ENTRAINEMENT ALGÈBRE (LOGIQUE-APPLICATIONS-COMPLEXES)

Enoncé

\underline{Exercice 1}

On considère la proposition

(P) ∀x ∈ ℝ, (x ≥ 2 ⇒ ∃y ≥ 2, x ≥ y) .

1) Ecrire la négation de (P).

2) La proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifiez votre réponse.

\underline{Exercice 2}

On considère l’application f : ℝ × ℝ → ℝ_{+} définie par f(x, y) = x^{2} + y^{2}.

1) L’application f est-elle injective ? Justifiez votre réponse.

2) L’application f est-elle surjective ? Justifiez votre réponse. 3)La fonction f est-elle bijective ? Justifiez votre réponse.

\underline{Exercice 3}

1) Trouver les racines du polynôme z^{2} − 2iz − 4i\sqrt{3}.

2) Chercher une racine réelle du polynôme z^{3}+(2−2i)z^{2}−4i(\sqrt{3}+1)z−8i\sqrt{3}.

3) Trouver toutes les racines du polynôme z^{3} +(2−2i)z^{2} −4i(\sqrt{3}+1)z−8i\sqrt{3} 4) Donner les modules et des arguments de ces racines.

\underline{Exercice 4}

Montrer par récurrence sur n ∈ ℕ que pour tout n ≥ 2 et pour tout x ∈ ℝ_{+},

(1 + x)^{n} ≥ 1 + \frac{n(n − 1)x^{2}}{2}

Correction

\underline{Exercice 1}

On considère la proposition

(P) ∀x ∈ ℝ, (x ≥ 2 ⇒ ∃y ≥ 2, x ≥ y) .

1) Ecrire la négation de (P).

non(P) ≡ ∃x ∈ ℝ, (x ≥ 2 et ∀y ≥ 2, x < y)

2) La proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifiez votre réponse.

La proposition (P) est vraie. En effet, quel que soit un réel x, si x est supérieur ou égal à 2 alors en posant y = x on obtient que y ≥ 2 et x ≥ y. \underline{Remarque} : on aurait aussi pû poser y = 2, on aurait encore obtenu que y ≥ 2 et x ≥ y.

\underline{Exercice 2}

On considère l’application f : ℝ × ℝ → ℝ_{+} définie par f(x, y) = x^{2} + y^{2}.

1) L’application f est-elle injective ? Justifiez votre réponse.

f(0, 1) = 1 = f(1, 0), c’est-à-dire que 1 ∈ ℝ_{+} admet au moins deux antécédents par f qui sont (0, 1) et (1, 0). Par conséquent f n’est pas injective.

2) L’application f est-elle surjective ? Justifiez votre réponse.

Soit z ∈ ℝ_{+}. Posons (x, y) = (\sqrt{z}, 0) ∈ ℝ×ℝ. On obtient que f(x, y) = \sqrt{z}^{2} = z. Cela prouve que tout réel positif ou nul possède un antécédent par f. Ainsi, f est surjective. \underline{Autre démonstration} : soit z ∈ ℝ_{+}. Le lieu des points du plan de coordonnées (x, y) telles que x^{2} +y^{2} = z est le cercle de centre l’origine et de rayon \sqrt{z}. L’ensemble des antécédents de z par f est donc l’ensemble des couples de coordonnées des points de ce cercle, et est non-vide. Par conséquent f est surjective.

3)La fonction f est-elle bijective ? Justifiez votre réponse.

La fonction f n’est pas injective, donc elle n’est pas bijective.

\underline{Exercice 3}

1) Trouver les racines du polynôme z^{2} − 2iz − 4i\sqrt{3}.

- Commençons par chercher Δ ∈ ℂ un nombre complexe dont le carré soit le discriminant du trinôme considéré. \underline{Méthode} : soit Δ = x + iy ∈ ℂ tel que Δ^{2} = (−2i)^{2} − (−4i\sqrt{3}) = −4 + 16i\sqrt{3}. Alors on a

(1)  x^{2} − y^{2} = 4 et

2xy = 16\sqrt{3} (2) Par ailleurs, x^{2} + y^{2} = |Δ^{2}| = \sqrt{4^{2} + 16^{2} × 3} = 4\sqrt{1 + 4^{2} × 3} = 4\sqrt{49} = 28. Ainsi en y ajoutant l’égalité (1) on obtient 2x^{2} = 24, d’où l’on déduit que x = ±2\sqrt{3}. Si on prend par exemple x = 2\sqrt{3}, alors d’après (2) y = 4.

