SUR LE CENTRE DE U_{q}(𝔫^{+})

PHILIPPE CALDERO

R^{}ÉSUM^{}É. Soient 𝔤 une algèbre de Lie simple et 𝔫^{+} une sous-algèbre nilpotente maximale de 𝔤. On définit comme dans [8] l’algèbre enveloppante quantifiée U_{q}(𝔤) et sa sousalgèbre U_{q}(𝔫^{+}). Nous donnons ici le centre de U_{q}(𝔫^{+}) et de son corps des fractions.

ABSTRACT. Let 𝔤 be a simple Lie algebra with maximal nilpotent subalgebra 𝔫^{+}. Let U_{q}(𝔤) and U_{q}(𝔫^{+}) be the quantized enveloping algebras as defined in [8]. We describe the centre of U_{q}(𝔫^{+}) and of its field of fractions.

0. INTRODUCTION

Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple. Notons P^{+} = ℕϖ_{1} + … ℕϖ_{n} l’ensemble des poids dominants, où les ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n = rang 𝔤, sont les poids fondamentaux. On désigne par Ǔ = ℂ(q) [τ(ϖ_{i})^{±1}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n] l’algèbre enveloppante quantifiée comme définie par A. Joseph et G. Letzter dans [9, 3.1]. C’est une extension de l’algèbre U = U_{q}(𝔤) = ℂ(q) [k_{i}^{±1} , x_{i} , y_{i} , 1 ≤ i ≤ n] définie comme dans [10]. Soit U^{+} = U_{q}(𝔫^{+}) = ℂ(q) [x_{i}, 1 ≤ i ≤ n]. Le but de ce travail est la description du centre de U^{+}. Comme U^{+} est isomorphe à V^{+} := ℂ(q) [k_{i}x_{i}, 1 ≤ i ≤ n], il revient au même d’étudier le centre de V^{+}, noté Z(V^{+}).

Nous montrons que Z(V^{+}) est une ℂ(q)-algèbre de polynômes puis nous donnons une méthode pour en calculer les générateurs. Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), on exprime ces derniers en termes de mineurs quantiques. Cette formulation est analogue à celle du cas classique donnée par J. Dixmier dans [4].

La démonstration de ces résultats s’organise de la façon suivante. On désigne par ad l’action adjointe de l’algèbre de Hopf U. Il résulte de [9, 4.7,4.8] que, si μ ∈ P^{+}, alors, ad U^{+}(τ(−4μ)) peut être muni d’une structure de U-module, simple de plus haut poids. Un vecteur de plus haut poids de ce module s’écrit sous la forme τ(−4μ)e_{s(μ)} où e_{s(μ)} ∈ V^{+}, s(μ) = μ − w_{0}(μ), w_{0} étant le plus grand élément du groupe de Weyl de 𝔤, cf. section 2.

On démontre alors, cf. Théorème 3.2, que Z(V^{+}) = ℂ(q) [e_{s(μ)}; μ ∈ H] où H = {μ ∈ P^{+} | w_{0}(μ) = −μ}. Comme H est un monoïde libre, cf. Lemme 2.3, on obtient que Z(V^{+}) est une algèbre de polynômes.

Puisque e_{s(μ)}e_{s(ν)} ∈ ℂ(q) e_{s(μ+ν)}, cf. Proposition 3.2, on peut déduire un système de générateurs (algébriquement indépendants) de la connaissance des e_{s(ϖ_{i})}. On donne en 3.3 une méthode itérative pour calculer ceux-ci.

Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1) on peut, grâce aux résultats de [3], écrire les e_{s(ϖ_{i})} comme des déterminants quantiques extraits d’une matrice à coefficients dans V^{+}, cf. section 4.

On trouvera en section 5 des résultats concernant le centre du corps des fractions de V^{+} et de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) := ℂ(q)[τ(ϖ_{i})^{±1}, x_{i}, 1 ≤ i ≤ n].

1. NOTATIONS

1.1. Soit A = [a_{ij}]_{1≤i,j≤n} la matrice de Cartan de l’algèbre de Lie simple de dimension finie 𝔤. Soient d_{i}, 1 ≤ i ≤ n, des entiers naturels premiers entre eux tels que [d_{i}a_{ij}] soit symétrique. On fixe une sous-algèbre de Cartan 𝔥 de 𝔤. On note P le réseau des poids de 𝔤, engendré par les poids fondamentaux ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n. On désigne par R le système de racines de 𝔥 dans 𝔤, par W le groupe de Weyl associé et par w_{0} ∈ W l’élément le plus long. On pose : α_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}ϖ_{i}, α_{ˇ j} = 2α_{j}/(α_{j}, α_{j}), (1 ≤ j ≤ n), ρ = ∑_{i=1}^{n} ϖ_{i}, Q = ∑_{i=1}^{n} ℤα_{i}, Q^{+} = ∑_{i=1}^{n} ℕα_{i}, P^{+} = ∑_{i=1}^{n} ℕϖ_{i}. On définit sur P × Q une forme bilinéaire par (ϖ_{i}, α_{j}) = δ_{ij}d_{i}. 1.2. Soit q une indéterminée. Pour k ∈ ℤ, d ∈ ℕ^{∗}, on pose :

[k]_{d} = \frac{q^{2dk} − q^{−2dk}}{q^{2d} − q^{−2d}}; [k]_{d}! = [k]_{d}[k − 1]_{d} … [1]_{d}; \left[{k \atop j}\right]_{d} = \frac{[k]_{d} … [k − j + 1]_{d}}{[j]_{d}!} ; q_{i} = q^{d_{i}}.

