TRANCHES ET TUBES

Exposé introductif numéro 2^{1/2} du Groupe de Travail “Théorie de Lie et géométrie symplectique”. Les notes des autres exposés sont disponibles à l’adresse url

       suivante : http://math.univ-lyon1.fr/~iohara/gdt-Lie.html

Table des matières

1. Le théorème de linéarisation de Bochner 1 2. Tranches (ou “slices” ) 2 3. Tubes 3 Références 4

1. Le théorème de linéarisation de Bochner

Soit M une variété différentiable lisse et soit K un groupe topologique compact agissant sur M par des C^{k}-difféomorphismes. Notons Φ : K × M ⟶ M l’action ; on écrit souvent k · x := Φ(k, x) pour k ∈ K et x ∈ M.

Théorème 1.1 (Thm. de linéarisation de Bochner). Soit x_{0} ∈ M un point fixe de l’action (i.e. k · x_{0} = x_{0} quel que soit k ∈ K). Alors il existe

– un voisinage ouvert K-invariant U de x_{0} dans M ;

– un voisinage ouvert V de 0 dans T_{x_{0}}M ;

– un difféomorphisme K-équivariant χ : U → V tel que T_{x_{0}}χ : T_{x_{0}}M → T_{x_{0}}M est l’identité.

Notation 1.2. Posons, pour tout k ∈ K, Φ_{k} : M → M; x ↦ k · x. Quel que soit y ∈ T_{x_{0}}M on note k · y := (T_{x_{0}}Φ_{k})(y) ∈ T_{k·x_{0}} = T_{x_{0}}M (autrement dit, on note · l’action de K sur T_{x_{0}}M par transformations linéaires).

Démonstration du Théorème. On commence par démontrer le lemme suivant, bien utile :

Lemme 1.3. Tout voisinage ouvert U′ de x_{0} dans M contient un voisinage ouvert Kinvariant U de x_{0} dans M.

Démonstration du lemme. Soit U′ un voisinage ouvert de x_{0} dans M. Φ étant une application continue et x_{0} un point fixe de l’action, quel que soit k ∈ K il existe un voisinage ouvert W_{k} de k dans K et un voisinage ouvert U_{k} de x_{0} dans M tel que Φ(W_{k} × U_{k}) ⊂ U′. K étant compact il existe un sous-ensemble fini F ⊂ K tel que k = ∪_{k∈F} W_{k}; et ainsi Φ(K×Ũ) ⊂ U′ pour Ũ := ∩_{k∈F} U_{k} (qui est ouvert car l’intersection est finie). Par conséquent, U := Φ(K×Ũ) = ∪_{k∈K}(k·Ũ) est un voisinage ouvert K-invariant de x_{0}, contenu dans U′. □

Considérons une application χ̃ de classe C^{k}, d’un voisinage ouvert Ũ de x_{0} dans M vers T_{x_{0}}M, telle que χ̃(x_{0}) = 0 and T_{x_{0}} χ̃ = id. D’après le lemme précédent on peut supposer sans perte de généralité que Ũ est K-invariant.

On applique maintenant le procédé très utile de moyennisation à χ̃ pour “le rendre équivariant”. Plus précisément, on définit pour tout x ∈ Ũ

χ(x) := ∫_{K} \underbrace{k · (χ̃(k^{−1} · x))}_{=:χ_{k}(x)} dk .

Remarque 1.4. Ici on intègre par rapport à la mesure de Haar. La mesure de Haar est l’unique mesure de probabilité μ (i.e. μ(K) = 1) définie sur les Boréliens de K qui est K-invariante (i.e. pour tout Borélien B et tout k ∈ K, μ(k · B) = μ(B)). Exemples :

– si K est un groupe fini, alors la mesure de Haar est simplement la mesure de comptage (normalisée par \frac{1}{|K|}) ;

– si K = S^{1} := ℝ/ℤ, alors la mesure de Haar est la mesure de longueur (i.e. la mesure induite par la mesure standard sur ℝ).

