INVARIANTS POUR L’ACTION D’UN GROUPE FINI

SUR L’ALGEBRE ENVELOPPANTE D’UNE ALGEBRE DE LIE SEMI-SIMPLE

Philippe CALDERO

Gadi S. PERETS

R^{}ÉSUM^{}É. Soient G un groupe semi-simple simplement connexe, U l’algèbre enveloppante de son algèbre de Lie et H un sous-groupe fini de G. L’étude de l’anneau tordu H ∗ U permet de décrire les modules irréductibles de dimension finie de l’anneau des invariants U^{H}, ainsi que ses idéaux primitifs de codimension finie. Pour le cas G = SL_{2}, nous calculons à l’aide de la correspondance de McKay, le nombre de U^{H}-modules simples de dimension donnée.

ABSTRACT. Let G be a simply connected semi-simple group, U the enveloping algebra of its Lie algebra and H a finite subgroup of G. The study of the skew group ring H ∗ U enables to describe the finite dimensional irreductible modules of the invariant ring U^{H}, as well as its finite codimensional primitive ideals. When G = SL_{2}, we calculate, with the help of the McKay correspondance, the number of simple U^{H}-modules of given dimension.

0. Introduction.

Soit g la C-algèbre de Lie du groupe semi-simple simplement connexe G et H un sous-groupe fini de G. Le groupe H agit sur l’algèbre enveloppante U := U(g), en respectant la filtration naturelle de cette algèbre. De plus, on sait que H agit sur tout U-module irréductible V de dimension finie, cette action étant compatible avec l’action de U, i.e. h.(uv) = (h.u)(h.v), h ∈ H, u ∈ U, v ∈ V.

Tout U-module irréductible V de dimension finie se décompose en somme directe de U^{H}-modules irréductibles, U^{H} désignant l’algèbre des invariants. Inversement, tout U^{H}-module de dimension finie appartient à une telle décomposition pour un V unique. Dans cet article, nous précisons ces décompositions, c.f. théorème 2.4, et nous décrivons les U^{H}-modules irréductibles de dimension finie, ainsi que les idéaux primitifs de codimension finie de U^{H}. Nous nous intéressons dans la suite à l’étude pour le cas G = SL_{2} de la multiplicité d’un H-module irréductible dans un U-module irréductible V. Le travail est organisé comme suit.

On introduit dans le paragraphe 1 l’anneau tordu H ∗ U du groupe H par U. A partir d’une représentation irréductible χ de H et d’un U-module irréductible de dimension finie V, on construit un H ∗ U-module irréductible χ ∗ V de dimension finie. Nous donnons la décomposition suivante

(∗)  H ∗ U ⊗_{U} V = ⨁_{χ} dimχ(χ ∗ V).

Il en résulte que tout H ∗U-module de dimension finie est de la forme χ∗V. Nous montrons comment les annulateurs Ann_{C[H]}χ et Ann_{U}V permettent de décrire les idéaux primitifs de codimension finie Ann_{H∗U}(χ ∗ V).

Le fait que H soit un sous-groupe de G implique – et il s’agit même d’une équivalence – que H ∗ U est une algèbre de Hopf. L’étude précédente permet (au passage) de donner le produit tensoriel et le dual des représentations précédentes. Il en résulte la décomposition du dual de Hopf (cosemi-simple) (H ∗ U)^{∘}.

Le contexte de Morita entre les algèbres U^{H} et H ∗ U permet de déduire de l’étude du produit croisé la connaissance des représentations de dimension finie de U^{H} ainsi que ses annulateurs. A l’aide de (*), on peut expliciter la décomposition de V comme U^{H}-module. On précise ainsi un résultat de Kraft et Small, [6]. Cette décomposition donne une interprétation pour la multiplicité de la composante irréductible χ dans le H-module V (λ), c.f. [Remarque 2.4.2].

Pour G = SL_{2}, nous connaissons, [11], les sous-groupes finis du groupe G. La correspondance de McKay, [8], permet de calculer la multiplicité [V : χ] = dim χ ∗ V. Nous remarquons alors que le nombre de représentations irréductibles de U^{H} de dimension donnée est une constante qui ne dépend que du groupe choisi. Nous calculons cette constante au cas par cas, sans calculer les générateurs de l’algèbre des invariants.

Nous tenons à remercier J. Alev, M. Van den Bergh et P. Polo pour l’aide précieuse qu’ils nous ont apportée.

I. L’algèbre H ∗ U(g).

1.1. Soit g la C-algèbre de Lie semi-simple du groupe de Lie semi-simple simplement connexe G et U := U(g) son algèbre enveloppante. On sait que U est munie d’une filtration naturelle telle que g s’injecte sur la composante de degré 1 de U et telle que l’algèbre graduée associée gr U soit commutative.

On fixe une sous-algèbre de Cartan de g et un système de racine R. On note P le réseau des poids associé et P^{+} le réseau des poids dominants. Pour tout λ de P^{+}, on note V (λ) le U-module de plus haut poids λ. On sait que ce module est de dimension finie et tout U-module irréductible de dimension finie est de cette forme.

