INTRODUCTION

Ce travail est consacré à l’étude des algèbres enveloppantes quantifiées et plus particulièrement de leurs centres. Les travaux de Lusztig, Rosso, De Concini - Kac, Joseph - Letzter et al. ont montré que les propriétés de ces algèbres ressemblent à celles des algèbres enveloppantes classiques. Nous avons essayé d’élargir, et parfois préciser, ces ressemblances tout en nous appuyant sur un phénomène essentiellement quantique : le couplage non dégénéré entre les quantifications des sous-algèbres de Borel opposées d’une algèbre de Lie semi-simple.

Avant de présenter les résultats que nous avons obtenus, dont certains ont fait l’objet des publications [7], [8] et [9], nous devons introduire quelques notations.

Soient 𝔤 une algèbre de Lie simple de rang n et 𝕂 un corps contenant l’indéterminée q. Soient P, resp. Q, les réseaux des poids entiers, resp. radiciels, associés à (𝔤, 𝔥), où 𝔥 est une sous-algèbre de Cartan de 𝔤. Notons W le groupe de Weyl de 𝔤. On désigne par U_{q} = U_{q}(𝔤) = 𝕂[x_{i}, k_{i}^{±}, y_{i}; 1 ≤ i ≤ n] l’algèbre enveloppante quantifiée définie comme dans [13], [19] et [20]. On introduit “l’algèbre quantique simplement connexe” Ǔ_{q} ⊃ U_{q} définie en [25, 3.1]. Alors, U_{q} et Ǔ_{q} peuvent être munies d’une structure d’algèbre de Hopf où l’on définit une action adjointe notée ad. L’algèbre Ǔ_{q} admet une décomposition triangulaire

Ǔ_{q} = U^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ U^{+}

où U^{+} = 𝕂[x_{i}; 1 ≤ i ≤ n], U^{−} = 𝕂[y_{i}, 1 ≤ i ≤ n] et Ǔ_{0} est isomorphe à 𝕂[P]. On désigne par τ(λ) ∈ Ǔ_{0} l’image de λ ∈ P. Soit P^{+} l’ensemble des poids entiers dominants. Pour λ ∈ P^{+} on note L_{q}(λ) le Ǔ_{q}-module simple de plus haut poids λ. On introduit l’espace C(λ) des coefficients du module L_{q}(λ). On peut alors munir C(λ) d’une structure de ad Ǔ_{q}-module, cf. [chap. I, 2.2, 2.4]. A l’aide de la forme ad-invariante introduite par M. Rosso, [35], et T. Tanisaki, [40], on définit le morphisme de ad Ǔ_{q}-modules ζ : Ǔ_{q} → Ǔ_{q}^{∗}. On remarque alors que :

— L’homomorphisme ζ se restreint en un isomorphisme de ad Ǔ_{q}.τ(−4λ) sur C(λ).

— ℂ_{q}[G] := ⨁_{λ∈P^{+}} C(λ) est égal à l’espace des éléments ad-finis, cf. [chap. I, 3.1] de Imζ.

Le résultat principal du chapitre I consiste en une preuve simplifiée du théorème de Joseph-Letzter qui assure que le sous-espace F (Ǔ_{q}) des éléments ad-finis de Ǔ_{q}, cf. [chap. I, 1.5], est somme directe des ad Ǔ_{q}.τ(−4λ), λ ∈ P^{+}. En utilisant ces résultats, il est facile d’adapter au cas quantique certaines démonstrations sur les algèbres enveloppantes classiques. Nous appliquons cette remarque à l’étude du centre du corps des fractions de Ǔ_{q}.

Pour λ ∈ P^{+}, fixons une base du module L_{q}(λ). On désigne par (s) la matrice à coefficients dans Ǔ_{q}, dont l’image par ζ est égale à la matrice naturelle des coefficients de L_{q}(λ) dans la base donnée. Cette matrice est utile pour l’étude de ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). En particulier, nous montrons que l’image de ad Ǔ_{q}.τ(−4λ) par la graduation de Joseph-Letzter possède une décomposition de type triangulaire, cf. [chap. I, 4.3]. Pour terminer le chapitre I, nous donnons des résultats sur l’algèbre ℂ_{q}[B^{−}], déformation quantique de l’algèbre des fonctions régulières sur le sous-groupe de Borel B^{−}.

Dans le chapitre II, nous étudions, à l’aide des résultats du chapitre I, les centres Z et Ž de U_{q} et Ǔ_{q}. Tout d’abord, on remarque que ad Ǔ_{q}.τ(−4λ), λ ∈ P^{+}, possède un unique élément central à une constante multiplicative près. Ce dernier se calcule à l’aide de la “trace quantique” de la matrice (s) associée à λ. La décomposition de F (Ǔ_{q}) décrite plus haut donne aisément :

Ž = ⨁_{λ∈P^{+}} 𝕂z_{λ}.

De plus, par une méthode de M. Rosso, cf. [36], on sait calculer l’image de z_{λ} par une projection sur Ǔ_{0}, analogue au morphisme de Harish-Chandra. On peut alors déterminer les structures d’algèbres des centres Z et Ž : Z est isomorphe à la 𝕂-algèbre du monoïde −4P^{+} ∩Q, et Ž est isomorphe à la 𝕂-algèbre du monoïde −4P^{+}, cf. [24]. Le centre Ž est donc une algèbre de polynômes engendrée par les z_{i} := z_{ϖ_{i}}, 1 ≤ i ≤ n, que nous pouvons calculer à l’aide de la matrice (s) associée à ϖ_{i}. En théorie, les z_{i} peuvent s’exprimer grâce à la matrice (s) associée à un poids commun dit “basique”, cf. [chap. I, 4.4]. En pratique un tel calcul se révèle difficile. Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), on montre comment le déterminant quantique fournit une forme explicite pour les z_{i}. Lorsqu’on spécialise q en 1, les éléments z_{i} ne permettent pas de retrouver les générateurs classiques du centre Z(𝔤) de l’algèbre enveloppante U(𝔤). Toutefois on trouve, en combinant linéairement les constantes et les z_{i} de nouveaux générateurs de Ž, appelés Casimir quantiques, qui eux possèdent la propriété voulue. On s’intéresse ensuite aux singularités de l’algèbre Z, ceci pour 𝔤 de type quelconque. Cela nous amène de façon naturelle à l’étude du réseau 4P^{+} ∩ Q. Ainsi, nous prouvons que Z est une algèbre normale et Gorenstein, cf. [chap. II, 5.2, 5.3], quelquesoit le type de 𝔤. Nous donnons en 5.5 les propriétés optimales de Z selon le type de 𝔤.

Soit V^{+} l’algèbre engendrée par les k_{i}x_{i}, 1 ≤ i ≤ n. Dans le chapitre III nous montrons que le centre Z(V^{+}) de l’algèbre V^{+} est une 𝕂-algèbre de polynômes. Puis nous donnons une méthode pour en calculer les générateurs. Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), on exprime ces derniers en termes de mineurs quantiques. La démonstration des résultats s’organise de la façon suivante. Par [25, 4.7 et 4.8], on sait que ad U^{+}.τ(−4λ) peut être muni d’une structure de Ǔ_{q}-module simple de plus haut poids. Un vecteur de plus haut poids de ce module s’écrit sous la forme τ(−4μ)e_{r(μ)} où e_{r(μ)} ∈ V^{+}, r(μ) = μ − w_{0}(μ), w_{0} étant le plus grand élément de W. On démontre alors :

Z(V^{+}) = 𝕂[e_{r(μ)}; μ ∈ H]

où H = {μ ∈ P^{+} | w_{0}(μ) = −μ}. Comme H est un monoïde libre, on obtient que Z(V^{+}) est une algèbre de polynômes. Puisque e_{r(μ)}e_{r(ν)} ∈ 𝕂e_{r(μ+ν)}, on peut déduire un système de générateurs (algébriquement indépendants) de la connaissance de e_{r(ϖ_{i})}. On donne en 2.3 une méthode itérative pour calculer ceux-ci. Lorsque 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1) on peut grâce aux résultats du chapitre II écrire les e_{r(ϖ_{i})} comme les déterminants quantiques d’une matrice à coefficients dans V^{+}. Dans le paragraphe 5, on obtient des résultats concernant le centre du corps de fractions de V^{+} et de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) := 𝕂[τ(ϖ_{i}), x_{i}; 1 ≤ i ≤ n].

Pour tout w ∈ W, on note w. l’action tordue de w sur le réseau des poids, cf. [chap. I, 1.2]. Dans le cas classique, il est montré dans [4] que le module simple de plus haut poids λ possède une résolution par des sommes directes de modules de Verma C_{i} := ⨁_{l(w)=i} M(w.λ), où l(w) désigne la longueur de l’élément w. Dans le chapitre IV, nous montrons qu’il existe une résolution analogue pour les Ǔ_{q}-modules L_{q}(λ), λ ∈ P^{+}. Soit t complexe non racine de l’unité, on sait par [28] que pour q = t, L_{q}(λ) se spécialise en un module simple L_{t}(λ). Il est alors naturel de regarder si la résolution de L_{q}(λ) se transforme en un complexe exact après une telle spécialisation. En s’inspirant de la preuve originale de Bernstein, Gelfand et Gelfand, nous montrons comment un tel résultat découle de l’analogue quantique du théorème de Borel-Weil-Bott, cf. [3]. Signalons que ce problème a déjà été étudié pour le type A_{n} par M. Rosso dans [37]. Dans le dernier paragraphe, nous prouvons que lorsque μ appartient à certaines chambres de Weyl, cf. [chap. IV, 3.3], alors le module L_{t}(μ) est l’image d’un module simple de dimension finie par un foncteur d’induction exact. Il en résulte qu’il existe comme dans le cas classique, cf. [16], une résolution du module simple L_{t}(μ) par des sommes directes de modules de Verma.

Notons enfin que la plupart des résultats obtenus dans les chapitres I, II et III se généralisent immédiatement au cas où 𝔤 est semi-simple et restent valables après spécialisation en t non racine de l’unité.

CHAPITRE I

Forme ad-invariante et dualité

Ce chapitre est extrait des articles [7] et [8]. On y expose quelques propriétés de la forme de Rosso à travers l’étude des morphismes β^{+}, β^{−} et ζ. Cette forme permet de simplifier la preuve de certains résultats importants de [24] et [25]. En particulier nous donnons une nouvelle démonstration du théorème de Joseph et Letzter qui montre que l’espace F (Ǔ_{q}) des éléments ad-finis de Ǔ_{q} se décompose en la somme directe des ad Ǔ_{q}.τ(−4λ), λ ∈ P^{+}. Comme application, nous donnons une description du centre du corps des fractions de Ǔ_{q}.

Pour tout λ ∈ P^{+}, les morphismes β^{+}, β^{−} et ζ permettent de définir des matrices (σ^{+}), (σ^{−}) et (s), cf. (4.1.1), utiles à l’étude des ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). La proposition 4.2 (i) donne la relation : (s) = (σ^{+}).(Sσ^{−}), où S désigne l’antipode. Notons que (σ^{+}) et (σ^{−}) ont été introduites de manière analogue dans [6], β^{+} et β^{−} étant déterminées à l’aide de la R-matrice. Signalons aussi que les matrices (σ^{+}) et (σ^{−}) associées à un poids ϖ dit basique, cf. 4.4, sont utilisées pour définir les relations entre les générateurs de l’algèbre quantique Ǔ_{q}. Dans la littérature, elles sont notées (L^{+}) et (L^{−}), cf. [30] et [32].

1. NOTATIONS

1.1. Soit A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} la matrice de Cartan de l’algèbre de Lie simple de dimension finie 𝔤. Soient d_{i}, 1 ≤ i ≤ n, des entiers naturels premiers entre eux tels que (d_{i}a_{ij}) soit symétrique. On fixe une sous-algèbre de Cartan 𝔥 de 𝔤. On note P le réseau des poids de 𝔤, engendré par les poids fondamentaux ϖ_{i}, 1 ≤ i ≤ n. On désigne par R le système de racines de 𝔥 dans 𝔤. On pose

α_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}ϖ_{i}, 1 ≤ j ≤ n, ρ = ∑_{i=1}^{n} ϖ_{i},

Q = ∑_{i=1}^{n} ℤα_{i}, Q^{+} = ∑_{i=1}^{n} ℕα_{i},

R^{+} = R ∩ Q^{+}, P^{+} = ∑_{i=1}^{n} ℕϖ_{i}.

On munit P de l’ordre partiel ≤, défini par μ ≤ ν ⇔ ν − μ ∈ Q^{+}. On définit sur P × Q une forme bilinéaire par (ϖ_{i}, α_{j}) = δ_{ij}d_{i}. Remarquons que l’on a (α_{i}, α_{i}) ∈ 2ℤ. On pose α_{ˇ i} = 2α_{i}/(α_{i}, α_{i}).

1.2. Soit W le groupe de Weyl associé au système de racines R. On note W^{(k)} le sous-ensemble de W, constitué des éléments de longueur k. Soit w_{0} le plus long élément de W et s sa longueur. On définit l’action tordue de W sur P par w.λ = w(λ + ρ) − ρ. Comme dans [12, 7.7.3], on munit W de l’ordre de Bruhat.

1.3. Soit q une indéterminée. On désigne par 𝕂 le corps engendré sur ℂ(q) par les puissances q^{1/m}, m ∈ ℕ^{∗}. Pour k ∈ ℤ, d ∈ ℕ^{∗}, on pose q_{i} = q^{d_{i}} et

[k]_{d} = \frac{q^{2dk} − q^{−2dk}}{q^{2d} − q^{−2d}}; [k]_{d}! = [k]_{d}[k − 1]_{d} … [1]_{d}; \left[{k \atop j}\right]_{d} = \frac{[k]_{d} … [k − j + 1]_{d}}{[j]_{d}!} .

Soit Ǔ_{0} la 𝕂-algèbre du groupe P, notée multiplicativement, et τ : P → Ǔ_{0} le morphisme canonique tel que si λ, μ ∈ P, τ(λ + μ) = τ(λ)τ(μ). Il vient :

Ǔ_{0} = 𝕂[τ(ϖ_{i})^{±1}, 1 ≤ i ≤ n].

On pose k_{i} = τ(α_{i}), 1 ≤ i ≤ n, et U_{0} = 𝕂[k_{i}^{±1}, 1 ≤ i ≤ n]. Soit Ǔ_{q} la 𝕂-algèbre engendrée par Ǔ_{0}, x_{i}, y_{i}, 1 ≤ i ≤ n, avec les relations :

τ(λ)x_{j}τ(−λ) = q^{(λ,α_{j})}x_{j}, τ(λ)y_{j}τ(−λ) = q^{−(λ,α_{j})}y_{j}, x_{i}y_{j} − y_{j}x_{i} = δ_{ij} \frac{k_{i}^{2} − k_{i}^{−2}}{q_{i}^{2} − q_{i}^{−2}} ,

∑_{m=0}^{1−a_{ij}}(−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} \atop m}\right]_{d_{i}}x_{i}^{1−a_{ij}−m}x_{j}x_{i}^{m} = 0,

∑_{m=0}^{1−a_{ij}}(−1)^{m}\left[{1 − a_{ij} − m \atop m}\right]_{d_{i}}y_{i}^{1−a_{ij}−m}y_{j}y_{i}^{m} = 0.

Alors Ǔ_{q} est une algèbre de Hopf où la comultiplication Δ, l’antipode S, l’augmentation ε sont donnés par :

Δx_{i} = x_{i} ⊗ k_{i}^{−1} + k_{i} ⊗ x_{i}, Δy_{i} = y_{i} ⊗ k_{i}^{−1} + k_{i} ⊗ y_{i}, Δτ(λ) = τ(λ) ⊗ τ(λ)
S(x_{i}) = −q_{i}^{−2}x_{i}, S(y_{i}) = −q_{i}^{2}y_{i}, S(τ(λ)) = τ(−λ)
ε(x_{i}) = ε(y_{i}) = 0, ε(τ(λ)) = 1.

1.4. Nous introduisons les sous-algèbres de Ǔ_{q} suivantes :

U^{+} = 𝕂[x_{i}; 1 ≤ i ≤ n], V^{+} = 𝕂[e_{i} := τ(α_{i})x_{i}; 1 ≤ i ≤ n],

Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = 𝕂[ τ(ϖ_{i})^{±}, x_{j}; 1 ≤ i, j ≤ n], U_{q}(𝔟^{+}) = 𝕂[τ(α_{i})^{±}, x_{j}; 1 ≤ i, j ≤ n],

U^{−} = 𝕂[y_{i}; 1 ≤ i ≤ n], V^{−} = 𝕂[f_{i} := y_{i}τ(−α_{i}); 1 ≤ i ≤ n],

Ǔ_{q}(𝔟^{−}) = 𝕂[τ(ϖ_{i})^{±}, y_{j}; 1 ≤ i, j ≤ n], U_{q}(𝔟^{−}) = 𝕂[τ(α_{i})^{±}, y_{j}; 1 ≤ i, j ≤ n].

On sait, cf. [34], que l’on a les décompositions triangulaires :

Ǔ_{q} = U^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ U^{+} = V^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ V^{+}.

On pose

U_{q} = U^{−} ⊗ U_{0} ⊗ U^{+} = 𝕂[k_{i}^{±1}, x_{i}, y_{i}; 1 ≤ i ≤ n],
φ = ε ⊗ 1 ⊗ ε |_{U^{−}⊗Ǔ_{0}⊗U^{+}} et φ̃ = ε ⊗ 1 ⊗ ε |_{U^{+}⊗Ǔ_{0}⊗U^{−}} .

On notera U_{+}^{±} := Ker ε |_{U^{±}} . Considérons l’automorphisme ξ de l’algèbre de Hopf Ǔ_{q} qui vérifie :

ξ(x_{i}) = y_{i}; ξ(y_{i}) = x_{i}; ξ(τ(λ)) = τ(λ) ; ξ(q^{1/m}) = q^{−1/m}.

Alors ξ est un ℂ-automorphisme de Ǔ_{q} qui se restreint en un automorphisme de U_{q}.

1.5. On définit dans Ǔ_{q} les actions adjointes à gauche et à droite par

ad v.u = v_{(1)}uS(v_{(2)}), u.ãdv = S(v_{(1)})uv_{(2)},

où u, v ∈ Ǔ_{q} et Δ(v) = v_{(1)} ⊗ v_{(2)} avec les conventions usuelles. Comme S est un antihomomorphisme d’algèbre de Hopf, il vient : ∀E, v ∈ Ǔ_{q}, S(v).ãd (S(E)) = S(ad E.v). On rappelle la propriété

(1.5.1)  ∀E, a, b ∈ Ǔ_{q}, ad E(ab) = ad E_{(1)}(a)ad E_{(2)}(b).

Enfin, on remarque :

(1.5.2)  ∀E, u ∈ Ǔ_{q}, ξ(ad E(u)) = ad ξ(E)(ξ(u)).

Soit Ž le centre de Ǔ_{q}, et Z le centre de U_{q}. On a, cf [24, 2.4] :

Ž = {z ∈ Ǔ_{q} | ∀u ∈ Ǔ_{q}, ad u(z) = ε(u)z},
Z = {z ∈ U_{q} | ∀u ∈ U_{q}, ad u(z) = ε(u)z}.

Soient Z(U^{+}) et Z(V^{+}) les centres respectifs de U^{+} et V^{+}. Il existe un isomorphisme d’algèbres U^{+} → V^{+}, x_{i} ↦ e_{i}. En particulier Z(U^{+}) ≃ Z(V^{+}).

On définit l’ensemble des éléments ad-finis de Ǔ_{q} par

F (Ǔ_{q}) = {x ∈ Ǔ_{q} | dim_{𝕂}ad Ǔ_{q}.x < ∞}.

On définit de manière analogue le module F (U_{q}) des éléments ad-finis de U_{q}.

1.6. Soit A = ℂ[q, q^{−1}]. On désigne par Ǔ_{A} la A-sous-algèbre de Ǔ_{q} engendrée par les éléments x_{i}, y_{i}, τ(λ), [k_{i}; 0], 1 ≤ i ≤ n, λ ∈ P, où

[k_{i}; m] = \frac{k_{i}^{2}q^{2m} − k_{i}^{−2}q^{−2m}}{q_{i}^{2} − q_{i}^{−2}} .

