Sur la division euclidienne d'un nombre premier par son rang
M. Balazard et A. Vavoda ont rédigé un article intitulé "Division euclidienne" dans la revue Pour la Science no 239, de septembre 1997.Notons p_n le n-ieme nombre premier et n son rang. A. Vavoda a posé une série de questions sur l'ensemble des restes de la division euclidienne d'un nombre premier par son rang, parmi lesquelles celle sur sa finitude. C'est à M. Balazard qu'il revient d'avoir démontré que cet ensemble est infini. Par ailleurs A. Vavoda a demandé si l'on peut trouver trois (ou plus) nombres premiers consécutifs ayant le même reste pour cette division ? Cette question a été résolue par M. Balazard de manière affirmative en donnant la solution suivante : 1181=6x194+17, 1187=6x195+17, 1193=6x196+17. Cette solution est la plus petite solution du problème de A. Vavoda pour trois nombres premiers consécutifs.
Et pour k nombres premiers consécutifs?
Le rapport entre le problème de A. Vavoda et les progressions arthmétiques de nombres premiers consécutifs est facile à établir et a permis d'obtenir les premiers 8, 9 et 10 uplets de nombres premiers consécutifs en progression arithmétique.
Moralité : considérer un vieux problème sous un angle a priori surprenant peut avoir un intérêt.
Remarque : cette même revue Pour la Science a publié le dernier résultat obtenu dans son no 250 d'Aout 98, avant de s'apercevoir qu'elle a été à l'origine de cette recherche.