Université Claude Bernard (Lyon 1) Année 2006-2007 UE Math2 Analyse L1 Fiche 1

Calcul vectoriel et matriciel

*Exercice 1 On considère l’espace à trois dimensions muni d’un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗) et les trois vecteurs

u⃗ = i⃗ + 2j⃗ + 3k⃗
v⃗ = 4i⃗ + 5j⃗ + 6k⃗
w⃗ = 7i⃗ + 8j⃗ + 9k⃗.

Calculer u⃗ ∧ v⃗, v⃗ ∧ u⃗, u⃗.v⃗, u⃗.(u⃗ ∧ v⃗), ∥u⃗∥, ∥u⃗ + v⃗∥, (u⃗ ∧ v⃗) ∧ w⃗, u⃗ ∧ (v⃗ ∧ w⃗).

*Exercice 2 L’espace à trois dimensions ℝ^{3} est muni d’un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗). On donne les vecteurs

u⃗ = (1/2)i⃗ + (\sqrt{3}/2)k⃗
v⃗ = (\sqrt{3}/2)i⃗ − (1/2)k⃗
w⃗ = −j⃗.

1. Montrer que (u⃗, v⃗, w⃗) est une base de l’espace.

2. Calculer les normes de u⃗, v⃗ et w⃗, puis les produits scalaires u⃗.v⃗, u⃗.w⃗, v⃗.w⃗.

*Exercice 3 Dans ℝ^{3}, on considère les vecteurs v_{1} = (1, 2, 0) et v_{2} = (−6, 0, 2).

– Montrer que {v_{1}, v_{2}} est libre.

– Trouver v_{3} ∈ ℝ tel que B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} est libre.

– Montrer que B est une base de ℝ^{3}.

Exercice 4 L’espace à trois dimensions ℝ^{3} est muni d’un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗, k⃗). Etablir l’identité :

u⃗ ∧ (v⃗ ∧ w⃗) = (u⃗.w⃗)v⃗ − (u⃗.v⃗)w⃗.

Indication : effectuer un calcul composante par composante.

*Exercice 5 Soient A et B deux points de ℝ^{2}.

1. Déterminer l’ensemble des points M ∈ ℝ^{2} tels que A⃗M.A⃗B = 0.

2. Déterminer l’ensemble des points M ∈ ℝ^{2} tels que A⃗M.B⃗M = 0. (Indication : introduire le point I milieu de [AB].)

3. Représenter ces deux ensembles sur un dessin.

4. Considérer le mêmes questions dans ℝ^{3}

*Exercice 6 Soient A et B deux points de ℝ^{3}.

1. Déterminer l’ensemble des points M ∈ ℝ^{3} tels que A⃗M ∧ A⃗B = 0.

2. Déterminer l’ensemble des points M ∈ ℝ^{3} tels que A⃗M ∧ B⃗M = 0.

*Exercice 7 Soient U⃗ et V⃗ deux vecteurs de l’espace à trois dimensions.

1. Etablir l’identité

∥U⃗ + V⃗ ∥^{2} + ∥U⃗ − V⃗ ∥^{2} = 2(∥U⃗∥^{2} + ∥V⃗ ∥^{2}).

2. Montrer que pour que U⃗ et V⃗ soient orthogonaux, il faut et il suffit que

∥U⃗ + V⃗ ∥^{2} = ∥U⃗∥^{2} + ∥V⃗ ∥^{2}.

*Exercice 8 Trouver l’angle θ entre les vecteurs joignant (dans un repère orthonormé) l’origine aux points P_{1} ≡ (1, 2, 3) et P_{2} ≡ (2, −3, −1).

*Exercice 9 On considère dans un repère orthonormé les trois points P_{1} ≡ (1, 1, 1), P_{2} ≡ (1, 2, 3) et P_{3} ≡ (0, 0, 2). Calculer le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs u⃗ = O⃗P_{1}, v⃗ = O⃗P_{2} et w⃗ = O⃗P_{3}.

