
\documentclass[leqno,a4paper,titlepage,twoside,12pt]{article}

%\usepackage[T1]{fontenc}%%<<ouvrez,>>fermez les guillemets%%
%\usepackage[latin1]{inputenc}
%%%%%%%%%%%%%%%%AULNAY%%%%%%%%%%%%% %
%\usepackage{french}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{mathabx}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}

%\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{bbm,pifont,eufrak,eucal,mathrsfs,latexsym,graphicx,epsfig,makeidx,color,rotating,multirow,enumerate,bm}



%\usepackage{showkeys}

\usepackage[all]{xy}
\xyoption{2cell}




\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}


\newcounter{infra}[page]


%\footnote[i]{} où i est entre 1 et 9%

\newenvironment{dem}[1][]{%
{\bf D\'emonstration #1 : }}{%
\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf Q.e.d.}\\}

\newenvironment{dem*}[1][]{% 
{\bf D\'emonstration #1 : }}{%
 }

\newenvironment{des}{%
\begin{description} }{%
\end{description}}

\newenvironment{eq*}{\begin{eqnarray*}}{\end{eqnarray*}}

%%%%%\'equations align\'ees et sans num\'eros%%%%%

\newenvironment{liste}{\begin{itemize}}{\end{itemize}} 

%%%%%listesimple%%%%%




%%%Remarques%%% 

\newenvironment{rem}{{\bf{Remarque : }}}{}
\newenvironment{rems}[1][]{{\bf{Remarques #1 :}}}{}
\newenvironment{exemple}{{\sc Exemple : }}{}
\newenvironment{exemples}{{\sc Exemples : }}{}

%\newenvironment{defi}{{\bf D\'efinition} }


\newtheorem{defi}{D\'efinition}

\newtheorem{exo}{Exercice}

\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{pro}[thm]{Proposition} \newtheorem{cor}{Corollaire}[thm]



\newcommand{\croi}{\times}

\newcommand{\<}{\leq} %%%%%\newcommand{\>}{\geq}

\newcommand{\A}{\ens A} 
\newcommand{\ad}{\mathrm{ad}}
\newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\adh}{\overline} \newcommand{\alg}{\mathrm{alg}}
\newcommand{\algebre}{\mathrm{alg\`ebre}}
\newcommand{\algebres}{\mathrm{alg}} \newcommand{\alors}{\mbox{alors}}
\newcommand{\ann}{\mathrm{Ann}} \newcommand{\aq}{\mbox{ \`a }}
\newcommand{\antidiago}{.\hskip -.5ex \cdot \hskip -.5 ex \raisebox{1 ex}.}


\newcommand{\Ass}{\mathrm{Ass}} \newcommand{\ass}{\mathrm{Ass}}
\newcommand{\Aut}{\mathrm{Aut}}
\newcommand{\avec}{\mbox{ avec }}


\newcommand{\bord}{\partial} \newcommand{\boufl}{\xymatrix{ \!\!
\ar@(ur,dr) }}%%%%%boucle fl\'ech\'ee%%%%%

\newcommand{\C}{\ens C} \newcommand{\CC}{\mbox{\Large $\mathbbm C$}}
\newcommand{\Cf}{{\it Cf. }} 
\newcommand{\cad}{\mbox{\it c-\`a-d }}
\newcommand{\call}{\mathscr}
\newcommand{\car}{\mbox{ car }}
\newcommand{\cd}{\rangle}
\newcommand{\cf}{{\it cf. }}
\newcommand{\centre}{\mathrm{centre}}
\newcommand{\cg}{\langle}

\newcommand{\ch}{\vee} \newcommand{\cha}{\widehat}
\newcommand{\cham}{{\cha{m}}} \newcommand{\chek}{\check}
\newcommand{\chap}{\widehat}
\newcommand{\cl}{\mathrm{cl}}
\newcommand{\cm}{Cohen-Macaulay} \newcommand{\codim}{\mathrm{codim}}
\newcommand{\comp}[1]{\mbox{\raisebox{.5ex}{\bf \sf C}}_{\!#1}}
\newcommand{\compl}{{\mathbf  C}} \newcommand{\con}{\supseteq}
\newcommand{\cons}{\supset}
\newcommand{\constr}{\raisebox{-1.5ex}{$\stackrel{\displaystyle
\supset}{\scriptstyle\not=}$}}
\newcommand{\conv}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\to}{\scriptstyle #1}$}} \newcommand{\cten}{\Box
\hspace*{-1.77ex}\raisebox{.19ex}{$\croi$}}