Soit H un sous-groupe fini du groupe G. L’action de H sur g se prolonge naturellement en une action de H sur U qui laisse stable la filtration de U. De plus, H étant inclus dans le groupe simplement connexe G, il agit sur le module V (λ) pour tout λ dans P^{+} et cette action vérifie la propriété

(1.1.1)  h.(uv) = (h.u)(h.v), h ∈ H, u ∈ U, v ∈ V (λ).

1.2. On introduit H ∗ U l’anneau tordu du groupe H défini de la manière suivante. H ∗ U est le U-module à droite libre de base {h, h ∈ H}, et sa structure d’anneau est donnée par

(1.2.1)  (hu)(h′u′) = hh′(h^{′−1}.u)u′, u, u′ ∈ U, h, h′ ∈ H.

Soit e = \frac{1}{Card H} ∑_{h∈H} h. On a aisément, cf. [9, par. 1], e^{2} = e, e(H ∗ U) = eU ≃ U, e(H ∗ U)e ≃ U^{H}, le dernier isomorphisme étant un morphisme d’algèbres. L’élément e définit par multiplication à gauche une projection de H ∗ U sur U, et par multiplication à droite une projection de e(H ∗ U) ≃ U sur e(H ∗ U)e ≃ U^{H}. 1.3. On peut définir sur H ∗ U une comultiplication Δ, un antipode S et une augmentation ε par

(1.3.1)  Δ(h) = h ⊗ h, Δ(u) = u ⊗ 1 + 1 ⊗ u,
S(h) = h^{−1}, S(u) = −u, ε(h) = 1, ε(u) = 0, h ∈ H, u ∈ g,

U_{1} désignant la partie homogène de degré 1 de U. On a la proposition Proposition La comultiplication Δ, l’antipode S et l’augmentation ε fournissent une structure d’algèbre de Hopf sur H ∗ U. De plus, le centre de H ∗ U est isomorphe à l’anneau des invariants par H du centre de U. Preuve. Le groupe H étant un sous-groupe du groupe simplement connexe G, il vient que H stabilise g. Comme H et g engendrent H ∗ U, on vérifie que les définitions de Δ, S et ε sont compatibles avec les relations (1.2.1). On montre de même que Δ, S et ε vérifient les relations de définition d’une algèbre de Hopf. Nous avons donc la première assertion de la proposition. Remarquons que par [1] et [9], l’anneau des invariants Z^{H} est égal à Z. Soit Z(H ∗ U) le centre de H ∗ U et Z le centre de U. Par l’injection naturelle de U dans H ∗ U, on obtient Z^{H} ⊂ Z(H ∗ U). Soit z = ∑ hz_{h} ∈ Z(H ∗ U), alors pour tout u ∈ U_{1} ≃ g, on a uz − zu = 0, d’où ∑ (uh − hu)z_{h} + ∑ h(uz_{h} − z_{h}u) = 0. Comme le gradué de U est commutatif et intègre, on obtient ∑ (uh − hu)z_{h}=0, ce qui entraîne h(u) = u pour tout u dans U_{1} ou z_{h} = 0. Ceci implique z ∈ U. On en déduit alors la seconde assertion. ♢ Remarque. D’après [5] et la proposition précédente, on obtient que l’anneau H ∗ U est libre sur son centre. 1.4. On sait, c.f. [9, 0.1] que tout H ∗ U-module de dimension finie est complètement réductible. Fixons λ dans P^{+}. Nous nous intéressons dans un premier temps à la décomposition en modules irréductibles du H ∗ U-module à gauche W (λ) := H ∗ U ⊗_{U} V (λ). L’espace W (λ) est isomorphe à C[H] ⊗ V (λ). Soit ϕ l’isomorphisme de l’espace W (λ) défini par ϕ(h ⊗ v) = h ⊗ h^{−1}.v. Pour tout a dans C[H] et tout v de V (λ), on note a ∗ v := ϕ(a ⊗ v).

Soit Irr(H) l’ensemble des représentations irréductibles de H. Pour tout χ ∈ Irr(H), notons n_{χ} la dimension de χ. Fixons une injection de module (à gauche) de χ dans l’anneau du groupe C[H] muni de l’action régulière à gauche. Soit a ∈ χ et v ∈ V (λ), on pose

a ∗ v = ϕ(a ⊗ v) ∈ W (λ).

On note χ ∗ V (λ) = ϕ(χ ⊗ V (λ)). On vérifie que χ ∗ V (λ) est un sous-H ∗ U-module de W (λ) et que

(1.4.1) h(a ∗ v) = (ha) ∗ (h.v), u(a ∗ v) = a ∗ (uv); h ∈ H, a ∈ χ, v ∈ V (λ), u ∈ U.

Il sera établi dans la proposition qui suit que le module χ ∗ V (λ) est bien défini, i.e. ne dépend pas de l’injection χ ↪ C[H] fixée.

Proposition. Le H ∗ U-module χ ∗ V (λ) est bien défini et de plus :

(i) χ ∗ V (λ) est irréductible comme H ∗ U-module, (ii) Pour toutes représentations χ et ψ de Irr(H) et pour tous λ, μ dans P^{+}, χ∗V (λ) ≃

ψ ∗ V (μ) ⇔ χ ≃ ψ et λ = μ, (iii) W (λ) = ⨁_{χ} n_{χ}χ ∗ V (λ), où χ décrit Irr(H). (iv) Tout H ∗ U-module irréductible de dimension finie peut se mettre sous la forme

χ ∗ V (λ), χ ∈ Irr(H), λ ∈ P^{+}.