*Exercice 10 Ecrire les équations de la droite passant par P_{0} ≡ (1, 2, 3) et parallèle à a⃗ = 2i⃗−j⃗ −4k⃗. Soient A ≡ (3, 1, −1) et B ≡ (1/2, 9/4, 4). Lequel de ces points est situé sur la droite ?

*Exercice 11 Soient P_{0} et P_{1} deux points de l’espace ℝ^{n}. Montrer qu’un point P appartient au segment P_{0}P_{1} si et seulement si

il existe t ∈ [0, 1] tel que : \overrightarrow{OP} = (1 − t)\overrightarrow{OP_{0}} + t\overrightarrow{OP_{1}}.

Trouver une expression pour l’ensemble des points appartenant au segment de ℝ^{2} entre P_{0} ≡ (1, 2) et P_{1} ≡ (3, 5).

*Exercice 12 Soit P_{0} ≡ (1, 2, 3). Ecrire l’équation du plan 1. passant par P_{0} et orthogonal à u⃗ = 4i⃗ + 5j⃗ + 6k⃗.

2. passant par P_{0} et parallèle à 3x − 2y + 4z − 5 = 0.

3. passant par P_{0}, P_{1} ≡ (3, −2, 1) et P_{2} ≡ (5, 0, −4).

Exercice 13 Montrer que le module de la projection de b⃗ sur a⃗ est égale à \frac{a⃗·b⃗}{|a|}. Trouver la plus courte distance d séparant le point P_{0} ≡ (1, 2, 3) et le plan d’équation 3x − 2y + 5z − 10 = 0.

*Exercice 14 On considère les matrices suivantes :

A = ( 1 2 3 ) , B = ( \begin{matrix}1 \\ −2 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}2 & 1 \\ −3 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} ) , D = ( \begin{matrix}−2 & 5 \\ 5 & 0 \end{matrix} ) , E = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 3 \\ −1 & −4 & 0 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix} ) .

– Quels sont les produits matriciels possibles ? En calculer au moins cinq.

– Parmi les matrices A, B, C, D, E et leurs produits, lesquelles sont carrées et lesquelles sont symétriques ?

*Exercice 15 Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles, et calculer l’inverse lorsqu’il existe.

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & −3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}2 & 2 & 3 \\ 1 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & 1 \end{matrix} ) , C = ( \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & −9 \end{matrix} ) .

Fonctions de plusieurs variables

1 Lignes de niveau et fonctions partielles

*Exercice 16 Soit k ∈ ℝ; et f une fonction de deux variables, définie sur un ensemble D_{f} ⊂ ℝ^{2}. On rappelle que l’ensemble {(x, y) ∈ D_{f}; tel que f(x, y) = k} est la ligne de niveau k de la fonction f.

1. Trouver les lignes de niveaux 0, 1, −1, 2 et 3 de la fonction fonction f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} et les

représenter graphiquement. Même question avec f(x, y) = x^{2} + y^{2} et f(x, y) = \frac{2y}{x}.

2. Pour la fonction f(x, y) = x−y−|x−y|, tracer les lignes de niveau pour k ∈ ℝ, traiter séparément les cas k = 0 et k > 0 et k < 0.

*Exercice 17 Soit F une fonction de D ∈ ℝ^{2} dans ℝ et A = (a, b) un point intérieur de D. Les fonctions :

x ↦ f(x, b) et y ↦ f(a, y)

définies sur un intervalle ouvert contenant respectivement a et b, sont appelées les fonctions partielles associées à f au point A.

Trouver les fonctions partielles aux points (0, 0) et (1, 2) de g_{1}(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, g_{2} = xy et de g_{3}(x, y) = x^{2}y − 1.

2 Limites de fonctions de deux variables

*Exercice 18 Soit f la fonction définie par f(x, y) = \frac{2xy − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} . Etudier la limite pour (x, y) → (0, 0)

de la restriction de f aux droites d’équation y = mx, avec m ∈ ℝ. En déduire que f n’a pas de limite à l’origine.

