Archives du séminaire
"Variétés
rationnelles"
2000-
2012
Le séminaire a lieu au département de Mathématiques de l'Ecole normale (excepté l'année 2005-2006 à Orsay).
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Vendredi 8 juin 2012
14h30 -15h30: Mélanie RACZEK (Louvain la Neuve)
Les K-groupes de F(t) et les suites de ramification
Résumé.
16-17h: Eva BAYER-FLUCKIGER (EPFL Lausanne)
Isométries d'espaces quadratiques sur les corps de nombres
L'exposé porte sur une question de Milnor; à savoir la détermination des polynômes irréductibles
apparaissant comme polynômes minimaux d'isométries quadratiques pour une forme quadratique
donnée sur un corps k. L'exposé répond à cette question en produisant un critère dans le cas des
corps de nombres.
17h30-18h30: Jean-Pierre SERRE (Collège de France)
Principe de Hasse pour les G-formes traces, d'après Bayer-Parimala
Vendredi 18 mai 2012
14h30 -15h30: Benedict GROSS (Harvard)
The arithmetic of hyperelliptic curves
Manjul Bhargava has recently made significant progress on the arithmetic of
elliptic curves over Q. Together with his student Arul Shankar,
he has calculated the average
order of the n-Selmer group, for n = 2,3,4,5, and has obtained an upper bound on the
average rank (which is
less than one). To do this, they identify elements of the Selmer group
with certain orbits in a representation of a semi-simple group over Q,
and estimate
the number of orbits of bounded height using the geometry of numbers.
In this talk, which is a report on joint work with
Bhargava, I will explain how these
techniques can be extended to study the arithmetic of hyperelliptic curves of a fixed
genus over Q,
with a marked rational Weierstrass point.
16-17h: Cyril DEMARCHE (IMJ)
Complexes de groupes de type multiplicatif et
groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes I
17h30-18h30: David HARARI (Orsay)
Complexes de groupes de type multiplicatif et
groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes II
On poursuit l'étude du groupe de Brauer non ramifié des espaces homogènes
de groupes linéaires, commencée dans l'exposé précédent de Cyril Demarche.
En particulier, on etablit des formules sur un corps global, un corps fini,
ou encore un corps de caractéristique zero. Les méthodes sont arthmétiques
et s'appuient fortement sur les théorèmes de dualité locale en cohomologie
galoisienne.
Vendredi 13 avril 2012
16-17h: Yong HU (Orsay) :
Principe de Hasse sur les corps de fonctions de surfaces
Soit K le corps de fonctions d'une courbe p-adique, G un groupe
semi-simple simplement connexe sur K et X un G-torseur.
Une conjecture
de Colliot-Thélène, Parimala et Suresh énonce que si pour toute
valuation discrète v de K, X a des points à
valeurs dans le complété
K_v, alors X a un K-point rationnel. Dans cet exposé, on discute cette
conjecture pour les torseurs
de certains groupes de types classiques.
Notre méthode s'applique également au cas où K est le corps des
fractions d'un anneau
local intègre hensélien excellent de corps
résiduel fini.
17h30-18h30: Tamás SZAMUELY (Institut Rényi, Budapest)
Groupe fondamental et groupe de Brauer des groupes algébriques
et leurs espaces homogènes
Soit G un groupe algebrique connexe sur un corps algébriquement
clos de caractéristique p >= 0, et soit H
une variété sur laquelle G
agit transitivement et à stabilisateurs connexes. Avec Michel Brion
nous avons
montré que tout revêtement fini étale de degré
premier à p de H est homogène sous un groupe algébrique
muni d'une
isogénie centrale vers G, et nous avons donné une borne sur le
nombre des générateurs topologiques
du groupe fondamental premier à p de H.
J'expliquerai également une application à la détermination du
sous-groupe de torsion premier à p du groupe de Brauer d'un groupe
algébrique commutatif.
Vendredi 9 mars 2012
14h30 -15h30: Karl van VALCKENBORG (Leiden)
Squareful points on hyperplanes
In this talk, I will explain how one can determine the asymptotic behaviour of the number of integral points on
the hyperplane X_0+ ... +X_n=0 for which each coordinate is a squareful number using the classical circle method,
given that n>= 4. I will also indicate how this result improves our intuition when considering the problem with
only three squareful numbers.
16-17h: Daniel LOUGHRAN (IMJ)
17h30-18h30:
Counting rational points on conic bundle surfaces
In this talk we consider the problem of counting the number of rational points of bounded height on certain intersections
of two quadrics in five variables. These are del Pezzo surfaces of degree four, and we focus on the case where the surface
has a conic bundle structure.
17h30-18h30: Samir SIKSEK (Warwick)
Generators for cubic surfaces
Let C be a smooth plane cubic curve over the rationals. The Mordell--Weil Theorem can be restated as follows:
here is a finite subset B of rational points such that all rational points can be obtained from this subset by successive
tangent and secant constructions. It is conjectured that a minimal such B can be arbitrarily large; this is indeed the
well-known conjecture that there are elliptic curves with arbitrarily large ranks. This talk is concerned with the
corresponding problem for cubic surfaces.
Vendredi 10 février 2012
14h30 -15h30: Hélène ESNAULT (Essen et DMA)
Divisibilité du groupe de Chow des 0-cycles
sur un corps
local à corps résiduel algébriquement clos
Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Wittenberg.
16-17h: Jakob STIX (Heidelberg)
On the divisibility of the Tate-Shafarevich group
of an elliptic
curve in the Weil-Châtelet group
In this talk I will report on progress on the following two questions, the first posed by Cassels in 1961 and the second
considered by Bashmakov in 1974. The first question is whether the elements of the Tate-Shafarevich group are infinitely
divisible when considered as elements of the Weil-Châtelet group. The second question concerns the intersection of the
Tate-Shafarevich group with the maximal divisible subgroup of the
Weil-Chatelet group. This is joint work with Mirela Ciperiani.
17h30-18h30: Anna CADORET (Ecole polytechnique)
Conjecture de torsion pour les schémas abéliens sur les courbes
La conjecture de torsion prédit que si k est un corps de nombre et A une variété abélienne sur k alors l'ordre du sous-groupe
de torsion de A(k) est borné par une constante ne dépendant que du degré de k sur Q et de la dimension de A. Cette conjecture
n'est connue que pour les courbes elliptiques: Manin l'a montré en 69
pour les l-Sylow de la torsion (l:premier) puis Mazur (77),
Kamienny (92), Merel (96) ont réussi a compléter la preuve en analysant
la structure des courbes modulaires X_{0}(l) (l:premier).
Que les courbes elliptiques soient (essentiellement) classifiées par un
schéma elliptique sur P1 moins trois points intervient de
façon cruciale à plusieurs endroit de la preuve. Avec Akio Tamagawa, nous nous intéressons à un énoncé intermédiaire entre
la conjecture de torsion générale et le cas des courbes elliptiques: on
considère une *courbe* S sur k, un schéma abélien A sur S
et on essaye de montrer que l'ordre du sous-groupe de torsion de
A_s(k(s)) est borné par une constante ne dépendant que du degré
du corps résiduel k(s) en s sur Q (et de A). Comme dans le cas des courbes elliptiques, on peut scinder le pb en deux parties:
à l premier fixé, borner uniformément (par une constante dépendant de l) l'ordre des l-sylow de la torsion et, pour l décrivant
l'ensemble des nombres premiers, borner uniformément (par une constante
indépendante de l) l'ordre de la l-torsion . J'expliquerai
d'abord comment la théorie du groupe fondamental étale permet de reformuler le problème en termes de points rationnels sur
certains revêtements étales S_n de la courbe de base S (les analogues des courbes modulaires Y_1(n)). L'étape suivante est
de nature géométrique et consiste à montrer que la gonalité ou, au moins, le genre, des courbe S_n tend vers l'infini avec n.
On se pose le problème en toute caractéristique. Je décrirai brièvement comment résoudre ce pb pour les courbes S_l^n
(l: premier fixé, n:entier) grâce, notamment, à des techniques de
géométrie l-adique. Je détaillerai ensuite un peu plus le problème
pour les courbes S_l (l: premier variant) et essaierai notamment
d'expliquer comment certaines techniques introduites par Nori
pour étudier les sous-groupes des groupes linéaires sur F_l peuvent se substituer aux techniques de géométrie l-adique pour
montrer que le genre des courbes S_l tend vers l'infini avec l.
Vendredi 20 janvier 2012
16-17h: Andreas-Stephan ELSENHANS (Bayreuth)
Arithmetic of cubic surfaces
We will look at the arithmitic properties of cubic surfaces. The main
focus will be on 27 the lines and the Galois action on them.
Different descriptions of the moduli space of cubic surfaces are used
to construct several Galois groups. Finally we will inspect
the Manin conjecture for these surfaces.
17h30-18h30: Jörg JANHNEL (Göttingen)
K3 surfaces and their Picard groups
The goal of this talk is to report on a project to compute the Picard
rank for certain K3 surfaces. The methods are based on reduction
modulo p. They will be explained in some detail and examples will
be given. At the end of the talk, a statistical test will be presented
showing that for each K3 surface in two large samples, suitable primes may be found and the Picard rank may be determined. The
samples are motivated by classical families considered by 19th century geometers.
Vendredi 9 décembre 2011
14h30 -15h30 et 16-17h : Michel BRION (Grenoble)
Fibrés projectifs
homogènes sur les variétés abéliennes
Soit X une variété abélienne sur un corps algébriquement clos.
Un fibré projectif sur X est dit homogène s'il est isomorphe à ses tirés
en arrière par toutes les translations. On présente une classification
des fibrés projectifs homogènes en termes de groupes algébriques ; en
caractéristique nulle, on en déduit un résultat de structure des fibrés
homogènes et indécomposables. Ceci généralise la classification
des fibrés vectoriels semi-homogènes par Mukai, et conduit à une
interprétation géométrique de la description du groupe de Brauer de X
par Berkovich.
Références : arXiv:1101.2771 et 1104.0818.
17h30-18h30: Claire VOISIN (IMJ)
Classes de cycles et invariants birationnels
Si X est une variété complexe projective lisse de dimension n, le
groupe des
classes de Hodge entières sur X
de degré 2n-2 modulo le sous-groupe
engendré
par les classes de 1-cycles de X est un invariant birationnel de X.
Ce groupe est en général non trivial, comme montré par Kollár.
Je discute dans cet exposé quelques résultats
semblant indiquer que
ce groupe est trivial en général
pour les variétés rationnellement connexes. Tout d'abord,
il est
trivial
pour les variétés uniréglées de dimension 3.
En dimension quelconque, il est trivial pour les variétés
rationnellement connexes
si la conjecture de Tate est vraie pour les diviseurs sur les
variétés
définies sur un corps fini.
Vendredi 18 novembre 2011
16-17h : Yongqi LIANG (Orsay)
Zéro-cycles sur les variétés rationnellement connexes
Nous allons parler de l'obstruction de Brauer-Manin pour les
0-cycles sur les variétés rationnellement connexes,
particulièrement sur
certaine fibrations au-dessus de l'espace projectif et certaine espaces
homogènes.
Références:
http://arxiv.org/abs/1011.5995 et
http://arxiv.org/abs/1107.1634
17h30-18h30 : Peter JOSSEN (Orsay)
Tate-Shafarevich groups whose finiteness implies Leopoldt's conjecture
Given a number field k and a prime number p, we are interested in mixed
Artin-Tate-motives M over k and
in the ell-adic Galois representations
attached to them. With these objects one can associate so-called
Tate-Shafarevich
groups. Their vanishing is, by construction, the
obstruction to certain local-global principles. I will show how
Leopoldt's
conjecture for k and p follows from the finiteness of these
groups.
Vendredi 14 octobre 2011
14h30-15h30 : Fei XU (Capital University, Pékin)
Integral models and approximation property
Harari and Voloch made a conjecture for the equality between the
integral points and the integral Brauer-Manin
set for hyperbolic curves
inside P1. In this talk, we modify this conjecture and prove the
modified version of this
conjecture is true over rationals and imaginary
quadratic fields. This is a joint work with Qing Liu.
16-17h : Alexander MERKURJEV (UCLA)
Cohomological invariants of tori
A cohomological invariant of an algebraic group G defined over a field F
with values in a Galois module C
is a morphism of functors
H1(-,G) --> Hd(-,C) from the category of field extensions of F to
the category
of pointed sets. Cohomological invariants of algebraic
tori and their applications will be discussed.
(This is joint work
with S. Blinstein, UCLA.)
17h30-18h30: Charles de CLERCQ (IMJ)
Motifs supérieurs des variétés de Severi-Brauer généralisées
Dans cet exposé nous présenterons quelques résultats concernant l'étude
du motif de Chow des variétés
de Severi-Brauer généralisées. En vertu
d'un résultat de Chernousov et Merkurjev, le motif de ces variétés
à
coefficients dans un corps fini se décompose de manière essentiellement
unique en une somme directe
de motifs indécomposable. Nous établirons la
classification complète de ces motifs en fonction des classes
des
algèbres centrales simples sous-jacentes dans le groupe de Brauer du
corps de base. Cette classification
est un exemple frappant
d'application de la théorie des motifs supérieurs développée par
Karpenko et est
intimement liée à des questions classiques de géométrie
rationnelle. Nous déduirons enfin de cette classification
la dichotomie
motivique de PGL1(A).
Vendredi 20 septembre 2011
16-17h : Philippe GILLE (DMA)
Théorie de Bruhat-Tits et R-équivalence
La théorie de Bruhat-Tits permet de classifier les groupes réductifs sur
un corps valué hensélien et partant
ur un corps F de séries formelles
itérées sur un corps k.
Si G/F est un groupe réductif, nous montrerons que
le groupe de classes
de R-équivalence G(F)/R
est isomorphe à un groupe H(k)/R où H est un groupe algébrique
linéaire.
Cette technique de spécialisation, issue des exemples de Platonov de
groupes spéciaux linéaires, permet
de construire de nouveaux cas de
variétés de groupes non rationnelles.
17h30-18h30: Brian CONRAD (Stanford)
Arithmétic of algebraic groups in positive characteristic
Let X be a projective variety over a global field k. Consider the set of
projective varieties X' that become
isomorphic to X over every
completion of k. It is natural to wonder if the set of such X', taken
up to k-isomorphism,
is finite. Mazur proved such a finiteness result
conditional on the Tate--Shafarevich conjecture when k is a number
field
and the component group of the automorphism scheme of X satisfies some
group-theoretic finiteness properties.
When k is a global function
field, several new difficulties arise. We explain a bit about the
structure theory of
pseudo-reductive groups and how (together with
strong approximation) it helps to overcome these problems.
Vendredi 10 juin 2011
14h30-15h30 : Cyrille DEMARCHE (IMJ)
Une formule pour le groupe de Brauer algébrique d'un torseur
Nous présenterons une formule qui décrit une partie du groupe de Brauer
d'un espace homogène sur corps
de caractéristique nulle grâce à un
groupe d'hypercohomologie galoisienne d'un complexe explicite associé
à
l'espace homogène. Ce travail généralise des résultats antérieurs sur le
groupe de Brauer algébrique, dus
entre autres à Sansuc, Kottwitz et
Borovoi-van Hamel. Contrairement à ces résultats, le sous-groupe du
groupe de Brauer considéré ici contient en général des éléments
transcendants,qui sont nécessaires pour étudier
l'arithmétique des
espaces homogènes. En particulier, dans le cas d'un corps de nombres, le
groupe en question
mesure le défaut d'approximation forte (et du
principe de Hasse entier) sur l'espace homogène considéré via
l'obstruction de Brauer-Manin entière.
16-17h : Bruno KAHN (IMJ)
Les foncteurs dérivés de la cohomologie non ramifiée
On expliquera comment la théorie triangulée des motifs de Voevodsky
permet d'associer des foncteurs dérivés
à la cohomologie non ramifiée,
et on en calculera quelques uns. Il: s'agit d'un travail commun avec
Sujatha.
17h30-18h30: Alena PIRUTKA (DMA, Orsay)
Invariants birationnels dans la suite spectrale de Bloch-Ogus
Les groupes de cohomologie non ramifiée, dont on sait qu'ils sont des
invariants birationnels des variétés projectives
et lisses sur un corps,
apparaissent comme les termes E_2^0p de la suite spectrale de Bloch-Ogus.
Sur un corps de
dimension cohomologique d, on va établir l'invariance
birationnelle de quelques autres termes de cette suite spectrale.
Sur un
corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application
classe de cycles l-adique étale pour les 1-cycles.
Vendredi 13 mai 2011
14h30-15h30 : Ronald van LUIKJ (Leiden)
K3 surfaces: rational points and Picard numbers
It is a widely accepted philosophy that the arithmetic of a variety,
say over a number field, is governed by its geometry.
Indeed, we
expect many rational points, if any, on Del Pezzo surfaces, while on
surfaces of general type, we expect
that the rational points are not
dense. On K3 surfaces, as for Del Pezzo surfaces, we expect more
rational points for
higher Picard numbers: for high enough Picard
number, rational points are potentially dense by a result of Tschinkel
and Bogomolov. In this talk, I will highlight some results on the
arithmetic of K3 surfaces. I will focus on diagonal quartic
surfaces,
surfaces with two elliptic fibrations, and on computing Picard
numbers.
16-17h : François CHARLES (DMA)
Courbes rationnelles sur les surfaces K3 (d'après Li-Liedtke)
On conjecture que toute surface K3 sur un corps algébriquement clos
contient une infinité de courbes rationnelles.
En travaillant en
caractéristique mixte, on montre que c'est le cas pour les surfaces K3
complexes dont le rang
de Picard est impair.
17h30-18h30: Jean-Louis COLLIOT-THELENE (Orsay)
Sur le groupe de Brauer transcendant
Soit k un corps, K une clôture séparable, G le groupe de Galois absolu.
Pour X une variété projective et lisse sur k,
le groupe de Brauer de X
s'envoie dans les invariants sous G du groupe de Brauer de X_K. On
étudie le quotient.
S'il reste du temps, sur un corps de nombres, on
discutera la structure de l'ensemble de Brauer-Manin des variétés
dont
le groupe de Picard géométrique est sans torsion. On considèrera en
particulier le cas des surfaces quartiques
diagonales. (Travaux en
commun avec A. Skorobogatov, Imperial College, Londres.)
Vendredi 1 avril 2011
14h30-15h30 : Nikita SEMENOV (Mayence)
J-invariant of linear algebraic groups and Tits algebras
The J-invariant of a linear algebraic group measures the subring of
rational cycles on the variety of its Borel subgroups.
In the talk I'm
going to introduce this invariant and discuss its possible values. The
restrictions come from Steenrod
operations and from indices of Tits
algebras. If time permits, I will discuss applications of the
J-invariant to cohomological
invariants of algebraic groups.
16-17h : Anne QUEGUINER-MATHIEU (Laga)
J-invariant et Trialité
Cet exposé est basé sur un travail commun avec K. Zainoulline et N.
Semenov.
Dans un premier temps, nous expliquerons
comment définir le J-invariant
d'une algèbre à involution à partir de son groupe d'automorphisme, en
particulier dans le cas
trialitaire. En utilisant le lien avec les
indices des algèbres de Tits présenté par N. Semenov dans son exposé,
nous montrerons
comment calculer le J-invariant en petit degré. Enfin,
nous obtiendrons des restrictions supplémentaires sur les valeurs
possibles,
qui ne semblent pas pouvoir être détectées à l'aide des
opérations de Steenrod.
17h30-18h30: Jean-Pierre TIGNOL (Louvains la Neuve)
R-trivialité de certains groupes adjoints
Les multiplicateurs des similitudes d'une forme quadratique de dimension
12 dont le discriminant et l'invariant de Witt-Clifford
sont triviaux
sont dans le groupe engendré par les normes des extensions quadratiques
qui la déploient. Il en résulte que le
groupe orthogonal de type adjoint
de cette forme est R-trivial, et que la conjecture de Kneser-Tits vaut
pour les groupes
d'indice de Tits E_{8,2}^{66} sur un corps arbitraire.
(Travail en collaboration avec Skip Garibaldi, Parimala et Richard
Weiss.)