Preuve. Soient χ et ψ dans Irr(H). Supposons fixées des injections de χ et ψ dans C[H]. Si ρ est un H-isomorphisme de χ dans ψ, alors on vérifie par (1.4.1) que a ∗ v ↦ ρ(a) ∗ v est un isomorphisme du module χ ∗ V (λ) vers ψ ∗ V (λ). La première assertion est donc prouvée. Supposons a ∗ v non nul, a ∈ χ, v ∈ V (λ), alors a et v sont non nuls. Soient a′ ∈ χ et v′ ∈ V (λ). Les modules χ et V (λ) étant simples, il résulte de (1.4.1) que a′ ∗ v′ ∈ (H ∗ U)(a ∗ v). Ceci établit (i). Montrons (ii) ⇒, la réciproque étant claire. Supposons χ ∗ V (λ) ≃ ψ ∗ V (μ). Par (1.4.1) χ∗V (λ) est, comme U-module, isomorphe à n_{χ} copies de V (λ). Ceci prouve que V (λ) = V (μ), d’où λ = μ. Soit ρ un isomorphisme de χ ∗ V (λ) vers ψ ∗ V (λ). Comme χ ∗ V (λ) est isomorphe en tant qu’espace à χ ⊗ V (λ), on a n_{χ} = n_{ψ}. Les dimensions des espaces considérés étant finis, on peut décomposer ρ = ∑ ρ_{(1)}^{i} ∗ ρ_{(2)}^{i}, où les ρ_{(1)}^{i} sont des indépendants dans l’espace Hom(χ, ψ), ρ_{(2)}^{i} ∈ End(V (λ)), et ∑ ρ_{(1)}^{i} ∗ ρ_{(2)}^{i}(a ∗ v) := ∑ ρ_{(1)}^{i}(a) ∗ (ρ_{(2)}^{i}(v)). Soit u ∈ U, alors il résulte de (1.4.1) que ∑ ρ_{(1)}^{i} ∗ u.ρ_{(2)}^{i} = ∑ ρ_{(1)}^{i} ∗ ρ_{(2)}^{i}u. Ceci entraîne pour tout i : u.ρ_{(2)}^{i} = ρ_{(2)}^{i}u. Les endomorphismes ρ_{(2)}^{i} sont donc des scalaires. On peut alors écrire ρ(a[v]) = ρ_{(1)}(a)[v]. Par (1.4.1), il vient que ρ_{(1)} est un isomorphisme de C[H]-module, d’où l’assertion. On a W (λ) = ϕ(W (λ)) = ϕ(C[H] ⊗ V (λ)) = ϕ(⨁_{χ} n_{χ}χ ⊗ V (λ)) = ⨁_{χ} n_{χ}χ ∗ V (λ). D’où (iii). Montrons (iv). Soit V un H ∗U-module de dimension finie. Par restriction, V est un Umodule de dimension finie, donc, une somme directe ⨁ V (μ). Donc V ⊂ H ∗ U ⊗_{U} V = ⨁ W (μ). Si V est irréductible, il découle de (iii) que V peut se mettre sous la forme voulue. ♢ Remarque. On peut définir intrinséquement le H ∗ U-module χ ∗ V, pour tout C[H]- module χ (non nécessairement irréductible) et tout U-module V sur lequel H agit de façon compatible, cf. (1.1.1) :

(1.4.2) h(a ∗ v) = (h.a) ∗ (h.v), u(a ∗ v) = a ∗ (uv); h ∈ H, a ∈ χ, v ∈ V, u ∈ U.

Fixons à nouveau χ dans Irr(H) et λ dans P^{+}. Soit χ ∗ V (λ) un H ∗ U-module irréductible. On munit son dual d’une structure de H ∗U-module par z.f(x) = f(Sz.x), z ∈ H ∗ U, f ∈ (χ ∗ V (λ))^{∗}, x ∈ χ ∗ V (λ). Il résulte alors de (1.4.1) et de (1.3.1) que le dual de χ ∗ V (λ) est un module isomorphe à χ^{∗} ∗ V (λ)^{∗}. En notant (H ∗ U)^{∘} le dual de Hopf de H ∗ U, i.e. l’espace des éléments du dual finis pour l’action régulière à gauche (ou à droite) de H ∗ U, on obtient le corollaire suivant.

Corollaire. On a la décomposition suivante de H ∗ U modules :

(H ∗ U)^{∘} = ⨁_{χ,λ} (χ^{∗} ∗ V (λ)^{∗}) ⊗ (χ ∗ V (λ)),

où χ, resp. λ, decrit Irr(H), resp. P^{+} et où (χ^{∗} ∗ V (λ)^{∗}) ⊗ (χ ∗ V (λ)) est muni d’une structure de H ∗ U-module par l’action diagonale. ♢

1.5. Nous nous intéressons dans cette section au produit tensoriel de deux H ∗ Umodules. Fixons pour cela χ et χ′ dans Irr(H) et λ, λ′ dans P^{+}. On peut définir par (1.4.4) les H ∗ U-modules χ ∗ V (λ), χ′ ∗ V (λ′) et (χ ⊗ χ′) ∗ (V (λ) ⊗ V (λ′)). On montre alors que l’isomorphisme naturel (χ ∗ V (λ)) ⊗ (χ′ ∗ V (λ′)) → (χ ⊗ χ′) ∗ (V (λ) ⊗ V (λ′)) est un isomorphisme de H ∗ U-modules. On se donne les décompositions en modules irréductibles suivantes :

χ ⊗ χ′ = ⨁_{ψ} a_{ψ}^{χ,χ′}ψ , V (λ) ⊗ V (λ′) = ⨁_{ν} c_{ν}^{λ,λ′}V (ν).