Exercice 19 Soit f la fonction définie par

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{x^{2}y}{x^{4} − 2x^{2}y + 3y^{2}} & si & (x, y) ≠ 0 \\ 0 & si & (x, y) = 0 \end{matrix}

1. Etudier la limite pour (x, y) → (0, 0) de la restriction de f aux droites d’équation y = mx, m ∈ ℝ donné.

2. Calculer la limite à l’origine de la restriction de f à la parabole d’equation y = x^{2}.

3. Montrer que f n’a pas de limite à l’origine.

Exercice 20 Pour une fonction de deux variables on considère trois types de limites :

(A) lim_{(x,y)→(a,b)} f(x, y); (B) lim_{x→a} (lim_{y→b} f(x, y)); (C) lim_{y→b} (lim_{x→a} f(x, y)).

On considère les fonctions suivantes :

f_{1}(x, y) = \frac{x^{2} − y^{2}}{x^{2} + y^{2}} , f_{2}(x, y) = \frac{xy}{x^{2} + y^{2}} , f_{3}(x, y) = \frac{sin x}{y}, f_{4}(x, y) = \frac{sin y}{x} .

Démontrer qu’en (0, 0)

– Deux de ces trois limites peuvent exister sans que la troisième existe.

– Une de ces trois limites peut exister sans les deux autres existent.

– (B) et (C) peuvent exister sans être égales.

– Si (A) et (B) existent alors elles sont égales.

*Exercice 21 Étudier la limite à l’origine de la fonction définie par f(x, y) = \frac{sin(xy)}{xy}.

Exercice 22 Calculer, si elles existent, les limites des fonctions suivantes pour (x, y) → (0, 0) et (x, y) appartenant à l’ensemble de définition :

f(x, y) = \frac{\sqrt{|xy|}}{|x| + |y|},  f(x, y) = \frac{x^{2}y}{x^{2} + y^{2}} ,  f(x, y) = \frac{x^{1/3}y^{2}}{x^{2} + y^{2} + |x − y|},

f(x, y) = \frac{cos(xy) − 1}{x^{2} + y^{2}},  f(x, y) = \frac{x^{2}}{y ln(y − x^{2})},  f(x, y) = x^{y}

2.1 Utilisation des coordonnées polaires

RAPPEL Soit g: ℝ^{+} × [0, 2π[→ ℝ. Supposons que

lim_{ρ→0^{+}} g(ρ, θ) = ℓ (indépendante de θ).

On dit que la limite est uniforme en θ si :

il existe G: ℝ^{+} → ℝ telle que \begin{cases}|g(ρ, θ) − ℓ| ≤ G(ρ), & ∀ ρ > 0 \\ lim_{ρ→0^{+}} G(ρ) = 0. \end{cases}

Cette condition assure que, si f(x, y) = g(ρ, θ) (avec x = ρ cos θ et y = ρ sin θ), alors

lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = ℓ

Exercice 23 Pour chacune des fonctions g : ℝ^{+} × [0, 2π[→ ℝ suivantes, calculer lim_{ρ→0^{+}} g(ρ, θ). On préciséra si :

1. La limite est indépendente de θ

2. La limite est uniforme pour θ ∈ [0, 2π[

g(ρ, θ) = \frac{ρ}{sin θ + 3}, g(ρ, θ) = \begin{cases}ρ ln(ρ sin(θ)), & si θ ∈]0, π[ \\ 0, & sinon. \end{cases}

Déduire de ce qui précède la limite pour (x, y) → (0, 0) de la fonction f(x, y) définie par f(x, y) = g(ρ, θ).

*Exercice 24 Calculer les limites à l’origine des fonctions suivantes, à l’aide d’un passage aux coordonnées polaires.

f(x, y) = \frac{y^{3}}{x^{2} + y^{2}} , f(x, y) = \frac{x^{2}y^{3}}{x^{4} + x^{2}y^{2} + y^{4}} .

Exercice 25 Calculer les limites pour (x, y) → ∞ des fonctions suivantes

f(x, y) = \frac{x arctan y}{x^{2} + y^{2} + 1}, f(x, y) = \frac{x^{2} + y^{4}}{x^{4} + y^{2}} ,

f(x, y) = (1 + |x| + |y|) sin(y^{2}), f(x, y) = ye^{x} + ln |y|.