\newcommand{\dans}{\mbox{ dans }} \newcommand{\demi}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\degtr}{\mathrm{degtr}}
\newcommand{\Deplus}{\mbox{De plus, }} \newcommand{\deplus}{\mbox{ de
plus, }} \newcommand{\Der}{\mathrm{Der}}
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} \newcommand{\dif}{\not=}
\newcommand{\dij}{\sqcup} 
\newcommand{\Dij}{\bigsqcup}
\newcommand{\Dist}{\mathrm{Dist}}
%%%%%%%%%Diagrammes de D.%%%%%%%$
\newcommand{\axa}{\bullet \;\; \bullet}
\newcommand{\axaa}{\sta{\alpha}{\bullet}\;\;\sta{\alpha'}{\bullet}}
\newcommand{\spi}{\circ \!-\! \circ \!\Leftarrow \!\bullet}
\newcommand{\spii}{\sta{\alpha_1}{\circ} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!\Leftarrow \!\sta{\alpha_3}{\bullet}}
\newcommand{\dn}{\bullet \!-\! \circ \!- ... -\!\circ\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ$}\!\!\!\raisebox{1 ex}{$\circ$}}
\newcommand{\dnn}{\sta{\alpha_1}{\bullet} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!- ... -\!\sta{\alpha_{n-2}}{\circ}\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ_{\alpha_{n-1}}$}\hskip -5.5ex\raisebox{1 ex}{$\circ^{\alpha_n}$}}
\newcommand{\donne}{\mapsto}

\newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\ens}{\mathbbm}
\newcommand{\Ens}[1]{\mbox{\Large $\mathbbm #1$}}
\newcommand{\ent}[2]{\left\{ #1 , \sus , #2 \right\}}

\newcommand{\eq}[1][r]
   {\ar@<-3pt>@{-}[#1]
    \ar@<-1pt>@{}[#1]|<{}="gauche"
    \ar@<+0pt>@{}[#1]|-{}="milieu"
    \ar@<+1pt>@{}[#1]|>{}="droite"
    \ar@/^2pt/@{-}"gauche";"milieu"
    \ar@/_2pt/@{-}"milieu";"droite"}
\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow} \newcommand{\et}{\mathrm{\; et \;}}
\newcommand{\etc}{{\it etc}} \newcommand{\etm}{\sta{\scriptscriptstyle
-}{*}} \newcommand{\etoile}{\mbox{\ding{86}}}
\newcommand{\etp}{\sta{\scriptscriptstyle +}{*}}

\newcommand{\exist}{\exists\:} \newcommand{\existe}{\exists\:}
\newcommand{\Ext}{\soul{\mathrm{Ext}}} \newcommand{\ext}{\mathrm{Ext}}
\newcommand{\extf}{\soul{\mathrm{Ext}}}

\newcommand{\F}[1]{\left[ #1 \right]^f} \newcommand{\fini}{\mbox{ fini
}} 
\newcommand{\ff}{\mathbbm F}
\newcommand{\fl}{\rightarrow} \newcommand{\Fl}{\longrightarrow}
\newcommand{\flfl}{\raisebox{-1ex}{$\check{}$}$\hskip -.2ex\frown$\hskip -.2ex\raisebox{-1ex}{$\check{}$}}
%flèche arrondie avec 2 bouts

\newcommand{\flg}{\leftarrow} \newcommand{\Flg}{\leftarrow}
\newcommand{\fstr}{\mathscr{O}}

\newcommand{\GG}{{\mathbbm G}} \newcommand{\gamb}{\leadsto}
\newcommand{\gb}{\goth g - B} \newcommand{\GC}{{\cal GC}}
\newcommand{\gbt}{\goth g - \tilda{B}} 

\newcommand{\ggbb}{\goth g\croi\goth g-B\croi B}
\newcommand{\ggbbm}{\goth g \croi \goth g-B \croi B^-}
\newcommand{\ggbbmt}{\goth g \croi \goth g - \tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} \newcommand{\ggbbt}{\goth g \croi \goth g-\tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} 