On a alors

(1.5.1)  (χ ∗ V (λ)) ⊗ (χ′ ∗ V (λ′)) = ⨁_{ψ,ν} a_{ψ}^{χ,χ′}c_{ν}^{λ,λ′}(ψ ∗ V (ν)).

1.6. On étudie dans cette section les idéaux primitifs de codimension finie de H ∗ U. Ce sont, d’après 1.4, les annulateurs des modules χ ∗ V (λ), χ ∈ Irr(H), λ ∈ P^{+}. On considère les annulateurs Ann_{C[H]} χ et Ann_{U} V (λ). Ann_{U} V (λ) est stable pour l’action de H. Donc, d’une part, C[H]Ann_{U} V (λ) est un idéal bilatère qui, par (1.4.1), annule χ ∗ V (λ). D’autre part, on peut définir comme dans 1.2 l’algèbre produit croisé H ∗ End V (λ) qui est aussi le quotient de H ∗ U par l’idéal précédent. On munit donc χ ∗ V (λ) d’une structure de H ∗ End V (λ)-module. Cherchons son annulateur. Pour cela, notons φ_{h}, h ∈ H, l’endomorphisme de V (λ) tel que φ_{h}(v) = h.v, v ∈ V (λ) et ξ_{λ} l’endomorphisme de H ∗ End V (λ) tel que ξ_{λ}(hα) = hφ_{h}^{−1}α, h ∈ H, α ∈ End V (λ).

Il est clair que ξ_{λ} est un isomorphisme. Soient ∑ a_{h}h ∈ Ann_{C[H]}χ, α ∈ End V (λ), b ∗ v ∈ χ ∗ V (λ). On a, par (1.4.2)

(∑ a_{h}h.φ_{h}^{−1}α).(b ∗ v) = ∑(a_{h}hb) ∗ (h.φ_{h}^{−1}α(v)) = ∑(a_{h}hb) ∗ α(v) = 0.

Il en résulte que ξ_{λ}(Ann_{C[H]}χ Ann_{C[H]}χ) est inclus dans l’annulateur cherché. Par un argument de dimension, on a l’égalité. On obtient donc la proposition

Proposition. Soit I′_{λ,χ} le relevé de l’idéal (bilatére) ξ_{λ}(Ann_{C[H]}χ EndV (λ)) par la projection H ∗U → H ∗U/C[H]Ann_{U} V (λ) ≃ H ∗End V (λ). Alors, les idéaux primitifs de codimension finie de H ∗U, deux à deux distincts, sont donnés par I′_{λ,χ}, λ ∈ P^{+}, χ ∈ Irr(H). ♢

II. L’algèbre U^{H}.

2.1. On se propose d’étudier dans les sections qui suivent les représentations de dimension finie de U^{H}.

L’action de H confère à U une structure de C[H]-module. Comme elle stabilise la filtration de U, c.f. 1.1, on a une structure de C[H]-module sur le gradué gr U. De plus, U^{H} est une sous-algèbre filtrée par la filtration naturelle induite par celle de U. Avec les notations de 1.2, on a le diagramme commutatif suivant.

U \underrightarrow{e} U^{H}
↓  ↓
gr U \underrightarrow{e} (gr U)^{H}

où les verticales sont les projections naturelles. Comme les horizontales et la verticale de gauche sont surjectives, il vient que la verticale de droite est surjective, i.e. gr U^{H} = (gr U)^{H}. Il en résulte que U^{H} est une algèbre de type finie et que GKdim U^{H} = GKdim U. Par passage au gradué, il vient que U est un U^{H}-module de type fini. On a de plus la décomposition de U en somme directe de composantes H-isotypiques : U = ⨁_{χ∈Irr(H)} U_{χ}^{H}. L’espace U_{χ}^{H} est un U^{H}-module de type fini par noethérianité.

Rappelons enfin que, H étant un sous-groupe fini du groupe simplement connexe G, le centre de U^{H} est Z lui-même. 2.2. On sait par [7] que tout U-module V (λ), λ ∈ P^{+}, est complètement réductible comme U^{H}-module. La proposition suivante établit que tout U^{H}-module irréductible de dimension finie appartient à une telle décomposition. Proposition. Soit V un U^{H}-module de dimension finie. Alors, V est complètement réductible. De plus, si V est irréductible, il existe un unique λ de P^{+} tel que V s’injecte dans V (λ). Preuve. Le U^{H}-module V étant de dimension finie, il vient par 2.1 que V s’injecte dans U ⊗_{U^{H}} V. Or, par 2.1, ce dernier est un U-module de dimension finie. Par conséquent, V s’injecte dans une somme directe de V (μ). Il en résulte la complète réductibilité de V. Si V est irréductible, V peut donc s’injecter dans un V (λ), λ ∈ P^{+}. Les caractères centraux de U^{H} permettent de distinguer les U^{H}-modules inclus dans des V (λ) différents, ce qui prouve l’unicité de λ. ♢ Signalons que la première assertion de la proposition est un résultat établi dans [1].