On désigne par U_{A} la A-sous-algèbre de U_{q} engendrée par x_{i}, y_{i}, k_{i}^{±}, [k_{i}; 0]. On montre, comme dans [10, 1.5], que U_{A} est munie d’une structure d’algèbre de Hopf et que

\overline{U_{A}} := U_{A}/(q − 1)U_{A} + ∑_{i}(k_{i} − 1)U_{A} ≃ U(𝔤)

où U(𝔤) est l’algèbre enveloppante de 𝔤. De façon analogue, on a

\overline{Ǔ_{A}} := Ǔ_{A}/(q − 1)Ǔ_{A} + ∑_{λ}(τ(λ) − 1)Ǔ_{A} ≃ U(𝔤).

On désigne par Ǔ_{A}^{0} la A-algèbre engendrée par τ(λ), [k_{i}; 0]; λ ∈ P, 1 ≤ i ≤ n. On posera H_{i} = \overline{[k_{i}; 0]}, et pour tout λ = ∑_{i} a_{i}α_{i} dans P : H_{λ} = ∑_{i} a_{i}H_{i}. Soit R le localisé de ℚ[q, q^{−1}] en l’idéal engendré par (q−1). On définit de manière analogue les algèbres U_{R} et Ǔ_{R}.

1.7. On vérifie, cf. [25, 2.2, 2.3], que U_{q} et Ǔ_{q} sont munis d’une filtration ad U_{q}- stable entièrement déterminée par le degré à valeurs dans \frac{1}{m}ℤ (pour un m ∈ ℕ^{∗}) défini comme suit : deg x_{i} = deg y_{i} = 1 et pour λ = ∑ m_{i}α_{i} ∈ P, deg τ(λ) = − ∑ m_{i}. Soit gr Ǔ_{q}, resp. gr U_{q} le gradué associé. L’action adjointe confère à gr Ǔ_{q}, resp. gr U_{q}, une structure de U_{q}-module.

On pose G(U_{q}) = {a ∈ gr U_{q} | dim_{𝕂}ad U_{q}(a) < ∞} et on note Ž(G) le centre de gr Ǔ_{q}. Pour E ∈ Ǔ_{q}, gr E sera aussi noté \overline{E}. Remarquons les isomorphismes d’espace vectoriels :

gr U^{±} ≃ U^{±}, gr Ǔ_{q} ≃ U^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ U^{+}.

Soit G^{+} = gr V^{+}, G^{−} = gr S(V^{−}) et pour tout λ ∈ P : G_{λ} = G^{−} ⊗ 𝕂τ(λ) ⊗ G^{+}, G_{λ}^{+} = 𝕂τ(λ) ⊗ G^{+}. La décomposition suivante est claire : gr Ǔ_{q} = ⨁_{λ∈P} G_{λ}.

1.8. Soit λ ∈ P. Alors λ définit un caractère χ_{λ} : Ǔ_{0} → 𝕂, τ(μ) ↦ q^{−(λ,μ)/4}. Posons θ_{λ} = χ_{−4λ}. Désignons par 𝕂v_{λ} le Ǔ_{0}-module de dimension 1 associé à θ_{λ}; il est muni d’une structure de Ǔ_{q}(𝔟^{+})-module en posant U_{+}^{+}v_{λ} = 0. On pose M_{q}(λ) = Ǔ_{q} ⊗_{Ǔ_{q}(𝔟^{+})} 𝕂v_{λ}. On dit que M_{q}(λ) est le module de Verma de plus haut poids λ. Il possède un unique quotient simple noté L_{q}(λ). Pour λ ∈ P^{+}, on a dim_{𝕂}L_{q}(λ) < ∞. Si L_{q}(λ)^{∗} est son Ǔ_{q}-module dual, il existe un isomorphisme de Ǔ_{q}-module L_{q}(λ)^{∗} ≃ L_{q}(−w_{0}λ). Tout module quotient de M_{q}(λ) sera appelé module de plus haut poids. Pour tout U_{0}-module M, et pour tout β ∈ P, on note :

M_{β} = {m ∈ M | ∀u ∈ U_{0}, u.m = θ_{β}(u)m}.

En particulier si M désigne une des sous-algèbres de Ǔ_{q} définies en 1.4, M_{β} est le sous-module des éléments de poids λ pour l’action adjointe de U_{0}.

Soient M un Ǔ_{q}-module de plus haut poids, v son vecteur de plus haut poids. On pose M_{A} = U_{A}^{−}v, où U_{A}^{−} représente la sous-algèbre de U_{A} engendrée par les y_{i}, 1 ≤ i ≤ n. Soit \overline{M}_{A} = M_{A}/(q − 1)M_{A}. Rappelons le résultat de [28, prop.4.2].

Proposition. Si M est un Ǔ_{q}-module simple de plus haut poids de dimension finie, alors M_{A} est un Ǔ_{A}-module et \overline{M}_{A} est simple.

Soient M et N deux Ǔ_{q}-modules de dimension finie ; on munit M ⊗ N de d’une structure de Ǔ_{q}-module par

u(m ⊗ n) = u_{(1)}m ⊗ u_{(2)}n, u ∈ Ǔ_{q}, m ∈ M , n ∈ N.

Cette action de Ǔ_{q} sur M ⊗ N sera appelée action diagonale. Soit Δ′ le morphisme donné par Δ′(u) = u_{(2)} ⊗ u_{(1)}. On sait, cf. [13] et [36], qu’il existe un opérateur R vérifiant

RΔ = Δ′R.

Cet opérateur permet de définir un isomorphisme M ⊗ N \underrightarrow{∼} N ⊗ M, où M ⊗ N et N ⊗ M sont munis de l’action diagonale.

2. FORME DE ROSSO.

2.1. Il existe une unique forme bilinéaire non dégénérée sur Ǔ_{q}(𝔟^{+}) × Ǔ_{q}(𝔟^{−}), [36, A II, théorème 6], [38] et [40, section 2], notée ( , ), vérifiant les propriétés :

(2.1.1) (u^{+}, u_{1}^{−}u_{2}^{−}) = (Δ(u^{+}), u_{1}^{−} ⊗ u_{2}^{−}) ,  u^{+} ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+}) ; u_{1}^{−}, u_{2}^{−} ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{−})

(2.1.2) (u_{1}^{+}u_{2}^{+}, u^{−}) = (u_{2}^{+} ⊗ u_{1}^{+}, Δ(u^{−})) ,  u^{−} ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{−}) ; u_{1}^{+}, u_{2}^{+} ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})

(2.1.3)  (τ(λ), τ(μ)) = q^{−(λ,μ)/2} ,  λ, μ ∈ P

(2.1.4)  (τ(λ), f_{i}) = 0 ,  λ ∈ P , 1 ≤ i ≤ n

(2.1.5)  (e_{i}, τ(λ)) = 0 ,  λ ∈ P , 1 ≤ i ≤ n

(2.1.6)  (e_{i}, f_{i}) = δ_{ij}(q_{i}^{−2} − q_{i}^{2})^{−1} ,  1 ≤ i, j ≤ n.

On montre que cette forme est non dégénérée sur V_{β}^{+} × V_{−β}^{−}, β ∈ Q^{+} et

(2.1.7)  (Xτ(λ), Y τ(μ)) = q^{−(λ,μ)/2}(X, Y) ,  X ∈ V^{+}, Y ∈ V^{−}

(2.1.8)  (S(u^{+}), S(u^{−})) = (u^{+}, u^{−}) ,  u^{+} ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+}), u^{−} ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{−}).

A l’aide de ( , ) on définit une forme bilinéaire < , > sur Ǔ_{q} × Ǔ_{q} par :

(2.1.9)  < X_{1}τ(λ)S(Y_{1}), Y_{2}τ(μ)S(X_{2}) >= (X_{1}, Y_{2})(X_{2}, Y_{1})q^{−(λ,μ)/4}

où X_{1}, X_{2} ∈ V^{+}, Y_{1}, Y_{2} ∈ V^{−}, λ, μ ∈ P. Cette forme est non dégénérée. De plus, nous avons, cf. [40, prop 2.2.1]

(2.1.10)  < ad u.v_{1}, v_{2} >=< v_{1}, v_{2}.ãd u >  pour u, v_{1}, v_{2} ∈ Ǔ_{q}.

2.2. Pour tout 𝕂-espace vectoriel E, on note E^{∗} son dual. On sait définir une structure d’algèbre sur le dual de toute algèbre de Hopf H. Considérons le dual de Hopf H^{0} de H, cf. [1, 2.3] ; H^{∘} est une sous-algèbre de H^{∗}. Elle est munie d’une structure naturelle d’algèbre de Hopf. On pourra donc parler des algèbres Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{∗}, Ǔ_{q}(𝔟^{−})^{∗} et de l’algèbre de Hopf (Ǔ_{q}^{∘}, m, S, Δ, ε). On munit Ǔ_{q}^{∗} d’une structure de Ǔ_{q}-bimodule et d’une structure de ad Ǔ_{q}-module à gauche en posant

vϕw(u) = ϕ(wuv), (ad v.ϕ)(u) = ϕ(u.ãd v), pour u, v, w ∈ Ǔ_{q}, ϕ ∈ Ǔ_{q}^{∗}.

Définissons les applications :

β^{+} : Ǔ_{q}(𝔟^{+}) → Ǔ_{q}(𝔟^{−})^{∗}, β^{+}(u)(v) = (u, v) ;
β^{−} : Ǔ_{q}(𝔟^{−}) → Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{∗}, β^{−}(u)(v) = (v, S(u)) ;
ζ : Ǔ_{q} → Ǔ_{q}^{∗}, ζ(u)(v) =< u, v > .

Nous pouvons énoncer le lemme

Lemme. Avec les notations précédentes, on a

(i) β^{±}, ζ sont injectives.

(ii) Soit α ∈ Q. La décomposition de V^{±} en espaces de poids permet de plonger (V_{α}^{±})^{∗} dans (V^{±})^{∗}. Identifions Ǔ_{q}(𝔟^{−}) à V^{−} ⊗ Ǔ_{0}, Ǔ_{q}(𝔟^{+}) à Ǔ_{0} ⊗ V^{+} et Ǔ_{q} à V^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ V^{+}. On a

Im(β^{+}) = ⨁_{α∈Q^{+}} V_{−α}^{− ∗} ⨂ ⨁_{δ∈P} 𝕂χ_{2δ}, Im(β^{−}) = ⨁_{δ∈P} 𝕂χ_{2δ} ⨂ ⨁_{α∈Q^{+}} V_{α}^{+∗},

Im(ζ) = ⨁_{α∈Q^{+}} V_{−α}^{−∗} ⨂ ⨁_{δ∈P} 𝕂χ_{2δ} ⨂ ⨁_{α∈Q^{+}} V_{α}^{+∗}.

(iii) β^{+} et β^{−} sont des antihomomorphismes d’algèbres. ζ est un morphisme de ad Ǔ_{q}-module à gauche pour l’action adjointe.

Preuve. (i) provient des propriétés de non-dégénéréscence de β^{±} et ζ. Soit δ, μ ∈ Q^{+}. La restriction de ( , ) à V_{δ}^{+} × V_{−μ}^{−} est non dégénérée si δ = μ et nulle si δ ≠ μ. En remarquant que dim_{𝕂}V_{δ}^{+} < ∞, (ii) découle de (2.1.7) et (2.1.9). (iii) est donné par (2.1.1), (2.1.2), (2.1.10). ♢

2.3. Soit E un Ǔ_{q}-module de dimension finie, (v_{j})_{1≤j≤n} une base de E, (v_{i}^{∗}) sa base duale. On définit dans Ǔ_{q}^{∘} les coefficients c_{ij} du Ǔ_{q}-module E par :

c_{ij}(u) = v_{i}^{∗}(u.v_{j}) , 1 ≤ i, j ≤ n , u ∈ Ǔ_{q}.

On appelle espace des coefficients de E le sous-espace de Ǔ_{q}^{0} engendré par les c_{ij}, 1 ≤ i, j ≤ n. On note C(E) cet espace. Considérons le module simple L_{q}(λ), λ ∈ P^{+}. Soit Ω(L_{q}(λ)) l’ensemble de ses poids. Notons C(λ) pour C(L_{q}(λ)). Soient (v_{μ,j}), μ ∈ Ω(L_{q}(λ)), 1 ≤ j ≤ dim L_{q}(λ)_{μ}, une base de vecteurs de poids de L_{q}(λ), ordonnée du plus haut au plus bas poids. Soit (v_{ν,i}^{∗}) sa base duale. Notons Ω^{×}(λ) la partie de Ω(L_{q}(λ)) × ℕ constituée des éléments (μ, j), 1 ≤ j ≤ dimL_{q}(λ)_{μ} et c_{ν,i,μ,j}^{λ}, les coefficients de L_{q}(λ) pour la base (v_{μ,i}). Lorsque dimL_{q}(λ)_{μ} = 1, on écrira μ pour (μ, 1). S’il n’y a pas d’ambiguïté, on posera c_{ν,i,μ,j} = c_{ν,i,μ,j}^{λ}.

2.4. Les propriétés suivantes sont claires.

(2.4.1) Soit λ ∈ P^{+} ; C(λ) est un sous-module de Ǔ_{q}^{0} pour l’action adjointe à gauche et on a

Δ c_{ν,i,μ,j} = ∑_{(δ,k)∈Ω^{×}(λ)} c_{ν,i,δ,k} ⊗ c_{δ,k,μ,j} , (ν, i), (μ, j) ∈ Ω^{×}(λ).

Supposons que y_{k}(v_{μ,j}) et x_{k}(v_{μ,j}), resp. y_{k}(v_{ν,i}^{∗}) et x_{k}(v_{ν,i}^{∗}), aient pour coordonnées (a_{δ,l}) et (c_{δ,l}), resp. (b_{δ′,l′}) et (d_{δ′,l′}), dans la base (v_{δ,l}), resp. (v_{δ′,l′}). Alors : (2.4.2)

ad y_{k}.(c_{ν,i,μ,j}) = q_{k}^{−(α_{k},μ)} ∑_{(δ,l)∈Ω^{×}(λ)} a_{δ,l}c_{ν,i,δ,l} + q_{k}^{−(α_{k},μ)} ∑_{δ′,l′∈Ω^{×}(λ)} d_{δ′,l′}c_{δ′,l′,μ,j}

(2.4.3)

ad x_{k}.(c_{ν,i,μ,j}) = q_{k}^{−(α_{k},μ)} ∑_{(δ,l)∈Ω^{×}(λ)} c_{δ,l}c_{ν,i,δ,l} + q_{k}^{−(α_{k},μ)} ∑_{(δ′,l′)∈Ω^{×}(λ)} d_{δ′,l′}c_{δ′,l′,μ,j}.

Munissons L_{q}(λ)^{∗} ⊗ L_{q}(λ) et L_{q}(λ) ⊗ L_{q}(λ)^{∗} d’une structure de Ǔ_{q}-module pour l’action diagonale, cf. 1.8, C(λ) de l’action adjointe et End L_{q}(λ) de la structure de Ǔ_{q}-module suivante : u.φ(v) = u_{(1)}(φ(Su_{(2)}v)), u ∈ Ǔ_{q}, φ ∈ End L_{q}(λ), v ∈ L_{q}(λ). On définit l’homomorphisme h : C(λ) → L_{q}(λ)^{∗}⊗L_{q}(λ) par h(c_{ν,i,μ,j}) = v_{ν,i}^{∗}⊗v_{μ,j}. On a alors les isomorphismes de Ǔ_{q}-modules :

(2.4.4)  C(λ) \underrightarrow{h} L_{q}(λ)^{∗} ⊗ L_{q}(λ) ⟶ L_{q}(λ) ⊗ L_{q}(λ)^{∗} ⟶ End L_{q}(λ).

Le troisième isomorphisme fait correspondre à v_{μ,j} ⊗ v_{ν,i}^{∗} l’endomorphisme φ tel que φ(v_{α,k}) = δ_{(α,k) , (μ,j)}v_{ν,i}. Le deuxième est l’isomorphisme de commutation rappelé en 1.8.

3. LE MODULE F (Ǔ_{q}).

3.1.

Lemme Soit λ ∈ P^{+}, on a ζ(τ(−4λ)) = c_{λ,λ} et ζ(ad Ǔ_{q}.τ(−4λ)) = C(λ).

Preuve. La décomposition Ǔ_{q} = Ǔ_{0} ⊕ ⨁_{α,β∈Q^{+}\{0}} V_{−α}^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ V_{β}^{+} permet de plonger Ǔ_{0}^{∗} dans Ǔ_{q}^{∗}. A l’aide de ce plongement, (2.1.9) donne ζ(τ(−4λ)) = χ_{−4λ} = c_{λ,λ}. Comme L_{q}(λ) est simple on obtient C(λ) = ad Ǔ_{q}.c_{λ,λ}. La seconde égalité du lemme en découle. ♢

On pose :

ℂ_{q}[G] = ⨁_{λ∈P^{+}} C(λ) = ζ( ⨁_{λ∈P^{+}} ad Ǔ_{q}.(τ(−4λ)),

F (Ǔ_{q}^{∗}) = {ϕ ∈ Ǔ_{q}^{∗} | dim_{𝕂}ad Ǔ_{q}.ϕ < ∞}.

Il est clair que F (Ǔ_{q}^{∗}) ∩ Imζ = ζ(F (Ǔ_{q})).

3.2.

Lemme On a :

Imζ = ⨁_{λ,μ∈P}(Imζ)_{λ,μ} où (Imζ)_{λ,μ} = {ϕ ∈ Imζ | ∀u, v ∈ Ǔ_{0}, uϕv = χ_{λ}(u)χ_{μ}(v)ϕ}.

Preuve. Puisque Ǔ_{q} = ⨁_{α,δ∈Q^{+},β∈P} V_{α}^{+}τ(β)S(V_{−δ}^{−}), il suffit de montrer qu’un élément de la forme ζ(a), avec a = uτ(β)S(v), u ∈ V_{α}^{+}, v ∈ V_{−δ}^{−}, β ∈ P est dans le sous-espace (Imζ)_{β+4δ,β+4α}. Soit b = v^{−}τ(λ)S(u^{+}), u^{+} ∈ V_{ν}^{+}, v^{−} ∈ V_{−μ}^{−}, λ ∈ P. On vérifie aisément que

(ζ(a)τ(α_{i}))(b) = q^{−(μ,α_{i})}q^{−(1/4)(β,λ+α_{i})}(u, v^{−})(u^{+}, v) = χ_{β+4α}(τ(α_{i}))ζ(a)(b).

Un calcul analogue pour τ(α_{i})ζ(a) donne le résultat. ♢

3.3. Le théorème qui suit constitue l’un des principaux résultats de [25]. Nous donnons en 3.6, une démonstration différente et sensiblement plus courte de ce résultat.

Théorème. On a :

F (Ǔ_{q}) = ⨁_{μ∈−4P^{+}} ad Ǔ_{q}.τ(μ), F (U_{q}) = ⨁_{μ∈−4P^{+}∩Q} ad U_{q}.τ(μ).

Grâce au lemme 3.1, le corollaire suivant est immédiat.

Corollaire. On a : ζ(F (Ǔ_{q})) = ℂ_{q}[G].

3.4.

Lemme. Soit ϕ ∈ Imζ. Alors :

(i) dim_{𝕂} Ǔ_{q}(𝔟^{+})ϕ < ∞ et dim_{𝕂} ϕǓ_{q}(𝔟^{−}) < ∞, (ii) si ϕ ∈ F (Ǔ_{q}^{∗})∩Imζ, on a dim_{𝕂} (∑_{m≥0} 𝕂y_{j}^{m}ϕ) < ∞ pour tout j ∈ {1, …, n}.

Preuve. (i) On peut supposer ϕ = ζ(u^{+}u_{0}S(u^{−})), u^{±} ∈ V^{±}, u_{0} ∈ Ǔ_{0}. Il résulte des relations (2.1.9) et (2.1.2) que Ǔ_{q}(𝔟^{+})ϕ est contenu dans le 𝕂-espace espace vectoriel engendré par les ζ(u^{+}u_{0}S(u_{(1)}^{−})), où Δ(u^{−}) = u_{(1)}^{−} ⊗ u_{(2)}^{−}. La deuxième assertion est analogue.