Calcul différentiel

*Exercice 26 Calculer les dérivées partielles premières des fonctions suivantes :

a) f_{1}(x, y) = 3xy + e^{y}  b) f_{2}(x, y) = y sin(2xy + 1),  c) f_{3}(x, y) = e^{sin(2x)+xy},
d) f_{4}(x, y) = \sqrt{x^{2} + cos y + 1},  e) f_{5}(x, y) = ln(x^{2}y^{2}).

*Exercice 27 Trouver la dérivée partielle de la fonction f(x, y) = xy^{2} suivant le vecteur v⃗ = i⃗ − 2j⃗ au point A ≡ (2, 1).

*Exercice 28 Trouver les pentes des sections de la surface z = 3x^{2} + 4y^{2} − 6 obtenues par les plan passant par le point (1, 1, 1) et parallèles aux plans xOz et yOz.

*Exercice 29 Trouver les différentielles de z = x^{3}y + x^{2}y^{2} + xy^{3} et de Z = x sin y − y sin x.

*Exercice 30 La puissance utilisée dans une résistance électrique est donnée par P = E^{2}/R (en watts). Si E = 200 volt et R = 8 ohm, quelle est la modification de la puissance si E decroît de 5 volt et R de 0.2 ohm ? Comparer les résultats obtenus (a) avec un calcul exact, (b) avec l’approximation fournie par la différentielle.

*Exercice 31 (Fonctions composées) Soit z(x) = f(x, y(x)), où f est une fonction de classe C^{1} dans ℝ^{2} et y une fonction dérivable dans ℝ. Trouver une expression pour z′(x). Appliquer la formule aux cas particuliers

1. f(x, y) = x^{2} + 2xy + 4y^{2} et y = e^{3x}.

2. f(x, y) = xy^{2} + x^{2}y et y = ln x.

Exercice 32 Trouver la dérivée par rapport à t de 1. f(x, y) = x^{2} + 3xy + 5y^{2} où x = sin t, y = cos t;

2. f(x, y) = ln(x^{2} + y^{2}) où x = e^{−t}, y = e^{t}.

*Exercice 33 Soient F et G deux fonctions de classe C^{2} dans ℝ et c ∈ ℝ^{∗}. On pose u(x, t) = F (x − ct) + G(x + ct). Montrer que u est une solution de l’équation des ondes :

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}}(x, t) − c^{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}(x, t) = 0, pour tout (x, t) ∈ ℝ^{2}.

Exercice 34 1. Soit f : ℝ → ℝ une application de classe C^{2} sur ℝ et F : (x, y) → F (x, y) = f(\sqrt{x^{2} + y^{2}}).

(a) Calculer ΔF = \frac{∂^{2}F}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}F}{∂y^{2}} . L’operateur Δ s’appelle le laplacien.

(b) Déterminer toutes les applications f telles que ΔF = r avec r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

2. Soit f : ℝ^{2} → ℝ et g : (x, y) ↦ g(x, y) = f(x^{2} − y^{2}, 2xy). Exprimer les dérivées partielles de g en fonction de celles de f.

3. Exprimer le laplacien en coordonnées polaires.

[Indication : poser le changement de variables ϕ : \{ \begin{matrix}ℝ^{2} → ℝ^{2} \\ (r, θ) ↦ (r cos(θ), r sin(θ)) \end{matrix} ]

Extrema

Exercice 35

1. Etudier les extrema relatifs (locaux) de f(x, y) = x^{2} + xy + y^{2} + 2x + 3y. Admet-elle des extrema absolus (globaux) ?

2. Même question pour

\begin{matrix}(a) f(x, y) = (x − y)^{2} + (x + y)^{3} & (b) f(x, y) = xe^{y} + ye^{x} \\ (c) f(x, y) = (3x + 4y)e^{−(x^{2}+y^{2})} & (d) f(x, y) = x^{4} + y^{4} − (x − y)^{3} \\ (e) f(x, y) = x^{3} + y^{3} + 3xy & (f) f(x, y) = x^{3} + 3xy − y^{2} + y + 1 \end{matrix}

Exercice 36 Epreuve de Novembre 2003. Soit f : ℝ^{2} → ℝ la fonction définie sur ℝ^{2} par f(x, y) = 2x^{3} + 6xy − 3y^{2} + 2.