2.3. Fixons λ dans P^{+}. Comme dans [9, par. 7], on introduit L(V (λ)), resp. L(W (λ)), le réseau des sous-U^{H}-modules de V (λ), resp. des sous-H ∗ U-modules de W (λ). On définit les applications σ et τ de la façon suivante.

\begin{aligned}σ : & L(V (λ)) & → & L(W (λ)) \\ & M & ↦ & M^{σ} = (H ∗ U)e ⊗ M \end{aligned}  \begin{aligned}τ : & L(W (λ)) & → & L(V (λ)) \\ & M & ↦ & M^{τ} \end{aligned}

e étant le projecteur défini en 1.2 et M^{τ} désignant la “spécialisation” du module M en posant tout élément de H égal à 1, i.e. via l’isomorphisme eH ∗Ue ≃ U^{H}, le U^{H}-module M^{τ} s’identifie au eH ∗ Ue-module eM. Rappelons le lemme

Lemme. [9, 7.5] Avec les définitions précédentes, on a

(i) M^{στ} = M, M ∈ L(V (λ)). (ii) (M_{1} ⊕ M_{2})^{τ} = M_{1}^{τ} ⊕ M_{2}^{τ}, M_{1}, M_{2} ∈ L(W (λ)). ♢

On note Irr(L(V (λ)))^{∗}, resp. Irr(L(W (λ)))^{∗}, l’ensemble des classes d’equivalences de sous-U^{H}-modules irréductibles non nuls de V (λ). On note Irr(L(W (λ)))^{∗} l’ensemble des classes d’equivalence de sous-H ∗ U-modules de W (λ) irréductibles M tels que M^{τ} soit non nul. Par [9, par. 7], [3, Th. 2.2 (c)], nous avons le théorème :

Théorème. Les applications σ et τ définissent des bijections réciproques

σ̄ : Irr(L(V (λ)))^{∗} → Irr(L(W (λ)))^{∗} et τ̄ : Irr(L(W (λ)))^{∗} → Irr(L(V (λ)))^{∗}. ♢

2.4. Par la proposition 1.4 (iii) on peut fixer une décomposition W (λ) = ⨁_{χ,1≤i≤n_{χ}} χ_{i}∗ V (λ), où χ_{i} ↪ C[H] et χ_{i} ≃ χ. A l’aide du lemme 2.2 (ii), on obtient par spécialisation que le module V (λ), λ ∈ P^{+}, se décompose comme U^{H}-module en somme directe de (χ_{i} ∗ V (λ))^{τ}. Par la proposition 1.4 (i) et le théorème 2.2, les (χ_{i} ∗ V (λ))^{τ} sont des U^{H}-sous-modules irréductibles de V (λ) isomorphes, éventuellement nuls. On peut alors écrire la décomposition

(2.4.1)  V (λ) = ⨁_{χ∈Irr(H)_{λ}} n_{χ}V_{χ}(λ),

où V_{χ}(λ) := (χ∗V (λ))τ̄ désigne la classe d’isomorphisme des U^{H}-modules (χ_{i}∗V (λ))^{τ} et où Irr(H)_{λ} représente la partie constituée des éléments χ de Irr(H) tels que (χ∗V (λ))τ̄ soit non nul. Nous allons montrer que la décomposition (2.4.1) fournit une décomposition en U^{H} ⊗ C[H]-modules. Pour cela, rappelons les faits suivants. Soit χ dans Irr(H) et notons C[H]_{χ} la composante isotypique associée dans le module C[H] muni de l’action régulière à gauche. Munissons C[H] d’une structure de C[H] ⊗ C[H]-module par

(g ⊗ h)a = gah^{−1}, g, h ∈ H, a ∈ C[H].

On sait que C[H]_{χ} est un sous-C[H]⊗C[H]-module simple de C[H] isomorphe à χ⊗χ^{∗}. Avec les notations de 1.4, on peut munir W (λ) d’une structure de H ∗U ⊗C[H]-module par

(gu ⊗ h)(a ∗ v) = (gah^{−1}) ∗ g.(uv), g, h ∈ H, u ∈ U, a ∈ C[H], v ∈ V (λ).

On vérifie que la composante isotypique W (λ)_{χ∗V (λ)} est un sous-H ∗ U ⊗ C[H]-module irréductible isomorphe à χ ∗ V (λ) ⊗ χ^{∗}. De plus en spécialisant le H ∗ U ⊗ C[H]-module de W (λ), on obtient sur V (λ) une structure de U^{H} ⊗ C[H]-module suivant

(u ⊗ h).v = u(h.v), u ∈ U^{H}, h ∈ H, v ∈ V (λ).

