DEVOIR MAISON D’ALGÈBRE (ARITHMÉTIQUE ET COMPLEXES)

Problème

Pour tout entier naturel non nul n, on note

σ(n) = ∑_{m|n} m

la somme des diviseurs de n. Un entier n ∈ ℕ^{∗} est appelé parfait si σ(n) = 2n (c’est-à-dire s’il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-même). Dans la première partie du problème, nous allons montrer que pour tout entier p > 1 tel que 2^{p} − 1 est premier, 2^{p−1}(2^{p} − 1) est parfait. Dans la deuxième partie, nous montrerons que réciproquement, tout nombre parfait pair est de la forme n = 2^{p−1}(2^{p} − 1), avec p > 1 un entier et 2^{p} − 1 premier.

Première partie

1) Soit n = p_{1}^{α_{1}} ⋯ p_{k}^{α_{k}} la décomposition en facteurs premiers de n. Montrer que

σ(n) = ∏_{i=1}^{k}(1 + p_{i} + ⋯ + p_{i}^{α_{i}})

2) En déduire que n ∧ m = 1 ⇒ σ(mn) = σ(m)σ(n).

3) Soit p > 1 un entier tel que 2^{p} − 1 est premier. Monter que n = 2^{p−1}(2^{p} − 1) est parfait.

Deuxième partie

Soit n un nombre parfait pair.

4) Montrer que n = 2^{p−1}m, avec p > 1 et m impair tels que 2^{p} − 1|m.

5) Soit l ∈ ℕ^{∗} tel que m = (2^{p} − 1)l. Montrer que σ(m) = m + l.

6) En déduire que l = 1.

7) Démontrer le résultat attendu : à savoir que m est égal à 2^{p} − 1 et est premier.

Exercice

On considère dans ℂ l’équation Q(z) = 0, avec Q(z) = z^{4} − 4z^{3} + 5z^{2} − 4z + 1.

1) Montrer que pour tout z ∈ ℂ^{∗},

\frac{Q(z)}{z^{2}} = P (z + \frac{1}{z})

où P (X) = aX^{2} + bX + c, avec a, b, c ∈ ℝ.

2) Résoudre l’équation Q(z) = 0 dans ℂ.