On désigne par Ǔ_{0} la ℂ(q)-algèbre du groupe P, notée multiplicativement. Soit τ : P → Ǔ_{0} le morphisme canonique tel que si λ, μ ∈ P, τ(λ + μ) = τ(λ)τ(μ). Il vient : Ǔ_{0} = ℂ(q) [τ(ϖ_{i})^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. On pose k_{i} = τ(α_{i}), 1 ≤ i ≤ n, et U_{0} = ℂ(q) [k_{i}^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. Soit Ǔ la ℂ(q)-algèbre engendrée par Ǔ_{0}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n, avec les relations

τ(λ)x_{j}τ(−λ) = q^{(λ,α_{j})}x_{j}, τ(λ)y_{j}τ(−λ) = q^{−(λ,α_{j})}y_{j}, x_{i}y_{j} − y_{j}x_{i} = δ_{ij} \frac{k_{i}^{2} − k_{i}^{−2}}{q_{i}^{2} − q_{i}^{−2}} ,

∑_{m=0}^{1−a_{ij}} (−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} \atop m}\right]_{d_{i}} x_{i}^{1−a_{ij}−m}x_{j}x_{i}^{m} = 0, ∑_{m=0}^{1−a_{ij}} (−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} \atop m}\right]_{d_{i}} y_{i}^{1−a_{ij}−m}y_{j}y_{i}^{m} = 0.

Alors Ǔ est une algèbre de Hopf où la comultiplication Δ, l’antipode S, l’augmentation ε sont donnés par :

Δx_{i} = x_{i} ⊗ k_{i}^{−1} + k_{i} ⊗ x_{i}, Δy_{i} = y_{i} ⊗ k_{i}^{−1} + k_{i} ⊗ y_{i}, Δτ(λ) = τ(λ) ⊗ τ(λ)
S(x_{i}) = −q_{i}^{−2}x_{i}, S(y_{i}) = −q_{i}^{2}y_{i}, S(τ(λ)) = τ(−λ)
ε(x_{i}) = ε(y_{i}) = 0, ε(τ(λ)) = 1.

Ǔ est un U-module à gauche par l’action adjointe :

∀E ∈ U, u ∈ Ǔ, adE(u) = ∑ E_{(1)}uS(E_{(2)}), où ΔE = ∑ E_{(1)} ⊗ E_{(2)}.

1.3. Soient U^{+}, U^{−}, V^{+}, V^{−} les sous-algèbres de U engendrées respectivement par x_{i}, y_{i}, k_{i}x_{i}, y_{i}k_{i}^{−1}, (1 ≤ i ≤ n). On sait, cf. [11], que l’on a les décompositions triangulaires : Ǔ = U^{−} ⊗Ǔ_{0} ⊗U^{+} = V^{−} ⊗Ǔ_{0} ⊗V^{+}. On pose U = U^{−} ⊗U_{0} ⊗U^{+} = ℂ(q)[k_{i}^{±1}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n], et on désigne par Z(U^{+}), resp. Z(V^{+}), le centre de U^{+}, resp.V^{+}. Il existe un isomorphisme d’algèbres U^{+} ≃ V^{+} tel que x_{i} ↦ k_{i}x_{i}. En particulier Z(U^{+}) ≃ Z(V^{+}).

1.4. On vérifie, cf. [9, 2.2,2.3], que Ǔ est munie d’une filtration adU-stable, à valeur dans (1/k)ℤ , k ∈ ℕ (k suffisamment grand), entièrement déterminée par : d^{o}x_{i} = d^{o}y_{i} = 1, et pour λ = ∑_{i} m_{i}α_{i}, d^{o} τ(λ) = − ∑ m_{i}. Soit grǓ le gradué associé. L’action adjointe confère à grǓ une structure de U-module. Si E ∈ Ǔ, grE sera noté Ē. Soit G^{+} = grV^{+}, G^{−} = grS(V^{−}) et pour λ ∈ P : G_{λ} = G^{−} ⊗ ℂ(q)τ(λ) ⊗ G^{+}, G_{λ}^{+} = ℂ(q)τ(λ) ⊗ G^{+}. La décomposition suivante est claire : grǓ = ⊕_{λ∈P} G_{λ}. 1.5. Soit λ ∈ P; λ définit un caractère de U_{0} vers ℂ(q) par ⟨λ, τ(λ)⟩ = q^{(λ,μ)}. Désignons par ℂ(q)v_{λ} le U_{0}-module de dimension 1 associé. Soit U_{q}(𝔟^{+}) = U_{0}U^{+}. On définit une structure de U_{q}(𝔟^{+})-module sur ℂ(q)v_{λ} en posant x_{i}v_{λ} = 0, (1 ≤ i ≤ n). Soit M(λ) = U ⊗_{U_{q}(𝔟^{+})} ℂ(q)v_{λ} le module de Verma de plus haut poids λ. Il possède un unique quotient simple noté L(λ). On a dim_{ℂ(q)}L(λ) < +∞ pour λ ∈ P^{+}. Si L(λ)^{∗} est le U-module dual de L(λ), il existe un isomorphisme de U-modules L(λ)^{∗} ≃ L(−w_{0}λ).