Il résulte de l’étude précédente que la composante V χ(λ)-isotypique dans V (λ) est un sous-U^{H} ⊗ C[H]-module irréductible isomorphe à V_{χ}(λ) ⊗ χ^{∗}. Nous obtenons alors le théorème suivant

Théorème. On a :

(i) Le U^{H} ⊗ C[H]-module V (λ) se décompose en sous-modules irréductibles distincts de la façon suivante : V (λ) = ⨁_{χ∈Irr(H)_{λ}} V_{χ}(λ) ⊗ χ^{∗},

(ii) Le U^{H}-module irréductible V_{χ}(λ) est l’image par τ̄ du H ∗ U-module χ ∗ V (λ), (iii) Tout U^{H}-module irréductible de dimension finie est de la forme V_{χ}(λ), λ ∈ P^{+},

χ ∈ Irr(H)_{λ}, (iv) Identifions U^{H} avec e(H ∗ U)e. Alors, les idéaux primitifs de codimension finie,

deux à deux distincts, de U^{H} sont donnés par : I_{λ,χ} := Ann_{U^{H}} V_{χ}(λ) = eI′_{λ,χ}e. Preuve. Les assertions (i), (ii) résultent de la discussion précédente. (iii) provient alors de la proposition 2.2. Par le théorème de Jacobson, les idéaux primitifs de codimension finie de U^{H} sont deux à deux distincts. De plus, si M est un H ∗U-module, on a clairement Ann_{e(H∗U)e} eM = e(Ann_{H∗U} M)e. (iv) résulte donc de (ii) et de la proposition 1.6.

♢

Remarque 1. L’assertion (i) de ce théorème précise un résultat de Kraft et Small, [6, Corollaire 2]. Remarquons que cette assertion donne que V (λ) se décompose en au plus Card Irr(H) composantes isotypiques. Remarque 2. La décomposition de (i) donne une interprétation de la multiplicité de la représentation χ dans le module V (λ) :

mtp(χ^{∗}, V (λ)) = dim V_{χ}(λ) = dim χ.dim V (λ) − dim (Ann χ_{triv} ⊗ V (λ) ∩ χ ∗ V (λ)).

La première égalité est claire. On obtient la seconde en remarquant que dim V_{χ}(λ) est le rang de la projection de χ ∗ V (λ) sur V_{χ}(λ), c.f. (ii). Remarque 3. Fixons λ. Les idéaux primitifs I_{λ,χ}, χ ∈ Irr(H)_{λ}, sont les idéaux primitifs minimaux au-dessus de Ann_{U} V (λ) ∩ U^{H}, c.f. [10]. On a ⋂_{χ∈Irr(H)_{λ}} I_{λ,χ} = Ann_{U} V (λ) ∩ U^{H}.

2.5. Nous proposons dans cette section d’expliciter la décomposition du Théorème 2.4 (i) et de décrire les idéaux I_{λ,χ}. Fixons χ ∈ Irr(H) et λ ∈ P^{+}. Posons : n = Card H, m = dim V_{χ}(λ). Soit (v_{i}) une base de V (λ). Fixons la matrice (χ_{h,k}), h ∈ H, 1 ≤ k ≤ n_{χ}, d’une injection de χ dans C[H]. La composante isotypique de V_{χ}(λ) associée à l’injection précédente est engendrée par les ∑_{h∈H} χ_{h,k}h^{−1}.v_{i}, 1 ≤ k ≤ n_{χ}, 1 ≤ i ≤ dim V (λ). Soit p la projection naturelle de U sur U^{H}. Fixons une base de Ann_{C[H]} χ (∑_{h∈H} a_{hj}h), 1 ≤ j ≤ n−m^{2}. Par le théorème de Jacobson, on peut trouver dans U des représentants de tout endomorphisme de V (λ). On désigne par u_{kl} 1 ≤ k, l ≤ dim V (λ), resp. u_{h} h ∈ H, les représentants associés à la base naturelle de End V (λ), resp. à ϕ_{h}. L’idéal primitif I_{λ,χ} est engendré par les ∑_{h∈H} a_{hj}p(u_{h^{−1}}u_{kl}), 1 ≤ j ≤ n − m^{2}, 1 ≤ k, l ≤ dim V (λ), modulo Ann_{U} V (λ) ∩ U^{H}.

III. Etude du cas G = SL_{2}.

Le but de cette section est de calculer le nombre de représentations irréductibles (nonéquivalentes) de dimension donnée pour l’algèbre des invariants de U(sl_{2}) par l’action d’un sous-groupe fini de SL_{2}.

Soit H alors un tel groupe fini. D’après des résultats connus (voir [2],[11]) H est alors isomorphe à l’un des groupes suivants :

1) Le groupe cyclique C_{n} d’ordre n.

2) Le groupe diédral binaire, D_{n} d’ordre 4(n − 2).

3) Le groupe tétraédral binaire, E_{6} d’ordre 24.

4) Le groupe octaédral binaire, E_{7} d’ordre 48.

5) Le groupe icosaédral binaire, E_{8} d’ordre 120. Pour un groupe H de chaque type, notons χ_{1}, …, χ_{r} les représentations complexes irréductibles de H. Rappelons que pour tout n positif, il existe une unique représentation irréductible de dimension n de U(sl_{2}), que l’on notera par V_{n}. On sait, c.f. 1.1, que le groupe H agit sur le U(sl_{2})-module V_{n} de façon compatible. Nous voulons construire les représentations irréductibles de dimension finie de A := U(sl_{2})^{H} et en particulier calculer le nombre de représentations irréductibles inéquivalentes de dimension donnée.

