Soit l'entier $n(t)$ le nombre d'individus dans une population au temps $t$. On suppose que durant un intervalle $dt$, deux transitions sont possibles
(Une fonction $f(dt) = o(dt)$ si $ \frac{f(dt)}{dt} \to 0$ lorsque $dt \to 0$.) Les termes $\lambda$ et $\mu$ sont les taux de naissances et de mort dans la population.
Soit $p_n(t)$ la probabilité que la population soit de $n$ individus au temps $t$. Alors, il suit que $$\frac{dp_n(t)}{dt} = (n+1) \mu p_{n+1}(t) + (n-1)\lambda p_{n-1}(t) - (\lambda + \mu) n p_n(t).$$ pour $n \geq 1$, et $$\frac{dp_0(t)}{dt} = \mu p_1(t).$$ Ces equations forment un système de taille infinie d'équations différentielle couplées. Ces equations sont les équations maîtresses. En supposant qu'il n'y a seulement qu'un individu initialement, $n(0) = 1$, on obtient les conditions initiales $$p_1(0) = 1,$$ $$p_n(0) = 0, \; n \neq 1.$$ On note que si $p_n(t) \equiv 0$ pour $n<0$, les équations maîtresses sont valides pour tout entier $n$. La fonction génératrice de probabilité est $$\varphi(z,t) = \sum_{n} z^n p_n(t).$$ En dérivant par rapport à $t$ et en réorganisant les termes de la série, $\varphi$ doit satisfaire l'équation aux dérivées partielles $$\frac{\partial \varphi}{\partial t} = (1-z)(\mu - \lambda z) \frac{\partial \varphi}{\partial z}.$$ Par les conditions initiales sur $p_n$, on a $\varphi(z,0) = z$. L'équation est hyperbolique et la solution peut être obtenue par la méthodes des caractéristiques, $$ \varphi(z,t) = \frac{\mu - \lambda z - \mu (1-z) \varepsilon(t)}{\mu - \lambda z - \lambda (1-z) \varepsilon(t)},$$ et $$\varepsilon(t) = \exp \bigl( (\lambda - \mu) t \bigr) .$$
La fonction génératrice de probabilité peut être utilisée pour calculer les moments de $n$. Par exemple, l'espérance de $n(t)$, $$\langle n(t) \rangle = \sum_n n p_n(t) = \frac{\partial \varphi(1,t)}{\partial z} = \varepsilon(t).$$ La variance $\langle (n-\langle n \rangle)^2 \rangle$ se trouve en utilisant la relation $\langle n(n-1) \rangle = \partial^2 \varphi(1,t)/\partial t^2$.