Vendredi 11 mars 2011
14h30-15h30 : Hélène ESNAULT (Essen)
Action de groupes finis, points
fixes rationnels et modèles de Néron faibles
Si G est un l-groupe fini agissant sur un espace affine défini sur un corps fini K
d'ordre premier à l, Serre et Bialynicki-Birula ont montré que G fixe un point rationnel.
On généralise ce résultat au cas d'un corps K valué discret et hensélien
dont le corps résiduel est algébriquement clos de caractéristique
première à l.
16-17h : Stefan GILLE (Munich)
Rost nilpotence and applications
In the first part of my talk I will discuss the meaning of Rost
nilpotence for motives and explain why this is an important property. In
the second part I will review my proof of this property for
(geometrically rational) surfaces.
17h30-18h30: Bianca VIRAY (Université Brown)
Failure of the Hasse principle for Enriques surfaces
Dans ce travail en collaboration avec Anthony Várilly-Alvarado, nous contruisons une surface
d'Enriques sur le corps des nombres rationnels dont l'ensemble des points adéliques pour l'equivalence
de Brauer-étale est vide (en particulier X n'a pas de point rationnel) mais pour laquelle
il n'y a d'obstruction de Brauer-Manin à l'existence d'un point rationnel.
Vendredi 28 janvier 2011
16-17h : Aurel MEYER (Orsay)
Dimension essentielle des tores
Je présenterai d'abord une brève introduction à la théorie de la dimension essentielle qui
est une mesure de complexité des certaines structures algébriques, par exemple des
torseurs d'un groupe algébrique.
Je discuterai ensuite la dimension essentielle des torseurs d'un tore algébrique; une
description complète pour des tores déployés par une p-groupe et quelques idées pour
le cas général.
17h30-18h30: Roland LÖTSCHER (Munich)
Canonical dimension of algebraic tori
Canonical dimension is a numerical invariant of algebraic varieties X
over a field F, that measures how far X is from having a F-rational
point. This concept has been introduced in 2005 by G. Berhuy and Z.
Reichstein, and was recently presented at ICM 2010 by N. Karpenko. In
the first part of the talk I want to give you an idea of canonical
dimension and to show how it is related to essential dimension. In the
second part I will present a general result on canonical dimension,
where the varieties in question are torsors of a given algebraic
F-torus. As an application we get the following statement:
Let p be a
prime integer and let T be an anisotropic F-torus which splits over a
cyclic extension of p-primary degree.
Then T admits a torsor (over some
field extension of F) whose canonical dimension is equal to the (usual)
dimension of T.
Vendredi 7 janvier 2011
16-17h : Nour GHAZI (Lille)
Propriété de Hilbert-Grunwald et théorie inverse de Galois
Notre résultat principal combine une conclusion de type
Grunwald-Wang pour les groupe arbitraires,
une version effective du
théorème de Hilbert et le problème inverse de Galois (travail commun avec
Pierre Dèbes).
17h30-18h30: Jean GILLIBERT (Bordeaux)
Cohomologie log plate, actions modérées et structures galoisiennes
Les structures galoisiennes dont il est question ici décrivent la
structure de module sous-jacente à l'action
d'un schéma en groupes
(commutatif) fini et plat sur un schéma. Quand l'action est "modérée"
(dans un
sens que nous préciserons), le module obtenu est projectif.
Nous montrerons comment l'utilisation des
log schémas permet de
réinterpréter certaines actions modérées en termes de torseurs pour
la topologie log
plate définie par Kato. Pour finir, nous donnerons
des applications à l'arithmétique des variétés abéliennes.
Vendredi 3 décembre 2010
14h30-15h30 et 16-17h : Antoine CHAMBERT-LOIR (Rennes)
Points de hauteur bornée des variétés toriques
Dans ce travail en commun avec Yuri Tschinkel, nous établissons une formule asymptotique
pour le nombre
de points de hauteur bornée d'une variété torique.
17h30-18h30: Huayi CHEN (IMJ)
Une majoration explicite du nombre des points rationnels dans une
variété arithmétique
J'explique l'approche de la gémométrie d'Arakelov dans les majorations
uniformes des nombres de points rationnels
de hauteurs bornées dans les
variétés arithmétiques de degré et dimension fixés dans un espace
projectif.
Cette approche permet de trouver des majorations explicites,
qui sont utiles dans l'étude des points de "petite" hauteur.
Vendredi 5 novembre 2010
16-17h : David HARARI (Orsay)
L'obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers des courbes
Dans
ce travail en collaboration avec J.F. Voloch, on discute si
l'obstruction de Brauer-Manin est l'unique obstruction
au principe de
Hasse pour les points entiers d'une courbe affine hyperbolique C.
Dans le cas où C est rationnelle, on
conjecture une réponse positive et
on montre que cette conjecture admet plusieurs formulations
équivalentes et on la
relie à une conjecture de Skolem. Dans le cas
d'une courbe elliptique épointée, on montre qu'une variante plus forte
(i.e. avec des congruences locales) de la question admet une réponse
négative.
17h30-18h30: Olivier WITTENBERG (DMA )
Une remarque sur les courbes de
Reichardt-Lind et de Schinzel
Les courbes de Reichardt-Lind et de Schinzel sont des exemples classiques
de courbes projectives et lisses sur Q possédant un point adélique mais pas
de point rationnel. Je montrerai que leur groupe fondamental arithmétique
n'admet pas de section au-dessus du groupe de Galois absolu de Q. Cela
répond à une question de Stix et confirme, dans le cas de la courbe de
Schinzel, la prédiction fournie par la conjecture des sections de
Grothendieck.
Vendredi 10 octobre 2010
16-17h : Mathieu HURUGUEN (Grenoble)
Plongements d'espaces homogènes sphériques sur un corps quelconque
On
étend la définition des espaces homogènes sphériques et de leurs
plongements au cas d'un corps quelconque.
On montre qu'à un plongement
d'un espace homogène sphérique fixé X, on peut associer un éventail
colorié stable
par le groupe de Galois. On présente des exemples où
cette correpondance est parfaite.
17h30-18h30: Yongqi LIANG (Orsay)
Principe local-global pour les zéro-cycles sur
certaines fibrations au-dessus d'une courbe
Soit X une variété projective lisse sur in corps de nombres, fibrée au
dessus d'une courbe C, à fibres géométriquement
intègres. En supposant que les fibres d'un sous-ensemble hilbertien généralisé satisfont le principe de Hasse (resp.
l'approximation faible) et la finitude du groupe de Tate-Schafarevitch de la jacobienne de C), on montre
que l'obstruction de Brauer-Manin provenant de la courbe d'en bas est la seule au principe de Hasse (resp.
à l'approximation faible) pour les zéros-cycles de degré 1 sur X.
Vendredi 11 juin 2010 (en partenariat avec le semestre de Géométrie algébrique complexe)
16h-17h: Pascal AUTISSIER (Bordeaux)
Sur le degré canonique des courbes dans les variétés de type général
Soit X une variété de type général. On conjecture que le degré canonique
deg(C) d'une courbe C "générique" sur X est majoré linéairement en son
genre géométrique g(C). Cette inégalité deg(C)<A.g(C)+B est connue de
Bogomolov (1977) pour certaines surfaces. Miyaoka (2008) la démontre
avec A=3+epsilon lorsque X est une surface minimale et C est lisse. Une
conjecture de Vojta prédit l'inégalité avec A=2+epsilon dans le cas où X
fibre sur une courbe et C est de gonalité bornée. Dans ce travail en
commun avec Chambert-Loir et Gasbarri, on montre par des exemples qu'en
général, la constante A doit être au moins 2.dim(X).
17h30-18h30: Christophe MOUROUGANE (Rennes)
Sur les sections des familles d'hypersurfaces de grand degré
Grauert et Manin ont montré qu'une famille non-isotriviale de courbes
compactes hyperboliques
n'a qu'un nombre fini de sections.
Nous montrerons un analogue pour une famille non
birationnellement isotriviale d'hypersurfaces de grand degré et de
grande variabilité d'un espace
projectif complexe : il existe un fermé
strict de l'espace total qui contient l'image de toutes les sections.
Vendredi 21 mai (salle W, horaires inhabituels)
14h-14h40: Emmanuel PEYRE (Institut Fourier, Grenoble)
Montée et redescente au dessus des surfaces de Châtelet
Les torseurs versels ont été introduits par J.-L. Colliot-Thélène et
J.-J. Sansuc pour étudier le principe de Hasse et l'approximation
faible sur des variétés telles que les surfaces de Châtelet. Dans un
travail avec Tim Browning et Régis de la Bretèche, nous avons utilisé
ces torseurs comme première étape pour démontrer le principe de Batyrev
et Manin pour certaines de ces surfaces. Le but de cet exposé est de présenter
cette étape de la preuve.
14h50-15h30 : Régis de la BRETECHE (IMJ)
Méthodes de comptage des points rationnels des surfaces de Châtelet
Résumé en pdf.
16h-17h: Roger HEATH-BROWN (Oxford)
Zeros of p-adic forms
Artin conjectured that any form of degree d over a p-adic field should
have a non-trivial zero
as soon as the number of variables exceeds d2.
There are related statements for systems of forms.
The talk will give a
review of Artin's conjecture, with particular emphasis on recent work
concerning systems of quadratic forms.
17h30-18h10 : Olivier ROBERT (Saint Etienne)
Sur le nombre d'entiers s'écrivant comme somme de trois puissances
Nous nous intéressons au problème de la distribution des entiers sommes d'un carré, d'une puissance
k-ième et d'une puissance l-ième, avec 1 < k <l+1. Nous montrons comment une méthode utilisée par
Hooley, puis par Tenenbaum dans le cas des entiers sommes d'un carré et de deux puissances quatrièmes
s'applique à des situations très voisines, et notamment au cas (k,l) =(3,6).
La technique utilisée fait intervenir la fonction Δ de Hooley, apparentée à la fonction nombre de diviseurs.
Nous exposons également une seconde méthode plus adaptée au cas des grandes valeurs de k et l.
Vendredi 16 avril 2010
16h-17h: Jean FASEL (Lausanne)
Quelques théorèmes de simplification pour les modules stablement libres
Dans un premier temps, nous présenterons quelques développements
récents de la théorie
des groupes de Grothendieck-Witt supérieurs
(alias K-théorie hermitienne). Nous appliquerons
ensuite ces résultats
pour esquisser une preuve du fait que les modules stablement libres de
rang d-1 sur une algèbre lisse de dimension d sur un corps
algébriquement clos sont libres.
17h30-18h30: Tim WOUTERS (Leuven)
Invariants cohomologiques de SK1
Pour une algèbre simple centrale A, le groupe de Whitehead réduit
SK_1(A) est
beaucoup étudié avec des invariants cohomologiques (dans la
cohomologie
galoisienne). Je présenterai quelques approches là-dessus.
D'une part il y a une façon
de spécialiser les invariants en
cararactéristique zéro à des invariants en caractéristique
positive.
D'autre part il y a une façon de comparer les invariants à un invariant
spécifique
introduit récemment par Bruno Kahn.
Vendredi 19 mars 2010
14h30-15h30: François CHARLES (DMA)
Courbes rationnelles sur les surfaces K3
(d'après Bogomolov, Hasset et Tschinkel)
Mori et Mukai ont montré en 1982 qu'une surface K3 sur C contient
toujours une courbe rationnelle. Leur méthode montre même qu'une surface
K3 générale dans son espace de déformations contient une infinité de
courbes rationnelles. Le but de cet exposé est de présenter un analogue
en caractéristique mixte de la méthode de Mori-Mukai, dû à
Bogomolov-Hassett-Tschinkel, qui permet de montrer qu'une surface K3
complexe de rang de Picard 1 et de genre 2 contient toujours une
infinité de courbes rationnelles.
16h-17h: Stéphane DRUEL (Grenoble)
Invariants de Hasse-Witt des réductions de
certaines variétés irréductibles symplectiques
Soit X une variété irréductible symplectique définie sur un corps de nombres K. On suppose
que le nombre de Picard de X est au moins 2 ou que le second nombre de Betti de X est pair.
On montre alors qu'il existe une extension finie L/K et un ensemble de places non archimédiennes
S de L de densité 1 telles que la réduction de X en toute place de S a un invariant de Hasse-Witt
non trivial.
17h30-18h30: Arnaud BEAUVILLE (Nice)
Le groupe de Brauer des surfaces d'Enriques
Le groupe de Brauer d'une surface d'Enriques S (quotient d'une surface
K3 X par une involution)
a un seul élément non trivial. Cet élément
devient-il trivial sur X ? Je caractériserai les surfaces
pour
lesquelles cela se produit, et montrerai qu'elles forment une réunion
dénombrable
d'hypersurfaces dans l'espace des modules.
Vendredi 19 février 2010
16h-17h: Jean-Marc COUVEIGNES (Toulouse)
Obstructions globales à la descente des variétés
Soit K
un corps de caractéristique nulle et soit
X une variété sur
la clôture algébrique de K.
On suppose que X est isomorphe à toutes ses conjuguées
par le groupe de Galois absolu de K.
Autrement dit,
le corps des modules de X est
K.
Soit L une extension algébrique de K.
On dit que L est corps de définition de X s'il existe
une variété sur L qui devient isomorphe à X après
extension des scalaires.
On peut se demander quels sont les corps de définition de X.
On dit qu'il y a une obstruction à la descente si K lui
même n'est pas corps de définition.
Dans le cas où
K est un corps de nombres, on peut se demander si une obstruction
est
locale ou globale.
Je présenterai les exemples d'obstructions globales pour les
variétés, que
nous avons
construits avec Emmanuel Hallouin. Je m'appuierai sur des obstructions
globales à la descente dans la catégorie des revêtements,
construites naguère
avec Nicolas
Ros. Je montrerai comment faire voyager ces obstructions depuis la
catégorie des revêtements vers celle des variétés.
17h30-18h30: David HARARI (Orsay): Descente sur les variétés non propres
Soit X une variété algébrique définie sur un corps de nombres k.
La théorie classique de la descente de Colliot-Thélène et Sansuc
(raffinée par
Skorobogatov) consiste en gros à décrire les propriétés arithmétiques de
X via
celles des X-torseurs sous les groupes de type multiplicatif. Les résultats
principaux de cette théorie nécessitent l'hypothèse que X est propre, ou
tout au
moins que les seules fonctions inversibles sur X sont constantes. On
expliquera
comment on peut s'affranchir de cette hypothèse à condition de
travailler avec
l'hypercohomologie de certains complexes au lieu de considérer seulement
des
modules galoisiens.
Vendredi 22 janvier 2010
14h30-15h30: Baptiste CALMES (Lens)
Cobordisme algébrique des variétés de drapeaux
(collaboration avec Petrov et Zainoulline)
Résumé: Nous généralisons les résultats classiques de Demazure dans "Invariants symétriques
entiers du group de Weyl et torsion" aux théories cohomologiques orientées et lois de groupe formel
associées quelconques. Comme exemple d'application, nous en tirons un algorithme pour calculer
la structure d'anneau d'une théorie cohomologique orientée appliquée à une variété de drapeaux
complets. Les groupes de Chow, le groupe de Grothendieck, la K-théorie connective, le cobordisme
algébrique de Levine et Morel, etc. sont des exemples de telles théories cohomologiques.
L'ingrédient principal de la construction est un anneau complet construit à partir de la loi de groupe formel
de la théorie orientée considérée, et qui remplace l'algèbre symétrique sur les caractères du tore qui
intervient dans les travaux de Demazure.
16h-17h: Marc LEVINE (Essen) Rational points, 0-cycles and S1 spectra
Our motivating question is: how can one construct invariants that
distinguish between the existence
of a rational point and the existence
of a 0-cycle of degree 1 on some variety X. We look at this
question
through the lens of motivic homotopy theory. Here one can use an analog
of the classical
Postnikov tower to study properties of the ``S1-stable
homotopy type" of a variety X. For some special X,
this breaks up the
homotopy type of X into pieces which can be understood as motives, and
thus gives
invariants which can be used for a study of the motivating
question.
17h30-18h30: Mathieu FLORENCE (IMJ)
Géométrie birationnelle équivariante des grassmanniennes
Soient K un corps et A une K-algèbre de
dimension finie n. Soit r un entier satisfaisant 0 <: r <
n.
La grassmanienne Gr(r,A) est naturellement munie d'une action du groupe algébrique PGL1(A).
Avec des hypothèses sur A
(par exemple A/K est étale) , nous montrons qu'il existe un
isomorphisme birationnel
PGL1(A)-équivariante entre Gr(r,A) et le produit
Gr(pgcd(r,n),A)
par un espace affine sur lequel PGL1(A) agit trivialement. Cela permet de montrer que si A est
une algèbre simple centrale
de degré n alors la variété de Severi-Brauer généralisée
SB(r,A)
est birationnelle au produit de SB(pgcd(r,n),A) par un espace affine.
Vendredi 4 décembre 2009
14h30-15h30: Jean-Claude DOUAI (Lille)
Sur un exemple-type de "bon" corps de dimension cohomologique 2"
Résumé: Dans un article à Duke,Colliot-Thelene,Gille et Parimala ont
considéré des corps K de dimension cohomologique 2, de type géométrique,
analogue à des corps de nombres purement imaginaires qu'ils appellent des
"bons" corps.Un exemple standard est le corps C((x,y)) dit local-local
((ll)).En utilisant les résultats de Borovoi,ils calculent la cohomologie
de K a valeurs dans un groupe semi-simple en dimension 1 et 2. Le but de
l'expose est d'étendre leurs resutats a des corps de dimension
cohomologique 2 qui ne sont plus de type géometrique comme les corps (ll),
mais satisfont au Principe de Hasse. Par Efrat,un exemple de tel corps K
est donne par un corps de fonctions en une variable sur un corps PAC. Nous
voulons montrer qu'il est possible de calculer la 2-cohomologie non
abélienne de K à valeurs dans un K-groupe réductif. Evidemment,nous
calculerons aussi la 1-cohomologie a l'aide de la conjecture de Serre. On
montrera ainsi que les corps de fonctions en une variable sur un
corps PAC sont de "bons" corps."
16h-17h: Matthieu ROMAGNY (IMJ)
Réduction d'actions de schémas en groupes et modèles effectifs
Résumé : Lorsqu'on souhaite fabriquer des espaces de modules compacts pour
des variétés algébriques (par exemple des courbes) avec action d'un groupe
algebrique G, la verification du critere valuatif de propreté nous place
souvent dans la situation suivante. On a un anneau de valuation discrète R
de corps de fractions K, et une K-variété X munie d'une action de G. On
suppose disposer d'un modèle X' de X sur R : par exemple son modèle
stable, pour une courbe.
Se pose alors la question de trouver une action
d'un modèle G' de G qui étende a X' l'action sur X.
Je montrerai que, sous
des hypothèses naturelles de "pureté", il existe un unique modèle G' qui
agit sur X',
fidèlement dans les fibres. La demonstration, originale,
utilise les sous-schémas de X' finis et plats sur R,
et des propriétés de
re
ement de X' le long de ces sous-schémas.
17h30-18h30: Philippe GILLE (DMA)
La conjecture de Grothendieck-Serre
sur les G-torseurs
rationnellement triviaux (d'après Panin et al).
Résumé: Le but de l'exposé est de présenter les résultats de Panin-Stavrova-Vavilov sur cette conjecture,
c'est-à-dire la prépublication http://arxiv.org/abs/0905.1418. Soit k un corps infini et R un anneau
semi-local d'une variété lisse X/k. Soit G/R un schéma en groupes réductifs dont les composantes presque
simples sont isotropes. Alors tout G-torseur sur Spec(R) qui est rationnellement trivial est trivial.
Vendredi 6 novembre 2009
14h40-15h40: Damiano TESTA (Oxford) : Grosses surfaces rationnelles
Résumé: L'anneau de Cox d'une variété propre est un analogue de l'anneau des coordonnées homogènes
de l'espace projectif. Il n'est pas toujours défini, et lorsqu'il l'est, il n'est pas nécessairement de type fini. Les variétés
dont l'anneau de Cox est de type fini sont particulièrement bien adaptées au programme des modèles
minimaux ("Mori dream spaces"). Les variétés toriques et les surfaces de del Pezzo sont de telles variétés. Je présenterai
un travail en collaboration avec T. Várilly et M. Velasco dans lequel on introduit une classe de surfaces projectives lisses
à anneaux de Cox de type fini. Cette classe contient les surfaces toriques ainsi que les surfaces de (log) del Pezzo.