\newcommand{\Gr}{\mathrm Gr}
\newcommand{\gxg}{\goth g \croi \goth g}


\newcommand{\GXG}{G \croi G} \newcommand{\GXGT}{\tilda{G} \croi
\tilda{G}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\homf}{\soul{\mathrm{Hom}}}

\newcommand{\hp}{\cdot}

%%%%%%\newcommand{\hom}{\mbox{hom}}%%%%%%%%
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}
\newcommand{\im}{\mathrm{im\:}} \newcommand{\impliq}{\Rightarrow}
\newcommand{\Impliq}{\Longrightarrow}
\newcommand{\inc}{\hookrightarrow} \newcommand{\infi}{\infty}
\newcommand{\infra}[1]{\stepcounter{infra}\setcounter{footnote}{\value{infra}}%
\footnote{#1}}

%%%%%%%ATTENTION : RENOUVELLEMENT DE COMMANDES %%%%%%%%%%%
\renewcommand{\int}{\mathrm{int\:}}

\newcommand{\inter}{\bigcap} 
\newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\Inv}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\iso}{\simeq}

\newcommand{\kk}{{\mathbf{k}}}
\newcommand{\K}{\mathbbm{K}}

\newcommand{\lf}{\longrightarrow} 

\newcommand{\li}{\mathrm{Lie}}

\newcommand{\limc}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \C^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite en l'infini%%%%%%% 
\newcommand{\limi}{\ma \lim_{a \to\infi}}



%%%%%%%limite directe%%%%%%%%

\newcommand{\limd}[1]{\lim_{\sta{\lf}{#1}}}

\newcommand{\limk}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \K^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite projective%%%%%%%%
\newcommand{\limp}[1]{\lim_{\sta{\longleftarrow}{#1}}}


%%%%%%limite en 0%%%%%% 
\newcommand{\limz}{\ma \lim_{ a \to 0}}
\newcommand{\limzz}{\ma \lim_{ z \to 0}}
\newcommand{\loccit}{\emph{loc. cit.}}


\newcommand{\ma}{\displaystyle} %%%%%%matrices d'ordre 2, 3%%%%%%%


\newcommand{\mat}[4]{\left(
\begin{array}{cc} #1 & #2\\ #3 & #4
\end{array} \right)}


\newcommand{\Mac}[9]{\left[
\begin{array}{ccc} #1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9
\end{array} \right]}


\newcommand{\mac}[4]{\left[
\begin{array}{cc} #1 & #2\\ #3 & #4
\end{array} \right]}



%M\^eme symbole de note infrapaginale 
\newcommand{\mais}{\mbox{ mais
}} \newcommand{\minfra}{\addtocounter{footnote}{-1} \footnotemark}

\newcommand{\mmu}{{\bm\mu}}

\newcommand{\mod}{\mathrm{ \: mod \:}}
\newcommand{\modulo}{\mathrm{\:modulo \:}}
\newcommand{\moins}{\:\setminus\:} %mathenrelief%
\newcommand{\mr}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\mult}{\mbox{mult}}

\newcommand{\N}{\ens N} \newcommand{\numer}{$\mathrm N^0$}


\newcommand{\Or}{\mbox{Or, }} \newcommand{\orb}{\mathrm{orb}}
\newcommand{\ort}{\bot} \newcommand{\Ou}{\mbox{\Ou}}
\newcommand{\ou}{\mbox{ ou }} 
%%%\newcommand{\P}{{\mathbbm P}}
\newcommand{\p}{\:\:.}  
\newcommand{\PP}{\mathbbm{P}}
\newcommand{\pas}{\not\in} 
\newcommand{\phir}{\varphi}
\newcommand{\Pic}{\mathrm{Pic}} 
\newcommand{\pic}{\mathrm{pic}}
\newcommand{\plus}{\oplus} \newcommand{\Plus}{\bigoplus}
\newcommand{\priv}{\setminus}

\newcommand{\prof}{\mathrm{prof}}
\newcommand{\PSL}{\mathrm{PSL}}

\newcommand{\Q}{\ens Q}
\newcommand{\qed}{\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf
Q.e.d.}\\} 
\newcommand{\qq}{\forall\:}
\newcommand{\qu}{\call{Q}}