(ii) On établit facilement par récurrence que, si

ψ ∈ (Ǔ_{q}^{∗})_{λ,μ} = {η ∈ Ǔ_{q}^{∗} | ∀u, v ∈ Ǔ_{0}, uηv = χ_{λ}(u)χ_{μ}(v)η},

alors pour tout m ∈ ℕ, y_{j}^{m}ψ ∈ ∑_{i=0}^{m} 𝕂(ad y_{j}^{m−i}.ψ)y_{j}^{i}. Par le lemme 3.2, on peut supposer ϕ ∈ (Ǔ_{q}^{∗})_{λ,μ}. Soit E = ∑_{p≤0} 𝕂ad y_{j}^{p}.ϕ. On a dim_{𝕂}E < ∞ par hypothèse et ∑_{m≤0} 𝕂y_{j}^{m}ϕ ⊂ EǓ_{q}(𝔟^{−}) par l’assertion précédente. D’où le résultat par (i). ♢

3.5.

Théorème On a : F (Ǔ_{q}^{∗}) ∩ Im(ζ) = ℂ_{q}[G].

Preuve. Soit ϕ ∈ F (Ǔ_{q}^{∗}) ∩ (Imζ)_{ν,ν′}. Grâce à 3.4, on peut définir λ, μ ∈ P par

(λ, α_{ˇ i}) = r_{i} := Max{r | x_{i}^{r}ϕ ≠ 0}, (μ, α_{ˇ i}) = s_{i} := Max{s | y_{i}^{s}ϕ ≠ 0}, pour tout i ∈ {1, …, n}. Un raisonnement similaire à celui de [3], preuve du lemme 1.11, donne (−1/4)ν = μ − λ. L’idéal à gauche J(λ, μ) = Ker χ_{ν} + ∑_{j=1}^{n} (Ǔ_{q}x_{j}^{r_{j}} + Ǔ_{q}y_{j}^{s_{j}}) vérifie J(λ, μ)ϕ = 0.

Considérons le générateur v_{λ}^{∗} ⊗ v_{μ} du Ǔ_{q}-module L_{q}(λ)^{∗} ⊗ L_{q}(μ). On sait par [3, 1.30] que AnnǓ_{q} v_{λ}^{∗} ⊗ v_{μ} = J(λ, μ). Il en résulte que ϕ appartient à l’espace des coefficients de L_{q}(λ)^{∗} ⊗ L_{q}(μ), donc ϕ ∈ ℂ_{q}[G]. D’où F (Ǔ_{q}^{∗}) ∩ Imζ ⊂ ℂ_{q}[G]. L’inclusion inverse est évidente. ♢

3.6. On déduit de 3.1 et 3.5 que F (Ǔ_{q}) = ⨁_{λ∈P^{+}} ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). Ceci démontre la première assertion du théorème 3.1. La deuxième s’en déduit de la façon suivante. Comme Ǔ_{q} = Ǔ_{0}U_{q} = U_{q}Ǔ_{0}, U_{q} est un sous-ad Ǔ_{q}-module de Ǔ_{q} ; donc F (U_{q}) = F (Ǔ_{q}) ∩ U_{q}. D’autre part : ∀μ ∈ P, ad Ǔ_{q}.τ(μ) = ad U_{q}.ad Ǔ_{0}.τ(μ) = ad U_{q}τ(μ) ⊂ V^{−}τ(μ + Q)V^{+}. Il en résulte que : ad Ǔ_{q}.τ(μ) ⊂ U_{q} si et seulement si μ ∈ Q, et

( ⨁_{μ∈−4P^{+}, μ∉Q}ad Ǔ_{q}.τ(μ)) ∩ U_{q} = 0.

D’où la décomposition : F (U_{q}) = ⨁_{μ∈−4P^{+}∩Q}ad U_{q}.τ(μ). ♢

3.7. On montre à l’aide de (1.5.1) que F (Ǔ_{q}) est une sous-algèbre de Ǔ_{q}. On a de plus, à l’aide du lemme 3.1, τ(−4ϖ_{i}) ∈ F (Ǔ_{q}) pour tout i. En appliquant l’action adjointe de x_{i}, il vient τ(−4ϖ_{i})e_{i} ∈ F (Ǔ_{q}). Il en découle que pour tout élément v de V^{+}, on peut trouver un λ dans P^{+} tel que τ(−4λ)v ∈ F (Ǔ_{q}). Il existe une assertion analogue pour v ∈ S(V^{−}).

Théorème. Soit S = {μ ∈ P^{+}, μ = ∑_{i} n_{i}ϖ_{i}, 0 ≤ n_{i} ≤ 3}. Alors pour tout u ∈ Ǔ_{q}, on peut trouver λ dans P^{+} tel que

τ(−4λ)u = ∑_{s∈S} τ(s)u_{s} = ∑_{s∈S} u′_{s}τ(s), u_{s}, u′_{s} ∈ F (Ǔ_{q}).

Preuve. Nous venons de voir que le théorème était vérifié pour v ∈ V^{+} et v ∈ S(V^{−}). Il est aussi valable pour v ∈ Ǔ_{0}. Pour v quelconque, il suffit de décomposer

v sur ⨁_{α,β∈Q^{+},s∈S}V_{α}^{+} ⊗ 𝕂τ(s + 4P) ⊗ S(V_{−β}^{−}) pour conclure. ♢

Remarquons que ce résultat a été démontré dans [24, théorème 6.4], par une méthode différente. Nous pouvons énoncer :

Corollaire. Soit λ ∈ P^{+}, on a

(i) L_{q}(λ) est simple en tant que F (Ǔ_{q})-module, (ii) End_{F (Ǔ_{q})} L_{q}(λ) = 𝕂, (iii) Soit F (I) l’annulateur de L_{q}(λ) dans F (Ǔ_{q}). Alors les algèbres F (Ǔ_{q})/F (I)

et End L_{q}(λ) sont naturellement isomorphes.

Preuve. Soit M un sous-F (Ǔ_{q})-module non nul de L_{q}(λ). Remarquons que F (Ǔ_{q}) contient l’espace < τ(−4μ), μ ∈ P^{+} >. Il vient facilement que M contient un élément v non nul de poids. Or, il existe u ∈ Ǔ_{q} tel que u.v = v_{λ}. En appliquant le théorème précédent, on voit que v_{λ} ∈ M, puis que M = L_{q}(λ). Ce qui prouve (i). En utilisant la remarque ci-dessus, on obtient que tout élément de End_{F (Ǔ_{q})}L_{q}(λ) respecte les poids. Il en résulte, par le théorème précédent que End_{F (Ǔ_{q})} L_{q}(λ) = EndǓ_{q} L_{q}(λ) = 𝕂. Par le lemme de densité (iii) découle de (i) et (ii). ♢

3.8. Comme application de ces résultats, nous donnons dans cette section l’adaptation au cas quantique d’un théorème sur le centre du corps des fractions d’une algèbre enveloppante, cf. [12, 4.2]. Commençons par un lemme.

Lemme. Soit α ∈ P, alors τ(4P +α)F (Ǔ_{q}) est stable par l’action adjointe de U^{±}.

Preuve. Montrons le lemme pour U^{+}, l’autre partie étant analogue. A une constante multiplicative près, on a : ad x_{i}.τ(α) = τ(α)e_{i}, 1 ≤ i ≤ n. Donc, ad x_{i}.τ(α) = τ(4ϖ_{i})τ(α)[τ(−4ϖ_{i})e_{i}] ∈ τ(4P + α)F (Ǔ_{q}). En appliquant (1.5.1), et en remarquant que F (Ǔ_{q}) est une algèbre, on en déduit le lemme. ♢

Nous pouvons maintenant montrer la proposition

Proposition. Tout idéal bilatère non nul de Ǔ_{q} contient un élément non nul de Ž.

Preuve. Appelons J cet idéal. Nous allons d’abord montrer que F (J) := J ∩ F (Ǔ_{q}) ≠ (0). Avec les notations du théorème 3.7, on peut trouver un u ∈ J tel que u = ∑_{s∈S} τ(s)u_{s}, avec u_{s} ∈ F (Ǔ_{q}). On montre aisément que pour s ≠ 0, τ(s)u_{s} ∉ F (Ǔ_{q}). C’est à dire que l’on peut trouver i tel que, soit x_{i}, soit y_{i} agisse sur τ(s)u_{s} de façon non nilpotente par l’action adjointe. Soit τ(α)u_{α}, α ∈ S, un élément non nul de la décomposition de u, alors on peut trouver un e tel que 1) e soit la puissance d’un x_{i} ou d’un y_{i},

2) ad e.u_{α} = 0,

3) les autres termes de la décomposition de τ(−α)u ne soient pas tous annulés par l’action adjointe de e.

Par le lemme précédent, ad e.(τ(−α)u) est un élément non nul de J qui une décomposition strictement plus petite que celle de u. En poursuivant cet algorithme, on obtient l’assertion désirée. Comme F (J) est non nul, et comme ⋂_{λ∈P^{+}} Ann L_{q}(λ) = 0, cf. [24, 8.3], il existe un λ ∈ P^{+} tel que F (J) n’annule pas L_{q}(λ). Soit I l’idéal annulateur de L_{q}(λ), il vient F (J) ⊄ I. Notons F (I) = I ∩ F (Ǔ_{q}). D’après le corollaire 3.7 (iii) on a F (Ǔ_{q})/F (I) ≃ End L_{q}(λ), donc l’algèbre F (Ǔ_{q})/F (I) est simple. De plus comme F (J) ⊄ F (I), il vient F (Ǔ_{q}) = F (I) + F (J). Or, F (I) et F (J) sont des ad Ǔ_{q}-modules, on peut donc, à l’aide du théorème 3.3, décomposer F (J) en F (I) ∩ F (J) ⊕ W où W est un ad Ǔ_{q}-sous-module de F (Ǔ_{q}). Il vient F (Ǔ_{q}) = F (I) ⊕ W. On a donc les isomorphismes de Ǔ_{q}-modules

W ≃ F (Ǔ_{q})/F (I) ≃ End L_{q}(λ).

Donc, il existe un élément ad Ǔ_{q}-invariant non nul dans W, et a fortiori dans J.♢

On a clairement le corollaire suivant.

Corollaire. Le centre du corps des fractions de Ǔ_{q} est égal au corps des fractions du centre de Ǔ_{q}.

4. MATRICES (σ^{±}) ET (s).

4.1. Soit λ dans P^{+}. On fixe une base (v_{μ,j}) de L_{q}(λ). Nous allons construire la matrice (s) et les matrices (σ^{±}) associées à λ. Pour cela, montrons la proposition.

Proposition. Soit (ν, i), (μ, j) ∈ Ω^{×}(λ). Alors

c_{ν,i,μ,j} |_{Ǔ_{q}(𝔟)^{∓}}∈ Im β^{±} et c_{ν,i,μ,j} ∈ Im ζ.

Preuve. L’étude du module L_{q}(λ) donne facilement

c_{ν,i,μ,j} |_{Ǔ_{q}(𝔟^{+})}∈ 𝕂χ_{−4ν} ⊗ (U_{ν−μ}^{+})^{∗} , c_{ν,i,μ,j} |_{Ǔ_{q}(𝔟^{−})}∈ (U_{ν−μ}^{−})^{∗} ⊗ 𝕂χ_{−4μ}.

La première assertion découle alors du lemme 2.2 (ii). La seconde provient du lemme 3.1. ♢

Notons donc σ_{ν,i,μ,j}^{±}, s_{ν,i,μ,j} les éléments de Ǔ_{q}(𝔟^{±}), Ǔ_{q} tels que :

(4.1.1)  β^{±}(σ_{ν,i,μ,j}^{±}) = c_{ν,i,μ,j} |_{Ǔ_{q}(𝔟^{∓})} , ζ(s_{ν,i,μ,j}) = c_{ν,i,μ,j}.

4.2. Soient (σ^{±}) et (s) les matrices :

(σ^{±}) = (σ_{ν,i,μ,j}^{±})_{(ν,i),(μ,j)∈Ω^{×}(λ)} , (s) = (s_{ν,i,μ,j})_{(ν,i),(μ,j)∈Ω^{×}(λ)}.

Remarques. – (σ^{+}) est une matrice triangulaire inférieure et (σ^{−}) est une matrice triangulaire supérieure. De plus σ_{λ,λ}^{+} = Sσ_{λ,λ}^{−} = τ(−2λ).

– Ces matrices dépendent de la base de L_{q}(λ) fixée.

Nous allons voir que (s) s’écrit simplement en fonction des matrices (σ^{+}) et (σ^{−}). Pour cela, nous avons besoin d’un lemme.

Lemme. Soient (ν, i), (μ, j) dans Ω^{×}(λ), on a

(i) σ_{ν,i,μ,j}^{+} ∈ V_{μ−ν}^{+} ⊗ τ(−2μ) (ii) Sσ_{ν,i,μ,j}^{−} ∈ τ(−2ν) ⊗ SV_{μ−ν}^{−}.

Preuve. Les poids de ces éléments résultent des définitions 4.1.1.

Soit α^{+} = j ∘ β^{+} ∘ i où i désigne l’injection canonique de V^{+} dans Ǔ_{q}(𝔟^{+}), et j l’homomorphisme de restriction de Ǔ_{q}(𝔟^{−})^{∗} dans V^{−∗}. Alors α^{+} est une application linéaire injective. De plus : Im α^{+} = ⨁_{β∈Q^{+}} V_{−β}^{−∗}. Soient alors (ν, i),

(μ, j) dans Ω^{×}(λ). Il vient c_{ν,i,μ,j} |_{V^{−}}∈ Im α^{+}. Soit v_{ν,i,μ,j} son antécédent par α^{+}. D’après (2.1.7) et par définition de c_{ν,i,μ,j}, on obtient

β^{+}(v_{ν,i,μ,j}τ(−2μ)) = c_{ν,i,μ,j} |_{Ǔ_{q}(𝔟^{−})} .

(i) découle alors de l’injectivité de β^{+}. (ii) est similaire. ♢

Proposition. Posons (Sσ^{−}) = (Sσ_{ν,i,μ,j})_{(ν,i),(μ,j)∈Ω^{×}(λ)}. Alors, on a :

(i) (s) = (σ^{+}).(Sσ^{−}) (ii) s_{ν,i,λ} = σ_{ν,i,λ}^{+}τ(−2λ) , s_{λ,μ,j} = τ(−2λ)Sσ_{λ,μ,j}^{−} et s_{λ,λ} = τ(−4λ). (iii) Les s_{ν,i,μ,j} forment une base de ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). Les s_{ν,i,λ}, resp. s_{λ,μ,j} forment

une base de ad U^{+}.τ(−4λ), resp. ad U^{−}.τ(−4λ).

Preuve. Puisque < , > est une forme non dégénérée, l’assertion (i) équivaut à :

∀ u ∈ Ǔ_{q}, c_{ν,i,μ,j}(u) = ∑_{α,l∈Ω^{×}(λ)} < σ_{ν,i,α,l} Sσ_{α,l,μ,j}^{−} , u > .

On peut supposer que u = u^{−}τ(δ)Su^{+}, où δ ∈ P, u^{+} ∈ V^{+}, u^{−} ∈ V^{−}. Alors, par (2.3.1), on a :

c_{ν,i,μ,j}(u^{−}τ(δ)Su^{+}) = ∑_{α,l∈Ω^{×}(λ)} c_{ν,i,α,l}(u^{−}τ(δ))c_{α,l,μ,j}(Su^{+})

= ∑_{α,l∈Ω^{×}(λ)}(σ_{ν,i,α,l}^{+} , u^{−}τ(δ)) (Su^{+}, Sσ_{α,l,μ,j}^{−}).

D’après le lemme 4.2, nous pouvons écrire :

σ_{ν,i,α,l}^{+} = v_{ν,i,α,l}^{+}τ(−2α) ; Sσ_{α,l,μ,j}^{−} = τ(−2α)Sv_{α,l,μ,j}^{−}

où v_{ν,i,α,l}^{+} ∈ V^{+}, v_{α,l,μ,j}^{−} ∈ V^{−}. De (2.1.7), (2.1.8), (2.1.9), il découle que

c_{ν,i,μ,j}(u^{−}τ(δ)Su^{+})  = ∑_{α,l∈Ω^{×}(λ)}(v_{ν,i,α,l}^{+} , u^{−})q^{(δ,α)}(u^{+}, v_{α,l,μ,j}^{−})

= ∑_{α,l∈Ω^{×}(λ)} < v_{ν,i,α,l}^{+}τ(−4α)Sv_{α,l,μ,j}^{−} , u^{−}τ(δ)Su^{+} >

= ∑_{α,l∈Ω^{×}(λ)} < σ_{ν,i,α,l}^{+}Sσ_{α,l,μ,j}^{−} , u^{−}τ(δ)Su^{+} > .

Nous avons démontré (i). (ii) découle alors de la remarque 4.2. La première assertion de (iii) résulte de la définition de (s) et le reste provient de (i), (ii) et des formules (2.4.2), (2.4.3). ♢

4.3. Soit M = (m_{ij}) une matrice à coefficients dans Ǔ_{q} et d = max {deg m_{ij}} ; on définit la matrice : (gr M) = (gr_{d} m_{ij}), où gr_{d} a désigne la composante de degré d de a. D’après le lemme 4.2, la matrice (σ^{+}) est nulle sauf sur sa première colonne, et la matrice (S σ^{−}) est nulle sauf sur sa première ligne. Il en résulte, par la proposition 4.2, que :

(4.3.1)  (gr s)_{ν,i,μ,j} = (gr σ^{+})_{ν,i,λ}.(gr S σ^{−})_{lambda,μ,j}.

On définit des sous-espaces K_{λ}^{+} et K_{λ}^{−} par :

ad U^{+}.τ(−4λ) = K_{λ}^{+}τ(−4λ) et ad U^{−}.τ(−4λ) = K_{λ}^{−}τ(−4λ).

On obtient alors la proposition

Proposition. On a la décomposition :

gr (ad Ǔ_{q}.τ(−4λ)) = gr K_{λ}^{+} ⊗ 𝕂gr (τ(−4λ)) ⊗ gr K_{λ}^{−}.

Preuve. Par la proposition 4.2 (iii), les (gr s)_{ν,i,μ,j} engendrent gr (ad Ǔ_{q}.τ(−4λ)). Par construction du gradué, il existe un isomorphisme naturel d’espaces vectoriels Ǔ_{q}(𝔟^{±}) ≃ gr Ǔ_{q}(𝔟^{±}). Ceci prouve que les (gr σ^{+})_{ν,i,λ} ainsi que les (gr Sσ^{−})_{λ,μ,j} forment une partie libre pour (ν, i), (μ, j) ∈ Ω^{×}(λ). Par décomposition triangulaire dans le gradué, cf. 1.7, on en déduit que les (gr s)_{ν,i,μ,j} forment une base de gr ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). On conclut à l’aide de la proposition 4.2 (ii) et (iii). ♢

Remarquons que ceci entraine dim gr ad Ǔ_{q}.τ(−4λ) = dim ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). Donc, la graduation induit un isomorphisme de ad Ǔ_{q}-modules de F (Ǔ_{q}) vers son gradué G(Ǔ_{q}). Cette proposition est prouvée dans [25, 4.9], par une méthode différente.

4.4. On se propose dans cette section de préciser la structure de Im β^{+} en tant qu’algèbre. On sait, cf. [31, Table 1], que toute représentation irréductible L_{q}(λ) de dimension finie est facteur direct d’une puissance tensorielle d’une représentation irréductible fondamentale, dite basique. Soit L_{q}(ϖ) une telle représentation. Fixons une base (v_{k}) de L_{q}(ϖ), où v_{k} est de poids μ_{k}. Pour 1 ≤ i, j ≤ dim L_{q}(ϖ), on définit la relation i ≺ j ⇔ μ_{i} − μ_{j} ∈ Q^{+}\{0}. Notons X_{ij}, 1 ≤ i, j ≤ dim L_{q}(ϖ) les coefficients du module L_{q}(ϖ) dans la base (v_{k}). Pour tout λ ∈ P^{+}, il existe un entier m tel que le module L_{q}(λ) s’injecte dans L_{q}(ϖ)^{⊗m} muni de l’action diagonale. Donc, l’algèbre ℂ_{q}[G] est engendrée par les X_{ij}, 1 ≤ i, j ≤dim L_{q}(ϖ). L’image de ℂ_{q}[G] par l’homomorphisme de restriction ℂ_{q}[G] → ℂ_{q}[G] |_{Ǔ_{q}(𝔟^{±})} sera notée ℂ_{q}[B^{±}]. Pour X ∈ ℂ_{q}[G], on notera \overline{X} son image dans ℂ_{q}[B^{−}]. Pour des commodités d’écriture, on notera encore χ_{α} l’élément de Ǔ_{0}^{∗} défini en 1.8, étendu sur Ǔ_{q}^{∗} par : χ_{α} |_{Ǔ_{q}(𝔟^{±})_{μ}}= 0 pour μ ≠ 0. Enonçons un lemme.