1. Déterminer les extrema relatifs (locaux) de la fonction f.

2. La fonction f possède-t-elle des extrema absolus sur ℝ^{2} ?

3. Représenter le segment de droite L défini par

L = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | −2 ≤ x ≤ 0, y = x + 1}.

Déterminer les extrema absolus de la restriction de f à L et préciser en quels points de L ils sont atteints.

Exercice 37 Epreuve de Mai 2001. On considère la fonction

f(x, y) = xye^{− \frac{1}{2} (x^{2}+y^{2})}

1. Etudier les extréma relatifs (locaux) de f sur ℝ^{2}. Suggestion : on pourra utiliser les symétries de la fonction f(x, y) pour réduire le nombre de cas à étudier.

2. Démontrer que f(x, y) → 0 quand (x, y) → ∞.

3. Déduire de ce qui précède l’existence des extrema globaux de f sur ℝ^{2}. Déterminer les extréma globaux.

Exercice 38 Soit f : ℝ → ℝ l’application définie par f(x, y) = 2x^{3} − y^{2} + 2xy + 1.

1. Déterminer les extrema locaux de f.

2. f possède-t-elle des extrema absolus sur ℝ^{2} ?

3. Représenter T = {(x, y) ∈ ℝ^{2}/x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 1} Justifier l’existence d’un maximum absolu M et d’un minimum absolu m pour la restriction de f à T. Les déterminer.

Exercice 39 Soit f : ℝ^{2} → ℝ l’application définie par f(x, y) = 2x^{2} + 2y^{2} + x^{2}y^{2} − x^{4} − y^{4}. 1. Déterminer les extrema locaux de f.

2. Montrer que f(x, y) ≤ 2r^{2} − \frac{r^{4}}{4} où r^{2} = x^{2} + y^{2}. En déduire que f(x, y) ≤ 4.

3. Trouver le maximum global de f et les points où il est atteint.

4. Y a-t-il un minimum global ?

Exercice 40 On considère la fonction

f(x, y) = 1 + (x + \sqrt{2}y)^{2} + ax^{4} (a ∈ ℝ).

Déterminer les valeurs du paramètre a telles que l’origine soit (i) un point de col (ii) un point de minimum local.

Exercice 41 Ecrire les formules de Taylor d’ordre 2 pour f(x, y, z) = x^{2}+y^{2}+2z^{2}+\frac{4}{3}z^{3}+xy−2x−y+1, centrées aux points critiques de f. Déterminer ensuite la nature de ces points.

Exercice 42 Etudier la nature des points critiques des fonctions définies par

f(x, y, z) = \frac{1}{2}x^{2} + xyz + y − z,
g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} + xy + yz + 2x − 2y − 4z + 5,
h(x, y, z) = 2x^{2}y − y^{2} − x^{4} − z^{2}.

Champs de vecteurs

Exercice 43 Démontrer les relations suivantes :

a. div(f\overrightarrow{u}) = fdiv(\overrightarrow{u}) + \overrightarrow{u}\overrightarrow{grad}f,
b. \overrightarrow{grad}(fg) = f\overrightarrow{grad}g + g \overrightarrow{grad}f,
c. \overrightarrow{rot}(f\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{grad}f ∧ \overrightarrow{u} + f\overrightarrow{rot}\overrightarrow{u}.

Exercice 44 \overrightarrow{A} et \overrightarrow{B} étant des vecteurs constants, calculer \overrightarrow{grad}(\overrightarrow{A} · (\overrightarrow{B} ∧ \overrightarrow{r})).

Exercice 45 Pour quelle fonction f(x) la divergence de \overrightarrow{V} = xz\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + f(z)\overrightarrow{k} est-elle égale à z ?

Exercice 46 Soit f une fonction et V⃗ un champ de vecteurs, tous deux de classe C^{2} dans un ouvert de l’espace. Le champs vectoriel \overrightarrow{rot}(∇f + \overrightarrow{rot}V) est égale à :

a)0, b)\overrightarrow{rot} (\overrightarrow{rot}V⃗), c)∇f ∧ V⃗ .