Par le Théorème 2.4, on obtient que le nombre des représentations irréductibles de dimension k de A est

τ_{k} := Σ_{i=1}^{r}Card{n | mtp(χ_{i}, V_{n}) = k}.

On a alors le résultat suivant :

Proposition. Pour chaque groupe fini H agissant sur U(sl_{2}) le nombre τ_{k} est indépendant de k. Sa valeur τ pour chaque groupe est donnée par :

τ(C_{n}) = n^{2}

τ(D_{n}) = n(n + 7)/2
τ(E_{6}) = 29
τ(E_{7}) = 53

τ(E_{8}) = 106.

Preuve : Par la correspondance de McKay, [8], à chaque groupe possible H correspond une algèbre de Lie affine simple du type A, D, E. Cette correspondance a été exploitée par Kostant et Gonsalez-Sprinberg Verdier pour calculer mtp(χ_{i}, V_{n}) pour tout i, n. Rappelons que le module V_{n} est la composante graduée de l’algèbre symétrique S(V_{2}). La compatibilité de l’action de H sur le U(sl_{2})-module V_{n} entraîne que la série de Hilbert des semi-invariants correspondant à χ_{i} pour l’action de H sur C[X, Y] est égale à Σ_{n}mtp(χ_{i}, V_{n})t^{n}. On note a_{n} = mtp(χ_{i}, V_{n}).

La formule de Molien-Du Val donne que cette série est périodique dans le sens suivant : il existe un N tel que a_{k+N} = a_{k} + l où l est un nombre entier positif et N divise CardH. Cette périodicité prouve que τ_{k} est indépendant de k. Il suffit alors de calculer pour chaque cas le nombre de représentations irréductibles de dimension 1. Pour tout χ ∈ Irr(H), on notera, lorsque cela a un sens, τ_{χ} le nombre de représentations irréductibles de type V_{χ}(λ), λ ∈ P^{+}, de dimension donnée.

Les calculs suivants sont basés sur les résultats de [5] et de [2] :

1) H = C_{n}, dans ce cas il y a n représentations irréductibles de dimension 1. Leur série de Hilbert est donnée par \frac{t^{j}+t^{n+1−j}}{(1−t^{2})(1−t^{2n}}, 1 ≤ j < n/2. Ces séries de Hilbert correspondent à la fois à une représentation et à sa duale. Si n est impair, il y a une

représentation auto-duale dont la série de Hilbert est donnée par \frac{2t^{\frac{n+1}{2}}}{(1−t^{2})(1−t^{2n}}. On trouve pour toutes les représentations irréductibles χ que le nombre de fois qu’elles apparaissent (avec multiplicité 1) est égal à n. D’où τ(C_{n}) = n^{2} . Cela a été observé par [Kr-Sm].

2) H = D_{n}, dans ce cas H admet 4 représentations irréductibles de dimension 1. χ_{triv} de série de Hilbert \frac{1+t^{2n−2}}{(1−t^{4})(1−t^{2n−4})} qui donne τ_{χ_{triv}} = [\frac{n−1}{2}]

χ_{1} de série de Hilbert \frac{t^{2}+t^{2n−4}}{(1−t^{4})(1−t^{2n−4})} qui donne τ_{χ_{1}} = [\frac{n}{2} − 1]

χ_{2}, χ_{3} de série de Hilbert \frac{t^{n−2}+t^{n}}{(1−t^{4})(1−t^{2n−4})} qui donne τ_{χ_{2}} = τ_{χ_{3}} = n − 2 H admet aussi n − 3 représentation irréductible de dimension 2, ρ_{2}, …, ρ_{n−2}. La série de Hilbert de ρ_{j} est \frac{t^{j−1}+t^{j+1}+t^{2n−j−3}+t^{2n−j−1}}{(1−t^{4})(1−t^{2n−4})} . On trouve que τ_{ρ_{j}} = n−1−j. On obtient donc au total que τ(D_{n}) = n(n + 7)/2.

3) H = E_{6} H admet 3 représentations irréductibles de dimension 1 : χ_{triv}, χ_{1}, χ_{2}. La série de Hilbert de χ_{triv} est \frac{1+t^{12}}{(1−t^{6})(1−t^{8})} qui donne τ_{χ_{triv}} = 6

La série de Hilbert de χ_{1}, χ_{2} est \frac{t^{4}+t^{8}}{(1−t^{6})(1−t^{8})} qui donne : τ_{χ_{1}} = τ_{χ_{2}} = 6. H admet 3 représentations irréductibles de dimension 2 : χ_{3}, χ_{4}, χ_{5}. La série de

Hilbert de χ_{3}, χ_{4} est égal à \frac{t^{3}+t^{5}+t^{7}+t^{9}}{(1−t^{6})(1−t^{8})} qui donne τ_{χ_{3}} = τ_{χ_{4}} = 3.

La série de Hilbert de χ_{5} est égale à \frac{t+t^{5}+t^{7}+t^{11}}{(1−t^{6})(1−t^{8})} qui donne τ_{χ_{5}} = 3 H admet une représentation irréductible de dimension 3, , χ_{6} qui admet comme

série de Hilbert : \frac{t^{2}+t^{4}+2t^{6}+t^{8}+t^{10}}{(1−t^{6})(1−t^{8})} qui donne τ_{χ_{6}} = 2 Au total on obtient donc τ(E_{6}) = 29.