16h-17h: Tim BROWNING (Bristol)
Valeurs d'un polynôme quadratique representées par une norme
Soit K une extension finie de degré n du corps Q des nombres rationnels.
On discute le principe de Hasse et l'approximation faible pour les
équations diophantiennes P(t)=NK/Q(w_1 x_1+...+w_n x_n),
avec P un polynôme de degré 2 et (w_1,...,w_n) une base de K sur Q.
Ceci est un travail en commun avec Roger Heath-Brown.
17h30-18h30 : Yong HU (Orsay)
Approximation faible sur les corps de fonctions des courbes
sur
les corps fertiles et les corps finis
Soit K=k(C) le corps de fonctions d'une courbe sur un corps k et soit X
une variété lisse, projective, séparablement rationnellement connexe
sur K. En 2006, Hassett et Tschinkel ont utilisé une méthode de déformation
pour établir l'approximation faible. Ils ont montré que l'approximation faible
vaut aux places de bonne réduction lorsque le corps k est
algébriquement clos.
Dans cet exposé je passe leur méthode en revue et j'en donne
des applications
lorsque le corps k est fertile ou fini. En particulier, j'esquisse la
démonstration du résultat suivant : Soient k un corps fini, K=k(C) un
corps de fonctions d'une variable
et X une hypersurface cubique lisse sur K=k(C).
Supposons que X admet
un modèle projectif sur C dont l'espace total est lisse et que X(K) est
non vide. Alors la spécialisation
en un nombre fini de places de bonne réduction est surjective, dès
que le cardinal de k est plus grand qu'une constante qui ne dépend que
de la dimension de X. article.
Vendredi 2 octobre 2009
16h-17h: Laurent MANIVEL (Institut Fourier, Grenoble)
Les cubiques de dimension sept et le groupe exceptionnel E6
Parmi les cubiques (complexes) de dimension quatre que l'on sait être
rationnelles figurent les cubiques pfaffiennes, dont la géométrie est liée à
celle de la grassmannienne des droites dans l'espace projectif de dimension
cinq. Je discuterai d'un lien similaire entre les cubiques de dimension sept
et le plan de Cayley, le plus remarquable des espaces homogènes sous E6.
17h30-18h30 : Alena PIRUTKA (Orsay et DMA)
Sur les variétés rationnellement simplement connexes:
surfaces tordantes et R-équivalence
Résumé: Les variétés rationnellement simplement connexes sont l'analogue des espaces simplement
connexes en topologie. D'après un résultat de de Jong et Starr, les intersections complètes lisses
dans Pn de multidegré d1,... dr avec la somme des di2 <= n+1 sont rationnellement simplement
connexes, à l'exception des quadriques dans P3. Je vais présenter leur méthode et en donner une
application : pour une intersection complète lisse X dans PnK où K est un corps de fonctions d'une
variable sur C sous la même hypothèse sur les degrés, on a X(K)/R=1.
Vendredi 12 juin 2009
16h-17h : Arturo PIANZOLA (Edmonton)
Rigidity of homomorphisms between algebraic groups
(after B. Margaux)
Let G and H be algebraic groups over an algebraically closed field k. The general "rigidity" philosophy
alluded in the title states that the set Hom(G,H) modulo the adjoint action of H, should not change under
a base change K/k with K algebraically closed. When k is of characteristic 0 and G and H are linearly
reductive this is a result of Vinberg.
Margaux's version of this rigidity principle is more general than Vinberg's. The proof is based on the vanishing
of Hochschild cohomology for certain affine group schemes (an interesting result unto itself), and some group
deformation methods introduced by Demazure and Grothendieck.
I plan to state all the main results and give an outline of the proof of the rigidity theorem.
17h30-18h30: Nguyêñ Duy TÂN (Hanoi, Essen)
On the Galois cohomology of unipotent groups
over local and global function fields
In this talk we will give some results on the Galois cohomology of unipotent groups over local and global
function fields. We are interested in finding necessary and/or sufficient conditions on a
unipotent group to ensure the finiteness of its Galois cohomology (joint work with Nguyêñ Quôć Thǎńg).
Vendredi 22 mai 2009
14h30-15h30 : Pierre GUILLOT (Strasbourg)
Méthodes géométriques pour les invariants cohomologiques
Je vais montrer comment les anneaux de Chow à coefficients, introduits par Rost, permettent de calculer les
invariants cohomologiques de certains groupes. L'idée est d'utiliser la "méthode de stratification"
(que l'on doit à Vistoli et Vezzozi), qui requiert l'analyse des orbites du groupe dans certaines représentations
bien choisies. Je vais retrouver de la sorte un certain nombre de résultats connus (pour le groupes orthogonal O(n), pour SO(n)...)
par une voie très différente de l'approche classique, et même apporter quelques nouveautés (pour Spin(n) par exemple).
16h-17h : Ulf REHMANN (Bielefeld) Anisotropic splitting of division algebras
In this joint work with S. Tikhonov and V.I. Yanchevskii, we are given a central division algebra A over a field
k. We show that there exists a field extension E/k making A cyclic such that the Schur indexes of every central simple
algebra B remains the same after base change to E.
17h30-18h30: Raman PARIMALA (Université Emory)
A local and global principle for isotropy
of quadratic forms for function fields of p-adic curves
In this joint work with J.L. Colliot-Thélène and V. Suresh, we are interested in quadratic forms defined over a
function field F of a p-adic curve (p odd). For a F-quadratic form q of dimension larger than 3, we prove that
it is isotropic iff it is isotropic over all completions Fv for v running over the rank one discrete valuation of F.
Vendredi 10 avril 2009
14h30-15h30 : Hélène ESNAULT (Essen) :
Niveau de Hodge ≥ 1 sur un corps p-adique implique une
congruence pour le nombre de points rationnels de la réduction
(en commun avec Pierre Berthelot et Kay Rülling)
Résumé: si X est un schéma régulier et projectif sur R, l'anneau des
entiers d'un corps p-adique K de corps résiduel fini k, avec XK de niveau
de Hodge ≥ 1, alors le nombre de points rationnels de Xk est 1
modulo |k|
. Si on remplace la condition sur le niveau de Hodge par une
condition sur le coniveau l-adique, j'avais déjà montré il y a quelque
temps que l'on a la même conclusion. La condition de coniveau implique celle
de Hodge, mais à l'inverse, cela serait une conséquence de la conjecture de
Hodge g'en'eralisée, sur laquelle, clairement, nous n'avons rien à dire...
Nous contournons la difficulté.
16h-17h : Fedor BOGOMOLOV (Courant Institute, IHES)
Unramified cohomology of finite groups of Lie type
I will consider the notion of stable cohomology for finite groups.
The geometric definition of stable cohomology involves the algebraically closed ground field.
I will show that in fact stable cohomology for a finite l-group does not depend on the
the field above if the characteristic of the field is not equal to l. The latter allows to
use special features of geometry of the fields of finite characteristics for the calculation
of stable cohomology for many classes of groups.
In particular I will show how Lang's theorem provides with an easy way to compute
such cohomology for many finite groups of Lie type. In particular it implies that
the nonramified cohomology are trivial for many of such groups.
17h30-18h30: Peter JOSSEN (Institut Rényi, Budapest)
La topologie définie par des relations de congruence
sur les points rationnels d'une variété
Soit G une variété semiabélienne sur un corps de nombres k soit X un sous-groupe de type
fini de G(k) et soit encore P un point k-rationnel de G. Mon objectif est de montrer que le principe
local-global suivant a lieu:
"Si P appartient à X modulo presque tout premier de k, alors P appartient à X."
La question si un tel principe soit vrai remonte à P. Erdös et A. Schinzel dans le cas du groupe
multiplicatif, et a été posée par plusieurs personnes (W. Gajda, E. Kowalski, A. Perucca, T. Weston)
pour les cas où G est une variété abélienne ou semi-abélienne.
Vendredi 6 mars 2009
14h30-15h30 : Moritz KERZ (Ratisbonne)
Kato's Hasse principle
Kato's conjectures on higher dimensional Hasse principles generalize
the classical local-global sequence of Brauer groups of a global field.
In joint work with Shuji Saito we develop a method which proves the
case of invertible coefficient characteristic of Kato's conjectures.
The talk will explicate the case of varieties over finite fields.
16h-17h : Cristian GONZALEZ AVILES (Université de La Serena, Chili)
Algebraic cycles of small codimension
on quadric fibrations over curves
I explain the proof of a recent finiteness theorem for cycles of codimension at most 4 on quadric fibrations
over curves over number fields. If time permits, I will point out the (hopefully not unsurmountable) difficulties
that arise when one tries to extend my methods to cycles of higher codimension.
17h30-18h30: Emmanuel PEYRE (Institut Fourier, Grenoble)
Le cardinal des variétés homogènes
L'exposé portera sur le résultat suivant, fruit d'une collaboration avec Michel Brion:
Sur les extensions d'un corps fini, le cardinal des points rationnels d'une variété homogène
sous un groupe algébrique linéaire est donné par une famille finie de polynômes entiers,
qui vérifient en outre une condition de positivité.
Vendredi 13 février ANNULE
16h-17h : Pierre GUILLOT (Strasbourg) ANNULE
Méthodes géométriques pour les invariants cohomologiques
Je vais montrer comment les anneaux de Chow à coefficients, introduits par Rost, permettent de calculer les
invariants cohomologiques de certains groupes. L'idée est d'utiliser la "méthode de stratification"
(que l'on doit à Vistoli et Vezzozi), qui requiert l'analyse des orbites du groupe dans certaines représentations
bien choisies. Je vais retrouver de la sorte un certain nombre de résultats connus (pour le groupes orthogonal O(n), pour SO(n)...)
par une voie très différente de l'approche classique, et même apporter quelques nouveautés (pour Spin(n) par exemple).
17h30-18h30: Kirill ZAINOULLINE (Munich) ANNULE
Universal cohomological invariant of a linear algebraic group
To any semisimple linear algebraic group G of inner type over a field F and a prime integer p
we assign certain indecomposable object Rp(G) in the category of Chow motives over F with Z/pZ
coefficients. The assignment Rp: G -> Rp(G) can be viewed as a "universal" cohomological invariant.
In particular, computing the generating function of Rp(G) over the algebraic closure of F we obtain
the generalized version of the J-invariant of Vishik. In our talk we will explain the relation of Rp with
the classical cohomological invariants (Tits algebra, Rost invariant) and provide some applications
to central simple algebras with orthogonal involutions.
Vendredi 23 janvier 2009
14h30-15h30 : Cyrille DEMARCHE (Orsay)
Obstruction de descente et obstruction de Brauer-Manin étale
Etant donnée une variété projective lisse X sur un corps de nombres, on peut considérer
plusieurs obstructions au principe de Hasse sur X. En particulier, on s'intéresse ici à
l'obstruction de Brauer-Manin appliquée aux revêtements finis étales de X, ainsi qu'à
l'obstruction de descente sur X, obtenue en considérant tous les X-torseurs sous un groupe
linéaire. On démontre que la première obstruction est plus forte que la seconde (un résultat
récent de Skorobogatov montre que ces obstructions sont même équivalentes). En
particulier, en combinant ce résultat avec les exemples de Poonen (voir le deuxième exposé),
on en déduit qu'il existe des variétés où l'obstruction de descente est insuffisante pour
expliquer l'absence de point rationnel.
16h-17h : Jean-Louis COLLIOT-THELENE (Orsay)
Sur un article récent de B. Poonen
A. Skorobogatov (1999) a construit une variété définie sur un corps de nombres d'ensemble de
Brauer-Manin non vide, mais sans point rationnel.
B. Poonen vient de donner de nouveaux exemples, très simples, de telles variétés. A la différence
de l'exemple précédent, l'absence de point rationnel ne s'explique pas au moyen du groupe de
Brauer de revêtements finis étales. Je décrirai la construction de Poonen. Je montrerai ensuite que
si ces variétés ne possèdent pas de point rationnel, à tout le moins elles possèdent un zéro-cycle
de degré 1 (ce que l'on ignore dans l'exemple de Skorobogatov).
17h30-18h30 : Alexei SKOROBOGATOV (Londres)
Les formes tordues des quotients
des espaces homogènes par l'action d'un tore
Soit G un groupe semi-simple deployé, P un sous-groupe parabolique maximal,
et H un tore maximal deployé de G. Le groupe des automorphismes du
quotient X de l'ensemble des points stables de G/P par l'action de H
se calcule en utilisant le théorème de Tits et Demazure, qui décrit Aut G/P.
Le théorème récent de Gille et Raghunathan permet de montrer que dans
la plupart des cas toute forme tordue de X est le quotient d'un espace homogène
d'une forme quasi-deployée de G par l'action d'un tore maximal. En particulier,
toute forme tordue de X possède un point rationnel.
Vendredi 12 décembre 2008
16h-17h : Jakob STIX (Heidelberg)
On evidence for Grothendieck's section conjecture
The section conjecture of A. Grothendieck predicts that curves over
number fields whose arithmetic fundamental group extension splits will
have rational points. The purpose of the talk is to present evidence in
favour of the section conjecture.
In particular we will discuss the invariants period and index of a
smooth projective curve that have value 1 in the presence of a rational
point. We will examine the effect that the presence of a splitting has
on period and index and will thus find examples where the section
conjecture holds "trivially" in an appropriate sense.
17h30-18h30 : Brent DORAN (Oxford)
Say X x A1 = An. Please solve for X ... and related questions
We consider the problem of the title in several categories: smooth
manifolds, birational geometry, and biregular geometry. This naive
question, known in algebraic geometry as the Zariski Cancellation Problem,
upon reinterpretation touches upon a number of fundamental issues, in
particular regarding what "topological" (e.g., motivic) notions can tell
us about genuinely algebro-geometric phenomena. En route we encounter a
famous misproof of the Poincare conjecture, non-reductive group actions
and Hilbert's 14th problem, surprising facts about moduli of vector
bundles, algebraic spaces that aren't schemes, a host of new stably
rational varieties and a novel viewpoint on affine hypersurfaces in
general. Lurking in the background are the "motivic" A1-homotopy theory
of Morel and Voevodsky and recent notions of "connectivity" (e.g.,
rationally connected, A1-connected and higher analogs) in algebraic
geometry. The topics are drawn from joint work with Aravind Asok and with
Frances Kirwan.
Vendredi 14 novembre 2008
16h-17h : Niels BORNE (Lille)
Le groupe fondamental pro-résoluble d'une courbe algébrique affine
Le groupe fondamental (pro-fini) d'une courbe algébrique, disons sur un corps algébriquement clos de
caractéristique zéro, est bien connu. Il dépend seulement du genre g de la courbe, et du nombre r de
"trous", si r est plus grand que 1, il est libre de rang 2g+r-1. La preuve de ce résultat purement algébrique repose
cependant sur des arguments transcendants, en particulier sur des théorèmes de comparaison
de type GAGA. Dans cet exposé, je vais présenter un travail en commun avec Michel Emsalem
contenant une preuve algébrique d'une version faible de ce théorème, où nous considérons seulement le plus
grand quotient pro-résoluble du groupe fondamental d'une courbe algébrique affine.
Si le temps le permet, je parlerai d'une tentative de dépasser le cas pro-résoluble.
17h30-18h30 : David HARARI (Orsay)
Zéro-cycles de degré 1 et sections de
la suite fondamentale de Grothendieck abélianisée
Soit X une variete algébrique (projective et lisse) définie sur un corps de
nombres ou un corps local k. La suite exacte fondamentale de
Grothendieck définit une extension du groupe de Galois absolu de
k par le groupe fondamental géométrique de X.
On expliquera le lien entre l’existence d’une section pour l'abélianisée de
cette suite et l’existence d’un zéro-cycle de degré 1 sur X.
Vendredi 10 octobre 2008
16h15-17h15 : Julia HARTMANN (Heidelberg)
Patching over fields
Abstract: Patching methods (building a global object by building it locally) are an
important tool e.g. for solving inverse problems in Galois theory. This
talk describes a version of patching that works over fields rather than
rings. Applications include differential Galois theory as well as results
about quadratic forms and central simple algebras.
17h30-18h30 : Qing LIU (Bordeaux)
Indices de variétés algébriques
Résumé: Dans un travail commun avec Dino Lorenzini,, nous étudions quelques
propriétés de l'indice d'une variété algébrique propre régulière X sur
un corps K (i.e. le pgcd des degrés des points fermés de X), notamment lorsque K
est un corps de valuation discrète hensélien. Si X s'étend en un schéma propre
régulier sur l'anneau de valuation, nous relions l'indice de X aux indices des
composantes irréductibles (non nécessairement régulières) de la fibre spéciale,
généralisant des résultats antérieurs de Colliot-Thélène-Saito et de Bosch-Liu, et
répondant à une question de P. Clark. Un résultat clef pour la démonstration est un
lemme de déplacement pour des schémas singuliers.
Vendredi 13 juin 2008
16h-17h : Tony VARILLY-ALVARADO (Berkeley)
Zariski density of rational points
on del Pezzo surfaces of degree 1
A theorem of Segre and Manin states that if a del Pezzo surface X over
Q of degree 2 or higher has a rational point that misses
the exceptional curves of X, then the set of rational points on X is
Zariski dense. Del Pezzo surfaces of degree 1 (DP1s) carry a canonical
rational point, but Zariski density of rational points in this case had
remained a mystery. The purpose of this talk is to shed some light on this
problem.
Blowing up the canonical rational point of a DP1 we obtain an elliptic
fibration over the projective line (over Q). Using sieving techniques, we
will show that, for a large class of fibrations corresponding to DP1s,
there is always an infinite family of fibers all of whose members have
negative root number. Assuming finiteness of certain Tate-Shafarevich
groups, this shows Zariski Density of rational points on the corresponding
DP1 surfaces.
If time permits, we will also discuss some surprising fibrations that
correspond to DP1 surfaces, all of whose fibers have positive root number.
17h30-18h30 : Jan DENEF (Université de Leuven)
A geometric proof of a theorem of Ax-Kochen
and a conjecture of Colliot-Thélène.
We prove a conjecture of Colliot-Thélène which generalizes the Theorem of Ax and Kochen that
any projective hypersurface over the p-adic numbers has a p-adic rational point, if it is given by a
homogeneous polynomial with more variables than the square of its degree d, assuming that p is
large enough with respect to the degree d. The conjecture of Colliot-Thélène generalizes the
Theorem of Ax-Kochen to any family of projective varieties given by a dominant morphism f: X --> Y
of geometrically integral smooth projective varieties over a number field, assuming that the
generic fibre of f is geometrically integral and has "nice" degenerations.
This yields a geometric proof of the Theorem of Ax-Kochen which (unlike all previous ones)
does not use methods from mathematical logic. Our proof of the conjecture is based on Cutkosky's
Theorem on Local Monomialization of Morphisms. Actually only part of our proof of the
conjecture, combined with an extra argument, is already sufficient to yield a different geometric
proof of Ax-Kochen's Theorem (still using Cutkosky's result).
Vendredi 16 mai 2008
16h-17h : Tim BROWNING (Université de Bristol)
Points rationnels sur les hypersurfaces cubiques
Etant donné une hypersurface cubique X definie sur Q,la méthode du cercle
fournit un moyen de montrer qu'il existe un point Q-rationnel sur l'hypersurface,
si la dimension est suffisamment grande. Grâce au travail de Davenport, et plus
récemment de Heath-Brown, on peut traiter des formes cubiques en 14 variables.
Dans cet exposé, on montre qu'on peut améliorer ceci en 13 variables, pourvu que
la forme puisse s'écrire comme la somme de deux formes qui ne partagent aucune
variable.
17h30-18h30 : Stefan GILLE (Université de Munich)
The first Suslin homology group of a split
semisimple simply connected group
We compute the first Suslin homology sheaf of a split simply
connected semisimple algebraic group. As a corollary we get a computation of
the first Suslin (singular) homology group of such an algebraic group.
Vendredi 11 avril 2008
16h-17h : Boris KUNYAVSKII (Université de Bar-Ilan, Tel Aviv)
Le multiplicateur de Bogomolov des groupes finis simples
Etant donné l'espace quotient X=V/G d'une représentation linéaire fidèle complexe V
d'un groupe fini G, on considère le groupe de Brauer non ramifié de X.