Exercice 47 Pour un champ de vecteurs B⃗ = xy^{2}i⃗ + 2x^{2}yzj⃗ + 3yz^{2}k⃗, trouver divB⃗ et \overrightarrow{rot}B⃗.

Exercice 48 Déterminer si les champs suivants sont des champs de gradients, si oui déterminer leurs potentiels scalaires.

1. V⃗ (x, y) = (y, x)

2. V⃗ (x, y) = (3x^{2}y + 2x + y^{3}, x^{3} + 3xy^{2} − 2y)

3. V⃗ (x, y) = (cos(x), sin(y))

4. V⃗ (x, y) = (y + \frac{1}{x}, x + \frac{1}{y})

5. V⃗ (x, y) = (x + y, x − y)

6. V⃗ (x, y, z) = (x^{2} − yz, y^{2} − zx, z^{2} − xy)

Exercice 49 A tout point M de ℝ^{2}\{(0, 0)\}, on associe le vecteur unitaire u⃗(M) = \frac{O⃗M}{∥O⃗M∥}. En posant

ρ = ∥ O⃗M ∥, montrer que la divergence de ce champ vectoriel est égale à 1/ρ.

Exercice 50 Un champ central dans ℝ^{3} est donné par V⃗ (x⃗) = f(r)x⃗ où r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} et f est une application dérivable de ℝ dans ℝ. Montrer qu’un champ central est toujours un champ de gradients et calculer son potentiel.

Exercice 51 Soit le champ de vecteurs défini dans ℝ^{3} par : V⃗ (x, y, z) = (yz+x^{2}y^{3}, xz+x^{3}y^{2}, f(x, y)) où f : ℝ^{2} → ℝ est une application de classe C^{1}. Trouver les applications f pour que ce soit un champ de gradients. Calculer alors les potentiels de V⃗ (x, y, z).

Exercice 52 Dans une région de l’espace, on suppose que la distribution de charge électrique a une densité volumique constante ρ et que le champ électrostatique \overrightarrow{E} a une direction fixe (on peut choisir l’axe Ox dans cette direction). Calculer \overrightarrow{E} et le potentiel V. Indication Vous devez utiliser les lois de l’électrostatique qui relient les grandeurs étudiées : div\overrightarrow{E} = \frac{ρ}{ϵ_{0}} et \overrightarrow{E} = −\overrightarrow{grad}\overrightarrow{V}. (Ici ϵ_{0} = 8, 854 · 10^{−12}F·m^{−1} est une constante universelle appelée permittivité électrique du vide.)

Courbes paramétrées

Exercice 53 Une particule se déplace le long de la courbe x = 4 cos t, y = 4 sin t, z = 6t. Trouver les valeurs absolues de la vitesse et de l’accélération au temps t = 0 et t = \frac{π}{2} .

Exercice 54 Trouver les équations de la tangente et du plan normal à la courbe x = t − 2, y = 3t^{2} + 1, z = 2t^{3}, au point où celle-ci coupe le plan yOz.

Exercice 55 Soit f(x, y) = x^{2}+4y^{2}. Pour tout point (a, b) ∈ ℝ^{2}, calculer l’amplitude de l’angle entre la ligne de niveau de f passant par (a, b) et le vecteur ∇f(a, b) (on commencera par la détermination du tracé de cette ligne et on déterminera ensuite une paramétrisation).

Exercice 56 Paramétrer la courbe x^{2} + y^{2} − 4x − 2y + 1 = 0.

Exercice 57 La spirale logarithmique est définie par γ(t) = (e^{at} cos t, e^{at} sin t)

1. Dessiner la spirale logarithmique.

2. Montrer que la spirale logarithmique fait un angle constant avec la droite joignant un point courant à l’origine.

3. Calculer la longueur de l’arc entre γ(0) et γ(t).

4. Montrer que γ(t) ↦ (0, 0) quand t ↦ −∞.

5. Montrer que la longueur de l’arc entre 0 et t a une limite finie quand t ↦ −∞.

Exercice 58 1. Déterminer la longueur de l’arc de courbe (appellée cycloïde) défini par

\{ \begin{matrix}x = a(t − sin t) \\ y = a(1 − cos t),  t ∈ [0, 2π] \end{matrix}

2. On considère l’hélice circulaire à pas constant définie par

\{ \begin{matrix}x = r cos t \\ y = r sin t \\ z = ht \end{matrix}

– Montrer que la tangente forme avec l’axe Oz un angle constant.