\newcommand{\R}{\ens R} 
%\newcommand{\res}[1]{\!\bigm |_{#1}}
%restriction 
\newcommand{\res}[1]{{\left | {}_{#1} \right.}}
\newcommand{\Rad}{\mathrm{Rad}}
\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}}
\newcommand{\rat}{\mathrm{rat}}
\newcommand{\rang}{\mathrm{rang}}
\newcommand{\Rat}{\mathrm{Rat}}
\newcommand{\ratt}[1]{_{{#1}\!-\!\rat}}
\newcommand{\re}[1]{\textbf{\textsc{#1}}}%pour mettre en relief
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}}


\newcommand{\rond}{\circ}

\newcommand{\saut}{\vskip 2em}
\newcommand{\se}{{\it sous-entendu }}
\newcommand{\semid}{\rtimes}
%\newcommand{\semid}{\mbox{\sf X}\!\mbox{\sf l}  }
\newcommand{\septminus}{\setminus} \newcommand{\sev}{sous-espace
vectoriel} \newcommand{\sgp}{sous-groupe \`a un param\`etre }
\newcommand{\sgps}{sous-groupes \`a un param\`etre }
\newcommand{\Si}{\mbox{ Si }} 
\newcommand{\si}{\mathrm{\;si\;}} 
\newcommand{\sinon}{\mbox{ sinon}} 
\newcommand{\SL}{\mathrm{SL}}
\newcommand{\SO}{\mathrm{SO}}

\newcommand{\Soit}{\mbox{Soit }} \newcommand{\soit}{\mbox{ soit }}
\newcommand{\soul}{\underline} 
\newcommand{\Sp}{\mathrm{Sp}}
\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}
\newcommand{\spec}{\mathrm{Spec}}
\newcommand{\specm}{\mathrm{Spec}_m}
 \newcommand{\ssi}{\mbox{ si et
seulement si }} \newcommand{\sta}{\stackrel}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\substr}{\raisebox{-1.5ex}{$\:\stackrel{\displaystyle
\subset}{\scriptstyle\not=}\:$}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}
\newcommand{\surj}{\:\rule[.5ex]{1.5em}{0.1ex}\!\!\!\!\!\succ\!\!\!\succ
} \newcommand{\surl}{\overline}  \newcommand{\sus}{\ldots}
\newcommand{\susv}{\vdots} \newcommand{\strict}{\subset}
\newcommand{\Sym}{\mathrm{Sym}}

\newcommand{\Tens}{\bigotimes} \newcommand{\tens}{\otimes} 

%%%\tenso : produit tensoriel avec texte sous le symbole%%%%%%%

\newcommand{\tenso}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\tens}{\scriptstyle #1}$}} 
\newcommand{\ti}{\tilda}
\newcommand{\tilda}{\widetilde} 
\newcommand{\tiret}{-\!\!\!-}
\newcommand{\tq}{\: : \:} 
\newcommand{\tlq}{\mbox{ tel que }}
\newcommand{\tqs}{\mbox{ tels que }} \newcommand{\tqe}{\mbox{ telle
que }} 
\newcommand{\tqes}{\mbox{ telles que }} 
\newcommand{\Tr}{\mathrm{Tr}}

\newcommand{\transposee}[1]{{\vphantom{#1}}^{\mathit t}{#1}}
\newcommand{\tri}{$$
\ast\;\ast\;\ast $$} 

\newcommand{\un}{\cup} 

\newcommand{\Uni}{\bigcup}

\newcommand{\uni}{\cup} 


\newcommand{\vaa}{vari\'et\'e alg\'ebrique affine }
\newcommand{\val}{\mathrm{val}}

%%%%%produit vectoriel ou ext\'erieur%%%%%%%

\newcommand{\Vect}{\bigwedge\nolimits} 

\newcommand{\vect}{\land}

\newcommand{\vide}{\emptyset}

\newcommand{\X}{{\cal X}}

\newcommand{\Y}{{\cal Y}_\R}

\newcommand{\Z}{\ens Z} \newcommand{\z}{\mbox{\bf z}}

\newcommand{\zzz}{{\mathbf{z}}}



\newcommand{\appli}[5][]{\begin{array}{ccc} #2 &
\stackrel{#1}{\longrightarrow} & #3 \\ #4 & \longmapsto & #5
\end{array}}

\newcommand{\applinom}[6][]{#2:\left\{
\begin{array}{ccc} #3 & \stackrel{#1}{\longrightarrow} & #4 \\ #5 &
\longmapsto & #6
\end{array} \right.  }

\newcommand{\quo}[2]{\raisebox{.75ex}{$#1$}\!\!\bigm
/\raisebox{-.75ex}{$\!\!#2$}}