2. PRÉLIMINAIRES

Pour λ ∈ P, on pose : L_{λ}^{+} = {m ∈ G_{λ}^{+} | dim_{ℂ(q)}adU^{+}(m) < +∞}. Les résultats qui suivent sont contenus dans [9, 4.7,4.8]. 2.1. Pour λ ∈ P on peut définir une action de U sur G_{λ}^{+}, notée ad_{λ}, vérifiant :

(2.1.1) ad_{λ}y_{i}(\overline{τ(λ)}) = 0 , ad_{λ}k_{i}(\overline{τ(λ)}) = q^{1/4(λ,α_{i})}\overline{τ(λ)} (2.1.2) ad_{λ}x_{i}(\overline{τ(λ)}) = q^{1/4(λ,α_{i})}adx_{i}(\overline{τ(λ)}) et pour v^{+} ∈ G^{+}, u ∈ U et Δu = ∑ u_{(1)} ⊗ u_{(2)} (2.1.3) ad_{λ}u(\overline{τ(λ)}v^{+}) = ∑ ad_{λ}u_{(1)}(\overline{τ(λ)})adu_{(2)}(v^{+}) . Remarque. Par (2.1.2) et (2.1.3), on remarque que ad_{λ}u^{+}τ(λ) et adu^{+}τ(λ), u^{+} ∈ U^{+}, sont égaux à une constante multiplicative non nulle près. 2.2. Résumons les propriétés de L_{λ}^{+}. Théorème 2.2. Pour λ ∈ P, L_{λ}^{+} est un sous-U-module de G_{λ}^{+} pour l’action ad_{λ}.

(i) Soit λ ∉ −4P^{+}, alors L_{λ}^{+} = 0. On suppose λ ∈ −4P^{+}.

(ii) Il existe un isomorphisme de U-modules : I_{λ} : L_{λ}^{+} → L(−1/4 λ)^{∗}.

(iii) \overline{τ(λ)} ∈ L_{λ}^{+} et I_{λ}(\overline{τ(λ)}) est un vecteur de plus bas poids de L(−1/4 λ)^{∗}.
(iv) L_{λ}^{+} = (adU^{+}) \overline{τ(λ)}.

(v) Il existe un isomorphisme de U^{+}-modules : L_{λ}^{+} ≃ adU^{+}(τ(λ)), L_{λ}^{+} étant muni de sa structure de adU^{+}-module. Preuve. La première assertion, (i) et (ii) se déduisent de [9, Corollaire 4.8]. De plus [9, Lemme 4.5] implique \overline{τ(λ)} ∈ L_{λ}^{+} et (∗) dim_{ℂ(q)}adU^{+} \overline{τ(λ)} = dim_{ℂ(q)}(adU^{+})τ(λ). (iii) découle de (2.1.2). Par (ii) on conclut L_{λ}^{+} = ad_{λ}U^{+} \overline{τ(λ)} et (iv) résulte de 2.1. (v) est conséquence de (iv) et (∗). ⋄ 2.3. Nous cherchons maintenant les modules simples L(η), η ∈ P^{+}, isomorphes à leurs duals. Nous sommes amenés à étudier le monoïde

H := {η ∈ P^{+} | w_{0}(η) = −η}

Lemme 2.3. Pour toute algèbre de Lie simple de dimension finie 𝔤, H possède une ℕ-base B. On a

(i) Cas B_{n} , C_{n} , E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2} : B = {ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n} i.e. H = P^{+};

(ii) Cas A_{n} : B = \{ϖ_{i} + ϖ_{n+1−i} , 1 ≤ i ≤ \frac{n+1}{2}\} si n pair, B = \{ϖ_{i} + ϖ_{n+1−i} , 1 ≤ i < \frac{n+1}{2} , ϖ_{\frac{n+1}{2}} \} si n impair;

(iii) Cas D_{n} : B = {ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n} si n pair, B = {ϖ_{i} , 1 ≤ i ≤ n − 2 , ϖ_{n−1} + ϖ_{n}} si n impair;

(iv) Cas E_{6} : B = {ϖ_{2} , ϖ_{4} , ϖ_{1} + ϖ_{6} , ϖ_{3} + ϖ_{5} }. Preuve. Les assertions se déduisent aisément de l’action de w_{0} sur les poids fondamentaux décrite dans [2, Planches I à IV]. ⋄ 2.4. Soit 1 ≤ j ≤ n. On cherche un monôme X_{j} de U^{+} tel que X_{j}v_{j} = v′_{j} où v_{j} et v′_{j} sont respectivement le plus bas poids et le plus haut poids du module L(ϖ_{j})^{∗}. Cet élément sera utile dans la section 3.

Soit ξ le ℂ-automorphisme de U défini par :

ξ(x_{i}) = y_{i}, ξ(y_{i}) = x_{i}, ξ(k_{i}) = k_{i}, 1 ≤ i ≤ n, ξ(q) = q^{−1}.

Grâce à ξ, il nous suffit de trouver un monôme Y_{j} de U^{−} tel que Y_{j}u_{j} = u′_{j} où u_{j} et u′_{j} sont respectivement les plus bas poids et plus haut poids du module L(ϖ_{j}). Par [10, Théorème 4.12], nous pouvons ramener ce problème à l’étude du module E(ϖ_{j}), E(λ) désignant le module simple de plus haut poids λ sur l’algèbre enveloppante de 𝔤.