– Calculer la longueur d’un spire d’hélice ( t ∈ [0, 2π]).

Exercice 59

1. Soit Γ la courbe paramétrée en coordonnées polaires par ρ = ρ(t) et θ = θ(t), où t ∈ [a, b]. Montrer que la longueur de Γ est

∫_{a}^{b} \sqrt{ρ^{′2} + ρ^{2}θ^{′2}} dt.

En déduire une formule pour la longueur d’une courbe définie en forme polaire (c’est à dire, une courbe paramétrée par ρ = ρ(θ)).

2. Tracer et calculer la longueur des courbes définies par

ρ = θ, 0 ≤ θ ≤ π
ρ = 2(1 + cos θ),  −π ≤ θ ≤ π  (cardioïde).

Ces paramétrisations sont-elles régulières ? La droite tangente à ces courbes en (0, 0) existe-t-elle ?

Intégrales curvilignes. Intégrales doubles

Exercice 60 Calculer l’intégrale curviligne

I = ∫_{C}(2x − y)dx + (x + y)dy

où C est le cercle de centre R et de centre O décrit complètement dans le sens direct. Exercice 61 Calculer l’intégrale curviligne I le long de la boucle fermée C constituée par les deux arcs de parabole y = x^{2} et x = y^{2} décrite dans le sens direct avec

I = ∫_{C}(2xy − x^{2})dx + (x + y^{2})dy.

Vérifier le résultat en utilisant la formule de Riemann. Exercice 62 Calculer l’intégrale curviligne

∫ \frac{(x − y)dx + (x + y)dy}{x^{2} + y^{2}}

le long du cercle de centre O et de rayon r. Exercice 63 Calculer l’intégrale curviligne I le long de la boucle fermée C constituée par les deux arcs de parabole y = x^{2} et x = y^{2} décrite dans le sens direct avec

I = ∫_{C}(2xy − x^{2})dx + (x + y^{2})dy.

Vérifier le résultat en utilisant la formule de Riemann. Exercice 64 Calculer l’intégrale curviligne

∫ \frac{(x − y)dx + (x + y)dy}{x^{2} + y^{2}}

le long du cercle de centre O et de rayon r. Exercice 65 Déterminer l’aire de la partie D du plan délimitée par les courbes d’équation :

y = x, y^{2} = x.

Exercice 66 a) Calculer _{∫ ∫D}(x − y) dxdy où D est une partie du plan délimitée par les droites d’équation :

x = 0, y = x + 2, y = −x

b) Calculer la même intégrale au moyen du changement de variables défini par : u = x + y, v = x − y Exercice 67 Calculer _{∫ ∫D}xy dxdy où D est la partie du plan délimitée par les courbes d’équation :

y = x^{2}, y = x^{3}.

Exercice 68 Soit f : [0, 1] × [0, 1] → ℝ une fonction continue. La droite d’équation y = x délimite dans les carré [0, 1] × [0, 1] deux triangles égaux T_{1} et T_{2}. Montrer que en général,

∫ ∫T_{1}f(x, y) dxdy ≠ _{∫ ∫T_{2}}f(x, y) dxdy.

Puis, en utilisant le changement de variable u = y, v = x, montrer que

∫ ∫T_{1}xy dxdy = _{∫ ∫T_{2}}xy dxdy.

Exercice 69 Soit D le quart de disque unité défini par :

D = {(x, y)| 0 ≤ x, 0 ≤ y, x^{2} + y^{2} ≤ 1}

Utiliser le passage en coordonnées polaires pour calculer l’intégrale :

I = ∫ ∫_{D}(4 − x^{2} − y^{2}) dxdy.

Exercice 70 Déterminer le centre de gravité d’un demi-disque homogène.

