COHOMOLOGIE DE QUILLEN POUR LES COMODULES SUR UN ALGÉBROÏDE DE HOPF

DAMIEN CALAQUE

Résumé. Il s’agit des notes d’un exposé donné dans le cadre d’un séminaire sur les espaces de modules de spectres en anneau, qui s’est déroulé du 22 au 26 janvier 2006 au CIRM (Luminy). Dans cet exposé, il s’agissait de montrer comment définir la cohomologie d’André-Quillen associée à une opérade dans le cadre d’une catégorie de E_{∗}E-comodules. Pour cela, on développe la théorie d’homotopie des comodules sur un algébroïde de Hopf.

Les notes des autres exposées du séminaire sont disponibles à l’adresse url suivante :

      http://www.cirm.univ-mrs.fr/videos/2007/programmes/conf02b Fresse.html

Table des matières

1. Notations et rappels 1 2. Structure de modèle sur sC_{Γ} 2 2.1. Une structure de modèle provisoire sur sC_{Γ} 2 2.2. La bonne structure de modèle sur sC_{Γ} 2 2.3. L’exemple principal 3 3. Algèbres simpliciales sur une opérade simpliciale T en comodules 3 4. Cohomologie d’André-Quillen pour les T -algèbres en comodules 3 4.1. Dérivations, différentielles, et complexe cotangent 3 4.2. Définition : cohomologie relative 4 4.3. Interprétation : application aux comodule étendus 4 Références 4

1. Notations et rappels

(R, Γ) est un algébroïde de Hopf commutatif : on entend par là un cogroupoïde dans les anneaux commutatifs. On note Δ : Γ → Γ⊗_{R} Γ le coproduit, ϵ : Γ → R la counité, γ : Γ → Γ l’antipode, et s : R → Γ (resp. t : R → Γ) l’application source (resp. cible).

L’antipode nous permet d’associer à tout (Γ-)comodule à gauche M un comodule à droite Γ_{γ} (et réciproquement). La multiplication commutative de Γ nous permet d’avoir une structure de comodule à gauche sur tout produit R-tensoriel M_{1} ⊗_{R} M_{2} de comodules à gauche. Ainsi la catégorie C_{Γ} des comodules à gauche devient une catégorie monoïdale symétrique.

On suppose dans la suite que Γ est plat comme R-module à droite. Cela nous assure (cf. exposé 4) que C_{Γ} est une catégorie abélienne complète et cocomplète. En vertu du résultat de dualité démontré dans l’exposé 4 (voir également [2, Lemme 3.3]) nous appellerons dualisables les comodules qui sont projectifs et finiment engendrés comme A-modules. Etant donné un comodule dualisale M, on note DM := Hom_{C_{Γ}}(M, R)_{γ} le comodule dual.

Enfin, on note \overline{Γ} ∈ C_{Γ} le R-module ker ϵ avec Γ-coaction x ↦ Δ(x) − x ⊗ 1.

2. Structure de modèle sur sC_{Γ}

2.1. Une structure de modèle provisoire sur sC_{Γ}. On dira qu’un morphisme f : X → Y dans sC_{Γ} est une équivalence faible (resp. fibration) provisoire si pour tout comodule dualizable M dans C_{Γ},

f_{∗} : map_{sC_{Γ}}(M, X) → map_{sC_{Γ}}(M, Y)

est une équivalence faible (resp. fibration) d’ensembles simpliciaux. Comme d’habitude, les cofibrations provisoires sont les morphismes qui ont la propriété de relèvement à gauche p/r aux fibrations triviales provisoires.

Lemme 2.1. Tout objet de sC_{Γ} est provisoirement fibrant.

Démonstration. Quels que soient M un comodule dualisable et X ∈ sC_{Γ} on a un isomorphisme map_{sC_{Γ}}(M, X)_{m} ≅ Hom_{C_{Γ}}(M, X_{m}). En particulier map_{sC_{Γ}}(M, X) est un groupe abélien simplicial, et est donc fibrant. Par conséquent X est provisoirement fibrant. □

A partir de maintenant on suppose que Γ est engendrée par les comodules dualisables (en particulier cela implique que tout objet de C_{Γ} est un quotient d’une somme directe de comodules dualisables). Alors :

Théorème 2.2. Munie des equivalences faibles, fibrations et cofibrations provisoires, sC_{Γ} devient une catégorie de modèle simpliciale.

Démonstration. Parallèle à celle présentée dans [5, §II.4] : on utilise le fait que tout objet est fibrant. □

Remarque 2.3. En réalité on peut démontrer que cette structure de modèle existe même sans l’hypothèse d’être engendré par les comodules dualisables. La démonstration suit encore [5, §II.4], mais avec la condition (∗∗) de la page 4.2.

Par ailleurs (une fois de plus en suivant [5, §II.4]), on peut caractériser les cofibrations : ce sont les retracts des morphismes libres. Un morphisme f : X → Y est libre si (chaque composante homogène de) son normalisé est une inclusion de facteurs directs dont le conoyau est (isomorphe à) une somme directe de comodules dualisables.

Lemme 2.4. Toute fibration provisoire est surjective terme à terme.

