RÉVISIONS

Integration

Exercice 1. Soit f : [a, b] ⟶ ℝ continue et non identiquement nulle telle que pour tout k ∈ {0, …, n − 1},

∫_{a}^{b} t^{k}f(t)dt = 0

Démontrer que f change au moins n fois de signe sur ]a, b[.

Exercice 2. (Inégalité de Jensen) Soit f : [a, b] ⟶ ℝ continue et g : ℝ ⟶ ℝ continue convexe. Démontrer que

g(\frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} f(t)dt) ≤ \frac{1}{b − a} ∫_{a}^{b} g ∘ f(t)dt

Exercice 3. Calculer

∫_{0}^{π} \frac{t sin t}{1 + cos^{2} t}dt

Exercice 4. (Intégrales de Wallis) On note I_{n} = ∫_{0}^{π/2} cos^{n} tdt et J_{n} = ∫_{0}^{π/2} sin^{n} tdt.

1) Comparer I_{n} et J_{n}.

2) En coupant [0, π/2] en [0, α] et [α, π/2] (avec α convenablement choisi), démontrer que I_{n} ⟶ 0 quand n → +∞.

3) Donner une relation de récurrence entre I_{n} et I_{n+2}. En déduire I_{2k} et I_{2k+1} en fonction de k.

4) Montrer que pour tout n > 0, nI_{n}I_{n−1} = \frac{π}{2} .

5) Montrer que I_{n} ∼ I_{n−1}. En déduire un équivalent simple de I_{n} quand n → +∞.

Exercice 5. (Intégrales de Bertrand) Calculer suivant les valeurs de k ∈ ℤ l’intégrale

∫_{a}^{b} x^{k} ln xdx (0 < a < b)

En déduire, quand elles existent, la valeur des limites suivantes

lim_{x→0} ∫_{x}^{1} x^{k} ln xdx  et  lim_{x→+∞} ∫_{1}^{x} x^{k} ln xdx

Orthogonalité

Exercice 6. On pose E = C^{1}([0, 1], ℝ) l’espace vectoriel des fonctions continument dérivables de [01] dans ℝ, muni d’une application ϕ : E × E → ℝ définie par

ϕ(f, g) = ∫_{0}^{1} f(t)g(t) + f′(t)g′(t)dt

1) Démontrer que ϕ défini un produit scalaire.

2) Posons V = {f ∈ E, f(0) = f(1) = 0} et W = {f ∈ E, f′ = f}. Montrer que V et W sont deux espaces vectoriels orthogonaux.

Exercice 7. Soit (E, <, >) un espace euclidien. Existe-t-il 3 vecteurs unitaires e_{1}, e_{2}, e_{3} telles que l’angle formé par eux deux à deux soit toujours strictement supérieur à 2π/3 ?

Exercice 8. Soit E un espace vectoriel (éventuellement de dimension infinie) muni d’un produit scalaire φ. Soit u_{1}, …, u_{n}) une famille libre de vecteurs orthonormés de de E. On pose F = vect(u_{1}, …, u_{n}).

1) Démontrer que F ⊕ F^{⊥} = E et que F^{⊥⊥} = F.

2) Démontrer que pour tout x ∈ E,

∑_{i=1}^{n} φ(x, u_{i})^{2} ≤∥ x ∥^{2}

Exercice 9. Soit (E, <, >) un espace euclidien de dimension 4 muni d’une base orthonormée B = (e_{1}, …, e_{4}). On pose

F = {xe_{1} + ye_{2} + ze_{3} + te_{4} ∈ E, x + y + z + t = 0 et x + 2y + 3z + 4t = 0}

1) Trouver une base orthonormée de F.

2) Donner la matrice dans B de la projection orthogonale sur F.