Par définition, quels que soient k ∈ K et x ∈ Ũ, k·(χ(k^{−1}·x)) = χ(x). Autrement dit, χ est K-équivariant. Rappelons que χ_{k} = T_{x_{0}}Φ_{k} ∘χ̃∘Φ_{k}^{−1} ; ainsi T_{x_{0}}χ_{k} = T_{x_{0}}Φ_{k} ∘T_{x_{0}} χ̃∘T_{x_{0}}Φ_{k}^{−1} = id. Donc T_{x_{0}}χ = id (car χ = ∫_{K} χ_{k}dk).

D’après le Théorème d’Inversion Locale on peut, quitte à restreindre Ũ, supposer que χ est un difféomorphisme. On peut également supposer, quitte à restreindre de nouveau, que l’ouvert est K-invariant. □

Remarque 1.5. Considérons un produit scalaire (·, ·) arbitraire sur T_{x_{0}}M. Alors

⟨u, v⟩ := ∫_{K}(k · u, k · v)dk

définit un produit scalaire K-invariant sur T_{x_{0}}M. Ainsi K′ := {T_{x_{0}}Φ_{k}|k ∈ K} est un sousgroupe fermé (car compact) du groupe orthogonal de l’espace vectoriel Euclidien (T_{x_{0}}M, ⟨·, ·⟩). Si B ⊂ V est une boule ouverte, alors B est K′-invariante, donc K-invariante, et χ^{−1}(B) est un ouvert K-invariant contenant x_{0}. Ainsi, dans le Théorème de linéarisation de Bochner, on peut exiger que V soit une boule ouverte dans T_{x_{0}}M.

2. Tranches (ou “slices” )

Soit G un groupe de Lie compact agissant de manière C^{k} sur une variété lisse M. On garde les mêmes notations que dans le paragraphe précédent (avec G à la place de K).

Définition 2.1. Une tranche S en x_{0} ∈ M est une sous-variété C^{k} de M contenant x_{0} et telle que

(1) pour tout x ∈ M, T_{x}M = α_{x}(𝔤) + T_{x}S, où α_{x} = T_{e}Φ(·, x) : 𝔤 := T_{e}G → T_{x}M, et

T_{x_{0}}M = α_{x_{0}}(𝔤) ⊕ T_{x_{0}}S;

(2) S est G_{x_{0}}-invariant ;

(3) si x ∈ S et g ∈ G sont tels que g · x ∈ S, alors g ∈ G_{x_{0}}.

Le théorème suivant donne une condition suffisante pur l’existence d’une tranche en un point donné.

Théorème 2.2 (Thm. de la tranche). Si l’action est propre en x_{0}, alors il existe une tranche en x_{0}.

On rappelle que l’action est dite propre en x_{0} si pour toute suite (x_{n})_{n≥1} qui converge vers x_{0} dans M et toute suite (g_{n})_{n≥1} dans G telle que g_{n} · x_{n} → x_{0}, il existe une sous-suite (g_{k(n)})_{n≥1} qui converge.

Démonstration du Théorème. Commençons par remarquer que le stabilisateur K := G_{x_{0}} de x_{0} dans G est compact (car l’action est propre). D’après le Théorème de linéarisation de Bochner (voir la discussion au paragraphe précédent), il existe un C^{k}-difféomorphisme χ : U → B_{ϵ} K-équivariant entre un voisinage ouvert K-invariant U de x_{0} et une boule ouverte B_{ϵ} centrée en 0 dans T_{x_{0}}M, tel que T_{x_{0}}χ = id et χ(x_{0}) = 0.

Ensuite, quels que soient k ∈ K et g ∈ G, (kgk^{−1}) · x_{0} = k · (g · x_{0}). Ainsi en différentiant cette dernière égalité p/r à g, en g = e et dans la direction de u ∈ 𝔤 = T_{e}G, on obtient que

α_{x_{0}}(Ad_{k}(u)) = k · (α_{x_{0}}(u)) .