Dans cet exposé, on démontre que cet invariant est nul pour tout groupe fini simple G
(et encore pour certains groupes pas trop éloignés des groupes simples). Cela établit
la conjecture de Bogomolov de 1992 dont des cas particuliers de laquelle ont été
traités par Bogomolov, Maciel et Petrov en 2004.
17h30-18h30 : Mathieu FLORENCE (IMJ)
Courbes algébriques non isomorphes le devenant
après des extensions de degrés premiers entre eux
Cet exposé rend compte d'un article récent de Goldstein-Guralnick-Howe-Zieve.
Il s'agit de construire un corps K et des courbes algébriques
non-isomorphes C/K et C'/K telles qu'il existe des extensions finies K_i/K
de degrés premiers entre eux sur lesquelles C et C' deviennent isomorphes
après extension des scalaires.
Vendredi 14 mars 2008
16h-17h : Jérémy BLANC (Institut Fourier, Grenoble)
Sous-groupes algébriques du groupe de Crémona
Nous donnons une classification complète des sous-groupes algébriques
maximaux du groupe de Cremona du plan et explicitons les variétés qui
paramètrent les classes de conjugaison.
17h30-18h30 : Daniel FERRAND (Rennes)
Algèbres simples et algèbres de schémas en groupe finis
L'algèbre d'un groupe fini sur un corps K de caractéristique zéro
est un produit d'algèbres simples d'un type très particulier, type
qui a été étudié par Witt et finalement caractérisé par Brauer.
L'usage de schémas en groupes permet de s'affranchir de ces limitations :
nous montrons que toute K-algèbre simple est quotient de l'algèbre d'un schéma
en groupe fini sur K.
Vendredi 22 février 2008
16h-17h : Alexander MERKURJEV (UCLA)
Algebraic tori and 0-cycles
Let T be a torus over a field F and X a smooth F-compactification
of T. Let e be the neutral element in T(F). The map which sends a
point p in T(F) to the zero-cycle p - e induces a set-theoretic map
from the group T(F)/R of R-equivlalence classes to the reduced Chow
group A0(X) of zero-cycles of degree zero on X modulo rational
equivalence. This map has long been known to be injective. We discuss
whether it is surjective, and whether it is a group homomorphism.
17h30-18h30 : Bruno KAHN (CNRS, IMJ)
SK2 d'algèbres centrales simples d'indice premier
On associe à toute algèbre centrale simple A sur un corps parfait k un
motif et des groupes de cohomologie motivique. On utilise ceci pour
montrer que la conjecture de Bloch-Kato en poids 3 implique que
SK_2(A) = 0 si l'indice de A est sans facteurs carrés. Ceci est un travail en
collaboration avec Marc Levine.
Vendredi 25 janvier 2008
A noter aussi un exposé d'Ofer Gabber
(CNRS, IHES) de 14 h à 15 h30: Pseudo-reductive groups.
16h-17h : David HARARI (Orsay)
Le défaut d'approximation forte
pour les groupes algébriques commutatifs
On établit une suite exacte décrivant l'adhérence des points rationnels
d'un 1-motif dans ses points adéliques; on en déduit ensuite que le défaut
d'approximation forte pour un groupe algébrique commutatif est essentiellement
mesuré par son groupe de Brauer.
17h30-18h30 : Alexander SCHMIDT (Université de Ratisbonne)
Rings of integers of type K(
,1)
We investigate the Galois group GS(p) of the maximal p-extension unramified
outside a finite set S of primes of a number field in the case when not all primes
dividing p are in S. We show that the cohomology of GS(p) is ``often''
isomorphic to the étale cohomology of the scheme Spec(Ok) \ S, in particular,
GS(p) is then of cohomological dimension 2.
Vendredi 14 décembre 2007
16h-17h : Michel BRION (Institut Fourier, CNRS)
Groupes algébriques anti-affines.
On dit qu'un groupe algébrique G sur un corps k est anti-affine si son algèbre
des fonctions régulères est k. Nous présentons une classification des ces groupes
avec des applications à la structure des groupes algébriques en caractéristique
positive et la construction de nombreux contre-exemples au quatorzième
problème de Hilbert.
17h30-18h30 : Olivier WITTENBERG (CNRS, Strasbourg)
Sous-ensembles diophantiens des corps
de fonctions de courbes, d'après Kollár.
Un sous-ensemble E d'un corps K est dit diophantien s'il existe un K-schéma
de type fini X et un morphisme de X vers la droite affine tels que E soit
l'image de X(K). Le but de l'exposé est de démontrer, suivant Kollár, que
k[t] n'est pas un sous-ensemble diophantien de k(t), pour divers corps k de
caractéristique 0 y compris notamment les complexes, les réels, ou les
p-adiques.
Vendredi 23 novembre : Annulée.
Vendredi 19 octobre 2007
16h-17h : Nikita SEMENOV (Université de Munich)
Higher Tits indices of linear algebraic groups.
Let G/k be a semisimple group. The
set of higher Tits indices of G is the set of
Tits indices of G over all
fields extensions K/k. In this joint work with V. Petrov,
we classify higher Tits
indices for exceptional algebraic groups. It involves
Chow groups and Chow motives of
projective homogeneous varieties.
17h30-18h30 : Cyrille DEMARCHE (Orsay)
Groupes de Brauer d'espaces homogènes à stabilisateurs finis.
Soit k un corps, G un groupe semi-simple simplement connexe sur k. On
s'intéresse
aux espaces homogènes de G. Si X est un espace
principal homogène sous G, on
dispose de formules explicites décrivant le
groupe de Brauer d'une compactification
lisse de cet espace (résultats
dus à Voskresenskii, Sansuc, Colliot-Thélène, Kunyavskii,
et Borovoi,
notamment). Dans le cas où le stabilisateur géométrique de l'espace
homogène
est connexe ou abélien, on connait également des formules pour
ce groupe de Brauer, et
on sait grâce à Borovoi que dans le cas des
corps de nombres, l'obstruction de
Brauer-Manin au principe de Hasse ou
à l'approximation faible est la seule. En revanche,
très peu de
résultats sont connus dans le cas où le stabilisateur est fini
non-abélien. On
s'intéressera ici à de tels groupes de Brauer, dans le
cas d'un corps de nombres. On regardera
notamment le cas où le
stabilisateur est un p-groupe constant d'un certain type, ainsi que
le
cas où le corps de base ne contient pas certaines racines de l'unité.
Vendredi 8 juin 2007
14h30-15h30 : Vladimir CHERNOUSOV (Université d'Alberta, Edmonton)
On zero cycles on projective homogeneous varieties.
Dans ce travail en collaboration avec A. Merkurjev, on étudie le groupe de Chow
des variétés projectives homogènes sous un groupe réductif.
16h-17h : Per SALBERGER (Université Chalmers, Göteborg)
Rational points of bounded height and volumes of divisors.
A central problem in Diophantine geometry is to study the asymptotic behaviour of
the number of rational points of bounded height on projective varieties.
One important tool here is the p-adic determinant method of Heath-Brown. Recently
we discovered that there is a more refined version of this method which gives sharper
results for hypersurfaces of low degee. The new version makes essential use of the theory
of volumes of divisors described in Lazarsfeld's book. This leads to difficult problems in
algebraic geometry as there is no analog of Zariski decomposition for varieties of
dimension > 2.
17h30-18h30 : Régis de la Bretèche (Institut Mathématique de Jussieu)
Nouveaux exemples de validité de la conjecture de Manin pour des
surfaces de del Pezzo de degré 4.
Nous exposerons des résultats très récents obtenus en collaboration avec
Tim Browning et Emmanuel Peyre. L'orateur avec Tim Browning a débuté un programme
pour démontrer la conjecture de Manin concernant le nombre asymptotique de points
rationnels de hauteur bornée sur des surfaces V de del Pezzo de degré 4.
En 2005, le cas d'une surface de del Pezzo de degré 4 singulière déployée sur
Q a été résolu, puis celui d'un cas non déployé. Nous présenterons ici le cas d'une famille
de surfaces de del Pezzo de degré 4 toujours singulière mais qui ne vérifie pas forcément
le principe de l'approximation faible. Les méthodes utilisées, inspirées par un travail de
Heath-Brown, sont très différentes de celles utilisées dans les précédents cas.
Vendredi 27 avril 2007
16h-17h: Jean-Pierre TIGNOL (Université de Louvains)
La conjecture II de Serre pour les groupes classiques sur les corps imparfaits.
(En collaboration avec C. Frings et G. Berhuy). En raffinant des techniques
de E. Bayer-Fluckiger et R. Parimala, nous démontrons la version forte
suivante de la conjecture II de Serre. Soit G un groupe semi-simple
simplement connexe classique sans facteurs extérieurs de type A d\'efini sur
un corps F. Si la dimension séparable de F est inférieure ou égale à 2, alors
tout G-torseur est trivial.
17h30-18h30: Nikita KARPENKO (Institut de Mathématiques de Jussieu)
La dimension canonique de PGL_6
Il s'agit d'un travail en commun avec J.-L. Colliot-Thélène et A. S. Merkurjev. Nous
montrons que la dimension canonique du groupe PGL_6 est égale à 3. Ce résultat termine
la classification des groupes algébriques de dimension canonique 2. Le groupe PGL_6
donne le premier exemple d'un groupe algébrique dont la dimension canonique est différente
de sa dimension p-canonique pour tout nombre premier p. C'est aussi la première fois qu'on a
pu déterminer la dimension canonique d'un groupe algébrique ayant plus qu'un seul nombre
premier de torsion.
Vendredi 16 mars 2007
14h30-15h30 : Andrew KRESCH (Universität Zürich et Institut Henri Poincaré)
An effectivity result for Brauer-Manin obstruction.
This is a report on joint work with Yuri Tschinkel, which aims to give an effective
algorithm for the computation of the Brauer-Manin obstruction to the Hasse
principle and to weak approximation. The results obtained are subjects to various
hypotheses, and are applicable in some cases, for instance to geometrically rational
surfaces over number fields.
16h-17h : David HARARI (Université de Paris-Sud)
17h30-18h30 : Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE (C.N.R.S., Université de Paris-Sud)
Points rationnels sur les sous-variétés des variétés abéliennes sur un corps
de fonctions, d'après B. Poonen et J. F. Voloch.
Soit k un corps global de caractéristique positive. Soit X une courbe de genre au moins 2
plongée dans une k-variété abélienne A. Sous des hypothèses larges sur A (absence de quotient
géométrique isotrivial, et une condition technique supplémentaire), Poonen et Voloch
montrent que l'ensemble des points k-rationnels de X coïncide avec l'intersection dans les
adèles de A des deux ensembles suivants : les points adéliques de X et l'adhérence des points
k-rationnels de A. L'énoncé vaut plus généralement pour une
sous-variété ne contenant pas de translaté de sous-variété abélienne.
Le résultat peut se réinterpréter ainsi : l'ensemble des k-points de X coïncide avec
l'ensemble des points adéliques de X qui sont orthogonaux au groupe de Brauer de X.
Vendredi 9 février 2007
16h-17h
et 17h30-18h30 : Laurent MORET-BAILLY (Université de Rennes 1)
Gerbes, indice et période
(d'après Max Lieblich).
Soit K un corps et soit A dans Br K. On note exp(A)
l'exposant de A (son ordre dans
Br K et ind(A) son indice (le plus petit degré d'une extension
de K qui trivialise A). On sait que
exp(A) divise ind(A) et qu'ils ont les mêmes facteurs premiers;
on conjecture que ind(A) divise
exp(A)^{d-1} si K est un corps C_d.
On suppose maintenant que K est un corps de fonctions de deux variables
sur
un corps k. Alors, d'après A. J. de Jong et M. Lieblich:
- si k est algébriquement clos, alors ind(A)=exp(A).
- si k est fini et exp(A) premier à la caractéristique,
alors ind(A) divise exp(A)^3.
- si k est fini et A non ramifié, alors ind(A)=exp(A) si
l'on suppose de plus exp(A) premier à la caractéristique.
On se propose
d'expliquer, en suivant Lieblich, comment le recours aux gerbes et aux
champs de modules de
fibrés (semi-)stables permet une présentation
géométrique de ces résultats.
Référence : M. Lieblich, Twisted sheaves and the period-index problem, preprint.
Vendredi 19 janvier 2007
16h-17h:
Emmanuel ULLMO
(Université de Paris-Sud)
Principe local-global pour la
représentation de formes quadratiques entières
(d'après
Ellenberg et Venkatesh).
Le but de l'exposé est de présenter le
résultat suivant de J. Ellenberg et A. Venkatesh.
Soit Q une forme quadratique définie positive sur Z^n. Soit Q' une forme quadratique
sur Z^m
avec n-m > 6. Si Q représente Q' partout localement et si le
discriminant de Q' est assez grand,
alors Q représente Q' globalement. Nous expliquerons dans un
premier temps la formulation
du problème en terme de groupes algébriques puis nous
insisterons particulièrement sur les
aspects de théorie ergodique des groupes p-adiques qui sont au
coeur de la preuve.
17h30-18h30
: Lawrence BREEN (Université
de Paris-Nord)
Cohomologie non-abélienne et
cohomologie abélianisée.
Il est possible de munir certains
complexes de groupes tronqués G_* de structures additionnelles
permettant de définir, comme dans le cas où G est un
complexe de groupes abéliens, la cohomologie à valeurs
dans G_*. Dans l'exposé certaines de ces structures seront
décrites ainsi que leurs propriétés, notamment
dans
le cas de la cohomologie non-abélienne et de la cohomologie
abélianisée de Borovoi.
Vendredi 8 décembre 2006
16h-17h:
Jörg BRÜDERN (Universität Stuttgart)
Intersections of two diagonal cubics:
counting points, Hasse's principle and weak approximation.
We study
the pair of equations:
a_1x_1^3 + ... + a_sx_s^3 = b_1x_1^3+...+b_sx_s^3 =0
with integer coefficients a_j,b_j, and address the problems in the
title. Let
N_s(P) denote the number of integral solution with |x_j|<= P. A
lower bound for N_{13}(P) will be
presented that in particular implies the Hasse principle. Weak
approximation also follows, but
only for a subclass. Indeed, examples will be given where weak
approximation fails.
When s>= 15, one may derive an asymptotic formula for N_s(P). These
results were obtained
in collaboration with T.D. Wooley, and are best possible in a certain
sense.
17h30-18h30:
Étienne FOUVRY (Université Paris-Sud)
Sur les corps quadratiques réels avec unité fondamentale de norme -1.
Dans ce travail avec J. Klüners, on donne, pour X
tendant vers l'infini,
le premier encadrement non trivial du cardinal de l'ensemble des D
vérifiant 0<D<X
tels que le corps quadratique Q(\sqrt
{D}) de discriminant fondamental
D ait une unité fondamentale de norme égale à -1.
Vendredi 10 novembre 2006
16h-17h: Anne QUEGUINER-MATHIEU (Université Paris 13)
La restriction au centre de
l'invariant de Rost.
Pour les groupes
semi-simples simplement connexes de type classique, Merkurjev, Parimala
et Tignol
ont donné une formule pour la restriction de l'invariant de Rost
à des torseurs induits du centre du groupe.
Dans ce travail en collaboration avec S. Garibaldi (Emory), on traite
le cas des groupes exceptionnels.
La méthode employée est différente et s'applique
aussi aux cas classiques.
17h30-18h30: Philippe GILLE (ENS, CNRS)
Bornes inférieures pour la
dimension essentielle des groupes réductifs
Dans ce travail en collaboration avec Z. Reichstein (Vancouver), on
donne de nouvelles
bornes inférieures pour la dimension essentielle des groupes
réductifs complexes complétant l'exposé
du 23 juin. La méthode est nouvelle et se passe de la
résolution des singularités, ce qui donne des
résultats partiels
dans le cas de caractéristique positive.
Vendredi 6 octobre 2006
16h-17h : Joost VAN HAMEL (Université de Leuven)
Extended Picard complexes
This is a joint work with M. Borovoi (Tel
Aviv). For a connected linear algebraic group
G over a field k of characteristic 0,
we define the extended Picard complex XPic(G):
a certain complex of length 2, which
combines the Picard group Pic(G)
and the character
group X(G). We compute the complex XPic(G) (up to a quasi-isomorphism) in terms of
the algebraic
fundamental group of G. We obtain similar results for a
homogeneous space X=G/H,
where H is a connected k-subgroup of a connected k-group
G.
17h30-18h30: Jean-Louis
COLLIOT-THÉLÈNE (CNRS, Orsay)
L'obstruction élémentaire pour les espaces
homogènes
Soit X une variété lisse géométriquement intègre définie sur un corps k. Si l'inclusion
de modules galoisiens (k bar)* -> (k bar)(X)*
n'a pas de sections, alors X n'a
pas de k-points. On montre que la réciproque est vraie
si k est un corps p-adique, et X un espace homogène sous un k-groupe connexe
(non nécessairement affine) et à stabilisateurs connexes.
Sur un corps de nombres totalement imaginaire, on a le même
résultat si G est linéaire
ou si l'on accepte la finitude des groupes de Tate-Shafarevitch des
variétés abéliennes.
Sur un corps de nombres qui admet un plongement réél, il
faut imposer des conditions
supplémentaires. (Travail en collaboration avec M. Borovoi et A.
Skorobogatov.)
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Vendredi 23 juin 2006
15h-16h: Zinovy REICHSTEIN (Vancouver)
A lower bound on the essential dimension
Let K/k be a field extension. The essential
dimension of an object (e.g., a quadratic form,
a finite-dimensional algebra, an algebraic variety,
a group action, etc.) defined over K is
the minimal
value of the transcendance degree of a field F/k such that our object
descends
to F. Here F ranges over the intermediate
fields F inside K.
In this talk, based on joint work with Boris Youssin,
I will discuss a lower bound on certain
essential
dimensions. The proof of this bound is based on
a resolution theorem for algebraic group
actions
which is of independent interest.
16h30-17h30: David MADORE (ENS)
Dégénérescence des variétés de Fano et une conjecture d'Ax (d'après J. Kollár)
Suivant J. Kollár, nous prouvons qu'un corps pseudo-algébriquement
clos de caractéristique 0 est C_1. La démonstration procède par
l'étude de familles dont la fibre générique est une variété de Fano:
un résultat technique clé est fourni par une variante du
``Kollár-Shokurov Connectedness Theorem'', qui découle lui-même du
théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg.
Vendredi 19 mai 2006
15h-16h: Michel MATIGNON (Bordeaux)
p-groupes d'automorphismes des courbes en caractéristique p
Notes de l'exposé
Je présenterai brièvement mes motivations (calculs de monodromie sauvage)
pour revisiter un sujet classique (bornes sur les groupes
d'automorphismes en
car. p>0). J'étudierai d'abord le cas des p-groupes de Sylow des
revêtements étales p-cycliques de la droite affine; puis les
"grosses" actions (C,G) où G est un p-groupe d'automorphismes d'une
courbe C de genre g>0 avec |G|
/g > 2p / (p-1).
16h30-17h30: David HARARI (Orsay)
Principe de Hasse pour un espace principal homogène de variété
semi-abélienne (travail commun avec T. Szamuely)
Soit X un espace principal homogène d'une variété semi-abélienne G
définie sur un corps de nombres k, telle que le groupe de
Tate-Shafarevitch de
la variété abélienne associée soit fini. On établit que l'existence d'un
point
adélique sur X orthogonal (pour l'accouplement de Brauer-Manin) aux
éléments "localement constants" du groupe de Brauer de X implique
l'existence
d'un point rationnel pour X. On démontre également un analogue de la
suite duale
de Cassels-Tate pour G.
Vendredi 7 avril 2006
15h-16h : Jürgen KLÜNERS
(Université de Kassel)
On the asymptotics of number fields
Let
k be a number field, G be a finite permutation group.
There is a conjecture of Malle which gives an
asymptotic formula
for the number of Galois extensions of k with group G in term of rge
discriminant.
The full conjecture is trie for abelian groups and some small
groups. Recently we
have proved that there are good lower and upper bounds for nilpotent
groups.
Furthermore we show that there are relations
between upper bounds for the
class number of number fields and our problem. This relates
our problem to the
Cohen-Lenstra-heuristics for the distribution of class groups
of quadratic number fields.