Démonstration. Soit p : X → Y une fibration provisoire et soit y ∈ Y_{n}. Il existe un comodule dualisable M et une application f : M → Y_{n} dont l’image contient y : y = f(t). Comme p est une fibration, alors il existe g : P → X_{n} tel que pg = f. Posons alors x = g(t). Ainsi p(x) = y, et p est surjective. □

2.2. La bonne structure de modèle sur sC_{Γ}. On suppose dans la suite que Γ est bon ; cela signifie qu’il est plat comme R-module à droite, que les comodules dualisables engendrent C_{Γ}, et que pour tout X ∈ C_{Γ} provisoirement trivial \overline{Γ} ⊗ X l’est également.

Dans ce cas on peut démontrer (on peut consulter [4, proposition 3.3.1], ou [2, remark 3.6] pour le cas Adams) que toute équivalence faible provisoire f : X → Y induit un isomorphisme π_{∗}f : π_{∗}X → π_{∗}Y d’objets gradués dans C_{Γ}. La réciproque n’étant bien évidemment pas vraie, on veut construire une localisation de la structure de modèle provisoire dans laquelle un morphisme f : X → Y dans sC_{Γ} soit

– une équivalence faible si f induit un isomorphisme π_{∗}f : π_{∗}X → π_{∗}Y,

– une cofibration si c’est une cofibration provisoire. On renvoie à [4] et [2, proposition 3.11] pour la construction.

Remarque 2.5. On peut remplacer sC_{Γ} par la catégorie Ch(Γ) des complexes non bornés de Γ-comodules (c’est le point de vue adopté dans [4]), qui est une Ch(ℤ)-catégorie modèle.

2.3. L’exemple principal. On a vu dans l’exposé 4 que si E est un spectre en anneaux commutatif à homotopie près et topologiquement plat, alors (π_{∗}E, E_{∗}E) est un algébroïde de Hopf plat. Par ailleurs il a été démontré (voir [1, 6]) que si E_{∗} est une théorie d’homologie Landweber exacte alors il est d’Adams. Un algébroïde de Hopf Γ est d’Adams si il est plat (à droite), et si Γ ≅ colimΓ_{α} comme comodule à gauche pour des comodules Γ_{α} dualisables.

Enfin, on sait (voir [4, proposition 2.3.3]) que tout algébroïde d’Adams est bon.

3. Algèbres simpliciales sur une opérade simpliciale T en comodules

Soit T une opérade simpliciale dans C_{Γ}.

On note sC_{Γ}^{T} la catégorie des T -algèbres dans sC_{Γ}. Etant donné que sC_{Γ} est cofibrament engendrée, on peut (j’omets ici volontairement les détails techniques, que je ne maitrise pas) transférer la structure de modèle le long de la paire de foncteur adjoints F_{T} : sC_{Γ} ⇌ sC_{Γ}^{T} : U_{T}.

Ainsi on obtient une structure de modèle simpliciale sur sC_{Γ}^{T} dans laquelle un morphisme f : A → B est une équivalence faible (resp. une fibration) si U_{T} (f) en est une dans sC_{Γ}.

Etant donnée une T -algèbre A dans sC_{Γ} on peut bien évidemment faire de même pour la catégorie (sC_{Γ})_{A}^{T} des A-modules dans sC_{Γ}. Dans ce cas le transfert se fait le long de l’adjonction : F_{A} : sC_{Γ} ⇌ (sC_{Γ})_{A}^{T} : U_{A}. On obtient donc une structure de modèle simpliciale pour laquelle un morphisme f : M → N est une équivalence faible (resp. une fibration) si U_{A}(f) en est une dans sC_{Γ}.

4. Cohomologie d’André-Quillen pour les T -algèbres en comodules

La cohomologie d’André-Quillen pour les T -algèbres dans sC_{Γ} se définit exactement de la même façon que dans l’exposé précédent. La seule variation notable est qu’ici tous les objets ne sont pas fibrants dans sC_{Γ} ... on va donc devoir “résoudre à gauche ET à droite”.

4.1. Dérivations, différentielles, et complexe cotangent. Soit T une opérade dans C_{Γ}. Soit A → X un morphisme dans C_{Γ}^{T}. Comme dans l’exposé précédent on peut définir le Rmodule des T -dérivations en Γ-comodules Der_{A}^{Γ}(X, M). On remarque ensuite que le foncteur Der_{A}^{Γ}(X, −) est représentable, et on note Ω_{T}^{Γ} (X/A) l’objet qui le représente dans (C_{Γ})_{X}^{T}.

Lemme 4.1. Le X-module sur T en R-modules Ω_{T} (X/A) est naturellement muni d’une structure de Γ-comodule, et avec cette structure Ω_{T} (X/A) ≅ Ω_{T}^{Γ} (X/A).

Démonstration. Par construction, et pour tout R-module N, on a un isomorphisme Der_{A}(X, N) ≅ Der_{A}^{Γ}(X, Γ ⊗_{R} N) de R-modules. On en déduit un isomorphisme naturel

Hom_{(R-mod)_{X}^{T}} (Ω_{T} (X/A), N) ≅ Hom_{(C_{Γ})_{X}^{T}} (Ω_{T}^{Γ} (X/A), Γ ⊗_{R} N)
≅ Hom_{(R-mod)_{X}^{T}} (Ω_{T}^{Γ} (X/A), N) .