Rappelons la définition des foncteurs d’induction de Joseph [7], ainsi que quelques notations. Pour tout α ∈ R on choisit un vecteur 0 ≠ x_{α} ∈ 𝔤_{α}. On désigne par 𝔟^{+} la sousalgèbre de Borel 𝔥 ⊕ (⊕_{α>0}ℂx_{α}), et pour tout i ∈ {1, …, n}, on pose 𝔭_{i} = 𝔟^{+} ⊕ ℂx_{−α_{i}}. Soit F un U(𝔟^{+})-module de dimension finie. On note D_{α_{i}}F le plus grand quotient de dimension finie du U(𝔭_{i})-module U(𝔭_{i}) ⊗_{U(𝔟^{+})} F . Le foncteur D_{α_{i}} est bien défini. Soit w_{0} = σ_{1} … σ_{m} une décomposition réduite de w_{0}. On pose : w_{j} = σ_{j+1} … σ_{m} , 0 ≤ j ≤ m−1 et on désigne par β(σ_{i}) la racine associée à σ_{i}. On définit alors le foncteur composé : D_{w_{j}} = D_{β(σ_{j+1})} D_{β(σ_{j+2})} … D_{β(σ_{m})}. Pour λ ∈ P , notons ℂ_{λ} le U(𝔟^{+})-module de dimension 1 de poids λ.

Le théorème suivant résume les résultats de [7, 2.13,3.4]. Théorème 2.4. Soit λ ∈ P^{+}.

(i) Pour 0 ≤ j ≤ m − 1, l’espace de plus bas poids de D_{w_{j}}ℂ_{λ} est engendré par un vecteur de poids w_{j}λ. Notons u_{w_{j}λ} un tel vecteur.

(ii) Soit α_{i} = β(σ_{j}). Alors (w_{j}λ , α_{ˇ i}) ≥ 0 et on a u_{w_{j−1}λ} = x_{−α_{i}}^{(w_{j}λ,α_{ˇ i})}u_{w_{j}λ} (à une constante multiplicative près).

(iii) Il existe un isomorphisme de U(𝔟^{+})-modules D_{w_{0}}ℂ_{λ} ≃ E(λ).

Ce théorème nous fournit un algorithme pour la recherche des X_{j}, à partir d’une décomposition de w_{0}. Cette dernière est donnée dans [5] pour chaque algèbre de Lie semisimple 𝔤. Nous donnons ci-dessous la décomposition de w_{0} ainsi que l’élément X_{j} qui en découle, ceci pour 𝔤 simple classique. L’algorithme s’applique aussi au cas où 𝔤 est exceptionnelle. Nous laissons au lecteur intéressé le soin du détail des calculs dans ce cas. Afin de simplifier les écritures, nous utiliserons le symbole “i” à la place de la réflexion associée à α_{i}. a) 𝔤 de type A_{n} : w_{0} = 1 2 … n 1 2 … n − 1 … 1 2 1. Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, soit a_{i,k} =

x_{k} x_{k−1} … x_{i}, alors

X_{j} = a_{1,n−j+1} … a_{j−1,n−1}a_{j,n}, 1 ≤ j ≤ n.

b) 𝔤 de type B_{n} : w_{0} = (1 2 … n n − 1 … 1)(2 … n n − 1 … 2) … (n − 1 n n − 1)(n). Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, soient b_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2}x_{k} … x_{n−1}x_{n}^{2}x_{n−1} … x_{k}, b_{i} = x_{i}x_{i+1} … x_{n}, alors

X_{j} = b_{j,j} … b_{j,2}b_{j,1}, 1 ≤ j < n; X_{n} = b_{n} … b_{1}.

c) 𝔤 de type C_{n} : w_{0} = (1 2 … n n − 1 … 1)(2 … n n − 1 … 2) … (n − 1 n n − 1)(n). Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, on pose c_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2}x_{k} … x_{n−1}x_{n}x_{n−1} … x_{k}, alors

X_{j} = c_{j,j} … c_{j,2}c_{j,1}.

d) 𝔤 de type D_{n} : w_{0} = (1 2 … n−2 n−1 n n−2 … 1)(2 … n n−1 n n−2 … 2) … (n−1 n). Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n − 2, on pose : d_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2}x_{k} … x_{n−2}x_{n}x_{n−1} … x_{k}, d_{n−1,i} = x_{i} x_{i+1} … x_{n−1}; d_{n,i} = x_{i}x_{i+1} … x_{n−2} x_{n}; alors

X_{j} = d_{j,j} … d_{j,2}d_{j,1}, 1 ≤ j ≤ n − 2 ;

p 1cm

X_{n−1} = \{ \begin{matrix}d_{n−1,n−1} … d_{n−1,3}d_{n,2}d_{n−1,1} & si n pair, \\ d_{n,n} … d_{n−1,3}d_{n,2}d_{n−1,1} & si n impair; \end{matrix}

X_{n} = \{ \begin{matrix}d_{n,n} … d_{n,3}d_{n−1,2}d_{n,1} & si n pair, \\ d_{n−1,n−1} … d_{n,3}d_{n−1,2} d_{n,1} & si n impair. \end{matrix}

Remarque. Pour 1 ≤ i ≤ n, soit λ_{i} un exposant de x_{i} dans la décomposition de X_{j}. Ecrivons X_{j} = X_{ν}x_{i}^{λ_{i}}X_{λ}, où ν, λ ∈ P sont les poids de X_{ν} et X_{λ}. On a par construction : λ_{i} = (ϖ_{j} − λ , α_{ˇ i}), cf. Théorème 2.4 (ii).

3. STRUCTURE DU CENTRE DE U^{+}

3.1. Nous allons tout d’abord déterminer les éléments de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) invariants par l’action adjointe de U^{+}. Définition. Soit μ ∈ P^{+}. On désigne par X_{μ} un monôme de U^{+} transformant un vecteur de plus bas poids de L(μ)^{∗} en un vecteur de plus haut poids. On pose s(μ) = μ − w_{0}(μ), e_{s(μ)} = τ(4μ)adX_{μ}(τ(−4μ)). Remarquons que par le Théorème 2.2 (ii) et (v), e_{s(μ)} ne dépend du choix du monôme X_{μ} qu’à une constante multiplicative près. De plus pour l’action adjointe de U_{0}, le poids de e_{s(μ)} est s(μ).