16h30-17h30: Emmanuel HALLOUIN (Toulouse 2)
Espaces de Hurwitz et PSL_2(F_8)-extensions de Q
On étudie une famille de
degré 9 de revêtements réguliers de la
sphère de Riemann
de monodromie PSL_2(F_8) avec quatre points de
ramification. Cela permet
de construire des extensions totalement réelles de Q
galoisiennes de groupe
PSL_2(F_8).
Vendredi 10 mars 2006
15h-16h : Stefan GILLE (Université de
Munich)
A Gersten-Witt complex for
hermitian Witt groups
of Azumaya algebras over schemes
Let X be a scheme and let A be
an Azumaya algebra over X equipped with
an involution of the first kind. We construct a hermitian Gersten-Witt
complex for A and
show that it is exact if X is the spectrum of a local ring of a smooth variety.
16h30-17h30: Amit KULSHRESTHA (Tata Institute, Bombay,
Louvain)
R-equivalence and quotients of multipliers
Let F be a field of characteristic not 2 whose virtual
cohomological
dimension is at most 2. Let G be a semisimple group of
adjoint type defined
over F. Let RG(F) denote the normal subgroup of
G(F) consisting of elements
R-equivalent to identity. We show that if G
is of classical type not containing
a factor of type D_n, G(F)/RG(F) =
0. This leads to a new proof of the R-triviality
of
F-rational
points of adjoint classical groups defined over number fields.
Vendredi 10 février 2006
16h-17h : Tim BROWNING (Université de
Bristol)
The Manin Conjecture in
dimension two: a guided tour
I shall survey the current state of knowledge concerning the
distribution
of rational points on surfaces with ample anti-canonical
divisor, and some
of the tools that have been recently brought to bear
upon this topic.
17h30-18h30: Laurent MORET-BAILLY (Université de
Rennes)
Actions
algébriques de groupes arithmétiques
Il s'agit d'un travail en commun avec Philippe Gille. Soit A un
anneau de «S-entiers» algébriques, et
soit G un A-schéma en groupes affine
de type fini. On montre alors que H^1(A,G) est fini.
Voici un exemple d'application. Soit G comme ci-dessus,
opérant sur un
A-schéma de type fini X. Soit Y un
sous-schéma fermé de X, plat
sur A. On considère l'ensemble E des sous-schémas
fermés de X qui sont localement
conjugués à Y pour l'action de G (pour la
topologie fpqc, par exemple).
Alors, E est fini modulo l'action de G(A).
Vendredi 13 janvier 2006
16h-17h30 : Jacob P. MURRE
(Université de Leiden)
On the transcendental motive of an algebraic surface ( joint work with
B. Kahn and C. Pedrini )
Résumé : In the first part of the lecture I
intend to
recall the concept of a Chow-K\"unneth decomposition of an algebraic
variety into Chow motives, its conjectural properties and the actual
construction of such a decomposition for algebraic surfaces. This is
old work from the nineties. In the second part of the lecture I
discuss the so-called transcendental part of the motive of
the
surface, this is recent joint work with B. Kahn and C.
Pedrini.
We study in particular some properties of the endomorphism ring of this
motive. This second part is closely related to the (still wide open !)
Bloch conjecture for algebraic surfaces.
18h--19h: Bruno KAHN (CNRS, Jussieu)
On the transcendental motive of an algebraic surface
Résumé : Après l'exposé de
J.-P. Murre,
j'expliquerai comment réinterpréter et
généraliser les résultats qu'il a
donnés,
à l'aide des motifs birationnels et des correspondances au
point
générique de A. Beilinson (en utilisant un petit
peu de
motifs triangulés de Voevodsky).
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Vendredi 16
décembre 2005
16h00-17h00 Per Salberger (Chalmers tekniska
högskola, Göteborg)
Counting rational points on projective varieties
Résumé : We present some new uniform bounds for
the
number of rational points of bounded height. If e.g. X is a projective
variety of dimension r and degree d>1, then it has been
conjectured
by Heath-Brown that there are O_d,epsilon(B^r+epsilon) rational points
of height at most B on X. This is now known in general whenever
d>3
or d=2. We have also recently proved another conjecture of Heath-Brown
concerning the density of rational points on smooth projective surfaces
in P^3.
17h30-18h30 Sir Peter Swinnerton-Dyer (Cambridge)
Counting points on
x^3=yzt
Résumé : This talk will report on joint work with
Prof de
la Bretèche. I shall show how to find the meromorphic
continuation of the height zeta function of
x^3=yzt
and its exact domain of existence. The corresponding function has one
feature not easily foreseen, and I shall discuss how this anomaly can
be removed by choosing a more canonical height function. Though the
motivation is number-theoretical, the methods used are those of
classical complex variable theory.
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Jeudi 15
décembre
2005, 16h30, salle 225-227,
Soutenance de thèse d'Olivier Wittenberg :
Principe de
Hasse pour les surfaces de del Pezzo de degré 4
Vendredi 25 novembre 2005
16h00-17h00 Emmanuel Peyre (Institut Fourier,
Grenoble)
Surfaces de del Pezzo et groupes algébriques
linéaires
Résumé : L'existence de liens entre les surfaces
de Del
Pezzo et les groupes algébriques exceptionnels est connue
depuis
très longtemps puisqu'ils apparaissent
déjà
dans un article d'Elie Cartan de 1896. Le but de cet exposé
est
de tenter un survol de ces liens; en partant du
rôle
joué par le groupe de Picard, tel qu'il a
été
notamment décrit par Manin, nous parlerons des travaux plus
récents de Friedman et Morgan, de Lurie, et de Batyrev et
Popov
qui fournissent un lien étroit entre les torseurs universels
au-dessus des surfaces de Del Pezzo et les représentations
minuscules ou quasi-minuscules des groupes associés.
17h30-18h30 Arnaud Beauville (Nice)
Sous-groupes
p-élémentaires du groupe de Cremona
Résumé : Le groupe de Cremona est le groupe des
transformations birationnelles du plan; bien que très gros,
il
se comporte dans une certaine mesure comme un groupe semi-simple de
rang 2. On va voir en particulier que ses sous-groupes
abéliens
p-élémentaires de rang maximal sont contenus dans
des
tores pour p premier > 3, et décrire ces sous-groupes
pour p = 2 et 3.
Vendredi 17 juin 2005
16h00-17h30
Jason Starr (Massachusetts Institute of Technology)
Rational 1-connectedness and rational points of varieties
over function fields
Résumé : In the same way that rational
connectedness is an analogue of path-connectedness, rational
1-connectedness is an analogue of simple-connectedness. For a
rationally 1-connected variety defined over the function field of a
complex surface, the Brauer obstruction should be the only obstruction
to existence of a rational point. I will discuss a joint theorem
with A. J. de Jong proving this under additional hypotheses.
Time-permitting, I will also discuss an application to the analogue of
weak approximation for varieties defined over the function field of a
curve.
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Vendredi 27 mai 2005
16h00-17h00
David Harari (C.N.R.S., Ecole Normale
Supérieure)
Quelques propriétés d'approximation faible
pour les corps d'invariants
Résumé : On discute la validité de
l'approximation faible et de l'approximation très faible
pour des variétés sur un corps de nombres, dont le
corps des fonctions est un corps d'invariants pour l'action d'un
groupe algébrique fini. On obtient notamment des
résultats pour des actions linéaires et des actions
multiplicatives.
17h30-18h30
<> Stefan Gille (Mathematisches Institut der
Universität München)
Motivic decomposition and Rost nilpotence
Résumé : Denote M(Q) the Chow motive of a (projective)
quadric Q over a field k. Some years ago Rost proved that for any
field extension F/k the kernel of the natural map from End(M(Q))
to End (M(Q_F)) consists of nilpotent endomorphisms. This result,
called "Rost nilpotence", was generalized in a joint work with
Chernousov and Merkurjev to projective homogenous varieties of
semisimple algebraic groups. Another proof of this generalization
and even a further generalization has been given recently by
Brosnan. All these proofs rely on a decomposition of the motive
which generalizes Grothendieck's calculation of the motive of
projective space.
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Vendredi 8 avril et Samedi 9 avril 2005
Vendredi 8 avril
16h00-17h00 et 17h30-18h30
Brendan Hassett (Rice University et Université Paris-Sud)
Weak approximation for rationally connected varieties over
function fields
(joint with Yuri Tschinkel)
Let B be a smooth complex curve and X a variety smooth and proper over
the function field C(B). Graber, Harris and Starr have shown that if X
is geometrically rationally connected then the set X(C(B)) of rational
points is nonempty. Building on work of Koll'ar, Miyaoka
and Mori, we show that X satisfies weak approximation at places
of good reduction.
Samedi 9 avril
9h30-10h30 et 11h-12h
Antoine Ducros (Université de Rennes I)
Triangulations et cohomologie étale sur une courbe
analytique
Soit k un corps ultramétrique complet et soit X une k-courbe
analytique au sens de Berkovich. On note X le site étale
correspondant, |X| l'espace topologique sous-jacent et \pi : X\to |X|
la flèche canonique. On va tout d'abord définir ce qu'est
une
triangulation de X, puis montrer comment utiliser cette notion pour
fabriquer un complexe (analogue à celui de Bloch-Ogus) qui
calcule la
cohomologie des Rq\pi_{*}F lorsque F est un
faisceau étale ``raisonnable". Ceci permettra d'établir
un théorème de
comparaison entre ces groupes et leur version schématique
lorsque X
est l'analytifiée d'une courbe algébrique ainsi
que, lorsque la
cohomologie de k admet elle-même un module dualisant, des
résultats de dualité qui mettent en jeu
l'arithmétique des courbes
sur \tilde{k}.
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Vendredi 18 mars et Samedi 19 mars 2005
Vendredi 18 mars
16h00-17h00 et 17h30-18h30
Endre Szab'o (Institut
Rényi, Budapest)
Severi-Brauer varieties
Severi-Brauer varieties are varieties over a field which are, over
the algebraic closure, isomorphic to a projective space. The most basic
example is a circle with radius -1 over the real numbers. The first
important result of the subject is Châtelet's theorem: a
Severi-Brauer variety is the projective space itself if and only if it
has a point. There is a strong connection between Severi-Brauer
varieties and central simple algebras. The traditional approach to
study these varieties is algebraic, but it might be interesting to
rethink the story in classical geometric terms.
Samedi 19 mars
9h30-10h30 et 11h-12h
Uwe Jannsen (Universität Regensburg)
Hasse principles for higher-dimensional fields
We prove a conjecture of K. Kato (Crelle's Journal 366 (1986)) on a
Hasse principle for the Galois cohomology of function
fields over number fields. This was announced some years
ago. It has finally been written down in a preprint. The results on the
cokernel heavily rely on methods of Gillet and Soulé on
motivic ``weight complexes". The same method reduces Kato's conjecture
over finite fields to resolution of singularities.
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Vendredi 11 février 2005
14h30-15h30
Andrei Yafaev (University College London et Université
Paris-Sud)
Descente sur certaines courbes de Shimura
Ceci est un travail en commun avec Alexei Skorobogatov et Victor
Rotger. Dans cet exposé on va montrer comment
appliquer la descente à certains revêtements non
ramifiés de
courbes de Shimura et de leurs quotients d'Atkin-Lehner afin de
construire des contre-exemples au principe de Hasse expliqués
par l'obstruction
de Brauer-Manin.
16h-17h et 17h30-18h30
Laurent Moret-Bailly (Universit\'e de Rennes-I)
Courbes elliptiques et indécidabilité des corps
de fonctions
Si A est un anneau, le ``10e problème de
Hilbert pour A" est celui de l'existence d'un algorithme
décidant de l'existence d'un
zéro pour un polynôme dans A[X_1,...,X_n].
Pour A=Z un tel algorithme n'existe pas (Matijasevich, 1970). Pour A= Q
la question est ouverte.
On s'intéresse ici à l'indécidabilité (au
sens ci-dessus) d'un corps de fonctions K d'une variable (ou plus) sur
un corps k de caractéristique nulle. Lorsque K=k(t), elle a
été
prouvée par Denef (1978) si k est réel et par Kim et
Roush (1995) si k est un sous-corps d'un corps p-adique (p>2).
On montre ici que la méthode de Denef peut s'étendre aux
corps de
fonctions non transcendants purs (mais toujours transcendants):
- lorsque K est réel;
- lorsque k est un sous-corps d'un corps p-adique (p>2).
Par rapport à l'argument originel, l'ingrédient nouveau
est un théorème de R. Noot sur la variation du rang de
Hom(A_x,
B_x) o\`u A et B sont deux schémas abéliens sur un ouvert
U de
P^1 et où x parcourt les points rationnels de U.
Référence: preprint IRMAR 04-42, disponible en ligne sur
la page Oueb de l'auteur.
16h-17h
G. Berhuy (Université de Nottingham)
La dimension canonique des groupes algébriques
linéaires
On définit un invariant numérique des actions de
groupes algébriques appelé dimension canonique. Une
application de cette théorie est l'estimation du nombre
minimal de paramètres nécessaires pour définir l'
hypersurface générique de degré d.
17h30-18h30
Nikita Karpenko (Université de Lens)
Dimension canonique des groupes orthogonaux
On démontre que n(n+1)/2 est la dimension canonique des
groupes SO(2n+1) et SO(2n+2).
Samedi 15 janvier 2005
9h30-10h30
Kirill Zainoulline (Saint Pétersbourg et Bielefeld)
On the Norm Principle for Quadratic Forms
Dans ce travail en collaboration avec M. Ojanguren et I. Panin, on
généralise le principe de norme de Knebush sur le groupe
engendré par les valeurs d'une forme quadratique au cas d'un
espace quadratique défini sur un anneau semi-local. Ceci permet
d'établir pour les groupes spinoriels la conjecture de
Grothendieck sur la trivialité locale des torseurs.
11h-12h
Philippe GILLE (CNRS, Orsay)
Les espaces quadratiques rationnellement isotropes sont localement
isotropes (d'après I. Panin)
Soit R un anneau local régulier géométrique de
corps des fractions K. Soit q une R--forme quadratique.
Si q_K est une forme isotrope, on montre que q est isotrope.
Dates des séminaires suivants : vendredi 11 février
(exposés de A. Yafaev et de L. Moret-Bailly)
puis vendredi 18 et samedi 19 mars (exposés de E. Szab'o et de
U. Jannsen)
Vendredi 10 décembre 2004
14h30-15h30
B. Poonen (UC Berkeley et IHP)
The Brauer-Manin obstruction for curves
Scharashkin proved (roughly) that for a curve C over a number
field k
embedded in its Jacobian, the Brauer set C(Ak)
Br equals the intersection C(Ak)
\cap \overline{J(k)}
where \overline{J(k)} is the closure of J(k)
in
J(Ak).
I will present a proof of his result, and explain how he, Flynn, and
Stoll
have used it to determine C(k) explicitly for some
specific curves.
16h-17h
A. N. Skorobogatov (Imperial College, London)
2-descente sur les courbes elliptiques et points rationnels sur
certaines surfaces de Kummer (I)
17h30-18h30
Sir Peter Swinnerton-Dyer (Cambridge)
2-descent on elliptic curves and rational points on certain
Kummer
surfaces (II)
Résumé pour ces deux exposés :
On donne des conditions suffisantes pour que certaines surfaces de
Kummer
sur un corps des nombres satisfassent le principe de Hasse. Il s'agit
de surfaces définies par une équation z2=f(x)
g(y), où f et g
sont des polynômes séparables de degré 4. Le but du
premier exposé
est de présenter le 2-groupe de Selmer d'une courbe elliptique
comme le
noyau d'une forme bilinéaire alternée, et de
décrire la réduction
du résultat principal à la 2-descente simultanée
sur les tordues
quadratiques
z2=af(x) et
u2=ag(y). Le deuxième
exposé est consacré à la partie la plus
délicate du preuve : s'assurer que les rangs des 2-groupes de
Selmer des
jacobiennes de ces deux courbes peuvent être réduits
à 3.
Vendredi 19 novembre 2004
16h15
Yuri Tschinkel
(Universität Göttingen)
Weak approximation over function fields (joint work with Brendan Hassett)
I will discuss the notion of weak approximation in the context of
rationally connected varieties over function fields of curves.
17h30
Olivier Wittenberg (Université Paris-Sud)
Un analogue potentiel de
l'hypothèse de Schinzel pour des polynômes à
coefficients dans Fq(t)
(travail commun avec Andreas O. Bender)
Soient f1,..., fn des polynômes
à coefficients dans Fp[t],
en une variable, et satisfaisant quelques hypothèses
techniques. Nous établissons l'existence, pour tout s assez grand,
d'éléments a et
b de Fps
tels que fi(at+b)
soit un polynôme irréductible de Fps[t] pour tout i.
Vendredi
15 octobre 2004
16h15
Bert van Geemen
(Université de Milan)
Some
remarks on the Brauer groups of K3-surfaces
We
discuss the geometry of the genus one fibrations associated to an
elliptic fibration on a K3 surface. We show that the two-torsion
subgroup of the Brauer group of a general elliptic fibration is
naturally isomorphic to the two-torsion of the Jacobian of a curve
associated to the fibration. We remark that this is related to
Recillas' trigonal construction. Finally we discuss the two-torsion in
the Brauer group of a general K3 surface with a polarisation of degree
two.
17h30
Ekaterina Amerik (Université Paris-Sud)
Un
pinceau de surfaces d'Enriques d'indice un sans section,
d'après
Jason Starr
En
utilisant des arguments de monodromie, et de déformation et
spécialisation, J. Starr montre
l'existence d'une surface d'Enriques sur le corps C(t),
sans point rationnel, mais possédant un
zéro-cycle de degré un.
Vendredi 24 septembre 2004
16h
Boris Kunyavskii (Université Bar-Ilan et
Université Paris-Sud)
Application de la
géométrie arithmétique à la
caractérisation des groupes finis résolubles
Le résultat principal caractérise les groupes
résolubles finis en termes des identités en deux
variables (comme les groupes nilpotents finis sont
caractérisés par les identités
d'Engel). La démonstration est un peu surprenante : on
utilise non seulement les méthodes de la théorie
des groupes finis mais aussi celles de la
géométrie arithmétique, en
particulier, les estimations de Weil pour les courbes
singulières (Aubry-Perret) et leurs analogues en dimension
arbitraire (Ghorpade-Lachaud) ; les estimations de Deligne des valeurs
propres de Frobenius ; la formule des traces de Lefschetz
conjecturée par Deligne et démontrée
par Zink-Pink-Fujiwara ; les estimations des nombres de Betti
$\ell$-adiques (Adolphson-Sperber, N. Katz). La plupart des calculs ont
été effectués à l'aide des
logiciels SINGULAR et MAGMA.
C'est un travail commun avec T. Bandman, G.-M. Greuel, F. Grunewald, G.
Pfister et E. Plotkin.
17h30
Mathieu Florence (Université Paris-Sud)
Points rationnels sur les
espaces homogènes et leurs compactifications
Soit k
un corps de caractéristique nulle et G
un groupe
algébrique linéaire défini sur k.
Soit X
un G-espace
homogène. Nous démontrons que si une
compactification
lisse de X
possède un point k-rationnel
alors il en
est de même de X.
Vendredi 11 juin 2004
14h30
David Harari (C.N.R.S.-E.N.S.)
Sur l'arithmétique des variétés semi-abéliennes
Soit G une variété semi-abélienne sur un corps de nombres k.
On décrit l'adhérence de l'ensemble G(k) des points rationnels
de G dans le produit (sur tous les complétés kv
de k) des G(kv) à l'aide de l'ensemble
de Brauer-Manin de G.
16h
Régis de la Bretèche (Université de Paris-Sud-E.N.S.)
Nombre de points rationnels sur la cubique de Segre
Nous indiquerons quelques étapes de la preuve de la conjecture de
Manin concernant la densité des points rationnels dans le cas particulier de
la cubique de Segre.
17h30
Per Salberger (Universit é de Göteborg)
Counting rational points on hypersurfaces
We give estimates for the number of rational points of bounded height on various
classes of hypersurfaces. The proofs are based on Heath-Brown's determinant method
and arguments from algebraic geometry. The motivation for these estimates comes from
classical problems in analytic number theory like Waring's problem.