\newcommand{\Quo}[2]{\raisebox{.75ex}{#1}\!\!\!\Bigm
/\raisebox{-.75ex}{\!\!\!#2}}

\usepackage{fancyhdr}

%\addtolength{\textwidth}{3.6cm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-1.8cm}
%\addtolength{\evensidemargin}{-1.8cm}
%\addtolength{\textheight}{2cm}
%\addtolength{\topmargin}{-1cm}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancy}
%\markboth{}%
\fancyhead[L]{M1 -- algèbre}
\fancyhead[R]{2023-2024}



\begin{document}
\cfoot{\hfil \thepage/\pageref{LastPage} \hfil}
\begin{center}
  {\large \sc   X. --- Éléments entiers sur un anneau}
\end{center}

\begin{exo}\rm

  Soient $A\sub B$ deux anneaux commutatifs. Les assertions suivantes sont équivalentes pour un élément $b\in B$.

  \begin{enumerate}[(i) ]
  \item Il existe $N\in \N,\,a_1,...,a_N\in A$ tels que $b^N+a_1b^{N-1}+...+a_N=0$.
  \item L'anneau $A[b]$\infra{$A[b]:=\{a_0+...+a_Kb^K\tq K\in \N,\, a_0,...,a_K\in A\}$.} est de type fini comme $A-$module \ie $\exist m\in \N,\,e_1,...,e_m\in B,\, A[b]=Ae_1+...+Ae_m$.
    \item Il existe $A[b]\sub C\sub B$ un sous-anneau qui est de type fini comme $A-$module.
\end{enumerate}
\begin{enumerate}[a) ]
\item Montrer $(i)\impliq (ii)\impliq (iii)$.
\item Si $C$ vérifie $(iii)$, soit $M=(a_{ij})\in \call{M}_m(A)$ telle que \[\qq 1\le j \le m,\, be_j=\sum_{i=1}^ma_{ij}e_i\p\]

  Montrer que \[\qq P(X)\in A[X],\, \qq 1\le j\le m, \, P(b)e_j=\sum_{i=1}^mP(M)_{ij}e_i\p\]
  \item En déduire $(iii)\impliq (i)$, à l'aide du théorème de Cayley-Hamilton.
\end{enumerate}

On dit que $b$ est entier sur $A$ si $(i),(ii),(iii)$ sont vérifiées.

\begin{enumerate}[d) ]
\item Montrer que $\sqrt{2}$ est entier sur $\Z$ mais non $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
\item Montrer que si $b_1,b_2 \in B$ sont entiers sur l'anneau $A$, alors $b_1 \pm b_2,\,  b_1b_2$ aussi.

  \item Montrer que $\Z[i\sqrt{5}]$ est l'anneau des éléments du corps $\Q(i\sqrt{5})$ entier sur $\Z$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}\rm{\bf \boldmath factoriel $\xymatrix{\ar@/^/@{=>}[r]&\ar@2{-->}[l]|-{\times}}$ intégralement clos}

  Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$. On dit que $A$ est {\it intégralement clos} si tout élément $x\in K$ entier sur $A$ vérifie $x \in A$.
\begin{enumerate}[a) ]
\item Montrer que $\Z$ est intégralement clos et plus généralement que {\it factoriel} $\impliq$ {\it intégrament clos.}

  \item Montrer en considérant $A=\Z[i\sqrt{5}]$ que la réciproque est fausse.

    \item Supposons $P(X)\in A[X]$ unitaire et $A$ intégralement clos. Montrer que si $A=BC \in K[X]$ pour certains $B,C \in K[X]$, alors $B,C \in A[X]$.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}\rm{\bf Indépendance linéaire des racines carrées d'entiers}

\begin{enumerate}[a) ]
\item Montrer par récurrence sur $N\ge 0$ que si $a_1,...a_N$ sont des entiers $>0$ sans facteur carré, deux à deux premiers entre eux, alors \[[\Q(\sqrt{a_1}),...,\Q(\sqrt{a_N}):\Q]=2^N\p\]
\item   Montrer que les $\sqrt{n}$, $n\in \N_{>0}$, sans facteur carré, sont $\Q-$linéairement indépendants.
\item Montrer que si $N\ge 0$ et  si $a_1,...a_N$ sont des entiers $>0$ sans facteur carré, deux à deux premiers entre eux, alors \[\Q(\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_N})=\Q(\sqrt{a_1}+...+\sqrt{a_N})\p\]