Si M est un sous-adU^{+}-module de Ǔ_{q}(𝔟^{+}), on pose M^{U^{+}} = {m ∈ M, adU^{+}(m) = 0}. Proposition 3.1. Soit λ ∈ P, alors on a :

(i) L’espace ℂ(q)τ(λ) ⊗ V^{+} est un sous-adU^{+}-module de Ǔ_{q}(𝔟^{+});

(ii) si λ ∈ −4P^{+}, (ℂ(q)τ(λ) ⊗ V^{+})^{U^{+}} = ℂ(q)τ(λ)e_{s(−1/4λ)};

(iii) Si λ ∉ −4P^{+}, (ℂ(q)τ(λ) ⊗ V^{+})^{U^{+}} = {0};
(iv) (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} = ⊕_{μ∈P^{+}}ℂ(q)τ(−4μ)e_{s(μ)}.

Preuve. (i) se vérifie facilement par le calcul de adx_{i}(τ(λ)v), v ∈ V^{+}, 1 ≤ i ≤ n, v de poids μ.

Montrons l’inclusion ⊃ dans (ii). Soit λ ∈ −4P^{+}. Par le Théorème 2.2 (ii) et (v), adX_{−1/4λ}τ(λ) est le plus haut poids de adU^{+}τ(λ). Par (i), l’inclusion est démontrée.

Montrons l’inclusion ⊂ dans (ii) et (iii). Soient λ ∈ P et E ∈ V^{+} tels que adU^{+} (τ(λ) ⊗ E) = 0. Par passage au gradué adU^{+}(\overline{τ(λ)} ⊗ Ē) = 0, donc \overline{τ(λ)} ⊗ Ē ∈ L_{λ}^{+}. D’où, si λ ∉ −4P^{+}, Ē = 0 par le Théorème 2.2 (i) et donc E = 0; si λ ∈ −4P^{+}, par le Théorème 2.2 (ii) \overline{τ(λ)} ⊗ Ē est proportionnel à adX_{−1/4λ} (\overline{τ(λ)}) = \overline{τ(λ)} ⊗ ē_{s(−1/4λ)}. Le Théorème 2.2 (v) implique alors τ(λ) ⊗ E ∈ ℂ(q)τ(λ) ⊗ e_{s(−1/4λ)}.

Il reste à montrer (iv). Remarquons pour cela que Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = ⊕_{λ∈P} ℂ(q)τ(λ) ⊗ V^{+}; donc (iv) résulte de (i), (ii) et (iii). ⋄ 3.2. Pour tout μ ∈ P^{+}, on pose x_{s(μ)} = τ(s(−4λ))^{−1}e_{s(μ)}. On a x_{s(μ)} ∈ U^{+}. Pour tout μ_{i} dans B, cf. Lemme 2.3, on note : e_{u_{i}} = e_{s(μ_{i})}, x_{u_{i}} = x_{s(μ_{i})}, 1 ≤ i ≤ card B. Proposition 3.2. Soient μ, ν ∈ P^{+}. Alors e_{s(μ)}e_{s(ν)}, resp. x_{s(μ)}x_{s(ν)}, est égal à e_{s(μ+ν)}, resp. x_{s(μ+ν)}, à une constante multiplicative non nulle près.

Preuve. Soit η ∈ P^{+}. On sait, cf. Théorème 3.1 (iv), que (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ ℂ(q)τ(−4η)V^{+} = ℂ(q)τ(−4η)e_{s(η)}. On a facilement

τ(−4μ)e_{s(μ)}τ(−4ν)e_{s(ν)} ∈ (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ ℂ(q)τ(−4(μ + ν))V^{+}.

Comme cette intersection est égale à (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ ℂ(q)τ(−4(μ+ν))e_{s(μ+ν)}, la proposition en découle. ⋄ Nous pouvons maintenant expliciter la structure du centre de Z(U^{+}). Théorème 3.2. Z(U^{+}), resp. Z(V^{+}), est l’algèbre de polynômes engendrée par les x_{u_{i}}, resp. les e_{u_{i}}, 1 ≤ i ≤ card B. Preuve. ll suffit de montrer le théorème pour Z(U^{+}), cf. 1.3. Supposons μ ∈ P^{+}. Par le Théorème 3.1, on a : adx_{i}(τ(−4μ)e_{s(μ)}) = 0. D’où

∀ i, x_{i}τ(−4μ)e_{s(μ)}k_{i} − q^{−2d_{i}}k_{i}τ(−4μ)e_{s(μ)}x_{i} = 0.

Comme (α_{i}, α_{i}) = 2d_{i} , il vient q^{−(α_{i},s(μ))}x_{i}x_{s(μ)} = q^{(α_{i},−4μ+s(μ))}x_{s(μ)}x_{i}. On en déduit (3.2.1) μ ∈ P^{+}, x_{s(μ)} ∈ Z(U^{+}) ⟺ μ ∈ H. Supposons X non nul dans Z(U^{+}), de poids η. Le calcul donne : adx_{i}(τ(−η)X) = 0. D’où τ(−2η)(τ(η)X) ∈ (τ(−2η) ⊗ V^{+})^{U^{+}}. Donc, par la Proposition 3.1, −2η ∈ −4P^{+} et X ∈ ℂ(q)x_{s(η/2)}. Le théorème résulte alors de (3.2.1), de la Proposition 3.2 et du Lemme 2.3. ⋄ 3.3. Nous donnons dans cette section une méthode permettant de calculer explicitement les générateurs de Z(U^{+}). Remarquons que par la Proposition 3.2, le Théorème 3.2 et le Lemme 2.3, il suffit de calculer x_{s(ϖ_{j})}, 1 ≤ j ≤ n. Pour cela nous allons utiliser le monôme X_{j} décrit en 2.4.