Le résultat suit. □

On suppose désormais que T est simpliciale et que A → X est un morphisme dans sC_{Γ}^{T}. Alors pour tout n ≥ 0 on a une opérade T_{n} dans C_{Γ} et un morphisme A_{n} → X_{n} dans C_{Γ}^{T_{n}}. On peut ainsi construire Ω_{T}^{Γ} (X/A) ∈ (sC_{Γ})_{X}^{T} degré par degré : (Ω_{T}^{Γ} (X/A))_{n} := Ω_{T_{n}}^{Γ}(X_{n}/A_{n}).

Etant donné Ã → X̃ un modèle cofibrant pour A → X, on appelle complexe cotangent associé à A → X le X-module sur T en Γ-comodules

𝕃Ω_{T}^{Γ} (X/A) := X ⊗X̃ Ω_{T}^{Γ} (X̃/Ã) .

4.2. Définition : cohomologie relative. Dans ce § T est une opérade simpliciale dans C_{Γ}. Soit A → X un morphisme dans sC_{Γ}^{T}. On note B = π_{0}(X) et T_{−1} = π_{0}(T). Alors B est une T_{−1}-algèbre dans C_{Γ}, que l’on s’autorise à regarder comme un objet constant dans sC_{Γ}^{T} (i.e. que B est une T_{n}-algèbre pour tout n ≥ 0). On se donne enfin M ∈ (C_{Γ})_{B}^{T_{−1}}, que l’on s’autorise à voir comme un object constant dans (sC_{Γ})_{X}^{T} (autrement dit M admet une T_{n}-action de X_{n} pour tout n ≥ 0).

On regarde désormais A → X comme un objet de la catégorie (sC_{Γ}^{T}_{/B})^{I} des I-diagrammes en T -algèbres B-augmentées dans sC_{Γ}, où I = {0 → 1} est la catégorie avec deux objets et un morphisme non trivial (la structure de modèle est la structure terme à terme).

On définit alors la cohomologie (relative) d’André-Quillen comme suit :

D_{Γ,T}^{q} (X/A, M) := Ho_{(sC_{Γ}^{T}_{/B})^{I}} (A → X, B → B ⋉ M(q)) ,

où le morphisme B → B ⋉ M(q) est la section nulle et M(q) est tel que son normalisé est donné par M concentré en degré q.

4.3. Interprétation : application aux comodule étendus. On reprend les notations du § précédent. Commençons par trouver un remplacement fibrant de B → B ⋉ M(q). dans un premier temps on choisit un remplacement fibrant M(q)_{f} de M(q) dans (sC_{Γ})_{B}^{T_{−1}}. Ensuite on a :

Lemme 4.2. Dans (sC_{Γ}^{T}_{/B})^{I}, on a un remplacement fibrant de B → B ⋉ M(q) :

[figure: B; ∼; B; B ⋉ M(q); ∼; B ⋉ M(q)_{f}]

Démonstration. M(q)_{f} est fibrant dans (sC_{Γ})_{B}^{T_{−1}}, donc il est fibrant dans sC_{Γ}. On en déduit que la section nulle B → B ⋉ M(q)_{f} est fibrant dans (sC_{Γ})^{I}, et donc dans (sC_{Γ}^{T}_{/B})^{I}. □

On choisit maintenant un modèle cofibrant Ã → X̃ pour A → X. Alors

D_{Γ,T}^{q} (X/A, M) ≅ π_{0}map_{(sC_{Γ})_{X}^{T}} (𝕃Ω_{T}^{Γ} (X/A), M(q)_{f}) .

On en déduit aisément le résultat suivant :

Proposition 4.3. Si M = Γ ⊗_{R} N est un comodule étendu, alors il y a un isomorphisme naturel D_{Γ,T}^{∗} (X/A, M) ≅ D_{T}^{∗} (X/A, N).

Démonstration. C’est une conséquence directe du fait que (Γ ⊗_{R} M)(q) ≅ Γ ⊗_{R} M(q) est automatiquement fibrant, et de l’isomorphisme Ω_{T}^{Γ} (X̃/Ã) ≅ Ω_{T} (X̃/Ã). □

Références

[1] J. Adams, Stable homotopy and generalized cohomology, University of Chicago Press, Chicago, 1974.

[2] P. Goerss et M. Hopkins, André-Quillen (Co-)homology for simplicial algebras over simplicial operads, Contemp. Math. 256 (2000), 41-85.

[3] P. Goerss et M. Hopkins, Moduli problems for structured ring spectra, preprint, 2005.

[4] M. Hovey, Homotopy theory of comodules over a Hopf algebroid, Contemp. Math. 346 (2004), 261-304.

[5] D. Quillen, Homotopical algebra, Lecture Notes in Math. 43, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1967.

[6] C. Rezk, Notes on the Hopkins-Miller theorem, Contemp. Math. 220 (1998), 313-366.