Vendredi 7 mai 2004
17h30-18h30
Fabien Morel (Institut de Mathématiques, Jussieu)
Complexes motiviques modulo 2 et invariants des formes quadratiques
Soit k un corps premier de caractéristique différente de 2. On se propose
de définir par récurrence sur n le n-ième invariant des formes quadratiques sur
les corps F extensions de k. Soient Lk
la catégorie des k-variétés lisses et Abk
la catégorie des faisceaux de groupes abéliens sur Lk
pour la topologie de Zariski. Outre une propriété géométrique élémentaire de
"rationalité" des complexes motiviques modulo 2, et une propriété non-triviale de ces
mêmes complexes, impliquée par les résultats de Voevodsky, notre construction n'utilise
que de l'algèbre homologique élémentaire dans Abk,
impliquant des faisceaux comme
la K-théorie de Milnor modulo 2 non ramifiée, ou les groupes de
Witt non ramifiés.
16h-17h
M. S. Raghunathan (TIFR, Mumbai)
The finite field case of the Grothendieck-Serre conjecture
on principal homogeneous spaces
In this talk I will outline a proof of the following
Theorem. Let k be a finite field and G a connected smooth algebraic
group over k. Let P be a principal G-bundle on Spec A
where A is a smooth geometric local algebra over k. Let K be
the field of quotients of A. Then P is trivial over Spec A
if and only if it is trivial over Spec K.
Let E be the algebraic closure of k and for a prime p, let
E(p) the subfield fixed by all Sylow subgroups of the Galois group
J of E over k other than the p-Sylow subgroup. Let
J(p) be the Galois group of E(p) over k -
it is a pro-p-group. Let B (resp. B(p)) be the
tensor product of A with E (resp. E(p)) over k.
By the results of Colliot-Thélène and Ojanguren P becomes trivial under the
base-change from k to E(p). Thus P corresponds to an
element u in the Galois cohomology set H1(J,
G(B)). In fact u belongs to the image of H1
(J(p),G(B(p))) for every prime p.
When G is unipotent, the theorem is trivial. Using the considerations
above one concludes that the theorem holds for tori. Using these facts one
reduces the problem to the case when G is connected, absolutely almost
simple and simply connected. For such G one has the following stronger
result: H1(J(2),G(B(2)) is trivial.
This is proved by an induction on dim G using the fact that G is
necessarily quasi-split.
14h30-15h30
J.-L. Colliot-Thélène (CNRS, Paris-Sud)
Résolutions flasques pour les groupes réductifs connexes
Soit k un corps. Tout k-groupe réductif connexe
G peut s'écrire comme un quotient G=H/S, où H
est un k-groupe extension d'un tore quasitrivial par un groupe semisimple
simplement connexe, et où S est un k-tore flasque, central dans H.
Ceci étend le cas bien connu où G est un k-tore (Sansuc et l'orateur,
Voskresenskii). De telles "résolutions" de G, qui remplacent
avantageusement les z-extensions, ont des propriétés d'unicité. Elles sont liées
aux torseurs universels sur les compactifications lisses de G. Elles
permettent d'éliminer le recours à l'hypercohomologie de complexes
de tores dans certains travaux de Borovoi.
Vendredi 9 avril 2004
17h30-18h30
François Loeser (Ecole Normale Supérieure, Paris)
Seuil log canonique, espaces de jets et applications
(d'après Mustata et de Fernex/Ein/Mustata)
L'interprétation du seuil log canonique, espaces de jets et applications
permet de démontrer aisément son caractère semi-continu et d'obtenir des bornes
intéressantes dans certains cas,comme celui des cônes
(travaux de Mustata et de de Fernex/Ein/Mustata).
On terminera l'exposé en expliquant brièvement comment de telles bornes permettent
à de Fernex, Ein et Mustata de démontrer la rigidité birationnelle des
hypersurfaces lisses de dimension d-1 et de degré d pour d compris entre 4 et 12.
16h-17h
Andrew Kresch (Warwick)
Arithmetic of del Pezzo surfaces of degree 2
This talk will focus on the Brauer-Manin obstruction for degree 2 del Pezzo surfaces
over the rational numbers given by an equation in a specific diagonal form.
Explicit group cohomology computations are used to describe all possible Brauer
groups for such surfaces. We will describe this computation and give some examples
where there is a Brauer-Manin obstruction to the Hasse principle.
Samedi 6 mars 2004
11h-12h
Etienne Fouvry (Université Paris-Sud, Orsay)
Egalité de sommes de trois puissances d-ièmes, d'après Browning et Heath-Brown
On présentera certaines des idées qui ont conduit Browning et
Heath-Brown à prouver que l'équation en nombres entiers positifs
x1d+x2d+x3d
=x4d+x5d+x6d
a, lorsque l'exposant d est suffisamment grand (d >25),
moins de solutions non triviales que de solutions triviales
(c'est-à-dire diagonales).
Ces idées viennent de la théorie des variétés rationnelles et de
la théorie analytique des nombres.
9h30-10h30
Joerg Bruedern (Universitaet Stuttgart)
Systems of diagonal forms
In this talk we shall describe recentprogress in the analytic theory of systemsof additive
equations. The Hardy-Littlewoodmethod provides a tool to establish a local-to-global
principle as well as weak approximation.
The new results mainly concern the number of
variables required for large systems of diagonal equations. Another direction that we have
investigated only recently is results for form "on average", say over the coefficients. It
transpires that interesting results can be obtained even for an additive form of degree k
in 4k variables.
Vendredi 5 mars 2004
17h30-18h30
Philippe Gille (CNRS Orsay et Institut Rényi, Budapest)
Extensions abéliennes et groupes algébriques linéaires
Dans un travail en collaboration avec V. Chernousov et Z. Reichstein, nous montrons qu'une forme
forte du 13-ième problème de Hilbert implique que la clôture abélienne d'un corps K
(contenant un corps algébriquement clos) est de dimension cohomologique < 1.
16h-17h
Jan van Geel (Université de Gand)
The Hasse principle for similarity of skew-hermitian forms
(joint work with T. Unger et D. Lewis)
The Hasse principle for similarity is considered for
skew-hermitian forms over quaternon division algebras over global fields with canonical
involution. There are counterexamples to show that the Hasse principle cannot hold for such
forms in general. These examples can be understood by considering an invariant introduced by
Bartels. Using this one can show that the Hasse principle holds for certain restricted classes
of skew-hermitian forms.
Samedi 7 février 2004
9h30-10h30
Mathieu Florence
Un exemple d'espace homogène sans point
rationnel mais possédant un 0-cycle de degré 1
Soit k un corps de caractéristique nulle. On expose une méthode de construction d'espaces homogènes
X/k sous un groupe linéaire réductif G/k possédant un 0-cycle de degré 1 mais pas de point rationnel.
Nous produisons en particulier un tel exemple X sur un corps de nombres ou un corps local, tel que X
soit une variété rationnelle. Ce travail répond négativement à une question récemment posée par B. Totaro.
11h-12h
Jean-Claude Douai
Obstruction de Brauer-Manin des gerbes
Nous montrons comment associer à une gerbe G définie sur un corps de nombres k, localement neutre
pour la topologie étale, et liée par un k-groupe algébrique H, une
obstruction de Brauer-Manin mH(G), mesurant comme dans le cas des k-variétés
le défaut de validité du principe de Hasse pour G. Lorsque H est fini, G peut être vue comme un champ
quotient [V/SLn], où V est un k-espace homogène de SLn avec
isotropie H (sur la clôture algébrique de k). Nous prouvons ensuite que l'obstruction de Brauer-Manin
est indépendante de la présentation V choisie. Si H est abélien ou connexe,
mH(G) est la seule obstruction au principe de Hasse, pour G comme pour V.
Mais dans le cas où H est fini non-abélien, nous montrons que mH(G)=mH(V)
n'est plus la seule obstruction, pour G comme pour V. Nos résultats sont étroitement liés à ceux
de M. Borovoi.
Vendredi 6 février 2004
16h-17h
Jean-Louis Colliot-Thélène
Groupe de Chow des zéro-cycles sur un groupe linéaire p-adique
Soit X une compactification lisse d'un groupe algébrique linéaire connexe sur
un corps k. Le groupe de Chow des zéro-cycles de degré zéro est un groupe de torsion, d'exposant fini.
Si k est un corps p-adique, on montre que la partie première à p de
ce groupe est finie.
17h30-18h30
Joost Van Hamel
Arithmétique et homologie pseudo-motivique des groupes linéaires et de leurs torseurs (travaux en cours avec
Mikhail BOROVOI)
Dans le calcul de l'homologie pseudo-motivique d'un groupe linéaire G (sur un corps de caractéristique zéro
quelconque) on retrouve le complexe de tores utilisé pour définir la cohomologie galoisienne abélianisée de G.
Ceci donne un nouveau point de vue sur les résultats de Sansuc sur l'obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse
et à l'approximation faible pour les compactifications des torseurs sous les groupes linéaires sur les corps de nombres.
On obtient aussi une construction facile de l'homomorphisme des points rationnels de G modulo R-équivalence
dans la cohomologie galoisienne en degré un du tore de Néron-Severi d'une compactification.
Vendredi 12 décembre 2003
17h30
David Bourqui (Grenoble)
Constante de Peyre des variétés toriques en caractéristique positive
Nous étudions la fonction zêta des hauteurs anticanonique d'une variété
torique définie sur un corps global de caractéristique non
nulle, nous inspirant de la méthode de Batyrev et Tschinkel en
caractéristique zéro, basée notamment sur des techniques d'analyse
harmonique. Nous expliquons en particulier pourquoi la comparaison
entre le terme principal de cette fonction zêta et son interprétation
conjoncturale donnée par Peyre est rendue plus délicate dans notre
situation.
16h
Marc Hindry (Paris 7)
Fibrations et conjecture de Tate pour les diviseurs
Il s'agit d'un travail en commun avec A. Pacheco puis avec R. Wazir. Nous décrivons le comportement du rang du groupe de
Mordell-Weil de la variété de Picard de la fibre générique d'une fibration en termes de contributions locales données par des
moyennes de traces de Frobenius agissant sur les fibres. Les énoncés fournissent une réinterprétation de la conjecture
de Tate (pour les diviseurs) et généralisent des résultats antérieurs de Nagao, Rosen-Silverman et des auteurs.
samedi 22 novembre 2003
11h-12h
David MADORE (Université Paris-Sud)
Approximation faible aux places de bonne réduction sur les
surfaces cubiques sur les corps de fonctions
Soit K le corps des
fonctions d'une courbe sur un corps algébriquement clos de
caractéristique 0, et X une surface cubique projective lisse sur
K. Nous prouvons un résultat d'approximation faible des points de
X(K) aux places de K où X a bonne réduction.
9h30-10h30
David HARARI (C.N.R.S., Ecole Normale Supérieure)
Descente non-abélienne et points rationnels
sur les surfaces d'Enriques
On présente ici un travail commun avec A. Skorobogatov. Dans une
première partie, on expliquera comment on peut dans certains cas
composer deux torseurs Z -> Y et Y -> X pour en obtenir un troisième
Z -> X. Dans une deuxième partie, on appliquera cette construction quand
X est une surface d'Enriques pour obtenir des exemples ou le groupe
structural du torseur Z -> X est non-abélien. Cela permet d'obtenir
des surfaces d'Enriques pour lesquelles l'obstruction de Brauer-Manin
à l'approximation faible n'est pas la seule.
vendredi 21 novembre 2003
17h30-18h30
Olivier WITTENBERG (Université Paris-Sud)
Le problème du support pour les variétés abéliennes (d'après Larsen)
On exposera la démonstration du théorème suivant, dû à Larsen.
Soit A une variété abélienne sur un corps de nombres. Si P et
Q sont deux points rationnels de A tels que l'ordre de la
réduction de Q modulo p divise celui de la réduction
de P modulo p pour presque tout premier p,
il existe un endomorphisme de A envoyant P sur un multiple non nul
de Q. Ceci répond à une question de Corrales et Schoof.
15h30-17h
Sir Peter SWINNERTON-DYER (Cambridge)
2-descents on elliptic curves
The classical theory of 2-descent on elliptic curves of the
form Y2=(X-c1)(X-c2)(X-c3)
was considerably enhanced by Colliot-Thélène, Skorobogatov and me; in particular we proved a
hitherto unsuspected symmetry property. In this seminar I shall report
on joint work with Skorobogatov, in which we further improve these methods
and extend them to arbitrary elliptic curves. Applications include
results on the effect of twisting on the 2-Selmer group.
Samedi 18 octobre 2003
A 9h30 et 11h :
Philippe GILLE (CNRS, Orsay)
Conjecture de Bloch-Kato et cohomologie l-adique
Nous proposons une démonstration l-adique du théorème suivant de Suslin-Voevodsky.
Soient k un corps, l un premier inversible dans k et q un entier positif. Alors les
assertions suivantes sont équivalentes :
a) Le groupe Hq(F,Ql/Zl(q)) est divisible
pour tout corps F/k.
b) Pour toute extension de corps F/k, le symbole galoisien h: KMq(F)/l
-> Hq(F,\mul\otimes q) est bijectif.
c) Pour toute extension de corps F/k, le symbole galoisien h:
KMq(F)/l -> Hq(F,\mul\otimes q}) est
surjectif.
Vendredi 17 octobre 2003
16h-17h
Umberto ZANNIER (Venise)
Local-global divisibility of rational points in some commutative algebraic groups
Let A be a commutative algebraic group defined over a number field k. We consider the following question:
Let r be a positive integer and let P \in A(k). Suppose that for all
but finitely many v \in M_k we have P=rD_v for some D_v \in A(k_v).
Can we conclude that P=rD for some D \in A(k)?
The case A=G_m is classical; we study other instances and in particular we obtain an affirmative answer when
r is a prime and A is either an elliptic curve or a torus of "small" dimension (with respect to r)
or when r is a power of a prime >163 and A is an elliptic curve over Q. We also construct
counterexamples for primes r and tori of large dimension and for elliptic curves over Q and
r=4. All of this is joint work with R. Dvornicich.
17h30-18h30
J.-L. COLLIOT-THELENE (CNRS, Orsay)
Approximation faible pour les intersections de
quadriques en beaucoup de variables (d'après IM et LARSEN)
Soit X \subset Pnk une intersection
complète de quadriques sur le corps de nombres k. Dans un article récent, B-H. Im et M. Larsen
donnent des conditions suffisantes sur les quadriques de Pnk contenant X, vues sur
les divers complétés de k aux places archimédiennes, qui permettent d'établir
l'existence de points rationnels sur X, et mêle;me mieux : l'approximation faible (par rapport à
tout ensemble fini de places de k) vaut alors pour les points rationnels de X.
Vendredi 13 juin 2003
15h-16h30
Olivier Debarrre
Connexité rationnelle et sections d'une famille au-dessus de courbes,
d'après Graber, Harris, Mazur et Starr
Une variété complexe est dite rationnellement connexe si deux points généraux sont
sur une courbe rationnelle
contenue dans la variété. Graber, Harris et Starr ont montré qu'une
famille de variétés complexes rationnellement connexes au-dessus d'une
courbe a toujours une section. Il s'agit ici de donner une "réciproque"
à cet énoncé; plus exactement, les auteurs montrent que pour que la
restriction d'une famille propre f : X -> B de variétés à une
courbe très générale de B (par exemple, lorsque B est normal et
quasi-projectif, à une section linéaire très générale dans un
plongement suffisamment ample de B) ait une section, il faut et il
suffit que X contienne une sous-variété Z telle que la fibre
générale de la restriction de f à Z soit rationnellement
connexe.
17h-18h
Guillaume Lafon
Un exemple de surface d'Enriques sans point sur C((t))
Graber, Harris et Starr ont établi l'existence d'une
famille de surfaces d'Enriques f : X -> B, au-dessus d'une courbe
convenable et non explicite B, pour laquelle f n'admet pas de section.
Nous donnons un exemple explicite de telle famille au-dessus de la
droite projective. L'argument est local : on établit qu'il n'y a pas
de section au-dessus du complété de l'anneau local d'un point de la
droite.
Samedi 24 mai 2003
11h-12h
Antoine Ducros (Université de Rennes)
Parties semi-algébriques d'une variété algébrique p-adique
Il est bien connu que si phi : X -> Y est une flèche entre deux R-variétés algébriques affines
alors l'image par phi de toute partie semi-algébrique de X(R) (c'est-à-dire définie par une combinaison
booléennes d'inégalités entre fonctions sur X) est une partie semi-algébrique de Y(R),
et que toute partie semi-algébrique de X(R) a un nombre fini
de composantes connexes, elles-mêmes semi-algébriques. Le but de cet
exposé est d'énoncer et prouver des résultats analogues sur un
corps k complet pour une valeur absolue ultramétrique. Le cadre de
travail sera la théorie de Berkovich, qui a l'avantage de fournir des
espaces localement connexes par arcs.
9h30-10h30
Peter O'Sullivan (I.H.E.S.)
Principal bundles with reductive structure group on schemes over a field of characteristic zero
Let k be a field of characteristic 0, let X be a k-scheme with algebra of global sections k,
and let x be a k-point of X. Then in a suitable sense there is a universal pair (G,P) consisting
of a proreductive k-group G and a principal G-bundle P trivial above x. When X is a
smooth curve of genus 0 or 1, G
can be described explicitly. As a result, a classification of principal
bundles with reductive structure group over such curves is obtained.
Vendredi 23 mai 2003
17h30-18h30
Bruno Kahn (C.N.R.S., Université de Paris 7)
Motifs birationnels purs
On introduira les motifs de Chow birationnels et leurs variantes pour d'autres relations d'équivalence adéquates; une
application au nombre de points modulo q sur Fq sera donnée. Si le temps le permet, on donnera
un aperçu de la théorie triangulée
16h-17h
R. Sujatha (T.I.F.R. Mumbai et M.P.I. Bonn)
Birational and stable birational categories
We outline the construction of certain categories with the view towards studying stable birational invariants on
smooth varieties as functors on these categories. We shall explain how these categories fit in the larger framework of the
category of birational motives.
Vendredi 25 avril 2003
17h30-18h30
C. WALTER (Univ. Nice)
Groupes de Witt de quadriques
On utilise des hélices et des équivalences de catégories
dérivées pour calculer les groupes de Witt d'une quadrique projective
lisse Q sur un corps de base k. Le morphisme naturel W(k)
-> W(Q) est surjectif si dim(Q) n'est pas un multiple de
4, et son noyau est l'image du morphisme d'oubli W(C0(Q))
-> W(k) des modules hermitiens sur l'algèbre de Clifford
paire. Ce noyau diffère souvent du noyau du morphisme composé
W(k) -> W(Q)-> Wnr(Q) vers
le groupe de Witt non ramifié.
16h-17h
B. TOTARO (Univ. Cambridge)
The Witt group of quadratic forms on a variety, and its relation to Chow
groups mod 2}
We exhibit a smooth complex affine 5-fold whose Witt group of quadratic forms
does not inject into the Witt group of the quotient
field. The dimension 5 is the smallest possible. The example depends on relating
Witt groups, mod 2 Chow groups, and Steenrod operations, based on the work of
Balmer, Walter, and Pardon.
14h30-15h30
D. SALTMAN (Univ. of Texas at Austin et Univ. cath. de Louvain-la-Neuve)
Field Invariants of the Trialitarian group
The connected component of the projective orthogonal group PO8+
has the unusual automorphism group S3 and so one can form the trialitarian
group T = PO8+ \rtimes S 3.
Associated to this group are so called trialitarian algebras, whose basic properties
are a bit mysterious. Knus and Parimala began the study of the birational invariants
F(V)T of this group, showing they form the base field
of a so called generic trialitarian algebra. We begin by writing F(V)T
as the multiplicative invariants of the Weyl group G = ((Z/2Z)4
\rtimes S4)
\rtimes S3 with respect to a certain lattice YT, and show how this
lattice codifies properties of trialitarian algebras. Along the way we show
how lattices codify properties of components of trialitarian algebras, including
central simple algebras and involutions.
Vendredi 14 mars 2003
17h30-18h30
W. RASKIND (University of Southern California et CNRS, Université Paris-Sud)
Gerbes et descente sur les surfaces simplement connexes (travail en commun avec
V. Scharaschkin)
Soit X une surface projective, lisse, géométriquement
simplement connexe sur un corps de nombres k. Nous proposons une
généralisation de la théorie de la descente de Colliot-Thélène
et Sansuc au cas où X est à genre géométrique
non nul. Nous en déduisons une partition, conjecturalement finie, de
l'ensemble des points rationnels de X, chaque ensemble de la partition
étant "couvert" par les points rationnels d'une gerbe. La théorie
de la descente essaie de décrire la géométrie et l'arithmétique
de ces gerbes et de les relier avec l'obstruction de Manin au principe de Hasse
et à l'approximation faible.