Posons maintenant Δ = 2\sqrt{3} + 4i et vérifions : Δ^{2} = (2\sqrt{3} + 4i)^{2} = −4 + 16i\sqrt{3}.

- Ainsi les racines du polynôme considéré sont z_{1} = \frac{1}{2}(2i + 2\sqrt{3} + 4i) = \sqrt{3} + 3i et z_{2} = \frac{1}{2}(2i − 2\sqrt{3} − 4i) = −\sqrt{3} − i.

2) Chercher une racine réelle du polynôme z^{3}+(2−2i)z^{2}−4i(\sqrt{3}+1)z−8i\sqrt{3}. Posons z_{0} = −2 et calculons :

z_{0}^{3}+(2−2i)z_{0}^{2}−4i(\sqrt{3}+1)z_{0}−8i\sqrt{3} = (−2)^{3}+(2−2i)(−2)^{2}−4i(\sqrt{3}+1)(−2)−8i\sqrt{3} = 0 Donc z_{0} = −2 ∈ ℝ est une racine du polynôme considéré.

3) Trouver toutes les racines du polynôme z^{3} +(2−2i)z^{2} −4i(\sqrt{3}+1)z−8i\sqrt{3} Remarquons que (z+2)(z^{2}−2iz−4i\sqrt{3}) = z^{3}+(2−2i)z^{2}−4i(\sqrt{3}+1)z−8i\sqrt{3}. Par

conséquent les racines de ce polynôme sont z_{0} = −2, z_{1} = \sqrt{3} + 3i et z_{2} = −\sqrt{3} − i.

4) Donner les modules et des arguments de ces racines.

|z_{0}| = 2 Comme −2 ∈ ℝ_{−}, Arg(z_{0}) = π[2π].

|z_{1}| = \sqrt{3 + 9} = 2\sqrt{3} z_{1} = 2\sqrt{3}(1/2 + i\sqrt{3}/2) = 2\sqrt{3}(cos π/3 + i sin π/3), donc Arg(z_{1}) = π/3[2π].

|z_{2}| = \sqrt{3 + 1} = 2 z_{2} = 2(−\sqrt{3}/2 − i/2) = 2(cos π + π/6 + i sin π + π/6), donc Arg(z_{2}) = 7π/6[2π].

\underline{Exercice 4}

Montrer par récurrence sur n ∈ ℕ que pour tout n ≥ 2 et pour tout x ∈ ℝ_{+},

(1 + x)^{n} ≥ 1 + \frac{n(n − 1)x^{2}}{2}

- si n = 2, alors pour tout x ∈ ℝ_{+}, (1+x)^{n} = 1+x^{2} +2x ≥ 1+x^{2} = 1+ \frac{n(n−1)x^{2}}{2} . Par conséquent, la proposition à démontrer est vraie si n = 2.

- supposons maintenant que la proposition soit vérifiée pour un certain entier n ≥ 2. Alors pour tout x ∈ ℝ_{+},

(1+x)^{n+1} = (1+x)^{n}(1+x) ≥ (1+\frac{n(n − 1)x^{2}}{2} )(1+x) = 1+\frac{(n + 1)nx^{2}}{2} +\frac{n(n − 1)x^{3} − 2x^{2} + 2x}{2}

Ainsi, pour montrer que la proposition est vérifiée au rang n + 1, il suffit de démontrer que n(n − 1)x^{3} − 2x^{2} + 2x est positif ou nul quel que soit x ∈ ℝ_{+}. x étant positif ou nul, n(n − 1)x^{3} − 2x^{2} + 2x = x(n(n − 1)x^{2} − 2x + 2) a le même signe que n(n − 1)x^{2} − 2x + 2. Le discriminant de ce trinôme vaut 4 − 8n(n − 1) < 0, donc ce trinôme est de signe constant, en l’occurence ici positif. CQFD.