Lemme. Soit ν ∈ Q, α ∈ P et v ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})_{ν}, alors

ζ(vτ(α)) ∈ 𝕂ζ(v)χ_{α}.

Preuve. Rappelons l’assertion : Soit u ∈ V_{−ν}^{−}, on a :

Δ(u) = u ⊗ τ(−ν) + a_{(1)} ⊗ a_{(2)}

où a_{(1)} ⊗ a_{(2)} ∈ ⨁_{{α_{1}+α_{2}=ν,α_{2}≠0 \atop α_{1},α_{2}∈Q^{+}}} Ǔ_{q}(𝔟^{−})_{−α_{1}} ⊗ Ǔ_{q}(𝔟^{−})_{−α_{2}}.

Il vient facilement que ζ(v)χ_{α} est une forme à support dans Ǔ_{q}(𝔟^{−})_{−ν}. Cette propriété est évidemment vérifiée pour ζ(vτ(α)). Soit u ∈ V_{−ν}^{−}, δ ∈ P. Par (2.1.9), nous obtenons ζ(vτ(α))(uτ(δ)) = ζ(v)(u)χ_{α}(τ(δ)). De plus ζ(v)χ_{α}(uτ(δ)) = (ζ(v)⊗χ_{α})(Δ(uτ(δ))) = (ζ(v)⊗χ_{α})(uτ(δ)⊗τ(δ−ν)) d’après l’assertion précédente. Le lemme en découle. ♢

A l’aide de la proposition 4.1, on remarque que l’algèbre Im β^{+} est une extension de l’algèbre ℂ_{q}[B^{−}]. La proposition qui suit précise cette assertion.

Proposition. L’algèbre de Hopf ℂ_{q}[B^{−}] est isomorphe au quotient de ℂ_{q}[G] par l’idéal de Hopf engendré par les X_{ij}, i ≺ j. L’algèbre Im β^{+} est l’extension de l’algèbre ℂ_{q}[B^{−}] par les χ_{2δ}, δ ∈ P. Pour cette extension, les relations sont données par :

\overline{χ}_{2δ}\overline{X}_{ij} = q^{(δ, μ_{i}−μ_{j})}\overline{X}_{ij}\overline{χ}_{2δ}, δ ∈ P, i ⊀ j.

Preuve. Par (2.4.1), on sait que l’idéal I engendré par les X_{ij} est un idéal de Hopf. Cet idéal est clairement inclus dans le noyau de l’homomorphisme de restriction ℂ_{q}[G] → ℂ_{q}[B^{−}]. Nous devons montrer l’inclusion inverse. Soit ϕ un élément de ce noyau. Comme dans la démonstration du théorème 3.5, on montre qu’il existe λ et μ dans P^{+} tels que J(−w_{0}λ, μ)ϕ = 0. On sait que J(−w_{0}λ, μ) = Ann v_{w_{0}λ} ⊗v_{μ}, où v_{w_{0}λ} ⊗v_{μ} ∈ L_{q}(λ)⊗L_{q}(μ). Il existe donc une forme linéaire f sur L_{q}(λ)⊗L_{q}(μ) telle que

(4.4.1)  ϕ(u) = f(u.(v_{w_{0}λ} ⊗ v_{μ})),

pour tout u ∈ Ǔ_{q}. Or, on a Ǔ_{q}(𝔟^{−}).(v_{w_{0}λ} ⊗ v_{μ}) = 𝕂v_{w_{0}λ} ⊗ L_{q}(μ). L’hypothèse sur ϕ et (4.4.1) entrainent donc que f se décompose dans {(v_{α,i} ⊗ v_{ν,j})^{∗}, (α, i) ∈ Ω^{×}(λ), α ≠ w_{0}λ, (ν, j) ∈ Ω^{×}(μ)}. Par (4.4.1), ceci prouve que ϕ est combinaison linéaire d’éléments de la forme c_{α,i,w_{0}λ}^{λ}.c_{ν,j,μ}^{μ}. Il suffit donc de montrer que pour (α, i) ∈ Ω^{×}(λ), α ≠ w_{0}λ, c_{α,i,w_{0}λ} appartient à I. Ceci est clair car d’une part, ℂ_{q}[G] est engendré par les X_{ij}, 1 ≤ i, j ≤ n et d’autre part, v_{α,i}^{∗} ⊗ v_{w_{0}λ} a un poids dans Q^{+}\{0}. Le corollaire 3.3 donne ℂ_{q}[B^{−}] = ζ(F (Ǔ_{q}) |_{Ǔ_{q}(𝔟^{−})}) = ζ(F (Ǔ_{q}) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})) |_{Ǔ_{q}(𝔟^{−})}. Nous allons montrer dans un premier temps :

ζ(Ǔ_{q}(𝔟^{+})) |_{Ǔ_{q}(𝔟^{−})}= ℂ_{q}[B^{−}][\overline{χ}_{δ}, δ ∈ P].

Considérons pour cela ζ(u), u ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Par le théorème 3.7, on peut se ramener au cas : u = vτ(α), avec v ∈ F (Ǔ_{q})∩Ǔ_{q}(𝔟^{+}), α ∈ P. De plus nous pouvons choisir v ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})_{ν}, ν ∈ Q. L’assertion découle donc du lemme 4.4. La première partie de la proposition est alors une conséquence de (2.1.7), (2.1.9) et du lemme 4.4. On peut trouver un élément u ∈ (Ǔ_{q})_{μ_{i}−μ_{j}} tel que u.v_{j} = v_{i}. Pour obtenir les relations de la proposition, il suffit de comparer l’action de χ_{2δ}X_{ij} et de X_{ij}χ_{2δ} sur un tel u, puis de quotienter par les X_{ij}, i ≺ j. ♢

Signalons aussi que dans [27], les auteurs ont défini un système de générateurs de Ž qui se spécialise sur des générateurs de Z(𝔤), appelés invariants de Gelfand. Pour n ≠ 1, 2 ceux-ci ne sont pas combinaisons linéaires des constantes et des z_{i}.

Pour finir, nous nous intéressons aux propriétés géométriques de l’algèbre Z. En 5.2 et 5.3, nous montrons que pour 𝔤 simple arbitraire, Z est normale et Gorenstein. La proposition 5.5 précise cette assertion.

1. TRACES QUANTIQUES.

Nous allons définir dans ℂ_{q}[G] des éléments appelés traces quantiques. Ceux-ci nous permettront de déterminer la structure d’algèbre de Z et de Ž.

1.1. Fixons λ dans P^{+}. Grâce à [chap. I, (2.4.4) et lemme 3.1], on a la suite d’isomorphismes.

ad Ǔ_{q}.τ(−4λ) \underrightarrow{∼} C(λ) \underrightarrow{∼} End L_{q}(λ).

le Ǔ_{q}-module L_{q}(λ) étant simple, l’unique Ǔ_{q}-invariant de End L_{q}(λ) est l’identité, notée Id_{λ}. Via les isomorphismes ci-dessus, on peut définir les invariants, uniques à une constante multiplicative près : ψ_{λ} ∈ C(λ) et z_{λ} ∈ ad Ǔ_{q}.τ(−4λ). Le théorème suivant est connu, cf. [36, prop. 10].

Théorème. Soit λ ∈ P^{+}. L’unique Ǔ_{q}-invariant du module C(λ) est donné par :

ψ_{λ}(u) = tr(τ(4ρ).u; L_{q}(λ)) (à un scalaire près)

où u ∈ Ǔ_{q} et tr désigne la trace. ♢

Remarquons que pour l’action à droite (ψ.x = ψ(ad x.−)), l’invariant ψ̃_{λ} est donné par tr(uτ(−4λ) ; L_{q}(λ)). C’est celui que l’on trouve plus couramment dans la littérature. Il est appelé trace quantique, cf. [40], [35], [24].

1.2. Par 1.1 et [chap. I, 1.5 et th. 3.3], on a

(1.2.1)  Ž = ⨁_{λ∈P^{+}} 𝕂 z_{λ}.

Posons Θ = ⨁_{λ∈P^{+}} 𝕂 ψ_{λ}. L’homomorphisme φ̃ ayant été défini en [chap. I, 1.4], on montre, à l’aide de [chap. I, (2.1.1)-(2.1.6)], que le diagramme suivant est commutatif.

Ž \underrightarrow{ζ} Θ
φ̃ ↓  ↓ r
Ǔ_{0} \underrightarrow{r ∘ ζ} Ǔ_{0}^{∗}

où r désigne l’homomorphisme de restriction. Notons que φ̃ | Ž est un homomorphisme d’algèbres, cf. [10, 2.1]. On montre aisément qu’il en est de même de r et de ζ |Ǔ_{0}. Donc ζ induit un isomorphisme d’algèbres de Ž sur Θ. Notons qu’il s’agit du même homomorphisme que celui introduit par Drinfeld dans [14, prop. 3.3]. De ce diagramme et du théorème 1.1, il découle aisément :

φ̃(z_{λ}) = ∑_{(μ,i)∈Ω^{×}(λ)} q^{(4ρ,μ)}τ(−4μ).

La somme tient compte de la multiplicité du poids μ dans L_{q}(λ). Il est clair que ξ(z_{λ}) est central dans ad Ǔ_{q}.τ(−4λ) par [chap. I, (1.5.2)]. Donc ξ(z_{λ}) est égal à z_{λ} à une constante multiplicative près. En utilisant la graduation Gr définie par deg x_{i} = deg y_{i} = 1 et deg τ(λ) = 0, il découle de [chap. I, lemme 4.2 et proposition 4.2], que Gr ξ(z_{λ}) = Gr z_{λ}. D’où :

(1.2.2)  ξ(z_{λ}) = z_{λ}.

Il vient

(1.2.3) φ(z_{λ}) = ∑_{(μ,i)∈Ω^{×}(λ)} q^{−(4ρ,μ)}τ(−4μ) ; gr φ(z_{λ}) = q^{−(4ρ,μ)} gr τ(−4λ).

On en déduit le théorème :

Théorème. Le centre Ž est un anneau de polynômes engendré par les z_{i} := z_{ϖ_{i}}. Le centre Z est isomorphe à la 𝕂-algèbre de Q ∩ −4P^{+}.

Remarquons que ce résultat est une conséquence directe de [25, 4.13]. En utilisant [chap. I, proposition 4.2 (i)], on obtient :

(1.2.4)  z_{λ} = ∑_{(μ,i)∈Ω^{×}(λ)} q^{(4ρ,μ)}s_{μ,i,μ,i} = ∑_{(μ,i),(ν,j)∈Ω^{×}(λ)} q^{(4ρ,μ)}σ_{μ,i,ν,j}^{+}Sσ_{ν,j,μ,i}^{−}.

1.3. Montrons l’assertion :

Assertion. Pour tout λ dans P^{+}, on a z_{λ} ∈ Ǔ_{A}.

Preuve. Soit m l’entier positif minimal tel que (q − 1)^{m}z_{λ} ∈ Ǔ_{A}. Supposons m non nul. Avec les notations de [chap. I, 1.6], cela entraine par (1.2.3) que \overline{(q − 1)^{m}z_{λ}} s’annule sur tout U-module simple de dimension finie. On en déduit, par un analogue de [12, th. 2.5.7], que ce dernier élément est nul et donc que (q − 1)^{m}z_{λ} ∈ (q − 1)Ǔ_{A}, ce qui contredit la minimalité de m. ♢

Nous en déduisons la proposition, obtenue dans [25, théorème 6.16].

Proposition. Si z ∈ Ž, alors :

φ(z) ∈ Ǔ_{A}^{0} ⇔ z ∈ Ǔ_{A}.

Preuve. L’implication ⇐ est évidente. Montrons ⇒. Soit z ∈ Ž tel que φ(z) ∈ Ǔ_{A}^{0}. Par (1.2.1), on peut supposer z ∈ 𝕂z_{λ}. Par (1.2.3), il vient z ∈ Az_{λ}. L’assertion précédente donne alors le résultat. ♢ 2. DETERMINANT QUANTIQUE ET GENERATEURS DU CEN-TRE (pour le type A_{n}).

Les générateurs z_{i} de Ž peuvent être calculés à l’aide des matrices (σ^{+}) et (Sσ^{−}) associées à ϖ_{i}. Supposons 𝔤 de type A_{n}. Nous exposons une méthode permettant de calculer ceux-ci au moyen des matrices (σ^{+}) et (Sσ^{−}) associées à ϖ_{1} et du déterminant quantique.

2.1. On pose E := L_{q}(ϖ_{1}). Nous rappelons ici quelques définitions et propriétés concernant les puissances extérieures quantiques du Ǔ_{q}-module E. On considère B_{1} = {v_{1}, …, v_{n+1}} une base de vecteurs de poids de E. On définit l’algèbre tensorielle T (E) munie d’une structure de Ǔ_{q}-module pour l’action diagonale. On montre que

E ⊗ E ≃ L_{q}(2ϖ_{1}) ⊕ L_{q}(ϖ_{2}).

Posons L = L_{q}(2ϖ_{1}). On vérifie que L est engendré par v_{i} ⊗v_{i}, v_{i} ⊗v_{j} +q^{−2}v_{j} ⊗v_{i}, 1 ≤ i < j ≤ n + 1. Soit alors Λ_{q}(E) le module quotient de T (E) par l’idéal engendré par L. T (E) est munie d’une graduation naturelle qui permet de définir une graduation sur Λ_{q}(E). On a alors la décomposition en sous-modules :

Λ_{q}(E) = ⨁_{i=0}^{n+1} Λ_{q}^{i}(E).

Soit C_{n+1}^{i} l’ensemble des parties à i éléments de {1, …, n+1}. Si I = {k_{1}, …, k_{i}} ∈ C_{n+1}^{i}, k_{1} < … < k_{i}, on note v_{I} l’image de v_{k_{1}} ⊗ … ⊗ v_{k_{i}} dans Λ_{q}^{i}(E). Il est clair que les v_{I} engendrent l’espace Λ_{q}^{i}(E) pour I ∈ C_{n+1}^{i}. On pose B_{i} = {v_{I}, I ∈ C_{n+1}^{i}}. Soit S_{n+1} le groupe de permutations de {1, …, n + 1}. Pour σ ∈ S_{n+1}, on note l(σ) la longueur d’une décomposition minimale de σ en produit de transpositions de la forme (i, i + 1), 1 ≤ i ≤ n.

Soit M = (a_{i,j})_{1≤i,j≤n+1}, où les a_{i,j} appartiennent à une K-algèbre. On pose

det_{q} M = ∑_{σ∈S_{n+1}} (−q^{2})^{l(σ)} a_{σ(1),1} … a_{σ(n+1),n+1}

d̃et_{q}M = ∑_{σ∈S_{n+1}} (−q^{2})^{l(σ)} a_{σ(n+1),n+1} … a_{σ(1),1}.

Pour simplifier les notations de [chap. I, 2.3], on note c_{ij}, 1 ≤ i, j ≤ n + 1, les coefficients matriciels du module E dans la base B_{1}, et C_{I,J}, I, J ∈ C_{n+1}^{i} les coefficients matriciels du module Λ_{q}^{i}(E) dans la base B_{i}. On montre facilement que les c_{I,J} sont les mineurs quantiques de la matrice R = (c_{i,j}). Explicitement :

(2.1.1)  c_{I,J} = det_{q} R_{I,J}

où M_{I,J} désigne la matrice extraite de M en gardant les lignes numérotées par I et les colonnes numérotées par J. Remarquons que L est aussi l’espace engendré par v_{i}⊗v_{i}, v_{j}⊗v_{i}+q^{2}v_{i}⊗v_{j}, n+1 ≥ j > i ≥ 1. De cette remarque et de (2.1.1), il vient :

(2.1.2)  c_{I,J} = d̃et_{q^{−1}} R_{I,J}.

Pour I, J ∈ C_{n+1}^{i}, notons σ_{I,J}^{+}, σ_{I,J}^{−}, s_{I,J} les éléments vérifiants :

β^{±}(σ_{I,J}^{±}) = c_{I,J} |_{Ǔ_{q}(𝔟^{∓})} , ζ(s_{I,J}) = c_{I,J}.

De (2.1.2) et de [chap. I, lemme 2.2 (iii)], on tire :

(2.1.3)  \begin{matrix}σ_{I,J}^{+} = det_{q^{−1}} (σ^{+})_{I,J} \\ Sσ_{I,J}^{−} = det_{q} (Sσ^{−})_{I,J} \end{matrix} .

2.2. Considérons les modules simples L_{q}(ϖ_{i}), 1 ≤ i ≤ n. On sait

L_{q}(ϖ_{i}) ≃ Λ_{q}^{i} (L_{q}(ϖ_{1})), 1 ≤ i ≤ n + 1.

Soit a ∈ 𝕂 − {0}. Avec les notations de 2.1, nous pouvons munir L_{q}(ϖ_{1}) d’une base B_{1}(a) telle que :

(2.2.1)  ∀i ∈ {1, …, n + 1}  y_{j}.v_{i} = δ_{i,j}av_{i+1} en convenant v_{n+2} = 0.

Il vient :

(2.2.2)  ∀i ∈ {1, …, n + 1}  x_{j}.v_{i} = δ_{i,j}a^{−1}v_{i−1} en convenant v_{0} = 0.

Le poids de v_{i} est donné par ε_{i} := ϖ_{i} − ϖ_{i−1} en convenant : ϖ_{0} = ϖ_{n+1} = 0. Pour la base duale, nous avons :

(2.2.3)  y_{j}.v_{i}^{∗} = −q^{2}δ_{i−1,j}a v_{i−1}^{∗},  1 ≤ i ≤ n + 1.

(2.2.4)  x_{j}.v_{i}^{∗} = q^{−2}δ_{i,j}a^{−1} v_{i+1}^{∗},  1 ≤ i ≤ n + 1.

Lorsque L_{q}(ϖ_{i}) est munie de la base B_{i}, nous avons pour 1 ≤ k_{1} < … < k_{i} ≤ n :

(2.2.5)  y_{k_{i}}.v_{{k_{1},...,k_{i}}} = a v_{{k_{1},...,k_{i−1},k_{i}+1}}

(2.2.6)  x_{k_{i}}.v_{{k_{1},...,k_{i}}}^{∗} = −q^{−2}a^{−1} v_{{k_{1},...,k_{i−1},k_{i}+1}}.

Soit I = {k_{1}, …, k_{i}} et ε_{I} le poids de v_{I}, alors ε_{I} = ∑_{j=1}^{i} ε_{k_{j}}.

2.3. Nous allons d’abord calculer les coefficients des matrices (σ^{+}) et (Sσ^{−}) pour L_{q}(ϖ_{1}), muni de la base B_{1}(a) donnée en 2.2. Nous utiliserons les éléments e_{i,j} et f̃_{i,j}, 1 ≤ i ≤ j ≤ n, définis par récurrence par :

e_{i,i} = e_{i}; e_{i,j} = e_{j}e_{i,j−1} − q^{−2}e_{i,j−1}e_{j} ; f̃_{i,j} = ξ(e_{i,j}).

Posons γ = q^{2} − q^{−2} et t_{i} = τ(−4ϖ_{i}). Remarquons que :

(2.3.1)  ad x_{j}.(t_{i}e_{i,j−1}) = q^{−1}t_{i}e_{i,j} ; ad x_{i}.t_{i} = γt_{i}e_{i}  1 ≤ i < j ≤ n.

Puis par [chap. I, (1.5.2)].

(2.3.2)  ad y_{j}.(t_{i}f̃_{i,j−1}) = qt_{i}f̃_{i,j} ; ad y_{i}.t_{i} = −γt_{i}f̃_{i}  1 ≤ i ≤ j ≤ n.

