From lalonde@CRM.UMontreal.CA Tue Jan 6 20:33:28 2009 Date: Tue, 6 Jan 2009 14:33:22 -0500 (EST) From: Francois Lalonde To: kellendonk@math.univ-lyon1.fr Subject: cours doctoral [ The following text is in the "utf-8" character set. ] [ Your display is set for the "iso-8859-1" character set. ] [ Some characters may be displayed incorrectly. ] Bonjour Mr Kellendonk, Je suis Francois Lalonde. Je donnerai un cours a partir de janvier. Auriez-vous l'amabilité de mettre en ligne le texte descriptif du cours qui suit (je le joins dans le corps du texte et en piece attachee). Si vous preferez une version pdf tiree de Latex, dites-le moi. Merci beaucoup ! Francois Lalonde Les variétés symplectiques peuvent être conçues comme généralisation utile des fibrés cotangents, c'est-à-dire des espaces dans lesquels la mécanique hamiltonienne a lieu, mais également comme généralisation des variétés projectives complexes. Cette dualité entre dynamique et géométrie analytique est particulièrement féconde puisqu'elle agit dans les deux directions: la dynamique permet souvent de construire des invariants géométriques alors que la rigidité des variétés analytiques permet de dévoiler certaines propriétés qualitatives des phénomènes de la dynamique. Aucune théorie n'illustre mieux la fécondité de cette dualité que la théorie de Floer (ou la théorie symplectique des champs qui en est issue). Par ailleurs, les techniques utilisées en géométrie symplectique -- par exemple celles qui produisent les invariants associés à ses objets d'étude -- suivent une autre dualité qui distinguent les techniques ``souples'' des techniques ``rigides''. Les premières proviennent de la topologie algébrique ou différentielle ordinaire (le h-principe par exemple) alors que les secondes proviennent des méthodes pseudo-holomorphes (EDP elliptiques) ou de celles que l'on voit en théorie de jauge. Or ces deux dualités, la première concernant la nature même de la géométrie symplectique et la seconde, plus accidentelle, concernant le choix des techniques, sont dans une certaine mesure indépendantes. C'est pourquoi il est souvent difficile de prévoir si un nouveau problème de géométrie symplectique qui se présente à nous est souple ou rigide. Cette relative indépendance fait le diversité et la richesse de la géométrie symplectique. Voici un aperçu du cours: 1) Présentation des bases de la géométrie symplectique: définitions des objets, méthode de Moser, formes normales près des sous-variétés symplectiques et lagrangiennes, groupes de difféomorphismes, fibrés symplectiques, diverses notions d'indice tirées de la dynamique et de la géométrie des objets. 2) Souplesse et rigidité en géométrie symplectique: du h-principe de Smale-Gromov à la rigidité d'Eliashberg. Pourquoi la géométrie symplectique ne peut se réduire à de la topologie différentielle. 3) Eléments de la théorie de Floer et quelques-unes de ses applications: méthodes pseudo-holomorphes dans les cas les plus simples, relations entre théories de Floer et de Morse, homomorphismes de Seidel absolu et relatif, clusters linéaires (ou complexes de perles), aperçu des clusters généraux. Application au scindement homologique des fibrés hamiltoniens dont Deligne, Kirwan, Atiyah-Bott avaient aperçu les premières manifestations. Applications, aussi simples et directes que possible, à la dynamique. Comme je m'attends à ce que ceux qui participeront à ce cours n'aient pas tous les mêmes pré-requis, on tentera de faire un cours à deux vitesses qui ne frêne pas les plus avancés sans pour autant décourager ceux pour qui ce cours représenterait une première initiation à la géométrie et la topologie symplectiques. Une façon pratique d'y arriver serait de consacrer chaque semaine deux heures aux paragraphes (1) et (2) de ce programme, et une troisième heure facultative au paragraphe (3) pour les plus avancés (ou les plus téméraires). Les pré-requis sont ceux que Jean-Claude Sikorav indique pour son cours de géométrie kahlérienne de l'automne. Son cours n'est pas un pré-requis, mais on pourra y faire écho en présentant, si le temps le permet, une version pseudo-holomorphe du théorème de Kodaira, due à Donaldson (sans démonstration, mais avec explication des énoncés et de ce qu'ils impliquent). Les références seront données au premier cours (quelques-unes sont introuvables à la bibliothèque ou sur internet). Si l'on veut, on peut se préparer au cours en lisant les sections pertinentes du livre de McDuff et Salamon relatives à la section (1) du cours. Possibilités de moments d'une première rencontre pour organiser l'horaire et débuter le cours: je propose une rencontre de deux heures d'affilée soit le lundi 26 ou bien le mardi 27, entre 13h00 et 18h00. SVP écrire dès que possible à Francois.Lalonde@umpa.ens-lyon.fr pour mentionner quelles sont les heures, durant ces deux plages horaires, qui vous conviennent. Le jour, l'heure et la salle de l'ENS pour la première rencontre seront affichés ici au plus tard le 23 janvier. [ Part 2, Application/X-TEX 6KB. ] [ Unable to print this part. ]