Sur la division euclidienne d'un nombre premier par son rang
M. Balazard et A. Vavoda ont rédigé un article
intitulé "Division euclidienne" dans la revue Pour la Science
no 239, de septembre 1997.
Notons p_n le n-ieme nombre premier et n son rang.
A. Vavoda a posé une série de questions sur l'ensemble des restes de
la division euclidienne d'un nombre premier par son rang, parmi
lesquelles celle sur sa finitude. C'est à M. Balazard qu'il revient
d'avoir démontré que cet ensemble est infini. Par ailleurs A. Vavoda a
demandé si l'on peut trouver trois (ou plus) nombres premiers
consécutifs ayant le même reste pour cette division ?
Cette question a été
résolue par M. Balazard de manière affirmative en donnant la solution
suivante : 1181=6x194+17, 1187=6x195+17, 1193=6x196+17. Cette
solution est la plus petite solution du problème de A. Vavoda pour
trois nombres premiers consécutifs.
Et pour k nombres premiers consécutifs?
Le rapport entre le problème de A. Vavoda et les progressions
arthmétiques de nombres premiers consécutifs est
facile à établir et a permis d'obtenir les
premiers 8, 9 et 10 uplets de nombres premiers consécutifs en
progression arithmétique.
Moralité : considérer un vieux problème sous un
angle a priori surprenant peut avoir un intérêt.
Remarque : cette même revue Pour la Science a publié le
dernier résultat obtenu dans son no 250 d'Aout 98, avant de
s'apercevoir qu'elle a été à l'origine de cette
recherche.
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