A l’aide de (2.2.2), (2.2.4) et [chap. I, (2.4.3)], nous obtenons :

\begin{matrix}ad x_{1}.c_{1,1} = −q^{−3}a^{−1}c_{2,1} \\ ad x_{i}.c_{i,1} = −q^{−2}a^{−1}c_{i+1,1} & i ≠ 1 \end{matrix}

Appliquons [chap. I, 4.1], il vient :

\begin{matrix}ad x_{1}.s_{1,1} = −q^{−3}a^{−1}s_{2,1} \\ ad x_{i}.s_{i,1} = −q^{−2}a^{−1}s_{i+1,1} & i ≠ 1 \end{matrix}

En utilisant [chap. I, proposition 4.2 (ii)] et (2.3.1), nous obtenons la première colonne de (s), puis la première colonne de (σ^{+}).

σ_{1,1}^{+} = τ(−2ϖ_{1}) ; σ_{j,1}^{+} = (−1)^{j+1}γa^{j−1}q^{j−3}e_{1,j−1}τ(−2ϖ_{1}), 1 < j ≤ n + 1.

De la même manière, à l’aide de (2.2.5) et [chap. I, (2.4.3)], nous obtenons pour i < j

ad x_{i}.c_{I_{i−1}^{i},I_{i−1}^{i}} = −q^{−3}a^{−1}c_{I_{i−1}^{i+1},I_{i−1}^{i}}
ad x_{j}.c_{I_{i−1}^{j},I_{i−1}^{i}} = −q^{−2}a^{−1}c_{I_{i−1}^{j+1},I_{i−1}^{i}}

où I_{k}^{s} := {1, …, k, s} pour k < s. Comme précédemment, ceci nous fournit les éléments σ_{I_{i−1}^{j},I_{i−1}^{i}}^{+} pour i ≤ j ≤ n.

Or, par [chap. I, remarque 4.2], et (2.1.3), on a :

σ_{I_{i−1}^{j},I_{i−1}^{i}}^{+} = σ_{1,1}^{+} … σ_{i−1,i−1}^{+}.σ_{j,i}^{+} = τ(−2ϖ_{i−1})σ_{j,i}^{+}.

Nous obtenons ainsi tous les coefficients de la matrice (σ^{+}) : (2.3.3) σ_{i,i}^{+} = τ(−2ε_{i}) ; σ_{j,i}^{+} = (−1)^{i+j}γa^{j−i}q^{j−i−2}e_{i,j−1}τ(−2ε_{i}), 1 ≤ i < j ≤ n + 1.

Le calcul des coefficients de (Sσ^{−}) est identique et donne :

(2.3.4) Sσ_{i,i}^{−} = τ(−2ε_{i}) ; Sσ_{i,j} = −q^{j−i}γa^{i−j}τ(−2ε_{i})f̃_{i,j−1},  1 ≤ i < j ≤ n+1.

Les composantes des matrices (σ^{+}) et (Sσ^{−}) pour L_{q}(ϖ_{i}) dans la base B_{i} sont alors fournies par les formules (2.1.3).

2.4. Pour I ∈ C_{n+1}^{i}, I = {k_{1}, …, k_{i}}, on pose : | I |= ∑_{j=1}^{i} k_{j}. Par (1.2.4), on sait que Ž est engendré par :

(2.4.1)  z_{i} = ∑_{I,K∈C_{n+1}^{i}} q^{4(ρ,ε_{I})} σ_{I,K}^{+} Sσ_{K,I}^{−}  1 ≤ i ≤ n.

Remarque. Un calcul simple donne :

∀I ∈ C_{n+1}^{i} , 4(ρ, ε_{I}) = (2n + 4)i − 4 | I | .

Nous allons donner une écriture plus explicite de ces générateurs. Pour cela, nous allons définir les matrices suivantes. On considère D^{+} = (d_{i,j}^{+}) triangulaire inférieure et D̃^{−} = (d̃_{j,i}^{−}) triangulaire supérieure données par :

d_{i,i}^{+} = q^{2}, pour 1 ≤ i ≤ n + 1 ; d_{j,i}^{+} = γe_{i,j−1}, 1 ≤ i < j ≤ n + 1.
d̃_{i,i}^{−} = −1, 1 ≤ i ≤ n + 1 ; d̃_{i,j}^{−} = γf̃_{i,j−1}, 1 ≤ i < j ≤ n + 1.

Pour I, J dans C_{n+1}^{i}, posons :

d_{I,J}^{+} = det_{q^{−1}} (D^{+})_{I,J} ; d̃_{I,J}^{−} = d̃et_{q^{−1}} (D̃)_{I,J}.

On notera aussi :

d̃_{I,J}^{+} = ξ(d̃_{I,J}^{−}) ; d_{I,J}^{−} = ξ(d_{I,J}^{+}).

Théorème. Soit 1 ≤ i ≤ n, on a :

(i) La décomposition du générateur z_{i} dans V^{+} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ SV^{−} est fournie par

z_{i} = (−1)^{i}q^{2(n+1)i} ∑_{I,K∈C_{n+1}^{i}} (−q^{−2})^{|I|+|K|}d_{I,K}^{+}τ(−4ε_{K})d̃_{K,I}^{−}.

(ii) La décomposition du générateur z_{i} dans SV^{−} ⊗ Ǔ_{0} ⊗ V^{+} est fournie par

z_{i} = (−1)^{i}q^{−2(n+1)i} ∑_{I,K∈C_{n+1}^{i}} (−q^{2})^{|I|+|K|}d̃_{I,K}^{−}τ(−4ε_{K})d_{K,I}^{+}.

(iii) φ(z_{i}) = ∑_{J∈C_{n+1}^{i}} q^{−4(ρ,ε_{J})}τ(−4ε_{J}).

Preuve. Fixons I, J dans C_{n+1}^{i}. Pour le choix d’un paramètre a ∈ 𝕂, notons σ_{I,J}^{+}(a) et Sσ_{I,J}^{−}(a) les coefficients correspondants, cf. (2.3.3), (2.3.4), (2.1.3). On trouve, par (2.3.3), (2.3.4).

σ_{j,i}^{+}(−q^{−1}) = q^{−2}d_{j,i}^{+} τ(−2ε_{i}) , Sσ_{i,j}^{−}(q) = −τ(−2ε_{i})d̃_{i,j}^{−}.

On peut en déduire facilement que :

(2.4.2)  σ_{J,I}^{+}(−q^{−1}) = q^{−2i} d_{J,I}^{+}τ(−2ε_{I}) ,  Sσ_{I,J}^{−}(q) = (−1)^{i}τ(−2ε_{I})d̃_{I,J}^{−}.

De plus, d’après (2.3.3) et (2.1.3), on a : σ_{J,I}^{+}(q) = (−q^{2})^{|J|−|I|}σ_{J,I}^{+}(−q^{−1}). Par (2.4.1) et la remarque 2.4, il vient :

z_{i} = ∑_{I,K∈C_{n+1}^{i}} q^{4(ρ,ε_{I})}σ_{I,K}^{+}(q) Sσ_{K,I}^{−}(q)

z_{i} = (−1)^{i}q^{2(n+1)i} ∑_{I,K∈C_{n+1}^{i}} (−q^{−2})^{|I|+|K|}d_{I,K}^{+}τ(−4ε_{K})d̃_{K,I}^{−}.

D’où (i). (ii) provient alors de (1.2.2) et (iii) est découle de (1.2.3). ♢

3. FORMULES SUR LES FONCTIONS SYMETRIQUES.

k désigne un corps quelconque de caractéristique nulle.

3.1. Dans l’anneau des polynômes k[X_{1}, …, X_{m}], on note σ_{p}, 1 ≤ p ≤ m les fonctions symétriques élémentaires et S_{k} les sommes de Newton, 0 ≤ k ≤ m

σ_{p} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{p}≤m} X_{i_{1}} … X_{i_{p}} , S_{k} = ∑_{i=1}^{m} X_{i}^{k} , S_{0} = m.

Soit S_{k} le groupe des permutations d’un ensemble à k éléments agissant sur ℕ^{∗k}. Pour (I) ∈ ℕ^{∗k}/S_{k} , i ∈ ℕ^{∗}, β_{i}(I) désigne le nombre de répétitions du nombre i dans (I). On adopte les notations suivantes :

(I)! = ∏_{i} β_{i}(I)! ;  \overline{I} = ∏_{i} i^{β_{i}(I)} ;  K(I) = ∑_{i} β_{i}(I) ;

N (I) = ∑_{i} iβ_{i}(I) ; S_{(I)} = ∏_{i} S_{i}^{β_{i}(I)}.

On sait alors que les σ_{p} se décomposent dans la base des S_{(J)} en :

(3.1.1)  σ_{p} = ∑_{N (J)=p} ξ_{(J)}S_{(J)} avec ξ_{(J)} = \frac{(−1)^{N (J)+K(J)}}{(J)! \overline{J}} .

(Formule de Waring)

On notera (I, I′) la juxtaposition des objets (I) et (I′), cette juxtaposition définit un ordre partiel dans ∪_{k}ℕ^{∗k}/S_{k} :

(I) < (J) ⇔ ∃(I′), (I, I′) = (J).

On écrira dans ce cas : (I′) = (J\I). D’après (3.1.1), où (J) = (I, I′).

(3.1.2)  ξ_{(I,I′)} = \frac{(−1)^{N (I)+K(I)}(I′)! ξ_{(I′)}}{(I, I′)! \overline{I}} .

Si on remplace (X_{1}, X_{2}, …, X_{m}) par (1, 1, …, 1), (3.1.1) donne :

C_{m}^{p} = ∑_{N (I)=p} ξ_{(I)}m^{K(I)},

puis par (3.1.2)

∑_{N (I′)=p} \frac{(I, I′)!}{(I′)!}ξ_{(I,I′)}m^{K(I′)} = \frac{(−1)^{N (I)+K(I)}}{\overline{I}} C_{m}^{p},

et par un changement de variables, (I) étant fixé

(3.1.3)  ∑ ; \begin{matrix}(I) < (J) \\ K(J) = p \end{matrix} \frac{J!}{(J\I)!}ξ_{(J)}m^{K(J)−K(I)} = \frac{(−1)^{N (I)+K(I)}}{\overline{I}} C_{m}^{p−K(I)}.

3.2. Soit (I) ∈ ∪_{k}ℕ^{∗k}/S_{k}, on note

∀t ∈ ℝ F_{(I)}(t) = ∏_{i} (∑_{j=1}^{m} exp(itX_{j}))^{β_{i}(I)}

et on pose T_{(I),n} =

∑_{1≤i_{1},i_{2},...,i_{K(I)}≤n}(\underbrace{X_{i_{1}} + … + X_{i_{β_{1}}}}_{β_{1}} + \underbrace{2X_{i_{𝔟eta_{1}+1}} + … + 2X_{i_{β_{1}+β_{2}}}}_{β_{2}} + … \underbrace{+pX_{i_{K(I)}}}_{β_{s}})^{n}

où s = Max_{k} {i_{k}}.

Calculons de deux manières la dérivée n-ième F_{(I)}^{(n)}(0), l’une en développant le produit, puis en dérivant terme à terme, l’autre en utilisant directement la formule de Leibnitz. En égalisant les résultats obtenus, on trouve :

T_{(I),n} = ∑_{λ_{1}+...+λ_{K(I)}=n} ∏_{i} i^{β_{i}(I)λ_{i}} \frac{n!}{∏_{i} λ_{i}!}S_{λ_{1}}S_{λ_{2}} … S_{λ_{K(I)}}.

Par regroupements, on obtient :

(3.2.1)  T_{(I),n} = ∑_{(λ), N (λ)=n} ( ∑_{σ∈E_{(K(λ),K(I))}} (I)^{σ(λ)}) \frac{c(λ)}{λ!} S_{(λ)} m^{K(I)−K(λ)}

où c(λ) = \frac{N (λ)!}{∏_{i} λ_{i}!}, où E_{u,r} représente l’ensemble des injections de [1, u] ∩ ℕ vers

[1, r] ∩ ℕ avec la convention \{ \begin{matrix}σ(λ)_{j} = & λ_{i} si σ(i) = j \\ & 0 si j ∉ Im σ \end{matrix} ,

et où  (I)^{(Λ)} = ∏_{i} i^{β_{i}(λ)Λ_{i}}.

3.3. Considérons maintenant :

(3.3.1)  ψ_{p,n} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{p}≤m} (X_{i_{1}} + … + X_{i_{p}})^{n}

ψ_{p,n} = ∑_{(λ), N (λ)=n} a_{p,(λ)} S_{(λ)}.

Par un argument combinatoire, on voit qu’une même relation lie σ_{p} avec les S_{(I)} et ψ_{p,n} avec les T_{(I),n}.

ψ_{p,n} = ∑_{(I), N (I)=p} ξ_{(I)} T_{(I),n}.

Donc, d’après (3.2.1)

ψ_{p,n} = ∑_{(I), N (I)=p} ξ_{(I)} ∑_{K(λ)=n}( ∑_{σ∈E_{(K(λ),K(I))}}(I)^{σ(λ)}) \frac{c(λ)}{λ!} S_{(λ)} m^{K(I)−K(λ)}.

Fixons-nous (λ), tel que K(λ) ≤ p, soit k, K(λ) ≤ k ≤ p et (μ) ∈ ℕ_{k}^{K(λ)} := {(μ) ∈ ℕ^{K(λ)}, N (μ) = k}. On a K(μ) = K(λ). Le terme en (μ)^{(λ)} de a_{p,(λ)} est alors :

\frac{c(λ)}{(λ)!} ∑ ; \begin{matrix}(I), K(I) = p \\ (μ) ⊂ (I) \end{matrix} ξ_{(I)} \frac{(I)!}{(I\μ)!} m^{K(I)−K(μ)}.

En appliquant (3.1.3), il vient : Théorème. La décomposition des fonctions symétriques ψ_{p,n} est donnée par :

ψ_{p,n} = ∑_{(λ), N (λ)=n} a_{p,(λ)} S_{(λ)} où

a_{p,(λ)} = (−1)^{K(λ)} \frac{c(λ)}{(λ)!} ∑_{k=1}^{p} (−1)^{k} C_{m}^{p−k} ∑_{(μ)∈ℕ_{k}^{K(λ)}} (μ)^{(λ)−1}

et 1 = (1, 1 …, 1) ∈ ℕ^{K(λ)}. ♢ Remarque. La somme ∑_{k=1}^{p} est en fait une somme ∑_{k=K(λ)}^{p}, les autres termes étant nuls. Ecrivons : a_{i,n} à la place de a_{i,(n)}. Nous avons la proposition : Proposition.

(i) a_{i,n} = ∑_{k=1}^{i} (−1)^{k+1} C_{m}^{i−k} k^{n−1}. (ii) a_{i,(λ)} est combinaison linéaire à coefficients indépendants de p des a_{i,j}, 1 ≤

j ≤ N (λ). Dans cette combinaison linéaire, le coefficient en a_{i,N (λ)} est :

O(λ) = (−1)^{K(λ)+1} \frac{N (λ)}{(λ)! \overline{λ}}.

(iii) a_{p,n} = (−1)^{n} a_{m−p,n}. Preuve. (i) découle immédiatement du théorème 3.3 avec K(n) = 1, (n)! = 1, c(n) = 1. (ii) On sait que ∑_{(μ)∈ℕ_{k}^{K(λ)}} (μ)^{(λ)} s’écrit sous la forme d’un polynôme en k de degré N (λ) + K(λ) − 1. (Exemple : ∑_{i=0}^{k} (k − i)^{n} i^{m} est un polynôme en k de degré n + m + 1 = (n + m) + 2 − 1.) Son terme de plus haut degré, c’est à dire sa valeur asymptotique est donnée par :

∈ t_{δ} x_{1}^{λ_{1}} … x_{K(λ)−1}^{λ_{K(λ)−1}} (k − x_{1} … − x_{K(λ)−1}^{λ_{K(λ)−1}}) dx_{1} … dx_{K(λ)−1}

où δ est le domaine x_{i} ≥ 0, (1 ≤ i ≤ K(λ) − 1), k − x_{1} … − x_{K(λ)−1} ≥ 0. Pour avoir le coefficient en k^{N (λ)+K(λ)−1}, on pose k = 1. On trouve :

\frac{∏_{i=1}^{k} λ_{i}!}{(N (λ) + K(λ) − 1)!}.

La première partie de l’assertion (ii) est facile et la deuxième s’obtient en remplaçant dans (i) l’expression ∑_{(μ)∈ℕ_{k}^{K(λ)}} (μ)^{(λ)−1} par son terme asymptotique

\frac{∏_{i=1}^{K(λ)} (λ_{i} − 1)!}{(N (λ) − 1)!} k^{n−1}.

(iii) Soit n ≤ m. Notons Ω l’ensemble des racines de l’équation X^{m} − X^{n} = 0, n ≤ m. On note S_{i}(Ω) les sommes de Newton appliquées à Ω. On a S_{i}(Ω) = 0, 1 ≤ i ≤ n − 1 et S_{n}(Ω) ≠ 0. Donc ψ_{p,n}(Ω) = a_{p,n} × S_{n}(Ω) et ψ_{m−p,n}(Ω) = a_{m−p,n} × S_{n}(Ω). Or, comme S_{1}(Ω) = 0, ψ_{p,n}(Ω) = (−1)^{n}ψ_{m−p,n}(Ω) (en remplaçant ∑_{i∈I} X_{i} par − ∑_{j∈[1,m]\I} X_{j} dans (3.3.1)). L’assertion en découle. ♢

5. SINGULARITES DU CENTRE DES ALGEBRES QUANTIQUES

5.1. On considère la 𝕂-algèbre U_{q}(𝔤), ainsi que son centre Z. On se propose de chercher les propriétés géométriques de ce dernier pour 𝔤 simple quelconque. On sait, par le théorème 1.2, que Z est isomorphe à la 𝕂-algèbre Z du monoïde 4P^{+} ∩ Q. On peut donc ramener le problème à l’étude de cette algèbre. Posons X_{i} = τ(4ϖ_{i}), 1 ≤ i ≤ n. On plonge Z dans l’anneau R = 𝕂[X_{i}, 1 ≤ i ≤ n], muni de sa graduation naturelle. On note R_{i} le sous-espace de R formé des éléments homogènes de degré i. 5.2. Un anneau intègre est dit normal s’il est noethérien et intégralement clos. Soit M un semi-groupe engendré par des monômes de R, et A la sous-algèbre de R engendrée par M. On sait par , [17, proposition 1], que si M vérifie la condition : p′, p′′ ∈ M, pp′ = p′′ ⇒ p ∈ M, alors l’algèbre A est normale. Par 5.1, on obtient

Proposition. Z est une algèbre normale.

5.3. Rappelons, cf. [39], que pour une sous-algèbre graduée A de R, on a les implications A est un anneau de polynômes ⇒ A est une hypersurface ⇒ A est une intersection complète ⇒ A est Gorenstein ⇒ A est Cohen-Macaulay. Il est donc naturel de chercher quelle est dans cette gamme, la propriété optimale commune aux centres des algèbres quantiques U_{q}(𝔤). Nous avons

Théorème. Pour tout algèbre de Lie 𝔤 simple, le centre de U_{q}(𝔤) est Gorenstein.

Preuve. Il suffit de montrer que Z est Gorenstein. Nous allons démontrer ceci selon le type de 𝔤. Remarquons que si 𝔤 est pas de type A_{n}, n ≥ 2 n ≠ 3, ou E_{6}, alors 4P^{+} ⊄ Q. Sinon, 4P^{+} ⊂ Q, et Z est une algèbre de polynômes. Nous devons étudier deux cas.

1) Si 𝔤 est de type A_{n}, n ≥ 2 n ≠ 3. On pose d = P GCD(4, n + 1), μ = \frac{n+1}{d}. On rappelle, cf. [5, Planche I], que

ϖ_{i} = \frac{1}{n + 1}[(n + 1 − i)α_{1} + 2(n + 1 − i)α_{2} + … + i(n − i)α_{i+1} + … + iα_{n}].

Soit k_{i} ∈ ℕ, 1 ≤ i ≤ n, alors Z est engendré par le semigroupe des monômes ∏ X_{i}^{k_{i}} tels que ∑ k_{i}(4ϖ_{i}) ∈ Q , c’est à dire par la formule précédente :

(∗)  ∑ ik_{i} ≡ 0 [μ].