En particulier k · (α_{x_{0}}(𝔤)) ⊂ α_{x_{0}}(𝔤) pour tout k ∈ K. Ainsi, son complément orthogonal α_{x_{0}}(𝔤)^{⊥} dans T_{x_{0}}M p/r à un produit scalaire K-invariant donné est également stable par K. De cette manière S_{ϵ} := χ^{−1}(α_{x_{0}}(𝔤)^{⊥} ∩ B_{ϵ}) est K-invariant, et vérifie donc (2).

La seconde partie de (1) est également vérifiée : comme T_{x_{0}}S_{ϵ} = α_{x_{0}}^{⊥}, on a bien que T_{x_{0}}M = α_{x_{0}}(𝔤) ⊕ T_{x_{0}}S_{ϵ}. De plus, l’ensemble {x ∈ S_{ϵ}|T_{x}M = α_{x}(𝔤) + T_{x}S_{ϵ}} est ouvert dans S_{ϵ}; de telle sorte que, quitte à choisir ϵ > 0 suffisament petit, on peut supposer que (1) est vérifiée. Reste à démontrer (3).

Notons 𝔨 := ker(α_{x_{0}}) l’algèbre de Lie du stabilisateur K = G_{x_{0}} de x_{0} dans G.

Lemme 2.3. Soit S une sous-variété de M contenant x_{0} et telle que T_{x_{0}}M = α_{x_{0}}(𝔤)⊕T_{x_{0}}S, et soit C une sous-variété de G contenant e et telle que 𝔤 = 𝔨 ⊕ T_{e}C. Alors il existe

– S_{0} un voisinage ouvert de x_{0} dans S;

– C_{0} un voisinage ouvert de e dans C;

– M_{0} un voisinage ouvert de x_{0} dans M ; tels que l’action P hi se restreint en un difféomorphisme C_{0} × S_{0} → M_{0}.

Démonstration du lemme. Considérons l’application tangente

T_{(e,x_{0})}(Φ_{|C×S}) : T_{e}C × T_{x_{0}}S ⟶ T_{x_{0}}M ;

elle est donnée par (u, v) ⟼ α_{x_{0}}(u) + v.

Cette application est injective. En effet, si α_{x_{0}}(u) + v = 0 alors α_{x_{0}}(u) = 0 = v (car T_{x_{0}}M = α_{x_{0}}(𝔤) ⊕ T_{x_{0}}S). De plus, étant donné que u ∈ T_{e}C et que α_{x_{0}}(u) = 0, alors u = 0 (car 𝔤 = 𝔨 ⊕ T_{e}C).

Finalement, la dimension de T_{e}C × T_{x_{0}}S est égale à

dim (T_{e}C)+dim (T_{x_{0}}S) = ( dim(𝔤)−dim(𝔨))+( dim (T_{x_{0}}M)−dim (α_{x_{0}}(𝔤))) = dim (T_{x_{0}}M) .

T_{(e,x_{0})}(Φ_{|C×S}) est donc bijective et le lemme suit par le théorème d’inversion locale. □

Supposons maintenant par l’absurde que (3) n’est vérifiée pour aucun ϵ > 0. Alors pour tout n ≥ 1, il existe x_{n} ∈ S_{1/n} et g_{n} ∈ G tels que g_{n} · x_{n} ∈ S_{1/n} et g_{n} ∉ K. En particulier x_{n} → x_{0}, et alors par propreté on peut supposer (quitte à prendre une sous-suite) que (g_{n})_{n≥1} converge vers un élément g (qui appartient à K). Quitte à remplacer g_{n} par g_{n}g^{−1} on peut également supposer que g_{n} → e (toujours avec g_{n} ∉ K).

Considérons maintenant une sous-variété C de G contenant e et telle que 𝔤 = 𝔨 ⊕ T_{e}C. D’après le théorème d’inversion locale, il existe C_{0}, resp. V et W, un voisinage ouvert de e dans C, resp. K et G, tels que la multiplication dans G se restreigne en un difféomorphisme C_{0} × V → W. Pour n assez grand on peut ainsi écrire g_{n} = c_{n}k_{n} avec c_{n} ∈ C et k_{n} ∈ K. Comme g_{n} ∉ K, en particulier c_{n} ≠ e.

