomiaux, Cours de DEA, Université de Grenoble I, 1985.

[Lej-P] M. Lejeune-Jalabert, A. Philippe, Un algorithme de calcul de changements de coordonnées

génériques, prépublication de l’Institut Fourier no 92, Grenoble, 1987. [Lej-P2] M. Lejeune-Jalabert, A. Philippe, Un algorithme de calcul de changements de coordonnées

génériques, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. I Math. 309, no 13, 803-806, 1989.

[L] A. Leykin, Constructibility of the set of polynomials with a fixed Bernstein-Sato Polynomial : an algorithmic approach, Journal of Symbolic Computation 32, 663-675, 2001.

[Mal] B. Malgrange, Le polynôme de Bernstein d’une singularité isolée, Lecture Notes in Math. 459, Springer Verlag, 98-119, 1975.

[May1] H. Maynadier, Equations fontionnelles pour une intersection complète quasi-homogène à singularité isolée et un germe semi-quasi-homogène, Thèse, Nice-sophia Antipolis, 1996.

[May2] H. Maynadier, Polynômes de Bernstein-Sato associés à une intersection complète quasihomogène à singularité isolée, Bull. Soc. Math. France 125, no 4, 547-571, 1997.

[O] T. Oaku, Algorithm for the b-function and D-modules associated with a polynomial, J. Pure Algebra 117/118, 495-518, 1997.

[O2] T. Oaku, An algorithm of computing b-functions, Duke Math. Journal 87, Vol 1, 115-132, 1997. [O-T] T. Oaku, N. Takayama, An algorithm for de Rham cohomology groups of the complement of

an affine variety via D-module computation, Journal of Pure and Applied Algebra 139, 201-233, 1999.

[S1] C. Sabbah, Proximité évanescente I. La structure polaire d’un D-Module, Compositio Math. 62, 283-328, 1987.

[S2] C. Sabbah, Proximité évanescente II. Equations fonctionnelles pour plusieurs fonctions, Compositio Math. 64, 213-241, 1987.

[T] N. Takayama, Kan : A system for computation in algebraic analysis, 1991-.

Voir www.math.kobe-u.ac.jp/KAN/