Soit ϑ une racine primitive μ-ième de l’unité et N = (a_{ij}) la matrice n × n donnée par a_{ii} = ϑ^{i} et a_{ij} = 0 si i ≠ j. N est la matrice d’un endomorphisme de l’espace R_{1} muni de sa base naturelle. Soit G le groupe multiplicatif fini engendré par N. On munit R de la structure naturelle de G-module. Par (*), il est clair que Z = R^{G}, où R^{G} désigne la sous-algèbre des invariants. Comme det N = 1, G ⊂ SL(n). Par [39, 8.2], on en déduit que Z est Gorenstein.

2) Si 𝔤 est de type E_{6}. Comme pour le cas A_{n} on montre à l’aide de [5, Planche V], que Z est engendré par le semi-groupe des monômes ∏_{i=1}^{6} X_{i}^{k_{i}} tels que les k_{i} vérifient k_{1} +2k_{3} +k_{5} +2k_{6} ≡ 0. On peut donc trouver une matrice N tel que Z soit l’anneau des invariants pour l’action du groupe fini monogène engendré par N. La preuve est alors analogue à celle du premier cas. ♢

Notons Z_{i} = Z∩R_{i}. on définit la série de Hilbert de Z par H(t) = ∑_{i≤0} (dim Z_{i})t^{i}. Alors, à l’aide de la formule de Molien, cf. [39, 2.1], on peut trouver une expression de H(t) lorsque 𝔤 est de type A_{n} ou E_{6} : H(t) = \frac{1}{μ} ∑_{i=0}^{μ−1} \frac{1}{det (Id−tN^{i})} avec les notations de la démonstration précédente et en posant μ = 3 dans le cas E_{6}.

5.4. Il reste à chercher les algèbres de Lie 𝔤 telles que Z soit une intersection complète. Pour cela, nous nous servirons du théorème suivant.

Théorème [26]. Soit G un sous-groupe fini de GL(n, ℂ) opérant de façon naturelle sur l’anneau des polynômes à n variables. Alors, si l’anneau des invariants par G est intersection complète, G est engendré par {g /rg (g − I) ≤ 2}.

5.5. Nous pouvons à présent affiner le théorème 5.3.

Proposition. Soit Z le centre de l’algèbre quantique U_{q}(𝔤). Alors Z possède les propriétés optimales suivantes

(i) Si 𝔤 est de type A_{n}, n ∉ {1, 2, 3}, ou E_{6}, Z est Gorenstein (ii) Si 𝔤 est de type A_{2}, Z est une hypersurface.

(iii) Sinon, Z est un anneau de polynômes.

Preuve. (iii) provient clairement de la remarque au début de la preuve du théorème 5.3. Pour prouver (ii) il suffit de constater que si n = 2, on a Z = 𝕂[X_{1}^{3}, X_{1}X_{2}, X_{2}^{3}]. Par le théorème 5.3, nous devons maintenant prouver que Z n’est pas, dans le cas (i), une intersection complète. Plaçons nous tout d’abord dans le cas A_{n}. On adopte les notations de la preuve de 5.3. Posons pour tout i, d(i) = P GCD(i, μ), a(i) = \frac{μ}{d(i)}. La matrice N^{i} étant diagonale, on voit facilement que la valeur propre 1 apparait dans N^{i} avec la multiplicité d.d(i) − 1. Supposons rg (N^{i} − I) ≤ 2. Il vient donc d.d(i) − 1 ≥ n − 2, d’où n + 1 ≥ (n − 1).a(i). Or, comme n ≠ 3, on a a(i) ≥ 2 si 1 ≤ i < μ. Par conséquent, l’inégalité précédente fournit n ≤ 3. Donc, si n > 3, G ne contient aucun élément autre que l’identité, ayant la propriété rg (g − I) ≤ 2. Il est facile de prouver une assertion identique dans le cas E_{6}. La partie (i) résulte donc du théorème 5.4. ♢ Soit w_{0} = σ_{1} … σ_{n} une décomposition réduite de w_{0}. On pose : w_{j} = σ_{j+1} … σ_{n} , 0 ≤ j ≤ n−1 et on désigne par β(σ_{i}) la racine associée à σ_{i}. Enfin, on définit le foncteur composé : D_{w_{j}} = D_{β(σ_{j+1})} D_{β(σ_{j+2})} … D_{β(σ_{n})}. Pour λ ∈ P, notons ℂ_{λ} le U(𝔟^{+})-module de dimension 1 de poids λ. Le théorème suivant résume les résultats de [23, 2.13, 3.4].

Théorème. Soit λ ∈ P^{+},

(i) Pour 0 ≤ i ≤ n − 1, l’espace de plus bas poids de D_{w_{j}}ℂ_{λ} est engendré par un vecteur de poids w_{j}λ. Notons u_{w_{j}λ} un tel vecteur.

(ii) Soit α_{i} = β(σ_{j}). Alors (w_{j}λ , α_{ˇ i}) ≥ 0 et on a u_{w_{j−1}λ} = x_{−α_{i}}^{(w_{j}λ,α_{ˇ i})}u_{w_{j}λ} (à une

constante multiplicative près). (iii) Il existe un isomorphisme de U(𝔟^{+})-modules D_{w_{0}}ℂ_{λ} ≃ L(λ).

Ce théorème nous fournit un algorithme pour la recherche des X_{j}, à partir d’une décomposition de w_{0}. Cette dernière nous est donnée dans [15] pour chaque algèbre de Lie semi-simple 𝔤. Nous donnons ci-dessous la décomposition de w_{0} ainsi que l’élément X_{j} qui en découle, ceci pour 𝔤 simple classique. L’algorithme s’applique aussi au cas où 𝔤 est exceptionnelle. Nous laissons au lecteur intéressé le soin du détail des calculs dans ce cas. Afin de simplifier les écritures, nous utiliserons le symbole “i” à la place de la réflexion associée à α_{i}.

a) 𝔤 de type A_{n} : w_{0} = 1 2 … n 1 2 … n − 1 … 1 2 1 Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, soit a_{i,k} = x_{k} x_{k−1} … x_{i} , alors :

X_{j} = a_{1,n−j+1} … a_{j−1,n−1} a_{j,n} , 1 ≤ j ≤ n

b) 𝔤 de type B_{n} : w_{0} = (1 2 … n n−1 … 1)(2 … n n−1 … 2) … (n−1 n n−1)(n) Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, soit b_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2} x_{k} … x_{n−1}x_{n}^{2} x_{n−1} … x_{k} et b_{i} = x_{i}x_{i+1} … x_{n}, alors :

X_{j} = b_{j,j} … b_{j,2}b_{j,1} , 1 ≤ j < n; X_{n} = b_{n} … b_{1}

c) 𝔤 de type C_{n} : w_{0} = (1 2 … n n−1 … 1)(2 … n n−1 … 2) … (n−1 n n−1)(n) Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n, on pose c_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2} x_{k} … x_{n−1} x_{n} x_{n−1} … x_{k} ,

alors:

X_{j} = c_{j,j} … c_{j,2}c_{j,1}

d) 𝔤 de type D_{n} :

w_{0} = (1 2 … n − 2 n − 1 n n − 2 … 1)(2 … n n − 1 n n − 2 … 2) … (n − 1 n)

Pour 1 ≤ i ≤ k ≤ n − 2, on pose : d_{k,i} = x_{i}^{2} … x_{k−1}^{2} x_{k} … x_{n−2} x_{n} x_{n−1} … x_{k}, d_{n−1,i} = x_{i} x_{i+1} … x_{n−1} , d_{n,i} = x_{i} x_{i+1} … x_{n−2} x_{n}, alors :

X_{j} = d_{j,j} … d_{j,2} d_{j,1} , 1 ≤ j ≤ n − 2

X_{n−1} = \{ \begin{matrix}d_{n−1,n−1} … d_{n−1,3}d_{n,2}d_{n−1,1} & si n pair, \\ d_{n,n} … d_{n−1,3}d_{n,2}d_{n−1,1} & si n impair; \end{matrix}

X_{n} = \{ \begin{matrix}d_{n,n} … d_{n,3}d_{n−1,2}d_{n,1} & si n pair, \\ d_{n−1,n−1} … d_{n,3}d_{n−1,2}d_{n,1} & si n impair. \end{matrix}

Remarque 1.4. Pour 1 ≤ i ≤ N, soit λ_{i} un exposant de x_{i} dans la décomposition de X_{j}. Ecrivons alors X_{j} = X_{ν}x_{i}^{λ_{i}}X_{λ}, où ν, λ ∈ P sont les poids de X_{ν} et X_{λ}. Il vient par construction : λ_{i} = (ϖ_{j} − λ , α_{ˇ i}), cf. théorème 1.4 (ii).

2. STRUCTURE DU CENTRE DE U^{+}.

2.1. Nous allons tout d’abord chercher les éléments de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) invariants par l’action adjointe de U^{+}. Ceux-ci seront donnés par la proposition 2.1.

Définition. Soit μ ∈ P^{+}. On désigne par X_{μ} un monôme de U^{+} transformant un vecteur de plus bas poids de L_{q}(μ)^{∗} en un vecteur de plus haut poids. On pose r(μ) = μ − w_{0}(μ), e_{r(μ)} = τ(4μ)ad X_{μ}.(τ(−4μ)).

Remarquons que par le théorème 1.2 (ii) et (v), e_{r(μ)} ne dépend du choix du monôme X_{μ} qu’à une constante multiplicative près. De plus pour l’action adjointe de U_{0}, le poids de e_{r(μ)} est r(μ). Si M est un sous-ad U^{+}-module de Ǔ_{q}(𝔟^{+}), nous posons

M^{U^{+}} = {m ∈ M, adU_{+}^{+}(m) = 0}.

Proposition. Soit λ ∈ P, alors on a :

(i) L’espace 𝕂τ(λ) ⊗ V^{+} est un sous-ad U^{+}-module de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). (ii) Si λ ∈ −4P^{+}, (𝕂τ(λ) ⊗ V^{+})^{U^{+}} = 𝕂τ(λ)e_{r(−1/4λ)}. (iii) Si λ ∉ −4P^{+}, (𝕂τ(λ) ⊗ V^{+})^{U^{+}} = {0}. (iv) (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} = ⨁_{μ∈P^{+}} 𝕂τ(−4μ)e_{r(μ)}.

Preuve. (i) se vérifie facilement par le calcul de ad x_{i}.(τ(λ)v), v ∈ V^{+}, 1 ≤ i ≤ N, v de poids μ.

Montrons l’inclusion ⊃ dans (ii). Soit λ ∈ 4P^{+}. Par le théorème 1.2 (ii) et (v), ad X_{−1/4λ}.τ(λ) est le plus haut poids de ad U^{+}.τ(λ). Par (i), l’inclusion est démontrée.

Montrons l’inclusion ⊂ dans (ii) et (iii). Soient λ ∈ P, E ∈ V^{+} tels que ad U^{+}.(τ(λ) ⊗ E) = 0. Par passage au gradué ad U^{+}.(\overline{τ(λ)} ⊗ \overline{E}) = 0, donc \overline{τ(λ)} ⊗ \overline{E} ∈ L_{λ}^{+}. D’où, si λ ∉ −4P^{+}, \overline{E} = 0 par le théorème 1.2 (i), et donc E = 0 ; si λ ∈ −4P^{+} par le théorème 1.2 (ii), \overline{τ(λ)}⊗\overline{E} est proportionnel à ad X_{−1/4λ}.(\overline{τ(λ)}) = \overline{τ(λ)}⊗\overline{e}_{r(−1/4λ)}. Le théorème 1.2. (v) implique alors : τ(λ)⊗E ∈ 𝕂τ(λ)⊗e_{r(−1/4λ)}.

Il reste à montrer (iv). Remarquons pour cela que : Ǔ_{q}(𝔟^{+}) = ⨁_{λ∈P} 𝕂τ(λ) ⊗ V^{+}. Donc (iv) résulte de (i), (ii) et (iii). ♢

2.2. Pour tout μ ∈ P^{+}, on pose x_{r(μ)} = τ(r(−4λ))^{−1}e_{r(μ)}. On a x_{r(μ)} ∈ U^{+}. Pour tout μ_{i} dans B, cf. lemme 1.3, on note : e_{r_{i}} = e_{r(μ_{i})} , x_{r_{i}} = x_{r(μ_{i})} , 1 ≤ i ≤ Card B.

Proposition. Soient μ , ν ∈ P^{+}. Alors e_{r(μ)}e_{r(ν)}, resp. x_{r(μ)}x_{r(ν)}, est égal à e_{r(μ+ν)}, resp. x_{r(μ+ν)}, à une constante multiplicative non nulle près.

Preuve. Soit η ∈ P^{+}. On sait, cf. proposition 2.1 (iv) que :

(Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ 𝕂τ(−4η)V^{+} = 𝕂τ(−4η)e_{r(η)}.

On a donc facilement :

τ(−4μ)e_{r(μ)}τ(−4ν)e_{r(ν)} ∈ (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ 𝕂τ(−4(μ + ν))V^{+}

= (Ǔ_{q}(𝔟^{+}))^{U^{+}} ∩ 𝕂τ(−4(μ + ν))e_{r(μ+ν)}

La proposition en découle. ♢

Nous pouvons maintenant expliciter la structure du centre de Z(U^{+}).

Théorème. Z(U^{+}), resp. Z(V^{+}), est l’algèbre de polynômes engendrée par les x_{r_{i}}, resp. les e_{r_{i}} ,1 ≤ i ≤ Card B. Preuve. ll suffit de montrer le théorème pour Z(U^{+}), cf. [chap. I, 1.5]. Supposons μ ∈ P^{+}, par la proposition 2.1, on a : ∀i , ad x_{i}.(τ(−4μ)e_{r(μ)}) = 0. D’où : x_{i}τ(−4μ)e_{r(μ)}k_{i} − q^{−2d_{i}}k_{i}τ(−4μ)e_{r(μ)}x_{i} = 0. Comme (α_{i}, α_{i}) = 2d_{i}, il vient

∀i , q^{−(α_{i},r(μ))}x_{i}x_{r(μ)} = q^{(α_{i},−4μ+r(μ))}x_{r(μ)}x_{i}

On en déduit facilement :

(2.2.1)  μ ∈ P^{+} , x_{r(μ)} ∈ Z(U^{+}) ⟺ μ ∈ H

Supposons maintenant X non nul dans Z(U^{+}), de poids η. On prouve alors par calcul : ∀i , ad x_{i}.(τ(−η)X) = 0. D’où τ(−2η)(τ(η)X) ∈ (τ(−2η) ⊗ V^{+})^{U^{+}}. Ceci entraine par la proposition 2.1 : −2η ∈ −4P^{+} et X ∈ 𝕂x_{r(η/2)}. Le théorème découle alors de (2.2.1), de la proposition 2.2 et du lemme 1.3. ♢

2.3. Nous donnons dans cette section une méthode permettant de calculer explicitement les générateurs de Z(U^{+}). Remarquons que par la proposition 2.2, le théorème 2.2 et le lemme 1.3, il suffit de calculer x_{r(ϖ_{j})} , 1 ≤ j ≤ N. Pour cela, nous allons utiliser le monôme X_{j} décrit en 1.4. Le théorème 1.2 exprime qu’il existe un isomorphisme de U^{+}-modules :

J_{ϖ_{j}} : L_{q}(ϖ_{j})^{∗} \underrightarrow{∼} ad U^{+}.τ(−4ϖ_{j}).

Soit v ∈ L_{q}(ϖ_{j})^{∗} de poids ν, il est clair que l’on peut écrire :

J_{ϖ_{j}}(v) = τ(−4ϖ_{j})τ(ν + ϖ_{j})x(v) où x(v) ∈ U^{+}.

L’élément x_{r(ϖ_{j})} cherché est proportionnel à x(v′_{j}), où v′_{j} est le vecteur de plus haut poids de L_{q}(ϖ_{j})^{∗}. Le lemme suivant, joint à la section 1.4, permet de calculer x_{r(ϖ_{j})}.

Lemme. Avec les notations de la remarque 1.4, soit X_{j} = X_{ν}x_{i}^{λ_{i}}X_{μ} . Soit v_{j} le plus bas poids de L_{q}(ϖ_{j})^{∗}. Supposons v = X_{λ}(v_{j}) , v′ = x_{i}^{λ_{i}}(v). Alors :

x(v′) = \{ \begin{matrix}∑_{s=0}^{λ_{j}}(−1)^{s}q_{j}^{2(λ_{j}−2s)}\left[{λ_{j} \atop s}\right]_{d_{j}}x_{j}^{λ_{j}−s}x(v)x_{j}^{s}, & si i = j, \\ q_{i}^{−λ_{i}} ∑_{s=0}^{λ_{i}}(−1)^{s}q_{i}^{λ_{i}−2s}\left[{λ_{i} \atop s}\right]_{d_{i}}x_{i}^{λ_{i}−s}x(v)x_{i}^{s} & si i ≠ j. \end{matrix}

Preuve. Définissons par récurrence les éléments x_{λ} ∈ U^{+} de poids λ :

τ(−4ϖ_{j})τ(λ + α_{i})x_{λ+α_{i}} = ad x_{i}.[τ(−4ϖ_{j})τ(λ)x_{λ}]

Il vient alors par calcul : x_{λ+α_{i}} = q_{i}^{−2}(q_{i}^{4δ_{ij}−2(λ,α_{ˇ i})}x_{i}x_{λ} − x_{λ}x_{i}). Le lemme découle de cette formule en itérant l’action de x_{i} et en utilisant λ_{i} = (ϖ_{j} − λ, α_{ˇ i}). ♢ 3. CAS 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1).

3.1. Dans le cas où 𝔤 = 𝔰𝔩(n + 1), les représentations fondamentales L_{q}(ϖ_{j}) sont les j-ièmes puissances extérieures de la représentation L_{q}(ϖ_{1}). Ceci nous permet un calcul plus commode des générateurs du centre de V^{+}. On a défini en [chap. II, 2.4] la matrice D^{+} :

D^{+} = (q^{2} − q^{−2}) ( \begin{matrix}α \\ e_{1} & α & & 0 \\ e_{1,2} & e_{2} & α \\ ⋮ & & & ... \\ e_{1,n} & e_{2,n} & e_{n} & & α \end{matrix} )

où α = \frac{q^{2}}{q^{2}−q^{−2}} et les e_{i,j} sont donnés par récurrence par e_{i,i} = k_{i}x_{i}, e_{i,j} = e_{j}e_{i,j−1} − q^{−2}e_{i,j−1}e_{j}.

On a aussi défini le déterminant quantique d’une matrice M = (a_{i,j})_{1≤i,j≤n}, à coefficients dans V^{+}, par : det_{q} M = ∑_{σ∈Σ_{n}}(−q^{2})^{l(σ)}a_{1,σ(1)} … a_{n,σ(n)} , où l(σ) est la longueur de la permutation σ. On définit alors de manière évidente les mineurs quantiques extraits de la matrice D.

Théorème.

(i) Soit 1 ≤ j ≤ n. On pose I = {n − j + 2, …, n + 1}, J = {1, … j} et on désigne par Δ_{I,J} le mineur quantique construit sur les lignes I et les colonnes J. Alors e_{r(ϖ_{j})} = Δ_{I,J}(D^{+}) à une constante multiplicative près.

(ii) Z(V^{+}) est engendré par \{e_{r(ϖ_{j})}e_{r(ϖ_{n+1−j})}, 1 ≤ j < \frac{n+1}{2} \} si n est pair, et par \{e_{r(ϖ_{j})}e_{r(ϖ_{n+1−j})}, 1 ≤ j < \frac{n+1}{2} ; e_{r( \frac{n+1}{2} )}\} si n est impair.

Preuve. (i) découle de [chap. II, (2.1.3), (2.4.2)] et de la définition des e_{r(λ)}. (ii) est fourni par le lemme 1.3 et le lemme 2.2. ♢

Remarques 3.1.

1 . Ces résultats sont à comparer à ceux de [11] ou [22] pour le cas classique. Mais on ne peut pas retrouver la description du centre de U(𝔫^{+}) du cas classique en spécialisant q en 1.

2 . Remarquons enfin que J.Alev et F.Dumas ont obtenu dans [2] une description analogue du centre de U^{+}.

