Titre/Title

Théorèmes de formalité pour les algébroides de Lie et quantification des r-matrices dynamiques
Formality theorems for Lie algebroids and quantization of dynamical r-matrices

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Résumé/Abstract

L'objectif de cette thèse s'articule autour de trois axes, tous reliés des problèmes de quantification. On se consacre tout d'abord à la formulation et la démonstration du(des) théorème(s) de formalité pour les cochaines (et les chaines) de Hochschild associées un algébroide de Lie. La démonstration de ce théorème repose essentiellement sur l'existence d'une connexion (au sens des algébroides) sans torsion. On s'attarde également sur les applications de ces résultats pour la quantification par déformation. On s'attache ensuite démontrer une version de ces résultats dans le cadre holomorphe. Les principales difficultés proviennent du fait qu'il n'existe pas nécessairement de connexion holomorphe. Dans cette situation, on voit que des applications la quantification par déformation sont toujours possibles, mais dans un sens plus faible que dans le cas lisse. On démontre enfin un théorème d'existence et de classification pour la quantification des r-matrices dynamiques, sous une hypothèse de réductivité. On utilise pour cela le résultat principal du premier axe, qui nous premet de construire un quasi-isomorphisme Linfty entre deux algèbres de Lie différentielles graduées appropriées.
The main goal of this PhD dissertation is to solve some quantization problems. We first begin with the statement and proof of formality for Hochschild (co)chains associated to a Le algebroid (the proof of this theorem is based on the existence of a torsion free Lie algebroid connection). On also give some applications of this result for deformation quantization. We then prove a version of the previous result in the holomorphic framework. The main difficulty comes from the fact that a holomorphic connection does not always exists. In this situation we see that applications to deformation quantization are still possible, but in a weaker sens. Finally, we prove an existence and classification theorem for dynamical r-matrices, under a reductivity hypothesis. To do so we use the main result of the first part, that allows us to construct an Linfty-quasi-isomorphism between suitable differential graded Lie algebras.


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