Le Théorème 2.2 exprime qu’il existe un isomorphisme de U^{+}-modules :

J_{ϖ_{j}} : L(ϖ_{j})^{∗} \underrightarrow{∼} adU^{+} τ(−4ϖ_{j}).

Soit v ∈ L(ϖ_{j})^{∗} de poids ν, il est clair que l’on peut écrire J_{ϖ_{j}}(v) = τ(−4ϖ_{j})τ(ν +ϖ_{j})x(v) où x(v) ∈ U^{+}. L’élément x_{s(ϖ_{j})} cherché est proportionnel à x(v′_{j}), où v′_{j} est le vecteur de plus haut poids de L(ϖ_{j})^{∗}.

Le lemme suivant, joint à la section 2.4, permet de calculer x_{s(ϖ_{j})}.

Lemme 3.3. Avec les notations de la Remarque 2.4, soit X_{j} = X_{ν}x_{i}^{λ_{i}}X_{μ}. Soit v_{j} le plus bas poids de L(ϖ_{j})^{∗}. Supposons v = X_{λ}(v_{j}), v′ = x_{i}^{λ_{i}}(v). Alors :

x(v′) = \{ \begin{matrix}∑_{s=0}^{λ_{j}}(−1)^{s}q_{j}^{2(λ_{j}−2s)}\left[{λ_{j} \atop s}\right]_{d_{j}}x_{j}^{λ_{j}−s}x(v)x_{j}^{s} & si i = j; \\ q_{i}^{−λ_{i}} ∑_{s=0}^{λ_{i}}(−1)^{s}q_{i}^{λ_{i}−2s}\left[{λ_{i} \atop s}\right]_{d_{i}}x_{i}^{λ_{i}−s}x(v)x_{i}^{s} & si i ≠ j. \end{matrix}

Preuve. Définissons par récurrence des éléments x_{λ} ∈ U^{+} de poids λ par

τ(−4ϖ_{j})τ(λ + α_{i})x_{λ+α_{i}} = adx_{i}[τ(−4ϖ_{j})τ(λ)x_{λ}].

Le calcul donne x_{λ+α_{i}} = q_{i}^{−2}(q_{i}^{4δ_{ij}−2(λ,α_{ˇ i})}x_{i}x_{λ} − x_{λ}x_{i}). Le lemme découle de cette formule en itérant l’action de x_{i} et en utilisant λ_{i} = (ϖ_{j} − λ, α_{ˇ i}). ⋄

4. CAS 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1)

4.1. Dans le cas où 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), les représentations fondamentales L(ϖ_{j}) sont les jièmes puissances extérieures de la représentation L(ϖ_{1}). Ceci nous permet un calcul plus commode des générateurs du centre de V^{+}. On a défini en [3, 5.3] la matrice fondamentale pour V^{+} :

D = ( \begin{matrix}α \\ e_{1} & α & & 0 \\ e_{1,2} & e_{2} & α \\ ⋮ & & & ... \\ e_{1,n} & e_{2,n} & e_{n} & & α \end{matrix} )

où α = q^{2}(q^{2} − q^{−2})^{−1} et les e_{i,j} sont donnés par récurrence par e_{i,i} = k_{i}x_{i}, e_{i,j} = e_{j}e_{i,j−1} − q^{−2}e_{i,j−1}e_{j}.

On a aussi défini le déterminant quantique d’une matrice M = (a_{i,j})_{1≤i,j≤n}, à coefficients dans V^{+}, par det_{q} M = ∑_{σ∈Σ_{n}}(−q^{2})^{l(σ)}a_{1,σ(1)} … a_{n,σ(n)}, où l(σ) est la longueur de la permutation σ. On définit alors de manière évidente les mineurs quantiques extraits de la matrice D. Théorème 4.1. (i) Soit 1 ≤ j ≤ n. On pose I = {n − j + 2, …, n + 1}, J = {1, …, j} et on désigne par Δ_{I,J} le mineur quantique construit sur les lignes I et les colonnes J. Alors e_{s(ϖ_{j})} = Δ_{I,J}(D) à une constante multiplicative près.

(ii) Z(V^{+}) est engendré par \{e_{s(ϖ_{j})}e_{s(ϖ_{n+1−j})}, 1 ≤ j < \frac{n+1}{2} \} si n est pair et par \{e_{s(ϖ_{j})}e_{s(ϖ_{n+1−j})}, 1 ≤ j < \frac{n+1}{2} ; e_{s(ϖ_{\frac{n+1}{2}} )}\} si n est impair.

Preuve. (i) découle de [3, 3.4, 5.3] et de la définition des e_{s(λ)}. (ii) est conséquence des Lemmes 2.3 et 3.2. ⋄ Remarques. 1. Ces résultats sont à comparer à ceux de [4] ou [6] pour le cas classique.