4) H = E_{7} H admet 2 représentations irréductibles de dimension 1, χ_{triv}, χ_{1} La série de Hilbert de χ_{triv} est \frac{1+t^{18}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{triv}=12} La série de Hilbert de χ_{1} est \frac{t^{6}+t^{12}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{1}} = 12. H admet 3 représentations irréductibles de dimension 2: χ_{2}, χ_{3}, χ_{4} La série de Hilbert de χ_{2} est \frac{t^{5}+t^{7}+t^{11}+t^{13}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{2}} = 6 La série de Hilbert de χ_{3} est \frac{t^{+}t^{7}+t^{11}+t^{17}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{3}} = 6 La série de Hilbert de χ_{4} est \frac{t^{4}+t^{8}+t^{10}+t^{14}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{4}} = 6 H admet 2 représentations irréductibles de dimension 3 χ_{5}, χ_{6}. La série de Hilbert de χ_{5} est \frac{t^{4}+t^{6}+t^{8}+t^{10}+t^{12}+t^{14}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{5}} = 4 La série de Hilbert de χ_{6} est \frac{t^{2}+t^{6}+t^{8}+t^{10}+t^{12}+t^{16}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{6}} = 4 H admet une représentation de dimension 4, χ_{7}. La série de Hilbert de χ_{7} est \frac{t^{3}+t^{5}+t^{7}+2t^{9}+t^{11}+t^{13}+t^{15}}{(1−t^{8})(1−t^{12})} qui donne τ_{χ_{7}} = 3. Le résultat total est: τ(E_{7}) = 53.

5) H = E_{8} H admet une seule représentation irréductible de dimension 1, χ_{triv}. La série de Hilbert de χ_{triv} est \frac{1+t^{30}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{triv}} = 30 H admet 2 représentations irréductible de dimension 2: χ_{1}, χ_{2}. La série de Hilbert de χ_{1} est \frac{t+t^{11}+t^{19}+t^{29}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{1}} = 15 La série de Hilbert de χ_{2} est \frac{t^{7}+t^{13}+t^{17}+t^{23}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{2}} = 15 H admet 2 représentations irréductibles de dimension 3: χ_{3}, χ_{4}. La série de Hilbert de χ_{3} est \frac{t^{2}+t^{10}+t^{12}+t^{18}+t^{20}+t^{28}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{3}} = 10 La série de Hilbert de χ_{4} est \frac{t^{6}+t^{10}+t^{14}+t^{16}+t^{20}+t^{24}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{4}} = 10 H admet 2 représentations irréductibles de dimension 4 χ_{5}, χ_{6}. La série de Hilbert de χ_{5} est \frac{t^{3}+t^{9}+t^{11}+t^{1}3+t^{17}+t^{19}+t^{21}+t^{27}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{5}} = 7 La série de Hilbert de χ_{6} est \frac{t^{6}+t^{8}+t^{12}+t^{14}+t^{16}+t^{18}+t^{22}+t^{24}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{6}} = 8 H admet une représentation irréductible de dimension 5 χ_{7}. La série de Hilbert de χ_{7} est \frac{t^{4}+t^{8}+t^{10}+t^{12}+t^{14}+t^{16}+t^{18}+t^{20}+t^{22}+t^{26}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne τ_{χ_{7}} = 6 H admet une représentatin irréductible de dimension 6 χ_{8}. La série de Hilbert de χ_{8} est \frac{t^{5}+t^{7}+t^{9}+t^{11}+t^{13}+2t^{15}+t^{17}+t^{19}+t^{21}+t^{23}+t^{25}}{(1−t^{12})(1−t^{20})} qui donne

τ_{χ_{8}} = 5 Le résultat total est: τ(E_{8}) = 106.

Remarque. Ces calculs n’utilisent pas la connaissance des générateurs de U(sl_{2})^{H}.

REFERENCES

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2. GONSALEZ-SPRINBERG VERDIER. Construction géométrique de la correspondance de McKay, Ann. Sc. Ec. Norm. Sup., 4^{eme} série, t. 16, 1983, 409-449.

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4. B. KOSTANT. Lie group representations on polynomial rings, Amer. J. Math., 85, 327-404, (1963).

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6. H. KRAFT. and L.W. SMALL. Invariant algebras and completely reducible representations, Math. Res. Let., 1, 297-307, (1994).

7. M. LORENZ and D.S. PASSMAN. Observations on crossed products and fixed rings, Comm. in Alg, 8, 1980, 743-779.

8. J. MCKAY. Cartan Matrices, finite subgroups of quaternoins and Kleinan Singularities, Proc. Symp. Pur math., t. 37, 1980, 183-186.

9. S. MONTGOMERY. Fixed rings of finite automorphism groups of associative rings, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, 818, (1980).

10. D.S. PASSMAN. Infinite crossed products, Acad. Press, Pure and Applied Math., Vol. 135, 1989.

11. T.A. SPRINGER. Invariant theory, Lecture notes in Math., 585, Berlin Heidelberg New-York Springer 1977.

Institut Girard Desargues, UPRES-A-5028 Université Claude Bernard Lyon I, Bat 101 69622 Villeurbanne Cedex, France e-mail : caldero@desargues.univ-lyon1.fr