  {\it Indication. Soit $K=\Q(\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_N})$. $\qq 1 \le i \le N,\,\exist \varphi_i : K \to K$ automorphisme de corps tel que $\qq 1\le j \le N,\, \varphi_i(\sqrt{a_j})=\sqrt{a_j}$ si $j\neq i,\, -\sqrt{a_i}$ si $j=i$.}

  
\end{enumerate}


 
\end{exo}

\begin{exo}\rm{\bf Applications en théorie des représentations}
  Soit $G$ un groupe fini d'ordre $N$. Pour tout $g\in G$, on note $e_g\in \Z^G$ tel que $\qq h \in G,\, e_g(h)=\left\{\begin{array}{cc}
        1&\mbox{ si $h=g$,}\\
        0&\mbox{ si $h\neq g$.}
\end{array}\right.$ On notera $\Z G$ l'anneau donné par  le groupe additif $\Z^G$ avec le produit défini par  :
  \[\qq g,h\in G,\, e_ge_h=e_{gh}\p\]
  \infra{Si $G$ n'est pas abélien, ce n'est pas un anneau commutatif.}
  \begin{enumerate}[a) ]

    \item Quel est le neutre pour le produit dans l'anneau $\Z G$ ?
    \item Soit $C$ une classe de conjugaison de $G$. Montrer que l'élément $\sum_{g \in C} e_g$ de l'anneau $\Z G$ commute avec tous les éléments de $\Z G$ et que c'est un élément entier sur $\Z$.
    \item Soit $\rho : G \to \GL_d(\C)$ une représentation irréductible de degré $d$. À l'aide du lemme de Schur et de la question précédente,  montrer que la matrice $\sum_{g \in C}\rho(g)$ est une homothétie de rapport un entier algébrique $\lambda_C$.

    \item Montrer que $d\lambda_C=\sum_{g \in C}\chi_\rho(g)=|C|\chi_\rho(C)$.

    \item En utilisant la relation d'orthogonalité $\langle \chi_\rho,\chi_\rho\rangle_G=1$, montrer que $\frac{|G|}{d}$ est un entier algébrique et en déduire \[d\,|\, |G|\p\]

    \item Soit $\zeta =e^{\frac{2i\pi}{N}}$. Soit $\chi$ un caractère irréductible de $G$. Montrer que pour tout $g\in G$, il existe un polyn\^ome $P_g(X)\in \Z[X]$ tel que \[\qq k \in \Z,\, \chi(g^k)=P_g(\zeta^k)\p\]
      {\it Indication. Si $\rho$ est la représentation associée à $\chi$, diagonaliser la matrice $\rho(g)$. }

    \item  Montrer que pour tout entier $k$ premier à $N$, l'application $G\to G,\, g\donne g^k$ est une bijection.
    \item En déduire que le polyn\^ome $Q(X)=\prod_{g\neq 1}P_g(X)$ vérifie :
      \[\qq k\wedge N=1,\, Q(\zeta^k)=Q(\zeta)\p\]

    \item En déduire que $Q(\zeta)\in \Z$. {\it Indication. Soit $C\in \call{M}_{\varphi(N)}(\Z)$ la matrice compagnon du polyn\^ome cyclotomique $\Phi_N(X)$. Vérifier que $C$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres. Vérifier que la matrice $Q(C)$ n'a qu'une seule valeur propre, que c'est une homothétie de rapport entier ... }
    \item Si $\chi$ est de degré $>1$, montrer, à l'aide de l'inégalité arithmético-géométrique\infra{$\qq N\in \N,\,\qq a_1,...,a_N\in \R_{\ge 0},\, (a_1....a_N)^{\frac{1}{N}}\le \frac{a_1+...+a_N}{N}$}, que $|\prod_{g\neq 1}\chi(g)|<1$.
      \item En déduire que $\chi(g)=0$ pour au moins un $g \in G$.
      \item Si $G=\goth S_n$, montrer que
        \[\qq \chi \mbox{ caractère, }\qq g \in G,\, \qq k\wedge n! =1,\, \chi(g^k)=\chi(g)\p\]
        \item En déduire que la table des caractères du groupe $\goth S_n$ est à coefficients entiers.
  \end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}