Finalement, on a d’une part c_{n} · x_{n} ∈ S_{1/n} (par invariance) et c_{n} · (k_{n} · x_{n}) = g_{n} · x_{n} ∈ S_{1/n} (par hypothèse). Ainsi d’après le lemme précédent on a c_{n} = e pour n assez grand. CONTRADICTION. □

Exemple 2.4. Prenons l’exemple de l’action de S^{1} := ℝ/ℤ par rotations sur ℂ = ℝ^{2} : k · z := e^{2πik}z. Toute boule ouverte centrée en 0 est une tranche en 0. Tout segment ouvert d’un rayon est une tranche en chacun de ses points (en réalité, tout segment ouvert ne contenant pas l’origine et n’étant pas tangent à un cercle centré en 0 est une tranche en chacun de ses points).

3. Tubes

On conserve les notations du paragraphe précédent.

Définition 3.1. Un tube autours d’une orbite G·x_{0} est un voisinage ouvert G-invariant U de cette orbite muni d’un difféomorphisme G ×_{K} A ⟶ U, où A est une variété sur laquelle K agit.

Théorème 3.2 (Thm. du tube). Si l’action est propre en x_{0}, alors il existe un tube autours de G · x_{0}, avec A un ouvert K-invariant de T_{x_{0}}M/α_{x_{0}}(𝔤).

Démonstration. On sait qu’il existe une tranche S en x_{0}.

Commençons par montrer que pour tout g ∈ G et tout x ∈ S,

T_{(g,x)}(Φ_{|G×S}) : T_{g}G × T_{x}S ⟶ T_{x}M

est surjective. D’une part nous savons que c’est vrai pour g = e (car T_{x}M = α_{x}(𝔤) + T_{x}S pour tout x ∈ S). D’autre part on en déduit que c’est vrai pour tout g en différentiant l’égalité Φ(gh, x) = g · Φ(h, x) en (h, x) = (e, x), obtenant ainsi

T_{(g,x)}(Φ_{|G×S}) = \underbrace{T_{x}Φ_{g}}_{biject.} ∘ T_{(e,x)}(Φ_{|G×S}) .

Ainsi U := G · S = Im(Φ_{|G×S}) est un voisinage ouvert G-invariant de G · x_{0}.

Ensuite, Φ_{|G×S} : G × S → U descend en une bijection différentiable φ : G ×_{K} S → U. En effet, quels que soient (g, x) et (h, y) deux couples dans G × S tels que g · x = h · y, (h^{−1}g) · x = y et donc k := h^{−1}g ∈ K (et réciproquement, ((gk^{−1}) · (k · x) = g · x).

Pour montrer que φ est un difféomorphisme, il suffit de montrer que T_{[g,x]}φ est bijective (ici [g, x] ∈ G ×_{K} S est la classe d’un couple (g, x) ∈ G × S). D’une part, si on définit π : G × S ↠ G ×_{K} S; (g, x) ↦ [g, x], alors

\underbrace{T_{(g,x)}(Φ_{|G×S})}_{surject.} = T_{[g,x]}φ ∘ T_{(g,x)}π;

donc T_{[g,x]}φ est une surjection. D’autre part, dim(G ×_{K} S) est égale à

dim (G/K) + dim (S) = dim (α_{x_{0}}(𝔤)) + dim (S) = dim (M);

donc T_{[g,x]}φ est bijective.

Pour conclure, on remarque que S est difféomorphe à un ouvert de α_{x_{0}}(𝔤)^{⊥} ≅ T_{x_{0}}M/α_{x_{0}}(𝔤), sur lequel l’action de K est linéaire. □

Références

[1] J.J. Duistermat et J.A.C. Kolk, Lie groups (Springer), chapître 2.

[2] J.P. Ortega et T. Ratiu, Momentum maps and Hamiltonian reduction (Birkhauser), chapître 2.