2. On ne peut pas retrouver la description du centre de U(𝔫^{+}) du cas classique en spécialisant q en 1.

3. J. Alev et F. Dumas ont obtenu dans [1] une description analogue du centre de U^{+}.

5. CENTRES DES CORPS DE FRACTIONS

5.1. On note F (Ǔ) l’espace des éléments ad-finis de Ǔ. Donc

F (Ǔ) = {m ∈ Ǔ | dim_{ℂ(q)}adǓ(m) < +∞}.

On rappelle la décomposition, cf. [9 ,4.12] (5.1.1) F (Ǔ) = ⊕_{λ∈P^{+}}(adǓ)τ(λ). On note K_{λ}^{±} le sous-espace de V^{+} tel que (adU^{±})τ(−4λ) = τ(−4λ)K_{λ}^{±}. Lemme 5.1. On a la décomposition :

F (Ǔ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = ⊕_{λ∈P^{+}}L_{λ}^{+} = ⊕_{λ∈P^{+}}τ(−4λ)K_{λ}^{+}.

Preuve. Il est clair que ⊕_{λ∈P^{+}}L_{λ}^{+} ⊂ F (Ǔ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Montrons l’inclusion inverse. Soit u ∈ F (Ǔ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}). On a par (5.1.1) : u = ∑_{λ∈P^{+}} u_{λ}, où u_{λ} ∈ (adǓ)τ(−4λ). Dans le gradué défini en 1.4, nous avons, cf. [9, 4.9]

ū = ∑_{λ∈P^{+}} ū_{λ} = ∑_{λ∈P^{+}} k_{λ}^{−}\overline{τ(−4λ)}k_{λ}^{+} où k_{λ}^{±} ∈ K̄_{λ}^{±}.

Par décomposition triangulaire dans le gradué, il vient k_{λ}^{−} ∈ ℂ(q). Par [3, 2.2], les modules F (Ǔ) et gr(F (Ǔ)) sont isomorphes et on a

ū ∈ ⊕_{λ∈P^{+}}(adU^{+})\overline{τ(−4λ)} implique u ∈ ⊕_{λ∈P^{+}}(adU^{+})τ(−4λ).

Donc u ∈ ⊕_{λ∈P^{+}}τ(−4λ)K_{λ}^{+}. ⋄

On ordonne P^{+} par la relation : λ ≤ μ si λ − μ ∈ P^{+}. Proposition 5.1. V^{+} est limite inductive des K_{λ}^{+}. Precisément :

(i) K_{λ}^{+} ⊂ K_{μ}^{+}, λ ≤ μ;

(ii) V^{+} = ∑_{λ∈P^{+}} K_{λ}^{+}.

Preuve. On a évidemment 1 ∈ K_{λ}^{+}. De plus, par [9, 4.12] il vient K_{λ}^{+}K_{μ}^{+} = K_{λ+μ}^{+}; (i) en découle aisément. Soit maintenant u ∈ V^{+}, par [8, Théorème 6.4], on peut décomposer u sous la forme u = ∑_{α∈S} τ(α)a_{α} où a_{α} ∈ F (Ǔ), S désignant une partie finie de P^{+}. Par passage au gradué, comme dans la démonstration du Lemme 5.1, on prouve a_{α} ∈ F (Ǔ)∩Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Par le Lemme 5.1, il vient u ∈ ∑_{λ} τ(α−4λ)K_{λ}^{+}. Comme U_{0}V^{+} ≃ U_{0} ⊗V^{+}, on obtient (ii). ⋄ Remarque. Ce résultat possède un analogue dans le cas classique, cf. [9, 6.12 (∗∗)]. 5.2. Nous pouvons maintenant démontrer le résultat suivant. Théorème 5.2. Soit I un idéal bilatère non nul de V^{+}. Alors I contient au moins un élément central non nul. Preuve. On dira que l’idéal I vérifie la propriété (P_{k}), si I contient un élément e tel que e = ∑_{α∈S_{k}} e_{α}, où S_{k} désigne une partie de P^{+} à k éléments et e_{α} ∈ V_{α}^{+}. Nous allons montrer par récurrence sur k > 0 l’assertion

“Si I verifie (P_{k}), alors I contient un élément central non nul.”

Montrons ceci pour k = 1. I contient donc un élément e de poids μ. Par la Proposition 5.1, on peut trouver λ tel que e ∈ K_{λ}^{+}. ll existe alors dans V^{+} un élément v tel que (adv)(τ(−4λ)e) = τ(−4λ)e_{s(λ)}. On peut choisir v de poids s(λ) − μ. En développant la partie gauche de l’égalité et moyennant quelques commutations on obtient ∑_{i} v_{i}ev′_{i} = e_{s(λ)} où v_{i} , v′_{i} ∈ V^{+}. Donc e_{s(λ)} ∈ I et e_{s(λ)}e_{s(−w_{0}λ)} ∈ I ∩ Z par la Proposition 3.2 et le Théorème 3.2. Supposons maintenant le théorème démontré pour les idéaux vérifiant (P_{k−1}). Soit I vérifiant (P_{k}) et e dans I. Ecrivons e = ∑_{μ∈S_{k}} e_{μ} = e_{μ_{1}} + ∑_{μ∈S_{k−1}} e_{μ}. Comme précédemment on montre qu’il existe un élément central non nul z tel que z + ∑_{μ∈S′_{k−1}} e′_{μ} ∈ I. Par une considération de poids cette somme est non nulle. Posons X = ∑_{μ∈S′_{k−1}} e′_{μ}. Si X est central on a terminé. Sinon, on peut supposer [e_{i}, X] ≠ 0. Alors [e_{i}, z + X] ∈ I implique [e_{i}, X] ∈ I. Donc I vérifie (P_{k−1}) et le théorème est démontré. ⋄

