Dans ces années là, Lagrange collectionna les prix de l'Académie des sciences de Paris pour ses travaux en mécanique céleste: «Libration de la Lune» en 1764, «Satellites de Jupiter» en 1766, «Problème des trois corps» en 1772, «sur l'équation séculaire de la Lune» en 1774 et «sur les perturbations du mouvement des comètes» en 1780.

Fort de sa renommée, il s'installa à Paris en 1787, quelques vingt ans après y avoir rencontré l'encyclopédiste et très influent Jean le Rond d'Alembert (1717-1783). Lagrange devint ainsi professeur d'analyse à l'École Polytechnique, créée en 1794, et contribua à la création du système métrique en tant que président de la Commission des poids et mesures.

Son héritage est considérable. En témoignent les nombreux objets mathématiques auxquels on a donné son nom et qui sont couramment utilisés aujourd'hui: polynômes d'interpolation de Lagrange, pour l'analyse numérique; multiplicateurs de Lagrange en optimisation; points de Lagrange en mécanique céleste; coordonnées de Lagrange en mécanique des fluides, remises au goût du jour par le calcul scientifique (voir par exemple le livre de Bruno Després).

Lagrange est également et surtout à l'origine de théories entières, comme celle du calcul des variations, qui permet par exemple de déterminer les géodésiques: à la surface de la Terre, le plus court chemin pour aller d'un point à un autre serait une ligne droite … si la Terre était plate, mais comme ce n'est pas le cas, le chemin le plus court est une courbe, que l'équation d'Euler-Lagrange permet de calculer. Plus généralement, le calcul des variations a trouvé de multiples applications en mécanique et en physique à travers le principe de moindre action.

Autre domaine où Lagrange eut une contribution fondatrice et pourtant moins connue: la théorie des vagues. Dans son Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (1781), il parvint en effet à déduire une équation générale pour la propagation des vagues en eau peu profonde, à partir des équations de la mécanique des fluides établies par Euler dans un précédent mémoire de l'Académie des Sciences de Berlin (1757). Cette équation est simplement appelée équation des ondes, et se trouve être la même que celle établie par d'Alembert (1717-1783) pour les cordes vibrantes (1761): seuls les paramètres physiques changent! Lagrange l'avait d'ailleurs bien remarqué: «On pourra donc aussi traiter l'équation des ondes par les méthodes que l'on a déjà employées dans la Théorie de la propagation du son.»