16h-17h
P. GILLE (CNRS, Université Paris-Sud)
Spécialisation de la R-équivalence pour les groupes algébriques
linéaires
Soit G/k un groupe algébrique linéaire connexe défini
sur un corps k de carac\-téristique nulle. Alors la flèche
naturelle G(k)/R -> G(k((t)))/R
est un isomorphisme, c'est-à-dire que les groupes de R-équivalence
sont les mêmes pour k et k((t)).
14h30-15h30
J.-L. COLLIOT-THÉLÈNE (CNRS, Université Paris-Sud)
Spécialisation des zéro-cycles (d'après J. Koll'ar)
Soit S le spectre d'un anneau de valuation discrète hensélien
et X un S-schéma propre et lisse à fibre spéciale
séparablement rationnellement connexe. La spécialisation de la
fibre générique à la fibre spéciale induit un isomorphisme
sur les classes de points rationnels modulo la R-équivalence,
et elle induit un isomorphisme sur les groupes de Chow de zéro-cycles.
vendredi 7 février 2003
17h30-18h30
David HARARI (C.N.R.S. et E.N.S. Paris)
Compte-rendu de la conférence "Rational Points on Higher Dimensional
Varieties"
On fera le bilan des nouveaux résultats et problèmes ouverts
abordés lors de la conférence de Palo Alto, en particulier autour
des sujets suivants : points de hauteur bornée, méthode du cercle,
obstruction de Brauer-Manin, arithmétique des variétés
rationnellement connexes sur un corps de nombres ou de fonctions.
16h-17h
David MADORE (Université Paris-Sud)
Surfaces cubiques et corps de dimension cohomologique un
On donne un exemple de surface cubique sans point rationnel sur un corps de
dimension cohomologique un (travail en commun avec J.-L. Colliot-Thélène).
14h30-15h30
Tamas SZAMUELY (Institut Rényi, Budapest, et Univ. Paris-Sud)
Théorème de dualité globale pour les 1-motifs
Cet exposé fait suite à celui de David Harari en décembre,
qui traitait le cas local. On présente un résultat qui généralise
la dualité de Tate globale pour les variétés abéliennes
et des résultats de Kottwitz sur les tores.
Vendredi 24 janvier 2002
17h30-18h30
Wayne Raskind (University of South California et Université de Paris-Sud)
Cycles sur les variétés définies sur un corps de degré
de transcendance un (d'après Green, Griffiths, Paranjape)
Soit X une surface algébrique, projective et lisse sur un corps
algébriquement clos k de caractéristique nulle. Soit A0(X)
le groupe des 0-cycles de degré 0 modulo l'équivalence rationnelle.
Supposons que le degré de transcendance de k sur Q est
au moins 2. On sait (Mumford, Roitman, Bloch) que si X possède
une 2-forme
holomorphe non-nulle, alors l'application d'Albanese A0(X)->
Alb(X) n'est pas injective. Si le degré de transcendance de k
sur Q est 1, Schoen en 1985 a donné des exemples où l'application
d'Albanese n'est pas injective. Après avoir résumé le travail
de Schoen, on expliquera le résultat général qui vient
d'être obtenu par Green, Griffiths et Paranjape.
16h-17h
Yves André (C.N.R.S.- E.N.S.)
Cycles de Tate sur les variétés abéliennes sur les
corps finis
La conjecture de Tate pour les variétés abéliennes sur
les corps finis a été prouvée par Tate dès 1966
dans le cas de H2, mais reste ouverte en degré supérieur.
Nous expliquerons l'énoncé et la preuve d'une variante affaiblie
de cette conjecture, qui décrit néanmoins tout cycle de Tate "en
termes de" cycles algébriques. Cette variante s'applique aussi bien
aux produits de surfaces K3, de cubiques dans P5, etc...
sur les corps finis.
14h30-15h30
Philippe Gille (C.N.R.S.- Université de Paris-Sud)
Torseurs sur la droite projective (d'après Mehta-Subramanian)
Nous présentons une preuve synthétique de la classification des
torseurs sur la droite projective sous un groupe réductif G défini
sur un corps quelconque, qui est fondée sur la filtration d'Harder-Narasimhan.
vendredi 6 décembre 2002
à 17h40
David Harari (C.N.R.S.-E.N.S.)
Dualité locale pour les 1-motifs
Soit K un corps p-adique. Dans un travail commun avec T. Szamuely, nous
établissons un théorème de dualité pour la cohomologie
galoisienne des 1-motifs sur K. Ce résultat englobe en particulier
la dualité locale de Tate pour les variétés abéliennes,
et de Tate-Nakayama pour les tores.
à 16h10
Alexander Schmidt (Université de Heidelberg)
Tame class field theory of arithmetic schemes
The talk explains recent progress in generalizing the unramified class field
theory for arithmetic schemes of K. Kato and S. Saito to the relative case.
We describe the abelianized tame (w.r.t. a divisor) fundamental group using the
relative Chow group of zero-cycles.
à 14h40
Baptiste Calmès (Université de Paris 7)
SK2 d'une algèbre de biquaternions et cohomologie
galoisienne
Lorsque q est une forme quadratique d'Albert sur un espace vectoriel sur
un corps F, D est l'algèbre de biquaternions associée
à q et F(q) est le corps des fonctions de la quadrique projective
d'équation q=0, Rost a décrit un isomorphisme entre SK1D
et le noyau de l'extension des scalaires du groupe de cohomologie galoisienne
H4(F,Z/2) au groupe H4(F(q),Z/2).
Nous décrirons un morphisme analogue à celui-ci entre le groupe
SK2D et le groupe H5(F,Z/2).
vendredi 22 novembre 2002
à 17 h 30
E. Peyre
Cohomologie non ramifiée et problème de Noether
Si G est un groupe et W une représentation fidèle
de G sur C, le groupe G agit sur le corps C(W)
et on s'intéresse à la rationalité du corps des fonctions
invariantes C(W)G. Saltman et Bogomolov ont
obtenu des exemples où ce corps n'est pas rationnel en utilisant comme
invariant le groupe de Brauer non ramifié. Le but de cet exposé
est de décrire une méthode pour construire des exemples de groupes
G pour lesquels ce groupe de Brauer non ramifié est nul, mais
le groupe de cohomologie non ramifiée de degré trois est non nul.
En particulier, un tel corps n'est pas stablement rationnel sur C.
à 16 h
N. Karpenko
Dimension essentielle des quadriques
Soit X/F une quadrique projective anisotrope. La dimension essentielle
de X, définie par Oleg Izhboldin, est esdim(X) = dim(X)
- i(X)+1, où i(X) est le premier indice de Witt
de X. Soit Y/F une variété complète (éventuellement
singulière) dont tous les points fermés sont de degrés
pairs et telle que Y a un
k(X)-point de degré impair. Le résultat principal
est que esdim(X)< dim(Y); de plus, si esdim(X)=
dim(Y), alors la quadrique X devient isotrope sur k(Y)
(travail en commun avec A. Merkurjev).
Samedi 26 octobre 2002
à 9h30-10h30
Olivier Wittenberg (ENS Ulm)
La conjecture de Tate pour certaines surfaces K3 sur un corps fini, d'après
Artin et Swinnerton-Dyer
On exposera les grandes lignes de la démonstration d'Artin et Swinnerton-Dyer
(1973) de la conjecture de Tate pour les surfaces K3 admettant un pinceau de
courbes elliptiques.
Samedi 26 octobre 2002
à 11h-12h
Hélène Esnault (Université d'Essen)
Groupes de Chow et points rationnels de variétées projectives
déefinies sur un corps fini
Nous montrerons comment le théorème géométrique
de Campana et Kollar-Miyaoka-Mori sur la connectivité rationnelle par
chaînes en car. p et la décomposition de la diagonale introduite
par S. Bloch impliquent l'existence de points rationnels.
Vendredi 25 octobre 2002
Bruno Kahn (CNRS, Université Paris 7)
à 16h-16h50
Equivalences rationnelle et numérique sur certaines variétés
abéliennes sur un corps fini, I
à 17h10-18h
Equivalences rationnelle et numérique sur certaines variétés
abéliennes sur un corps fini, II
Nous démontrons que l'équivalence rationnelle et l'équivalence
numérique coïncident sur certaines variétés abéliennes
(ou plus généralement sur certaines variétés projectives
lisses "de type abélien") sur un corps fini, par exemple sur
un produit de courbes elliptiques. Ceci est la première confirmation
d'une conjecture générale de Beilinson au-delà de la codimension
1. Nous en tirons quelques conséquences : conjectures de Lichtenbaum
sur les valeurs spéciales de la fonction zêta d'une telle variété
aux entiers positifs, génération finie du deuxième groupe
de Chow, conjecture de Beilinson-Soulé pour certains corps de fonctions...
Vendredi 7 juin 2002
à 17h30-18h30
J.-L. Colliot-Thélène (CNRS, Université de Paris-Sud)
Exposant et indice des algèbres simples centrales sur un corps de
fonctions de deux variables, d'après J. A. de Jong
Soit K le corps des fonctions d'une surface définie sur un corps
algébriquement clos. De Jong vient de montrer que pour toute algèbre
simple centrale A sur K, d'exposant premier à la caractéristique,
l'indice de A coïncide avec l'exposant de la classe de A
dans le groupe de Brauer de K. On exposera les grandes lignes de sa démonstration.
Vendredi 7 juin 2002
à 16h-17h
David Harari (CNRS, Ecole Normale Supérieure)
Compactification équivariante d'un tore
Soient k un corps et T un k-tore algébrique. Dans
un travail en collaboration avec J.-L. Colliot-Thélène et A. N.
Skorobogatov, nous reprenons des idées de Brylinski et Künnemann
pour établir l'existence d'une compactification équivariante lisse
de T.
Vendredi 7 juin 2002
à 14h30-15h30
Timothy Browning (Réseau AAG, Université de Paris-Sud)
Counting rational points on blow-ups of P2 along
four points
Among some of the more recent verifications of Manin's conjecture for the asymptotic
distribution of rational points on open subsets of Fano varieties, is the treatment
of split del Pezzo surfaces V of degree 5, by de la Bretèche.
The technique of passing to the universal torsor above V - as initiated
by Salberger and Peyre in this context - is a fundamental step in the proof.
We discuss limitations of the method for blow-ups of the plane P2
along points defined over more general number fields, although we show that
it can still be used to give reasonable evidence for the above conjecture in
an array of cases.
Vendredi 26 avril 2002
à 17h30
Antoine CHAMBERT-LOIR (Ecole polytechnique)
Points rationnels des variétés de Fano sur les corps finis
[d'après M. Kim]
J'exposerai la démonstration d'un théorème réecent
de M. Kim selon lequel une variété de Fano (i.e. projective lisse,
de fibré
anticanonique ample) sur un corps fini possède un point rationnel. Cela
généralise le théorème classique de Chevalley-Warning
qui concerne le cas d'une hypersurface. La démonstration repose sur l'étude
des pentes de l'action de Frobenius sur la cohomologie cristalline de la variété
considérée, et sur un théorème d'annulation en cohomologie
de de Rham-Witt.
Vendredi 26 avril 2002
à 16 h
Janos KOLLAR (Institut Rényi Budapest, et Université de Princeton)
Rationally connected varieties over finite fields (joint work with Endre
Szabo)
We prove that if X is a separably rationally connected variety over
a finite field F of cardinal q and q is big enough (depending
only on the dimension of X and the degree of X under some embedding)
then through any two F-points of X there is a rational curve defined
over F. As a consequence we get that R-equivalence is trivial
for big enough q and the Chow group of zero cycles is trivial for any
q (Kato-Saito). Both results can be lifted to separably rationally connected
varieties over local fields with good reduction.
Samedi 9 mars 2002
à 11h
Jean-Pierre TIGNOL (Université de Louvain la Neuve)
Invariant de Rost sur les torseurs définis par un cocycle
central (travail en commun avec A. Merkurjev et R. Parimala)
Pour tout groupe algébrique absolument simple, simplement connexe
G
sur un corps F, Rost a défini un invariant des torseurs sous
G à valeurs dans le groupe de cohomologie H3(F,Q/Z(2)).
Le but de cet exposé est de donner une description explicite de
cet invariant pour les torseurs induits du centre de G, lorsque
G est de type An ou Dn. Comme
application, on montre que les multiplicateurs des similitudes unitaires
satisfont une relation qui fait intervenir l'algèbre discriminante.
Samedi 9 mars 2002
à 9h30
Claus SCHEIDERER (Université de Duisbourg)
Tori over function fields of p-adic curves
Let C be a connected, smooth, projective curve over a p-adic
field, and let K be its function field. Let T be a torus
over K. Applying duality results for the cohomology of tori over
open subcurves of C (obtained in joint work with van Hamel), we
relate the Galois cohomology of T over K to the Galois cohomology
of T over the completions of K in the closed points of C.
In the second part we sketch how the reciprocity law for H3(K,Q/Z(2))
can be used to define an obstruction to the existence of rational points,
or to weak approximation, for smooth rational K-varieties X
(which have points locally). This obstruction is the only one when X
is a K-torus, respectively a principal homogeneous space under a
K--torus.
Vendredi 8 mars 2002
à 17h30
Laurent MORET-BAILLY (Université de Rennes)
R-équivalence de torseurs: retour sur un théorème
de Gille
Soient G un groupe fini et K un corps local non
archimédien dont la caractéristique résiduelle ne
divise pas l'ordre de G. Selon un théorème récent
de Philippe Gille (J. Number Theory 91, 284-292(2001)), tout G-torseur
sur K est R-équivalent au torseur trivial. La preuve
utilise un dévissage galoisien et un calcul de cocycles. L'objet
de l'exposé est, en exprimant l'argument en termes géométriques
(en gros, les bitorseurs remplacent les cocycles), d'en préciser
le domaine de validité et les généralisations possibles.
Référence: prépublication IRMAR n° 02-05, disponible
sur http://www.maths.univ-rennes1.fr/~moret
Vendredi 8 mars 2002
à 16h
Frédéric CAMPANA (Université de Nancy)
Théorème de Tsen et fibrations en variétés
de Fano sur une courbe (en collaboration avec T. Peternell et A. Pukhlikov)
On montre qu'une fibration projective complexe sur une courbe a une
section si la fibre générique est une variété
de Fano de dimension 3. La démonstration repose sur la classification
des variétés de Fano de dimension 3 et des variantes du théorème
de Tsen.
Samedi 16 février 2002
à 11h
David HARARI (C.N.R.S.-E.N.S.)
Principe de Hasse pour certaines équations normiques
(travail commun avec J.-L. Colliot-Thélène et A.N. Skorobogatov)
Soient k un corps de nombres et K/k une extension finie
de corps. On considère l'équation P(t)=NK/k(z),
où P est un polynôme, z est une K-variable,
et
NK/k désigne la norme de K à
k.
Dans cet exposé, on étudie le groupe de Brauer d'un
modèle projectif et lisse de cette équation, et on
en déduit des applications arithmétiques qui généralisent
des résultats de Heath-Brown et Skorobogatov.
Samedi 16 février 2002
à 9h30
Olivier DEBARRE (Université de Strasbourg)
Familles de variétés rationnellement connexes en toute
caractéristique (d'après de Jong et Starr)
En caractéristique positive, ce n'est pas la connexité
rationnelle telle qu'elle est définie ci-dessus qui est la "bonne"
notion, mais plutôt
l'existence d'une courbe rationnelle très libre. On dit alors
que la variété est séparablement rationnellement
connexe. On expliquera la
démonstration du résultat suivant de de Jong-Starr (valable
sur tout corps algébriquement clos) : un morphisme propre d'une
variété normale sur une
courbe lisse dont les fibres générales sont séparablement
rationnellement connexes a une section. En d'autres termes, toute
variété définie sur un corps de fonctions, propre,
normale et séparablement rationnellement connexe, a un point rationnel
sur ce corps}. On en déduit par exemple qu'une variété
séparablement rationnellement connexe est algébriquement
simplement connexe.
Vendredi 15 février 2002, Salle W
à 17h30
David MADORE (Université d'Orsay)
R-équivalence sur les surfaces cubiques
Pour une variété X projective, lisse, géométriquement
rationnellement connexe, ayant bonne réduction, sur un corps
p-adique k, on s'intéresse notamment à
la question de savoir si le quotient X(k)/R des points
rationnels par la R-équivalence, est trivial. Le cas
d'étude le plus simple semble être celui des hypersurfaces
cubiques, pour lesquelles l'existence de nombreux automorphismes birationnels
permet de construire des familles de courbes rationnelles. Grâce
aux résultats de Swinnerton-Dyer qui traitent le cas des corps finis,
on est ramené à des arguments de déformation de la
R-équivalence.
Malheureusement, la nécessité de travailler avec des corps
résiduels infinis ne permet in fine
que d'obtenir une réponse
complète pour les groupes de Chow, c'est-à-dire de l'équivalence
rationnelle et non de la R-équivalence.
Vendredi 15 février 2002
à 16h :
Olivier DEBARRE (Université de Strasbourg)
Familles de variétés rationnellement connexes
complexes (d'après Graber et al.)
Une variété définie sur un corps algébriquement
clos non dénombrable est rationnellement connexe si deux
points généraux peuvent être reliés par
une courbe rationnelle. Si la variété est lisse, c'est
équivalent à l'existence d'une courbe rationnelle "très
libre", c'est-à-dire dont le fibré normal est ample.
On expliquera la démonstration du résultat suivant de Graber-Harris-Starr
: un morphisme propre d'une variété complexe sur une courbe
lisse dont les fibres générales sont rationnellement connexes
a une section. En d'autres termes, toute variété
définie sur un corps de fonctions complexe, propre et rationnellement
connexe, a un point rationnel sur ce corps.
Samedi 12 janvier 2002
9h30
Anne QUÉGUINER-MATHIEU (Université Paris 13)
Algèbres de Clifford et algèbre discriminante
Soit (A,\sigma) une algèbre centrale simple munie d'une involution
de type orthogonal. Si A contient un élément anti-symétrique
de carré central, son centralisateur est muni d'une involution de
type unitaire. Dans un travail commun avec Jean-Pierre Tignol, on montre
que l'algèbre discriminante de l'involution unitaire est alors un
"facteur direct" de l'algèbre de Clifford de l'involution orthogonale.
Au cours de cet exposé, je présenterai une nouvelle preuve
de ces résultats, due à un travail commun avec Skip Garibaldi,
qui utilise les représentations des groupes algébriques.
11h
Thomas UNGER (Université de Dublin)
Hasse principles for algebras with involution: a survey
The connection between orthogonal involutions and quadratic forms has
lately been a motivation for extending results from the algebraic theory
of quadratic forms to the realm of central simple algebras with involution.
For example, the classical invariants of quadratic forms have been defined
for algebras with involution and classification theorems à la Elman
and Lam have been obtained by Lewis and Tignol. In this talk I will discuss
the extension of some well-known quadratic form theoretic Hasse principles
to the setting of algebras with involution.
Vendredi 11 janvier 2002
16h
Nikita KARPENKO (Université d'Artois)
Critères d'Izhboldin d'équivalence birationnelle stable
des quadriques projectives de dimension 7
On démontrera les résultats annoncés dans le §
4 de http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~oleg/iso789.dvi. Les
dimensions <6 seront aussi discutées ainsi que le reste de l'annonce
citée. L'ingrédient principal des démonstrations
est le calcul de certaines correspondances de Chow sur les quadriques.
17h30
Ahmed LAGHRIBI (Université de Louvains la Neuve)
Le déploiement des formes quadratiques en caractéristique
2
Cet exposé concerne la théorie générique
des formes quadratiques en caractéristique 2. En parallèle
à la caractéristique différente de 2, on commence
par établir certaines généralisations (le théorème
de la sous-forme, simplification de Witt, etc). Après cela, on applique
nos résultats pour étudier la tour de déploiement
générique d'une forme quadratique. D'autres résultats
et questions seront discutés.
