23 Novembre/November 23rd

D. Bakry

Courbure, dimension et les marches au hasard

6. F.Barthe
   

Convergence des fonctionnelles biparties

Dans ce travail en commun avec Ch. Bordenave nous nous intéressons à des problèmes d'optimisation combinatoire faisant intervenir deux ensembles de points. Nous développons une approche générique permettant d'étudier la convergence pour des données aléatoires (deux échantillons indépendants d'une loi donnée). L'exemple le plus simple, du couplage biparti, revient à estimer la distance de Wasserstein entre deux mesures empiriques.

G. Besson

Flot de Ricci et transport optimal

F. Bolley

Limite de champ moyen de systèmes de particules

On présente différents résultats récents sur de grands systèmes de particules, déterministes ou stochastiques, en interaction de champ moyen.

A. Figalli

Transport optimal: passé et présent

Le problème du transport optimal remonte au mémoire de Monge en  1781 "Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais". Il s'agissait alors d'étudier comment transporter au moindre coût une masse de terre d'une zone donnée à une autre.

Revenu au goût du jour dans les années 1940 avec les travaux de Kantorovich sur la programmation linéaire, puis avec les travaux fondateurs de Brenier a la fin des années 1980, le transport optimal est devenu un domaine de recherche très actif, dans lequel Cédric Villani a joué un rôle très important.

Le but de cet exposé est d'introduire le problème du transport optimal en décrivant les résultats principaux et de montrer différentes applications récentes de cette théorie dans d'autres domaines des mathématiques, comme les inégalités isopérimétriques et la géométrie différentielle.

A. Guillin

Vitesses de convergences vers l'équilibre de diffusion

Dans cet exposé nous présenterons quelques méthodes (simples ou plus élaborées) pour estimer la vitesse de convergence vers l'équilibre de certaines diffusions réversibles ou non, éventuellement dégénérées : couplage, inégalités fonctionnelles ou l'hypocoercivité développée notamment par C. Villani.

24 Novembre/November 24th

J.A. Carrillo

Concentrations in space and velocity in some Swarming Models

I will discuss how to use optimal transportation tools to analyse the concentration of measures for some evolution models used in biological description of collective behavior of individuals. These models may present a complex asymptotic behavior leading to these concentrations.

L. Desvillettes

Qu'est ce que l'hypocoercivité ?

L'hypocoercivité est un concept qui a émergé dans l'étude des phénomènes dissipatifs dans lesquels la fonctionnelle de

Lyapounov est dégénérée. On propose des exemples simples pour illustrer ce concept, et une comparaison avec le concept d'hypoellipticité en théorie des EDP linéaires.

6. F.Filbet
   

Sur l'approximation de la solution de l'équation de Boltzmann

Dans cet exposé, nous présenterons quelques résultats sur l'approximation de l'équation de Boltzmann par des méthodes spectrales. Nous pourrons tout d'abord observer la précision et l'efficacité de cette approche sur le problème de la convergence de l'équilibre de la solution de l'équation de Boltzmann avec retour exponentiel (démontré par L. Desvillettes et C. Villani). D'autre problèmes de convergence vers l'équilibre seront ensuite abordés.

Enfin, nous décrirons quelques résultats théoriques liés à l'approximation par des méthodes spectrales utilisant les outils développés récemment en théorie cinétique.

C. Mouhot

Qu'est que l'"amortissement Landau" et comment en construire une théorie mathématique

Landau fait en 1946 une prédiction surprenante : un plasma (un gaz où les noyaux atomiques sont séparés des électrons et où des champs électrique se créent) tend à s'homogénéiser. Le caractère étonnant de cette proposition tient au fait que les électrons d'un plasma ne collisionnent pratiquement pas entre eux, dû à leur très petite taille, et l'entropie reste constante. Plus tard Lynden-Bell proposa dans les années 1960 d'étendre la prédiction de Landau... aux galaxies, où les étoiles jouent le rôle des électrons et le champ gravitationnel remplace le champ électrique. Cet "amortissement Landau" est depuis devenu un pilier incontournable de la physique des plasmas et en dynamique des galaxies, tout en demeurant mystérieux. Dans un travail récent avec Cédric Villani nous en proposons une théorie mathématique basée sur l'étude d'une équation aux dérivées partielles, qui réserve de belles surprises et met à jour des liens avec d'autres branches des mathématiques et avec d'autres phénomènes en physique. Ce travail est en exemple de l'intérêt de l'analyse mathématique pour avancer dans la compréhension de controverses en physique théorique.

Y. Ollivier

Transport et courbure : promenade non optimale de la géométrie à la

combinatoire par les probabilités et l'analyse

Des notions de courbure valables pour les espaces discrets ont

naturellement émergé de la recherche sur le transport optimal. Nous

présenterons ces notions sur des exemples, en insistant sur les

applications et les questions ouvertes. Les résultats nouveaux

ainsi obtenus couvrent un champ d'applications surprenant : analyse et probabilités (spectre du laplacien, convergence de l'équation de la

chaleur), combinatoire (inégalités de Brunn-Minkowski dans les graphes) ou encore statistiques (temps d'attente moyen dans un central d'accueil téléphonique).

R. Peyre

Boltzmann : du discret au continu

Dériver l'équation de Boltzmann comme limite d'un système particulaire est une gageure qui aujourd'hui encore n'est qu'imparfaitement résolue. Si on ne s'intéresse qu'au noyau de collision et pas au terme de transport (équation de Boltzmann spatialement homogène), cette question devient beaucoup moins difficile à résoudre. Il s'agit alors de ce qu'on appelle une limite de champ moyen : d'un côté on a un modèle discret à N particules, stochastique ; de l'autre, on a l'équation de Boltzmann spatialement homogène, continue et déterministe, et le modèle discret tend vers le modèle continu quand N→∞.

La question que j'aborderai est de quantifier de manière explicite cette convergence du discret vers le continu, dans un cadre métrique, avec des fluctuations gaussiennes en N-1/2. L'exposé sera peu technique, de façon à pouvoir être suivi par les élèves ayant un M1.