Le théorème de Gerschgorin permet de trouver un borne sur les valeurs propres d'une matrice carrée. Soit $A$ une matrice complexe de taille $n \times n$, avec coefficients $[a_{ij}]_{ij}$. Pour chaque indice de ligne $i$ entre 1 et $n$ on introduit le disque de Gerschgorin correspondant: $$D_i = \left\{ z \in \mathbb{C} \left| \left|a_{ii} - z \right| \leq \sum_{j \neq i } \left|a_{ij} \right| \right. \right\}.$$
L'énoncé du théorème est le suivant.
Théorème [Gerschgorin]
A1. Démontrez la première partie du théorème de Gerschgorin. (Prenez $\lambda$ une valeur propre et $x$ son vecteur propre associé avec coefficient maximal égal à 1.)
A2. Démontrez la deuxième partie du théorème de Gerschgorin. (Déformez la matrice $A$ en une matrice diagonale et utilisez le fait que les valeurs propres varient continûment avec les coefficients de la matrice.)
La suite de Fibonacci est une suite d'entiers, utilisée par Leonardo Fibonacci, dit Leonardo Pisano, un mathématicien italien du XIIIe siècle qui, dans un problème récréatif posé dans un de ses ouvrages, le Liber Abaci, décrit la croissance d'une population de lapins:
Un homme met un couple de lapins dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
On note $F_n$ le nombre de paires de lapins au début du mois $n$. $F_1 = 1$ et $F_2 = 1$. Au troisième mois le couple donne un nouveau couple de lapin, $F_3 = 2$. Au mois $n$, seul les couples existant au mois $n-2$ se reproduisent:
$$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}.$$B1. Si on distingue les adultes ($a$) des juvéniles ($j$), montrez qu'on peut représenter l'équation de Fibonacci comme un système linéaire:
$$\left( \begin{array}{c} a_{n+1} \\ j_{n+1} \end{array} \right)= A \left( \begin{array}{c} a_{n} \\ j_{n} \end{array} \right),$$ où $F_n = a_n + j_n$ et $$A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right).$$ B2. Montrez par récurrence que $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)^n = \left( \begin{array}{cc} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{array} \right).$$B3. Diagonalisez la matrice $A$ du système de Fibonacci (Calculez les valeurs propres et les vecteurs propres à la main et exprimez $A = X D X^{-1}$ où $D$ est une matrice diagonale et $X$ est inversible).
Une suite de Fibonacci généralisée est une fonction $G:\mathbb{N} \to K$, définie sur les entiers $\mathbb{N}$, telle que pour tout entier $n$, on a
$$G_{n+2} = G_{n+1} + G_n.$$C1. Montrez que l'ensemble des suites de Fibonacci généralisées est un espace vectoriel sur $K$.
C2. Montrez que pour toute fonction de Fibonacci généralisée $G$, il existe $a, b \in K$ tels que $G_n=a F_n+b F_{n+1}$.
C3. En déduire une base des suites de Fibonacci généralisées.
C4. Le nombre d'or $\phi$ est défini comme la racine positive du polynôme $x^2 - x - 1 = 0$. Montrez que la fonction $n \to \phi^n$ est une fonction de Fibonacci généralisée. Montrez que la racine négative $\phi' = 1 - \phi$, possède les mêmes propriétés: c.-à-d. que $n \to (1-\phi)^n$ est aussi une suite de Fibonacci généralisée.
C5. Montrez que les deux suites $\phi^n$ et $(1-\phi)^n$ sont linéairement indépendantes. En déduire que ces deux suites forment une autre base de l'espace vectoriel.
Source: Wikipedia