Jérôme Germoni

Diffusion de la culture mathématique

Des mathématiques chez Borges

Exposé présenté au séminaire de la détente (6 janvier 2016), repris notamment au colloquium de Louvain-la-Neuve (14 avril) et au workshop international Mathematics and literature à Óbidos (Portugal) (1^er octobre).

Les nouvelles fantastiques de Jorge Luis Borges (1899-1986) fourmillent de références plus ou moins explicites à des idées mathématiques : infini, récursivité, égalité, paradoxes logiques et bien d'autres. L'exposé tâchera de mettre en évidence quelques-unes de ces structures et, surtout, de donner envie de (re)lire Borges.

Coq et caractères

Diaporama d'un exposé tiré de l'exposé : version marseillaise aux Journées nationales de l'APMEP (octobre 2013), version bisontine au séminaire Épiphymath (octobre 2013), version nantaise aux Journées académiques (avril 2013), version tulloise à la Journée départementale de l'IREM du Limousin (avril 2013). Article publié sur le site Images des mathématiques à propos de la certification par le logiciel Coq de la preuve du théorème de Feit-Thompson (novembre 2012).

Une équipe du laboratoire commun Inria - Microsoft Research dirigée par Georges Gonthier a annoncé fin septembre la vérification par un ordinateur, plus précisément par l'assistant de preuve Coq, du théorème de Feit et Thompson, un résultat difficile d'algèbre prouvé en 1963 par deux cent cinquante pages ardues. La nouvelle semble susciter plutôt de la perplexité chez certains mathématiciens : qu'apporte une preuve par ordinateur à un résultat dont personne ne doute ? D'autres collègues, plus enthousiastes, saluent le tour de force de faire vérifier à un ordinateur un des fleurons de la pensée humaine.

«Mais c'est impossible !» Exemples d'utilisation d'invariants

IREM de la Réunion, décembre 2009.
Classe de seconde de Jean-Luc Rullière, lycée Saint-Exupéry, Lyon 4^e, le 4 février 2008.

Mystères du développement décimal de 1/p

Au premier abord, le développement décimal de 1/7 semble arbitraire : 1/7 = 0, 142 857 142 857...
En fait, il révèle des régularités surprenantes :

tout d'abord, il est périodique ;
si on coupe le motif en deux ou en trois, et si on ajoute les morceaux, on fait apparaître des "chaînes de 9" : 142+857=999 et 14+28+57=99 ;
enfin, on trouve le même motif 142857 dans les développements décimaux des multiples de 1/7 : 2/7=0,285714..., 3/7=0,428571, 4/7=0,571428..., 5/7=714285... et 6/7=0,857142...

En essayant de comprendre ces "coïncidences" et de les généraliser à d'autres nombres premiers que 7, on trouve prétexte à une promenade en arithmétique dont le début est compréhensible à l'école primaire, et la fin relève de la recherche de pointe.

encore une variante pour les journées nationales de l'APMEP, octobre 2008 ;
autre version pour les profs (La Souterraine, journée interdépartementale de l'IREM de Limoges, 28 février 2008) ;
version assez élémentaire (lycée Chaplin, 6 octobre 2007) ;
version assez élémentaire (lycée Branly, 14 mars 2007) ;
version la plus élémentaire (Museum de Lyon, 21 octobre 2006) ;
version moyenne (CRDP de Lyon, septembre 2006) ;
version la moins élémentaire (IREM de Besançon, 2 mai 2006).

Quelques images des mathématiques

Sélection extrêmement restreinte d'images dont le thème (un peu caché) est la notion de symétrie (au sens large). Diaporama.