Exercice 71 Trouver le centre de gravité de la surface plane délimitée par la parabole y = 6x − x^{2} et la droite y = x.

Exercice 72 Déterminer le centre de gravité de la surface située à l’exterieur du cercle de rayon 1 et délimitée par la cardioïde ρ = 1 + cos θ.

Exercice 73 Calculer I = ∫∫_{D} \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} dxdy où D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2}/\frac{y^{2}}{2} ≤ x ≤ 2\}

Exercice 74 Soit I = ∫∫_{T_{a}} \sqrt{xy} e^{−x−y} dxdy. avec T_{a} = \{(x, y) ∈ ℝ^{2}/x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ a\} et a > 0. On

considère le changement de variables \{ \begin{matrix}x = tu \\ y = (1 − t)u \end{matrix}

Calculer I.

Exercice 75 Aire en coordonnées polaires

Soit D le domaine limité par r = p(ϕ) avec 0 ≤ ϕ ≤ 2π; et le segment \{ \begin{matrix}ϕ = 0 \\ p(0) ≤ r ≤ p(2π) \end{matrix}

1. Montrer que A(D) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{2π} p^{2}(ϕ) dϕ

2. Aire de la cardioïde : r = 1 + sin(ϕ).

3. Aire de l’escargot ; r = aϕ

4. Dessiner les lignes de coordonnées r = C^{te} et ϕ = C^{te} dans le plan des x, y

5. Dessiner les lignes de coordonnées x = C^{te} et y = C^{te} dans le plan des r, ϕ.

Surfaces. Théorèmes de Stokes et Ostrogradski

Exercice 76 Equation du plan tangent en A(1,0,1) à la surface S = \{ \begin{matrix}x = u − v \\ y = uv \\ z = u^{2} + v^{2} \end{matrix}

Déterminer une équation cartésienne de cette surface.

Exercice 77 Déterminer les plans qui sont tangents à la surface x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1 et parallèles au plan d’équation x + 4y + 6z = 0.

Exercice 78 Déterminer les plans qui sont tangents à la surface xy = z et au cercle d’équations

\{ \begin{matrix}z = 0 \\ x^{2} + y^{2} = R^{2} \end{matrix}

Exercice 79 Calculer le flux du champ de vecteurs V⃗ (x, y, z) = (x, y, −z) à travers la deme-sphère

\begin{cases}x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ z ≥ 0. \end{cases}

Exercice 80 Soit R > 0. Calculer l’intégrale de surface ∫∫_{S}(x + y + z) dσ, où S est la surface d’équation définie par x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} et z ≥ 0.

Exercice 81 On considère l’intégrale ∫_{C}(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, où C est le cercle d’équations

\begin{cases}x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \\ x + y + z = 0 \end{cases}

Calculer cette intégrale en appliquant la formule de Stokes. Retrouver le résultat à l’aide d’un calcul direct.

Exercice 82 Calculer le travail du champ de vecteurs V⃗ (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) le long de l’ellipse E d’équations

\begin{cases}x^{2} + y^{2} = 1 \\ x + z = 1 \end{cases}

1. directement. 2. En utilisant la formule de Stokes

Exercice 83 Calculer le flux du champ de vecteurs V⃗ (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} à travers la sphère

(x − a)^{2} + (y − b)^{2} + (z − c)^{2} = R^{2}

1. directement. 2. A l’aide le la formule d’Ostrogradski.

Exercice 84 On considère la boîte cylindique S composée du cylindre d’équation x^{2} + y^{2} = R^{2} et 0 ≤ z ≤ h et de deux disques de rayon R aux niveau z = 0 et z = h (R > 0 et h > 0). Soit V⃗ le champ de vecteurs défini par

V⃗ (x, y, z) = x^{2}i⃗ + y^{2}j⃗ + z^{2}k⃗.

1. Déterminer si V⃗ est un champ de gradient.

2. Déterminer si V⃗ est le rotationnel d’un autre champ de vecteurs.

3. Calculer le flux de V⃗ à travers S directement.

4. Calculer le flux de V⃗ à travers S en utilisant la formule d’Ostrogradski.