Rappelons que V^{+} est intègre, il possède donc un corps de fractions. La preuve du corollaire suivant est classique. Corollaire 5.2. Le centre du corps des fractions de V^{+} est égal au corps des fractions du centre de V^{+}. 5.3. Le Théorème 5.2 n’a pas d’analogue pour Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Toutefois, nous avons le résultat suivant. Proposition 5.3. Soit I un idéal bilatère non nul de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Alors I contient un élément non nul de poids dans Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Preuve. Montrons que I contient un élément de poids. Soit X dans I, X = ∑_{μ} X_{μ} ∈ I, où μ parcourt une partie de Q^{+} de cardinal k. Il est clair que l’on peut trouver α ∈ Q tel que les (α, μ) soient distincts. En appliquant l’action adjointe des τ(mα), m ∈ ℕ, on obtient (à l’aide d’un déterminant de Vandermonde) un élément a non nul de poids dans I. Cet élément se décompose dans U_{0} ⊗ V^{+}. Supposons tout d’abord que a = τ(μ)e_{β} où e_{β} ∈ V_{β}^{+} (i.e. k = 1). Alors e_{β} ∈ I ∩ V^{+}, et par le Théorème 5.2 on trouve e_{s(λ)} ∈ P^{+} pour un λ ∈ P^{+}. D’où τ(−4λ)e_{s(λ)} ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Supposons maintenant a = ∑_{μ_{i}∈S_{k}} τ(μ_{i})e_{i,β} où S_{k} désigne une partie de P^{+} à k éléments et e_{i,β} ∈ V_{β}^{+}. Montrons par récurrence sur k que I contient un élément de poids dans I ∩Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. On écrit a = τ(μ)e_{β} +∑_{μ_{i}∈S_{k−1}} τ(μ_{i})e_{i,β}. En appliquant la méthode décrite pour k = 1 on trouve un élément b dans I de la forme b = τ(−4λ)e_{s(λ)}+∑_{ν_{i}∈S_{k−1}} τ(ν_{i})e_{i,γ}. Comme −4λ et les ν_{i} sont deux à deux distincts, il en résulte que b est non nul. Posons X = ∑_{μ_{i}∈S_{k−1}} τ(ν_{i})e_{i,γ}. Alors, soit X ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}} et dans ce cas la récurrence est vérifiée; soit X ∉ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}} et on a adx_{i}(X) ≠ 0 pour un i. D’où 0 ≠ adx_{i}(X) = adx_{i}(b) ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Ceci termine la démonstration. ⋄ Lemme 5.3. Ker s est engendré par les α_{i} + w_{0}(α_{i}), 1 ≤ i ≤ n. Preuve. Rappelons que s = Id − w_{0} et w_{0}^{2} = Id. Donc Ker (Id − w_{0}) = Im (Id + w_{0}). ⋄ Théorème 5.3. Le centre du corps des fractions de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) est engendré par les éléments [τ(−4α_{i})e_{s(α_{i})}]^{−1}τ(4w_{0}(α_{i}))e_{s(−w_{0}(α_{i}))}, 1 ≤ i ≤ n. Lorsque w_{0} = −Id, le centre est réduit au corps des constantes. Preuve. Soit z dans le centre de F ract(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors I := Ǔ_{q}(𝔟^{+})z ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}) est un idéal bilatère de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Donc par la Proposition 5.3 il existe v dans Ǔ_{q}(𝔟^{+}) et β dans Q tels que vz ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})_{β}^{U^{+}}. Par la Proposition 3.1 (iv), on peut se ramener au cas vz = τ(−4λ)e_{s(λ)}. Donc v a pour poids s(λ) et v ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Ceci équivaut à v ∈ ⊕_{{μ|s(μ)=s(λ)}}ℂ(q)τ(−4μ)e_{s(μ)}. Le théorème est alors conséquence du Lemme 5.3 et de la Proposition 3.2. ⋄

RÉFÉRENCES

1. J. ALEV et F. DUMAS. Sur le corps des fractions de certaines algèbres quantiques, preprint.

2. N. BOURBAKI. Groupes et Algèbres de Lie, Chap. VI, Masson, Paris 1981.

3. P. CALDERO. Générateurs du centre de U_{q}(𝔰𝔩(N + 1)), Bull. Sci. Math., (à paraître).

4. J. DIXMIER. Sur les représentations unitaires des groupes de Lie nilpotents IV, Can. J. Math., 11 (1959), 321-344.

5. F. DU CLOUX. Un algorithme de forme normale pour les groupes de Coxeter, (1985), manuscrit.

6. A. JOSEPH. A preparation theorem for the prime spectrum of a semi-simple Lie algebra J. Algebra, 48 (1977), 241-289.

7. A. JOSEPH. On the Demazure character formula, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 18 (1985), 389-419.

8. A. JOSEPH and G. LETZTER. Local finiteness of the adjoint action for quantized enveloping algebras, J. Algebra, 153 (1992), 289-318.

9. A. JOSEPH and G. LETZTER. Separation of variables for quantized enveloping algebras, Amer. J. Math., (à paraître).

10. G. LUSZTIG. Quantum deformations of certain simple modules over enveloping algebras, Adv. Math., 70 (1988), 237-249.

11. M. ROSSO. Groupes quantiques, représentations linéaires, applications, Thèse Paris VII, 1990.

13, rue Henry Dunant

94350 Villiers sur Marne, France