4. CENTRES DES CORPS DE FRACTIONS.

4.1. On a défini en [chap. I, 4.3] l’espace K_{λ}^{+} pour λ ∈ P^{+}. Démontrons la proposition suivante.

Proposition. Soient λ et μ dans P^{+}. Alors :

(i) K_{λ}^{+}τ(−4λ) = ad Ǔ_{q}.τ(−4λ) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}), (ii) K_{λ}^{+}τ(−4λ) = F (Ǔ_{q}) ∩ V^{+}τ(−4λ), (iii) K_{λ}^{+}K_{μ}^{+} = K_{λ+μ}^{+}.

Preuve. (i) découle clairement de [chap. I, proposition 4.2]. Pour (ii), ⊂ est évidente. On montre l’inclusion inverse en passant au gradué et en utilisant [chap. I, proposition 4.3]. F (Ǔ_{q}) étant une algèbre, on a :

K_{λ}^{+}τ(−4λ)K_{μ}^{+}τ(−4μ) ⊂ F (Ǔ_{q}) ∩ V^{+}τ(−4(λ + μ)) = K_{λ+μ}^{+}τ(−4(λ + μ)).

La partie ⊂ de (iii) en résulte. L’inclusion inverse provient de [chap. I, (1.5.1)]. ♢

4.2.

Lemme. On a la décomposition :

⨁_{λ∈P^{+}} τ(−4λ)K_{λ}^{+} = F (Ǔ_{q}) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}).

Preuve. On a clairement ⊂. Montrons l’inclusion inverse. Soit u ∈ F (Ǔ_{q})∩Ǔ_{q}(𝔟^{+}). On a par [chap. I, théorème 3.3] : u = ∑_{λ∈P^{+}} u_{λ}, où u_{λ} ∈ (adǓ_{q}).τ(−4λ). Dans le gradué défini en [chap. I, 1.7], nous avons, cf. [chap. I, 4.3]

gr u = ∑_{λ∈P^{+}} gr u_{λ} = ∑_{λ∈P^{+}} k_{λ}^{−}.gr τ(−4λ).k_{λ}^{+} où k_{λ}^{±} ∈ gr K_{λ}^{±}.

Par décomposition triangulaire dans le gradué, il vient : k_{λ}^{−} ∈ 𝕂. D’après la remarque qui suit [chap. I, proposition 4.3], le module F (Ǔ_{q}) et son gradué gr(F (Ǔ_{q})) sont isomorphes et on peut affirmer que

gr u ∈ ⨁_{λ∈P^{+}}(adU^{+})gr τ(−4λ) ⟹ u ∈ ⨁_{λ∈P^{+}}(adU^{+})τ(−4λ),

donc u ∈ ⨁_{λ∈P^{+}} τ(−4λ)K_{λ}^{+}. ♢

On ordonne P^{+} par la relation : λ ≺ μ ⇔ λ − μ ∈ P^{+}.

Proposition. V^{+} est limite inductive des K_{λ}^{+}. Plus précisément :

(i) K_{λ}^{+} ⊂ K_{μ}^{+} , λ ≺ μ ;

(ii) V^{+} = ∑_{λ∈P^{+}} K_{λ}^{+}.

Preuve. On a évidemment 1 ∈ K_{λ}^{+}. (i) provient donc de la proposition 4.1 (iii). Soit maintenant u ∈ V^{+} , par [chap. I, théorème 3.7], on peut décomposer u sous la forme u = ∑_{α∈S} τ(α)a_{α} où a_{α} ∈ F (Ǔ_{q}), S désignant une partie finie de P^{+}. Par passage au gradué, comme dans la démonstration du lemme précédent, on prouve a_{α} ∈ F (Ǔ_{q}) ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Par ce lemme, il vient : u ∈ ∑_{λ} τ(α − 4λ)K_{λ}^{+}. Comme U_{0}V^{+} ≃ U_{0} ⨂ V^{+}, on obtient (ii). ♢ Remarque. Ce résultat possède un analogue dans le cas classique, cf. [25, 6.12 (**)].

4.3. Nous pouvons énoncer le théorème :

Théorème. Soit I un idéal bilatère non nul de V^{+}. Alors I contient au moins un élément central non nul.

Preuve. On dira que l’idéal I vérifie la propriété (P_{m}), si I contient un élément e tel que e = ∑_{α∈S_{m}} e_{α} , où S_{m} désigne une partie de P^{+} à m éléments et e_{α} ∈ V_{α}^{+}.

Nous allons montrer par récurrence sur m > 0 l’assertion :

“ Si I verifie (P_{m}), alors I contient un élément central non nul ”.

Montrons ceci pour m = 1. I contient donc un élément e de poids μ. Par la proposition 4.2, on peut trouver λ tel que e ∈ K_{λ}^{+}. ll existe alors dans V^{+} un élément v tel que (ad v).(τ(−4λ)e) = τ(−4λ)e_{r(λ)}. On peut choisir v de poids r(λ) − μ. En développant la partie gauche de l’égalité et moyennant quelques commutations, on déduit : ∑_{i} v_{i}ev′_{i} = e_{r(λ)} où v_{i} , v′_{i} ∈ V^{+}. Donc, e_{r(λ)} ∈ I et e_{r(λ)}e_{r(−w_{0}λ)} ∈ I ∩ Z par la proposition 2.2 et le théorème 2.2. Supposons maintenant le théorème montré pour les idéaux vérifiant (P_{m−1}). Soit I vérifiant (P_{m}) et e dans I : e = ∑_{μ∈S_{m}} e_{μ} = e_{μ_{1}} + ∑_{μ∈S_{m−1}} e_{μ}. Comme précédemment on montre qu’il existe un élément central non nul z tel que z + ∑_{μ∈S′_{m−1}} e′_{μ} ∈ I. Par une considération de poids cette somme est non nulle. Posons X = ∑_{μ∈S′_{m−1}} e′_{μ}. Si X est central, on obtient le résultat désiré. Sinon, on peut supposer [e_{i}, X] ≠ 0. Il vient : [e_{i}, z + X] ∈ I implique [e_{i}, X] ∈ I. Donc I vérifie (P_{m−1}) et le théorème est démontré. ♢

Rappelons que V^{+} est intègre et possède un corps de fractions. La preuve du corollaire suivant est classique.

Corollaire. Le centre du corps des fractions de V^{+} est égal au corps des fractions du centre de V^{+}.

4.4. Le Théorème 4.3 n’a pas d’analogue pour Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Toutefois, nous avons :

Proposition. Soit I un idéal bilatère non nul de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Alors I contient un élément non nul de poids dans Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}.

Preuve. Montrons que I contient un élément de poids. Soit X dans I, on peut décomposer : X = ∑_{μ} X_{μ}, où μ parcourt une partie de Q^{+} de cardinal m. Il est clair que l’on peut trouver α ∈ Q tel que les (α, μ) soient distincts. En appliquant l’action adjointe des τ(pα) , p ∈ ℕ, on trouve, à l’aide d’un déterminant de Vandermonde, un élément a non nul de poids dans I. Cet élément se décompose dans U_{0} ⨂ V^{+}. Supposons tout d’abord que a = τ(μ)e_{β} où e_{β} ∈ V_{β}^{+} (i.e. n = 1). Alors e_{β} ∈ I ∩ V^{+} , donc par le théorème 4.3 on trouve e_{r(λ)} ∈ I pour un λ ∈ P^{+}. D’où : τ(−4λ)e_{r(λ)} ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Supposons maintenant a = ∑_{μ_{i}∈S_{m}} τ(μ_{i})e_{i,β} où S_{m} désigne une partie de P^{+} à m éléments et e_{i,β} ∈ V_{β}^{+}. Montrons par récurrence sur m que I contient un élément de poids dans I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. On écrit a = τ(μ)e_{β}+∑_{μ_{i}∈S_{m−1}} τ(μ_{i})e_{i,β}. On peut donc, en appliquant la méthode décrite pour m = 1, trouver un élément b dans I de la forme : b = τ(−4λ)e_{r(λ)} + ∑_{ν_{i}∈S_{m−1}} τ(ν_{i})e_{i,γ}. Comme −4λ et les ν_{i} sont deux à deux distincts, il en résulte que b est non nul. Posons : X = ∑_{μ_{i}∈S_{m−1}} τ(ν_{i})e_{i,γ}. Alors, soit X appartient à Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}} et dans

ce cas la récurrence est vérifiée, soit X n’appartient pas à Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}} et on a donc ad x_{i}.(X) ≠ 0 pour un i. D’où : 0 ≠ ad x_{i}.(X) = ad x_{i}.(b) ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Ce qui termine la démonstration. ♢

Lemme. Ker(u) est engendré par les α_{i} + w_{0}(α_{i}) , 1 ≤ i ≤ n. Preuve. On rappelle que u = Id − w_{0}. Comme w_{0}^{2} = Id on a : Ker(Id − w_{0}) = Im(Id + w_{0}). ♢

Théorème. Le centre du corps des fractions de Ǔ_{q}(𝔟^{+}) est engendré par les éléments [τ(−4α_{i})e_{r(α_{i})}]^{−1}τ(4w_{0}(α_{i}))e_{r(−w_{0}(α_{i}))} , 1 ≤ i ≤ n. Lorsque w_{0} = −Id, le centre est réduit au corps des constantes.

Preuve. Soit z dans le centre de F ract(Ǔ_{q}(𝔟^{+})). Alors I := Ǔ_{q}(𝔟^{+})z ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+}) est un idéal bilatère de Ǔ_{q}(𝔟^{+}). Donc, par la proposition 4.4, il existe v dans Ǔ_{q}(𝔟^{+}) et β dans Q tels que vz ∈ I ∩ Ǔ_{q}(𝔟^{+})_{β}^{U^{+}}. Par la proposition 2.1 (iv), on peut se ramener au cas vz = τ(−4λ)e_{r(λ)}. Donc v à pour poids r(λ) et v ∈ Ǔ_{q}(𝔟^{+})^{U^{+}}. Ceci revient à dire : v ∈ ⨁_{μ,r(μ)=r(λ)} 𝕂τ(−4μ)e_{r(μ)}. Le théorème est alors une conséquence du lemme 4.4 et de la proposition 2.2. ♢

CHAPITRE IV

Sur la résolution de Bernstein-Gelfand-Gelfand

On qualifiera de“classique” la théorie des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie semi-simples. On pourra donc parler d’algèbres classiques, de modules de Verma classiques, de modules simples de plus haut poids classiques, etc.

Dans le cas classique, Bernstein, Gelfand et Gelfand ont montré en [4] que tout module simple de plus haut poids λ ∈ P^{+} possède une résolution – dite résolution B.G.G – par des sommes directes de modules de Verma. Nous montrons que ce résultat se généralise de façon naturelle : le module simple L_{q}(λ), λ ∈ P^{+}, possède une résolution par les modules ⨁_{l(w)=i} M_{q}(w.λ), cf. théorème 1.4. Ce complexe est construit à l’aide d’un résultat bien connu sur les possibilités d’inclusions entre modules de Verma M_{q}(μ), μ ∈ P.

Pour t ∈ ℂ^{∗}, non racine de l’unité, nous donnons une condition suffisante pour que ce complexe reste exact après spécialisation en q = t, cf. théorème 2.3.

Soit B_{1} une partie de l’ensemble des racines simples de R et w_{1} l’élément le plus long du groupe de Weyl associé à B_{1}. Alors, pour tout μ ∈ −w_{1}.P^{+}, le module simple L_{t}(μ) possède une résolution de type B.G.G, cf. théorème 3.3. Un résultat plus général a été démontré pour le cas classique dans [16].

1. RESOLUTION B.G.G.

1.1. Soit R le localisé de ℚ[q, q^{−1}] en l’idéal engendré par (q − 1). Comme dans [chap. I, 1.6], on peut définir la sous-R-algèbre U_{R} de U_{q} engendrée par les éléments x_{i}, y_{i}, \frac{τ(2α_{i})−τ(−2α_{i})}{q_{i}^{2}−q_{i}^{−2}}, τ(±α_{i}), 1 ≤ i ≤ n. Soit I_{R} l’idéal de U_{R} engendré par (q−1)

et les τ(α_{i}) − 1. On rappelle que le quotient de U_{R} par l’idéal I_{R} est isomorphe à la ℚ-algèbre enveloppante de l’algèbre de Lie 𝔤. On notera U_{q}(𝔫^{−}), resp. U_{R}(𝔫^{−}), la sous-ℂ(q)-algèbre de U_{q}, resp. la sous-R-algèbre de U_{R}, engendrée par les y_{i}. U_{R}(𝔫^{−}) est un R-module libre [28, prop. 5.7].

Remarquons que U_{R}(𝔫^{−})/(q − 1)U_{R}(𝔫^{−}) est canoniquement isomorphe à U(𝔫^{−}), l’algèbre enveloppante classique de l’algèbre nilpotente.

1.2. Soit λ ∈ P. On note ℂ(q)_{λ} le U_{q}(𝔟^{+})-module engendré par v_{λ} tel que : x_{i}v_{λ} = 0, τ(α_{i})v_{λ} = q^{(α_{i},λ)}v_{λ}. On définit de manière analogue le module R_{λ}. On définit les modules de Verma M_{q}(λ) et M_{R}(λ) par : M_{q}(λ) = U_{q} ⊗_{U_{q}(𝔟^{+})} ℂ(q)_{λ} et M_{R}(λ) = U_{R}(𝔫^{−}) ⊗ R_{λ}. Grâce à la décomposition triangulaire, on note que M_{q}(λ), resp. M_{R}(λ), est un module libre sur U_{q}(𝔫^{−}), resp. U_{R}(𝔫^{−}). Donc ces modules ont même caractère que dans le cas classique. On sait que M_{q}(λ), resp. M_{R}(λ), possède un unique quotient irreductible noté L_{q}(λ), resp. L_{R}(λ). Nous supposerons pour l’instant que les possibilités d’inclusions d’un module de Verma dans un autre sont analogues au cas classique, cf. [12, Th. 7.7.7]. Ceci sera démontré en 2.2, dans un cadre plus général.

1.3. Fixons un poids entier dominant λ. Avec les notations de [chap. I, 1.2], posons C_{k} = ⨁_{w∈W^{(k)}} M_{R}(w.λ), 0 ≤ k ≤ s. Nous allons pouvoir construire le complexe de U_{R}-modules C_{∗} analogue à celui introduit dans [4].

0 → C_{s} \underrightarrow{d_{s}} … C_{2} \underrightarrow{d_{2}} C_{1} \underrightarrow{d_{1}} C_{0} \underrightarrow{ε_{λ}} L_{R}(λ) → 0

où ε_{λ} désigne la projection naturelle.

Rappelons brièvement la construction des d_{i} telle qu’elle est introduite dans [4]. Comme les possibilités d’inclusions sont les mêmes que dans le cas classique, les d_{i} seront entièrement déterminés par une matrice à coefficients dans R, (c_{w_{1} w_{2}}), w_{1} ∈ W^{(i)}, w_{2} ∈ W^{(i−1)}. On définit donc les d_{i} par la matrice à coefficients dans {−1, 0, 1}, (c_{w_{1} w_{2}}) donnée dans [4].

1.4. Nous allons montrer que complexe C_{∗} est exact. Pour cela, nous utiliserons le lemme suivant.

Lemme. Soient A, B, C des R-modules. Supposons B de type fini, C sans (q −1)-torsion. Considérons le diagramme commutatif de complexes de R-modules

A  \underrightarrow{ϕ}  B  \underrightarrow{ψ}  C
↓  ↓  ↓
A/(q − 1)A → B/(q − 1)B → C/(q − 1)C

où les verticales désignent les projections canoniques. Alors l’exactitude de la ligne du bas entraine l’exactitude de celle du haut.

Preuve. Supposons la ligne du bas exacte et considérons u ∈ Kerψ. Alors on peut écrire : u = ϕ(v) + (q − 1)u′ avec v ∈ A et u′ ∈ B. En appliquant ψ à l’égalité précédente, il vient u′ ∈ Kerψ. Soit H = Kerψ/Imϕ, on a : H ⊂ (q − 1)H, donc H = 0 par le lemme de Nakayama. ♢

Théorème. Le complexe C_{∗} est exact.

Preuve. Ce complexe est clairement exact en ε. Montrons qu’il est exact en d_{i}. Soit U_{ℚ} la ℚ-algèbre enveloppante de 𝔤 et μ dans P. Considérons M(μ) le U-module de Verma de poids μ, et u_{μ} son vecteur de plus haut poids. On considère le morphisme de M_{R}(μ) dans M(μ) : Ev_{μ} → \overline{E}u_{μ} où E ∈ U_{q} et où \overline{E} désigne la classe de E dans U_{R}(𝔫^{−}) via l’isomorphisme indiqué dans 1.1. Comme \overline{Ann v_{μ}} = Ann u_{μ}, le morphisme est bien défini. On a M_{R}(μ)/(q − 1)M_{R}(μ) isomorphe à M(μ). On a donc le morphisme de complexes

(1.4.1)  C_{∗} → C_{∗}/(q − 1)C_{∗}.

Considérons le complexe de Bernstein-Gelfand-Gelfand introduit en [4, par. 10]. Il s’agit du complexe obtenu en remplaçant dans le complexe 1.3, les modules quantiques par leur analogues classiques. Ce complexe possède un sous-complexe de U_{ℚ}-modules. On peut aisément calquer la preuve de [4, par. 9 et 10] pour obtenir que ce sous-complexe est aussi exact. Ceci entraine que le complexe de droite dans (1.4.1) est exact. De plus, il est clair que les dérivations d_{i} ainsi que ε respectent les poids. Le théorème résulte alors du lemme 1.4 en remarquant que les sous-espaces de poids M_{R}(λ)_{α} sont de type fini et sans (q − 1)-torsion. ♢

2. SPECIALISATION POUR t DANS ℂ^{∗}.

Nous examinons dans cette section comment le théorème 1.4 se transforme après spécialisation en t ∈ ℂ^{∗}, t non racine de l’unité.

2.1. On désigne par U_{t}, resp. Ǔ_{t}, la ℂ-algèbre définie à l’aide des relations de l’algèbre U_{q}, resp. Ǔ_{q}, en remplaçant q par t. On définit de même les sous-algèbres U_{t}(𝔟^{±}), Ǔ(𝔟^{±}), etc. On notera respectivement les modules de Verma, les modules simples de plus haut poids, M_{t}(λ) et L_{t}(λ).

Soit z un élément du centre de U_{t}, alors z agit comme un scalaire, noté Θ_{λ}(z) sur M_{t}(λ). Ceci permet de définir le caractère central Θ_{λ}. Rappelons le théorème, cf. [36].

Théorème. Soient λ et μ des poids. Θ_{λ} = Θ_{μ} ⇔ λ ∈ W.μ.

Remarque. Ce théorème permet de montrer que tout module M_{t}(λ) est de longueur finie et que tout sous-quotient simple de ce module est isomorphe à L_{t}(μ) pour un μ ∈ W.λ ∩ (λ − Q^{+}). Nous présentons maintenant un équivalent quantique (sans doute bien connu) du théorème sur les inclusions des modules de Verma, pour t non racine de l’unité. Pour cela, on adaptera les démonstrations de [12, chap. 7]. Tout d’abord, on rappelle la formule de commutation, cf. [10, 1.3.2].

(2.1.1)  [x_{i}, y_{i}^{s}] = [s]_{i}y_{i}^{s−1}[k_{i}; d_{i}(1 − s)].

A l’aide de [29, proposition 4.2], on constate que le caractère d’un module de Verma M_{t}(λ) ne dépend pas de t. On prouve comme dans [12, 7.6.6] :

Proposition. Soient λ, μ ∈ P. L’espace vectoriel Hom_{U_{t}}(M(μ), M(λ)) est nul ou de dimension 1.

Lemme. Soit 1 ≤ i ≤ n, p ∈ ℕ, et u ∈ U_{t}^{−}. Alors, il existe l tel que y_{i}^{l}u ∈ U_{t}^{−}y_{i}^{p}.