Samedi 24 novembre 2002
9h30-10h30
Kirill ZAINOULLINE (Saint-Pétersbourg et I.H.E.S.)
The Purity problem for functors with transfers
The talk is devoted to the purity problem for functors endowed with
a structure of transfer map. Namely, let R be a local regular ring of geometric
type and let F be a covariant functor from the category of R-algebras to
abelian groups that has a structure of transfer map.
We prove that purity holds for the functor F. Applying this general
result to different examples of functors, we obtain new uniform proofs
of known results, as well as new versions of purity.
11h-12h
Grégory BERHUY et Marina MONSURRO (E.P.F. L., Lausanne)
Le discriminant d'une involution symplectique
Le but de cet exposé est d'étudier l'invariant de Rost
associé aux groupes symplectiques, que nous appelons discriminant.
Nous montrons comment écrire cet invariant en termes de formes
trace restreintes, et comment sa trivialité nous donne un critère
de décomposabilité pour une algèbre à involution
symplectique. Finalement, en utilisant le discriminant, nous construisons
un exemple d'un groupe symplectique d'indice pair qui n'est pas R-trivial.
Vendredi 23 novembre 2002
16h-17h
Jean-Pierre SERRE (Collège de France)
Torsion homologique et sections rationnelles, d'après A. Grothendieck
Référence : A. Grothendieck, Séminaire Chevalley,
ENS 1958, exposé 5
17h30-18h30
Philippe GILLE (C.N.R.S., Orsay)
Torsion de E8, d'après B. Totaro
On montre que tout groupe de type E8 défini sur un
corps k se déploie sur une extension séparable finie
de degré divisant 26.32.5. Ceci améliore
la borne 29.33.5 de Tits et on s'attend à
ce que le degré 26.32.5 soit optimal.
Samedi 13 octobre 2001,
9h30-10h30
Sir Peter SWINNERTON-DYER (Cambridge)
Rational points on certain Kummer surfaces
Most of this seminar represents joint work with Alexei Skorobogatov.
Let E1,E2 be elliptic curves defined over an algebraic
number field k, and let Fi:yi2=fi(xi)
with fi quartic be a 2-covering of Ei. Then V:y2=f1(x1)f2(x2)
is
a Kummer surface associated with the Abelian surface E1 x E2.
In the special case when E1 and E2 have all their
2-division points defined over k, I shall show that the Hasse Principle
holds for V provided that
(i) the Tate-Safarevi\v{c} groups of all the twists of E1
and E2 are finite,
(ii) a certain rather weak technical condition holds.
Here (i) is necessitated by the method of proof, but it is generally
believed to be true; (ii) can be shown to be strictly stronger than the
true necessary and sufficient condition, which is conjectured to be the
absence of a Brauer-Manin obstruction. Note that Schinzel's Hypothesis
does not appear. The methods used have much in common with those used for
diagonal cubic surfaces a0X03+a1X13+a2X23+a3X33=0
but some stages of the argument for the latter are much more complicated.
Comparisons will be made between the two.
11h-12H
David HARARI (CNRS, École Normale Supérieure)
Torseurs sur une variété ouverte
Soient X une variété projective et lisse sur un corps
de nombres k et U un ouvert de Zariski de X. Soit Y un U-torseur sous un
k-groupe fini commutatif S. Pour les complétés kv
de k, on étudie l'image de l'application d'évaluation U(kv)
-> H1(kv,S) associée à Y. On en déduit
dans certains cas la densité de l'ensemble de Brauer-Manin de U
dans celui de X.
Vendredi 12 octobre 2001
16h-17h
Ofer GABBER (CNRS, IHES)
A presentation lemma and rationally trivial torsors on varieties
over finite fields
We discuss how to prove, over finite fields, the following statement
: If X is a smooth affine variety over k, G a reductive k-group
scheme and P a rationally trivial G-torsor on X, then P is trivial
over every semi-local ring of X.
17h30-18h30
Bruno KAHN (CNRS, Institut de Mathématiques de Jussieu)
Cohomologie étale de variétés sur Fp
et Qp
On montre la finitude de Hiet(X,(Q/Z)'(n)) pour
X schéma de type fini sur Fp ou Qp,
où (Q/Z)'(n) est la somme, pour l différent de p, des Ql/Zl(n),
pour certaines valeurs du couple (i,n). Dans le cas où X est
projective lisse sur un corps p-adique K, on en déduit l'annulation
de H0(K,Hi(\bar X,Ql(n))) pour certaines
valeurs de (i,n) (l différent de p). Cela démontre une partie
d'une conjecture de Jannsen, mais le domaine d'annulation obtenu n'est
pas inclus dans celui conjecturé par Jannsen. Par ailleurs, la conjecture
de Jannsen ne prédit aucune autre annulation des groupes Hi(X,Ql(n))
que celles que nous obtenons.
Vendredi 15 juin 2001
17h-18h20
Alexei SKOROBOGATOV (Londres)
Une combinaison de la descente avec la m\'ethode du cercle
dans l'étude des points rationnels
La méthode du cercle de Hardy-Littlewood et la méthode
de la descente sont deux techniques classiques dans l'étude des
points rationnels des variétés algébriques. Chacune
a ses limites. Dans l'exposé, portant sur un travail commun avec
R. Heath-Brown, on montre comment la méthode du cercle s'applique
aux torseurs universels attachés aux varétés d'équation
tn.(1-t)m=N(x1,...,xd),
où N est la forme homogène de degré d
d\'efinie par la norme d'une extension de degré d du corps
des rationnels.
Vendredi 15 juin 2001
15h30-16h30
Bjorn POONEN (Berkeley)
Bertini theorems over finite fields
One form of Bertini's theorem states that if X is a smooth projective
variety of dimension m in projective space Pn over an
infinite field k, then there exists a hyperplane H defined
over k such that the intersection of X and H is smooth
of dimension m-1. This can fail if k is finite.
Katz asked whether the statement would remain true if "hyperplane" were
changed to "hypersurface". We give an affirmative answer. In
fact, as d tends to infinity, the fraction of hypersurfaces of degree
d
that are good tends to a positive number related to a special value of
the zeta function of X.
A generalization of our result answers another question
of Katz, about "space filling curves" : if X is a smooth projective
variety of dimension m>1 over a finite field k, does there
exist a smooth
projective curve Y over k in X with Y(k)=X(k)
?
Samedi 19 mai 2001
11h-12h
R. PARIMALA (TIFR, Mumbai)
Torsors under linear algebraic groups over two dimensional henselian
fields
Let A be an integral, henselian local ring, with algebraically closed
residue field. Let
K be the field of fractions of A. An example is the field K=C((x,y)).
In joint work with Colliot-Thélène and Ojanguren, we
have studied central simple algebras and quadratic forms over such a field
K. That work will be reviewed. Natural extensions of the results to homogeneous
spaces under arbitrary linear algebraic groups will be discussed.
Samedi 19 mai 2001
9h30-10h30
Joost van HAMEL (Sydney)
Théorèmes de dualité pour les tores sur les courbes
p-adiques
Un résultat bien connu de Lichtenbaum dit que le groupe de Picard
d'une courbe projective lisse sur une extension finie du corps des nombres
p-adiques est dual du groupe de Brauer de la courbe. J'exposerai une généralisation
de cette dualité à la cohomologie d'une courbe non nécessairement
projective, à coefficients dans un tore arbitraire. (Travail commun
avec C. Scheiderer)
Vendredi 18 mai 2001
17h-18h
Joost van HAMEL (Sydney)
Homologie pseudo-motivique, dualité de Tate-Lichtenbaum et
zéro-cycles sur les corps locaux
L'homologie pseudo-motivique est une théorie d'homologie pour
les variétés algébriques que j'ai construite pour
donner un bon cadre à l'accouplement entre les zéro-cycles
et le groupe
de Brauer sur un corps local. Je donnerai sa d\'efinition et
ses principales propriétés, et je discuterai comment l'obstruction
de Brauer-Manin au principe local-global pour les classes de zéro-cycles
s'interprète de ce point de vue.
Vendredi 18 mai 2001
15h30-16h30
Louis MAHÉ (Rennes)
Variations sur le théorème de Cassels, Ellison et Pfister
(sommes de carrés et courbes elliptiques)
Cassels, Ellison et Pfister ont démontré que le polynôme
de Motzkin, qui par ailleurs n'est pas somme de carrés de polynômes,
n'est pas une somme de 3 carrés dans R(X,Y) (bien que
somme de 4 carrés de fractions rationnelles). La méthode
consiste à montrer qu'une certaine R(X)-courbe elliptique
n'a pas de R(X)-point rationnel d'un certain type. Utilisant des
variantes de leurs techniques, nous produisons des familles de polynômes
du type (Y2+a(X))(Y2+b(X)) qui sont sommes de 4 carrés
de polynômes, mais pas sommes de 3 carrés de fractions rationnelles.
(Collaboration avec O. Macé)
Samedi 28 avril 2001 :
9h15-10h15
Philippe GILLE (CNRS, Orsay)
L'invariant de Rost
Nous définissons l'invariant de Rost H1(k,G) -> H3(k,Q/Z(2))
selon Kahn-Esnault-Levine-Viehweg en utilisant la cohomologie étale
de poids 2 de Lichtenbaum. On décrira la fonctorialité par
changement de groupe, ainsi qu'une simplification d'un théorème
de Tits disant que les seuls sous-groupes connexes d'un groupe "générique"
de type E8 sont les tores maximaux.
10h30-11h30
Emmanuel PEYRE (Université de Grenoble 1)
Troisième groupe de cohomologie non ramifiée des espaces
classifiants des groupes simplement connexes (d'après Merkur'ev),
I
11h45-12h45
Antoine DUCROS (Université de Rennes 1)
Troisième groupe de cohomologie non ramifiée des espaces
classifiants des groupes simplement connexes (d'après Merkur'ev),
II
Résumé des deux exposés : Si G est un groupe
algébrique sur un corps F et \rho un plongement de G
dans SLn,F, on peut considérer le quotient
X\rho
de SLn,F par l'image de \rho. A isomorphisme stable près,
le corps de fonctions de X\rho ne dépend que de
G
et les groupes de cohomologie non ramifiée de F(X\rho)
sont donc indépendants du choix de \rho. Merkur'ev a récemment
donné une description explicite de ces groupes de cohomologie en
degré trois pour les groupes simples simplement connexes de type
classique.
L'objectif de ces deux exposés est de présenter la méthode
de Merkur'ev en l'illustrant par le cas des groupes de type
An.
Vendredi 27 avril 2001 à 15h30-16h30
Boas EREZ (Université de Bordeaux 1)
Invariants de formes bilinéaires symétriques sur les
schémas, I
à 17h-18h
Philippe CASSOU-NOGUÈS (Université de Bordeaux 1)
Invariants de formes bilinéaires symétriques sur les
schémas, II
Résumé des deux exposés : Nous passons en revue
les éléments de la théorie des formes bilinéaires
symétriques sur les schémas (sur lesquels 2 est inversible)
et nous rappelons comment définir des invariants pour de telles
formes, suivant Jardine. Puis nous indiquons comment étendre les
définitions au cadre des complexes bornés de faisceaux localement
libres symétriques en utilisant les récents travaux de Balmer
et Walter. Pour terminer nous montrons comment obtenir à l'aide
des notions introduites une généralisation de formules dues
à Serre et Esnault-Kahn-Viehweg calculant les invariants de la forme
trace attachée à un revêtement de schémas modérément
ramifié et à ramification impaire.
Samedi 24 février 2001 à 9h30-10h30
Philippe GILLE (CNRS, Orsay)
Courbes elliptiques de rang arbitrairement grand sur les corps de
fonctions
Nous exposons les exemples classiques (1967) de Tate et Shafarevich
de courbes elliptiques sur Fp(t) de rang arbitrairement
grand.
à 11h-12H
Philippe SATGÉ (Univ. de Caen)
Groupes de Tate-Shafarevich : exemples sur les courbes elliptiques
On fera le point sur les méthodes permettant de construire des
éléments de torsion 2-primaire ou 3-primaire dans le groupe
de Tate-Shafarevich d'une courbe elliptique. Que ce groupe puisse être
arbitrairement grand (sur Q) a été prouvé par
Cassels en 1964. C'est une conséquence relativement facile des propriétés
de l'accouplement de Cassels-Tate. On peut facilement imaginer une autre
approche pour prouver que ce groupe est arbitrairement grand : il suffit
de calculer les groupes de Selmer associés à deux isogénies
distinctes telles que l'une donne un petit groupe de Selmer, et l'autre
un grand. Curieusement, cette méthode, beaucoup plus élémentaire,
n'a été utilisée qu'assez récemment, avec des
isogénies de degré 2 et 4 (Cassels et Lemmermeyer), alors
qu'il est facile de la faire fonctionner avec des isogénies classiques
pour lesquelles le calcul du groupe de Selmer est facile (c'est le cas
des isogénies de degré 2 et 4 utilisées par Cassels
et Lemmermeyer, mais aussi de très classiques isogénies de
degré 3).
Vendredi 23 février 2001 à 15h30-16h30
David HARARI (CNRS, École Normale Supérieure)
Exemples de calculs de groupes de Tate-Shafarevitch (d'après
Poonen et Stoll)
Soit A une variété abélienne définie
sur un corps de nombres k. En utilisant plusieurs définitions
de l'accouplement de Cassels-Tate sur A, Poonen et Stoll ont construit
des exemples où cet accouplement n'est pas alterné. Ils ont
en particulier exhibé explicitement une jacobienne dont le cardinal
du groupe de Tate-Shafarevich n'est pas un carré. On exposera ici
quelques-uns de leurs résultats.
à 17h-18h15
Tom FISHER (Univ. de Cambridge, G.-B.)
On 5 and 7 descents for elliptic curves
We consider descent calculations for the families of elliptic curves
over
Q with a rational point of order 5 or 7. We exhibit explicit
elements of the Tate-Shafarevich group, and discuss how the Cassels-Tate
pairing may be used to improve our estimates for the Mordell-Weil rank.
Samedi 13 Janvier 2001 à 11h-12h
Philippe Gille (Orsay)
R-équivalence pour les G-torseurs sur
les corps locaux non archimédiens
Soient G un groupe fini et k un corps p-adique
avec
p ne divisant pas l'ordre de G. Si G\subset
GLn
est une représentation fidèle, la variété U=GLn/G
est verselle pour les G-torseurs sur Spec(k). Nous
démontrons que U(k) est trivial pour la R-équivalence.
13 Janvier 2001 à 9h30-10h30
David Madore (Orsay)
Groupes fondamentaux des variétés rationnellement connexes
(d'après Kollar)
Kollar a montré que si U est un ouvert d'une variété
projective lisse rationnellement connexe sur un corps algébriquement
clos (ou même simplement "large") de caractéristique 0, il
existe une courbe rationnelle tracée sur U qui induise une
surjection, sur le groupe fondamental de U, du groupe fondamental
d'un ouvert de la droite. Ce résultat est notamment utile pour construire
des revêtements dont on cherche à prescrire une fibre (comme
un torseur particulier). Nous en exposons les principes de la démonstration.
12 Janvier 2001 à 15h30-16h30 et 17h-18h
Emmanuel Peyre (Grenoble)
Cohomologie non ramifiée et groupes de Chow équivariants
Si G est un groupe fini et W une représentation
fidèle de G sur C, on note
C(W)G
le corps des fractions rationnelles invariantes sous l'action de G.
L'objet de cet exposé est le calcul du groupe de cohomologie non
ramifiée de degré trois de C(W)G
à coefficients dans
Q/Z. Le point-clef de ce calcul
est la détermination du noyau de l'application
H3(G,Q/Z) ->
H3(C(W)G,Q/Z)
qui est isomorphe au groupe de Chow équivariant du point CH2G(C).
Vendredi 8 décembre 2000 à 17h-18h
W. McCallum (Univ. Arizona et IHES)
L'accouplement de Cassels pour les courbes de Fermat
Soit p un nombre premier impair, soit F la courbe xp
+ yp = 1 et soit
Fs la courbe
yp
=
xs(1-x), 1 <s<p-2.
La courbe Fs est le quotient de F par un groupe
cyclique d'automorphismes. Soit \zetap une racine primitive
p-ième
de l'unité. La jacobienne
J de Fs a multiplication
complexe par Z[\zetap]. Je calcule l'accouplement
de Cassels sur la (1-\zetap)-torsion du groupe de Shafarevich-Tate
de J, et montre qu'il est nontrivial dans certains cas.
Vendredi 8 décembre 2000 à 15h30-16h30
David Harari (ENS)
L'accouplement de Cassels-Tate, méthodes de calculs, d'après
Poonen et Stoll
Samedi 2 décembre 2000 à 11h15-12h15
Emmanuelle Frossard (Caen)
Obstruction de Brauer-Manin pour les fibrations en variétés
de Severi-Brauer
Soient k un corps de nombres, C/k une courbe lisse
de genre quelconque, telle que le groupe de Tate-Shafarevitch de la jacobienne
de C est fini, et soit \pi:X -> C une fibration en
variétés de Severi-Brauer d'indice n sans facteur
carré. Nous montrons que l'obstruction de Brauer-Manin à
l'existence d'un zéro-cycle de degré 1 sur X est la
seule sous l'hypothèse que k est totalement imaginaire
ou que l'indice n est impair. Sous les mêmes hypothèses,
nous montrons que si un élément du produit des groupes
A0(Xv)
(sur toutes les places
v de k) est dans le noyau de l'accouplement
naturel avec le groupe de Brauer Br X, il provient, modulo n'importe
quel entier, de l'image diagonale du groupe A0(X).
Samedi 2 décembre 2000 à 9h30-10h45
Jean Louis Colliot-Thélène (Orsay)
Points rationnels des surfaces cubiques diagonales (d'après
Swin-nerton-Dyer)
Ces dernières années, Swinnerton-Dyer a développé,
en partie en collaboration avec d'autres auteurs, une méthode pour
établir l'existence de (beaucoup de) points rationnels sur certaines
variétés fibrées en courbes de genre un. Jusqu'à
présent, on n'obtenait de résultats qu'en acceptant deux
difficiles conjectures : la finitude des groupes de Tate-Shafarevich des
courbes elliptiques et l'hypothèse dite de Schinzel (généralisation
des nombres premiers jumeaux). Pour les surfaces cubiques diagonales
ax3+by3+cz3+dt3=0
sur le corps Q des rationnels, Swinnerton-Dyer obtient maintenant
un résultat très satisfaisant sous la seule hypothèse
de finitude des groupes de Tate-Shafarevich. Par exemple, sous cette hypothèse,
son résultat implique le principe de Hasse pour les hypersurfaces
cubiques diagonales
ax3+by3+cz3+dt3+ew3=0
sur Q. Je décrirai les principales étapes de la démonstration.
Vendredi 1er décembre 2000 à 17h-18h20
Roger Heath-Brown (Oxford)
The density of rational points on curves and surfaces
Let F(x1,...,xn) be an irreducible,
with rational coefficients. We wish to estimate, from above, the number
of integer solutions of F=0, in the cube max |xi|
<B;
or equivalently to estimate the number of rational points of height at
most B on the corresponding hypersurface. The talk will describe
a new approach which improves on most previous results for curves and surfaces.
The majority of the talk will describe the results, but the key estimate
for curves is sufficiently easy that the proof will be included.
Vendredi 1er décembre 2000 à 15h30-16h30
Régis de la Bretèche (Orsay-E.N.S.)
Nombre de points de hauteur bornée sur les surfaces de Del
Pezzo de degré 5
Nous établissons la conjecture de Manin dans le cas particulier
des surfaces de Del Pezzo déployées de degré 5. Autrement
dit, nous montrons que, pour un ouvert U d'une telle surface V,
on a
NU(B):=card {P\in U :
h(P)
<B}
~ CB(log B)4 (B
--> +\infty).
La constante C est conforme à l'expression conjecturée
par Peyre.
samedi 21 octobre à 9h30-10h30 et 11h-12h
Antoine Ducros
Cohomologie non ramifiée sur une courbe p-adique lisse
vendredi 20 octobre 2000 à 17h00-18h
Philippe Gille
R-équivalence des groupes spinoriels (d'après Chernousov
et Merkurjev)
vendredi 20 octobre 2000 à 15h30-16h30
David Harari
Torseurs sous un groupe linéaire connexe et points rationnels
des variétés algébriques