Preuve. Tout élément de U_{t}^{−} se décompose en une somme finie de produits finis de y_{j}, 1 ≤ j ≤ n. Il suffit donc de montrer ce lemme pour u = y_{j}. Or, les relations de Serre quantiques donnent facilement y_{i}^{p−a_{ij}}y_{j} ∈ U_{t}^{−}y_{i}^{p}. ♢

2.2. Lemme. Soit λ ∈ P, 1 ≤ i ≤ n. Supposons s_{i}λ = λ − pα_{i}, p ∈ ℕ.

(i) On a M_{t}(s_{i}.λ) ⊂ M_{t}(λ). De plus, soit v un vecteur de plus haut poids de M_{t}(λ), alors y_{i}^{p+1}v est un vecteur de plus haut poids de M_{t}(s_{i}.λ).

(ii) Soit μ ∈ P, tel que M_{t}(s_{i}.μ) ⊂ M_{t}(μ) ⊂ M_{t}(λ), alors M_{t}(s_{i}.μ) ⊂ M_{t}(s_{i}.λ). Preuve. (i) découle de de la formule 2.1.1 et de la proposition 2.1. On en conclut que M_{t}(s_{i}.λ) est engendré par y_{i}^{p+1}v. Comme M_{t}(s_{i}.μ) ⊂ M_{t}(μ), on a par (i) s_{i}μ = μ − mα_{i}, pour m ∈ ℕ. De plus, M_{t}(s_{i}.μ) est engendré par y_{i}^{m+1}v′, où v′ désigne un vecteur de plus haut poids de M_{t}(μ). Soit u dans U_{t}^{−} tel que v′ = uv. Par le lemme 2.1, il existe l, que l’on peut choisir plus grand que m + 1, tel que y_{i}^{l}u ∈ U_{t}^{−}y_{i}^{p+1}. On en deduit (H_{l}) : y_{i}^{l}v′ ∈ M_{t}(s_{i}.λ). (ii) découlera de l’assertion : soit l > m+1, tel que (H_{l}) soit vérifié, alors (H_{l−1}) est vérifié. Or, par 2.1.1 on obtient y_{i}^{l}v′ ∈ M_{t}(s_{i}.λ) ⇒ [l]_{i}[m+1−l]_{i} y_{i}^{l−1}v′ ∈ M_{t}(s_{i}.λ). D’où y_{i}^{l−1}v′ ∈ M_{t}(s_{i}.λ) car t n’est pas racine de l’unité. ♢

Nous pouvons maintenant prouver le théorème

Théorème. Soit λ un poids entier dominant. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) w_{1}, w_{2} ∈ W, w_{1} ≤ w_{2}. (ii) M_{t}(w_{1}.λ) ⊂ M_{t}(w_{2}.λ). (iii) dim Hom(M_{t}(w_{1}.λ), M_{t}(w_{2}.λ)) = 1.

Preuve. Soit s_{α} la réflexion associée à la racine positive α. Compte tenu du théorème 2.1 et de la proposition 2.1, il suffit de voir que si μ ∈ P et si s_{α}.μ ≤ μ, alors M_{t}(s_{α}.μ) ⊂ M_{t}(μ). On peut s’en convaincre en suivant par exemple la preuve de [12, lemme 7.6.11], et en se servant du lemme 2.2. ♢

On peut donc définir un complexe de B.G.G, C_{t,∗}, de manière analogue à 1.4.

2.3. Soit T la partie de ℂ^{∗} constituée des éléments transcendants sur ℚ, P l’ensemble des nombres premiers p tels que p > 3 si 𝔤 est de type G_{2}, p > 2 sinon. On note A la partie de ℂ^{∗} formée des éléments algébriques, non racines de l’unité, annulés par un polynôme irréductible tel que P (1) ∈ pℤ pour un p de P. Nous démontrons dans les sections 2.4-2.7 le résultat suivant.

Théorème. Supposons t ∈ T ∪ A. Alors, le complexe C_{t,∗} est exact.

2.4. Supposons t ∈ T. Alors les algèbres U_{q} et U_{t} sont identiques. La première partie du théorème découle donc du théorème 1.4.

2.5. Supposons t dans A, et notons p un entier naturel premier associé. Afin de prouver la seconde partie du théorème, nous allons utiliser un résultat de [3]. Pour cela introduisons quelques notations.

Soit B le localisé de ℤ[q] en M où M désigne l’idéal engendré par (q − 1) et p. On peut définir comme dans [chap. I, 1.6] l’algèbre quantique U_{B}. Soit P le polynôme irréductible qui annule t, alors l’idéal I de ℤ[q] engendré par P (q) est inclus dans M. On peut définir sur ℂ une structure de B-algèbre en faisant opérer q comme le scalaire t. Il est clair que U_{t} ≃ ℂ ⊗_{B} U_{B}.

2.6. Selon une idée de P. Polo, nous allons nous servir de la théorie de Borel-Weil-Bott quantifiée, cf. [3]. Soit M un U_{t}^{0}-module. On note Ω(M) l’ensemble des poids μ tels que M_{μ} ≠ 0. Considérons les conditions :

1) M = ⨁_{μ∈P} M_{μ}

2) Ω(M) est majoré par un ensemble fini de poids. On introduit les catégories suivantes : C^{0} des U_{t}^{0}-modules vérifiant 1), C^{b} des U_{t}(𝔟^{−})-modules finis pour l’action de U_{t}(𝔟^{−}), C des U_{t}-modules de dimension finie, C_{bs}^{−} des U_{t}(𝔟^{−})-modules qui vérifient 1) et 2). On note V l’algèbre U_{t}^{−} ou U_{t}(𝔟^{−}). On définit les foncteurs suivants.

H_{0}(V, −) : C_{bs}^{−} → C^{0}, M ↦ M/(Kerε ∩ V)M ; H^{0}(V, −) : C^{b} → C^{0}, M ↦ M^{V}

δ : C_{bs}^{−} → C^{b}, M ↦ ⨁ M_{μ}^{∗}; H : C^{b} → C, M ↦ F(Hom_{U_{t}(𝔟^{−})}(U_{t}, M))

où

M^{V} = {m ∈ M | vm = ε(v)m, ∀v ∈ V },

F(Hom_{U_{t}(𝔟^{−})}(U_{t}, M)) = { h ∈ Hom_{U_{t}(𝔟^{−})}(U_{t}, M) | dim U_{t}(𝔟^{−}).h < +∞}.

L’espace Hom_{U_{t}(𝔟^{−})}(U_{t}, M) est muni de la structure de U_{t}(𝔟^{−})-module donnée par (u.h)(m) = u_{(1)}(h(Su_{(2)}m)). Enfin, π_{0} désigne dans C^{0} la projection sur l’espace de poids 0.

On démontre que C_{bs}^{−}, resp. C^{b}, possède suffisamment de projectifs, resp. d’injectifs, et que δ est un foncteur exact qui transforme tout objet projectif de C_{bs}^{−} en un objet injectif de C^{b}. H_{0}(V, −) , resp. H^{0}(V, −), est un foncteur exact à droite, resp. à gauche. On désigne par H_{i}(V, −), resp. H^{i}(V, −), le i-ème foncteur dérivé, L^{i}H_{0}(V, −), resp. R^{i}H^{0}(V, −). Notons que π_{0} est exact.

Comme δ(H_{0}(U_{t}^{−}, L_{t}(λ)) = H^{0}(U_{t}^{−}, δL_{t}(λ)) , on a
δH_{i}(U_{t}^{−}, L_{t}(λ)) = H^{i}(U_{t}^{−}, δL_{t}(λ)).

D’où :

(∗)  δ(H_{i}(U_{t}^{−}, L_{t}(λ))_{μ}) = H^{i}(U_{t}^{−}, δL_{t}(λ))_{−μ} = π_{0}(H^{i}(U_{t}^{−}, δL_{t}(λ)) ⊗ ℂ_{μ}) =

π_{0}(H^{i}(U_{t}^{−}, δL_{t}(λ) ⊗ ℂ_{μ})) = H^{i}(U_{t}(𝔟^{−}), δL_{t}(λ) ⊗ ℂ_{μ}) = H^{i}(U_{t}(𝔟^{−}), L_{t}(λ)^{∗} ⊗ ℂ_{μ}).

Soit N ∈ C^{b}, la loi de réciprocité de Frobenius, cf. [3, Proposition 2.12], donne

H^{0}(U_{t}(𝔟^{−}), N) = Hom_{U_{t}(𝔟^{−})}(ℂ, N) = Hom_{C}(ℂ, H^{0}(N)).

Rappelons, cf. [34], que la catégorie C est semi-simple, donc le foncteur Hom_{C} est exact. Il vient :

H^{i}(U_{t}(𝔟^{−}), N) = Hom_{C}(ℂ, H^{i}(N)).

D’où par (*) :

δ(H_{i}(U_{t}^{−}, L_{t}(λ))_{μ}) = Hom_{C}(ℂ, H^{i}(L_{t}(λ)^{∗} ⊗ ℂ_{μ}))
= Hom_{C}(ℂ, L_{t}(λ)^{∗} ⊗ H^{i}(ℂ_{μ})) = Hom_{C}(L_{t}(λ), H^{i}(ℂ_{μ})).

Or, par [3], th. 6.4, cet espace est de dimension 1 si μ = w.λ, w ∈ W^{(i)} et 0 sinon. Ceci, avec la section 2.5, donne :

Théorème. Sous les conditions précédentes, on a pour tout λ dans P^{+},

dim T or_{U_{t}^{−}}^{i}(ℂ, L_{t}(λ)) = Card W^{(i)}. ♢

2.7. Rappelons que d_{i} est la i-ème différentielle du complexe C_{t,∗}, et désignons par K le noyau de d_{i}. K est un sous-U_{t}-module de C_{t,i}.

Lemme. Les facteurs de composition d’une suite de Jordan-Hölder de K sont de la forme L_{t}(w.λ), l(w) > i.

Preuve. Par la remarque 2.1, les facteurs de composition d’une suite de Jordan-Hölder de C_{t,i}, donc a fortiori, de K, sont de la forme L_{t}(w.λ), avec l(w) ≥ i. De plus, si l(u) = i, pour u ∈ W, alors L_{t}(u.λ) est de multiplicité 1 dans C_{t,i}. Constatons que, par construction, la restriction de d_{i} à M_{t}(u.λ) est injective. Il en résulte L_{t}(u.λ) ∈ J H(d_{i}(M_{t}(u.λ))) ⊂ J H(Im(d_{i})). Le lemme en découle directement. ♢

Preuve du théorème 2.3. On doit montrer que Imd_{i+1} = K. Soit \overline{d_{i+1}} le morphisme quotient de C_{i+1}/(U_{t}^{−}∩Ker ε)C_{i+1} vers K/(U_{t}^{−}∩Ker ε)K. On procède par étapes.

a) Si \overline{d_{i+1}} est surjective alors Im(d_{i+1}) = K.

b) \overline{d_{i+1}} est injective. c) dim C_{i+1}/(U_{t}^{−} ∩ Ker ε)C_{i+1} = dim K/(U_{t}^{−} ∩ Ker ε)K. Il suffit de se rapporter à la démonstration de [4, théorème 10.1’], pour voir que :

a) est clair, b) découle du lemme 2.7, c) provient du théorème 2.6. ♢

2.8. Afin de compléter cet exposé, rappelons le résultat de Rosso, cf. [37, th. 12].

Théorème. Si 𝔤 est de type A_{n} et si t n’est pas racine de l’unité, alors le complexe C_{t,∗} est exact.

D’autre part P. Polo a récemment montré que l’analogue quantique du théorème de Borel-Weil-Bott, cf. [3, 6.4], pouvait s’étendre au cas où t est quelconque non racine de l’unité. A l’aide de ce résultat, on peut montrer comme précédemment que le théorème 2.7 reste valable pour 𝔤 semi-simple quelconque.

3. GENERALISATION DE LA RESOLUTION B.G.G.

Nous allons montrer qu’il existe une résolution B.G.G. pour les modules simples L_{t}(μ), lorsque μ appartient à certaines chambres de Weyl. On choisit t non racine de l’unité si 𝔤 est de type A_{n}, et t ∈ T ∪ A sinon.

3.1. Soit B l’ensemble des racines simples du système R. Scindons B en deux parties disjointes B_{1} et B_{2}. Ceci correspond à une décomposition [1, n] = I_{1} ∪ I_{2}. On note R_{i}^{+} l’ensemble des racines positives, U_{t}(𝔤_{i}) et U_{t}(𝔫_{i}^{−}) les algèbres de Lie semi-simples et nilpotentes correspondant à B_{i}, i = 1, 2. Soit Ǔ_{t}^{1}, la sous-algèbre dite parabolique engendrée par Ǔ_{t}(𝔟^{+}) et y_{i}, i ∈ I_{1}. Soit W_{i} le groupe de Weyl associé à B_{i} et w_{1} l’élément le plus long de W_{1}.

3.2. Dans [10, 1.7], les auteurs définissent une filtration pour U_{t} qui permet de fournir à cette algèbre une base à la P.B.W. Rappelons que cette base est construite à partir de monômes E^{(k)} = E_{β_{1}}^{k_{1}} … E_{β_{n}}^{k_{n}}, resp. F^{(k)} = F_{β_{n}}^{k_{n}} … F_{β_{1}}^{k_{1}}, où les β_{i} sont les éléments de R^{+} munis d’un ordre précis et où E_{β_{i}}, resp. F_{β_{i}}, désigne un vecteur de U_{t}(𝔫^{+}), Resp. U_{t}(𝔫^{−}) associé à la racine β_{i}. Signalons que la filtration permet de définir un gradué dans lequel les monômes commutent à un scalaire t^{s} près. Ceci permet la construction d’une autre base à la P.B.W. en fixant un ordre différent pour les β_{i}. Donc, en choisissant un ordre sur R^{+} tel que les racines de R^{+}\R_{1} précèdent celles de R_{1}, on constate que U_{t}(𝔫^{±}) est libre comme U_{t}(𝔫_{1}^{±})-module à droite.

3.3. Fixons μ dans −w_{1}.P^{+}. On a la décomposition μ = ∑_{α∈B_{1}} n_{α}ϖ_{α} + ∑_{α∈B_{2}} n_{α}ϖ_{α}. Remarquons que μ ∈ −w_{1}.P^{+} implique n_{α} ∈ ℕ, α ∈ B_{1}. On pose μ_{1} = ∑_{α∈B_{1}} n_{α}ϖ_{α} et ν = ∑_{α∈B_{2}} n_{α}ϖ_{α}.

Lemme 1. Dans Ǔ_{t}^{1}, l’idéal bilatère M engendré par les {x_{α}; τ(ϖ_{i})−t^{(ν,ϖ_{i})}, α ∈ B_{2}, i ∈ I_{2}} vérifie Ǔ_{t}^{1}/M ≃ Ǔ_{t}(𝔤_{1}). ♢ Preuve. L’algèbre Ǔ_{t}^{1}/M est engendrée par les classes modulo M des éléments \overline{x_{α}}, \overline{y_{α}}, \overline{τ(ϖ_{i})}, α ∈ B_{1}, i ∈ I_{1}. En considérant les relations de définition de Ǔ_{t}^{1} et de Ǔ_{t}(𝔤_{1}), on constate qu’il existe un isomorphisme canonique entre les deux algèbres. ♢

A l’aide du lemme, on voit que tout Ǔ_{t}(𝔤_{1})-module M peut être doté d’une unique structure de Ǔ_{t}^{1}-module en faisant agir τ(α), resp. x_{α}, α ∈ B_{2}, comme la multiplication par t^{(α,ν)}, resp. 0. Notons M^{ν} le module obtenu. Par induction nous pouvons construire un Ǔ_{t}-module I^{ν} M = U_{t} ⊗_{U_{t}^{1}} M^{ν}. Par 3.2, I^{ν} est un foncteur exact de la catégorie des Ǔ_{t}(𝔤_{1})-modules dans celle des Ǔ_{t}-modules. A l’aide des théorèmes 2.3 et 2.8, nous pouvons construire une résolution à la B.G.G du Ǔ_{t}(𝔤_{1})- module simple, L_{t}(μ_{1}), de plus haut poids μ_{1}. Nous obtenons ainsi un complexe exact. Notons C_{t,∗} l’image de ce complexe par le foncteur I^{ν}. Par [5, par. 6, corollaire 1], nous avons.

Lemme 2. W_{1} laisse stable R^{+}\R_{1}. ♢

Proposition. I^{ν} L_{t}(μ_{1}) est un Ǔ_{t}-module simple. Il s’identifie au module simple L_{t}(μ).

Preuve. Montrons la première assertion, la seconde en découlant facilement. En adaptant, à l’aide du théorème 2.2, la preuve de [18, 1.17], on constate qu’il suffit de prouver (μ + ρ, α) < 0 pour tout α dans R^{+}\R_{1}. Ceci est une conséquence directe du lemme précédent. ♢

On montre comme dans [18, 1.16], que pour tout λ_{1} ∈ P_{1}, l’image par I^{ν} du Ǔ_{t}(𝔤_{1})-module de Verma de plus haut poids λ_{1} est égal au Ǔ_{t}-module de Verma de plus haut poids λ_{1} + ν. On a alors

Théorème. Soit μ ∈ −w_{1}.P^{+}. Il existe une résolution du Ǔ_{t}-module simple L_{t}(μ)

C_{t,∗} → L_{t}(μ) → 0 où C_{t,k} = ⨁_{w∈W_{1}^{(k)}} M_{t}(w.μ).  ♢

Remarque 1. La proposition prouve que le caractère de L_{t}(μ) ne dépend pas de t.

Remarque 2. Le théorème 3.3 donne l’analogue quantique d’un cas particulier d’un résultat plus général démontré dans le cas classique dans [16, 2.6].

INDEX DES NOTATIONS

I.1.1. 𝔤, 𝔥, R, R^{+}, P, P^{+}, Q, Q^{+}, α_{i}, α_{ˇ i}, ϖ_{i}, ρ, d_{i}. I.1.2. W, W^{(k)}.

I.1.3. q, q_{i}, 𝕂, [k]_{d}, [k]_{d}!, \left[{k \atop j}\right]_{d}, Ǔ_{0}, Ǔ_{q}, τ, k_{i}, x_{i}, y_{i}, Δ, S, ε.

I.1.4. U^{+}, V^{+}, U^{−}, V^{−}, U(𝔟^{+}), Ǔ_{q}(𝔟^{+}), U_{q}(𝔟^{−}), Ǔ_{q}(𝔟^{−}), U_{q}, , U_{+}^{±}, φ, φ̃, ξ.

I.1.5. ad, ãd, Ž, Z, Z(U^{+}), Z(V^{+}), F (Ǔ_{q}). I.1.6. A, R, Ǔ_{A}, Ǔ_{A}^{0}, U_{A}, Ǔ_{R}, U_{R}, [k_{i}; m], H_{i}, H_{λ}. I.1.7. gr, G(U_{q}), Ž(G), G^{+}, G^{−}, G_{λ}, G_{λ}^{+}. I.1.8. χ_{λ}, θ_{λ}, M_{q}(λ), L_{q}(λ), M_{λ}, M_{A}, \overline{M}_{A}. I.2.2. β^{+}, β^{−}, ζ. I.2.3. C(λ), Ω^{×}(λ), c_{ν,i,μ,j}^{λ}, c_{ν,i,μ,j}. I.3.1. ℂ_{q}[G], F (U_{q}^{∗}).

I.4.1. σ_{ν,i,μ,j}^{±}, s_{ν,i,μ,j}.

I.4.2. (σ^{±}), (s). I.4.3. K_{λ}^{+}, K_{λ}^{−}. I.4.4. ℂ_{q}[B^{±}]. II.1.1. z_{λ}. II.1.2. z_{i}. II.2.1. Λ_{q}(E), Λ_{q}^{i}(E), C_{n+1}^{i}, S_{n+1}, det_{q}, d̃et_{q}. II.2.2. ε_{i}, ε_{I}. II.2.3. e_{i,j}, f̃_{i,j}. II.4.2. z′_{i}. III.1.1. L_{λ}^{+}, ad_{λ}. III.1.3. H. III.2.1. r(μ), e_{r(μ)}. III.2.2. x_{r(μ)}, e_{r_{i}}, x_{r_{i}}. IV.1.3. C_{k}, C_{∗}. IV.2.1. Ǔ_{t}, U_{t}, U_{t}(𝔟^{±}), M_{t}(λ), L_{t}(λ). IV.2.2. C_{t,∗}. IV.2.3. T, A. IV.3.1. B, B_{i}, R_{i}^{+}. IV.3.3. Ǔ_{t}^{1}, I^{ν}.

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