\documentclass[leqno,a4paper,titlepage,twoside,12pt]{article}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[T1]{fontenc}%%<<ouvrez,>>fermez les guillemets%%

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%%%%%%%%%%%%%%%%AULNAY%%%%%%%%%%%%% %\usepackage{french}
\usepackage[french]{babel}

%\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{bbm,dsfont,pifont,eufrak,eucal,mathrsfs,latexsym,graphicx,epsfig,makeidx,color,rotating,multirow,cancel,bm,enumerate}





%\usepackage{showkeys}

\usepackage[all]{xy}
\xyoption{2cell}
\xyoption{frame}




\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}


\newcounter{infra}[page]


%\footnote[i]{} o i est entre 1 et 9%

\newenvironment{dem}[1][]{%
{\it D\'emonstration #1 : }}{%
\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\it q.e.d.}\\}

\newenvironment{dem*}[1][]{% 
{\it D\'emonstration #1 : }}{%
 }

\newenvironment{des}{%
\begin{description} }{%
\end{description}}
\newtheorem{exo}{Exercice}
\newenvironment{eq*}{\begin{eqnarray*}}{\end{eqnarray*}}

%%%%%\'equations align\'ees et sans num\'eros%%%%%

\newenvironment{liste}{\begin{itemize}}{\end{itemize}} 

%%%%%listesimple%%%%%




%%%Remarques%%% 

\newenvironment{rem}{{\bf{Remarque : }}}{}
\newenvironment{rems}[1][]{{\bf{Remarques #1 :}}}{}
\newenvironment{ex}{{\sc Exemple : }}{}
\newenvironment{exemples}{{\sc Exemples : }}{}

%\newenvironment{defi}{{\bf D\'efinition} }


\newtheorem{defi}{D\'efinition}

\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{pro}[thm]{Proposition} \newtheorem{cor}{Corollaire}[thm]



\newcommand{\croi}{\times}

\newcommand{\<}{\leq} %%%%%\newcommand{\>}{\geq}

\newcommand{\A}{\ens A} \newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\adh}{\overline} \newcommand{\alg}{\mathrm{alg}}
\newcommand{\algebre}{\mathrm{alg\`ebre}}
\newcommand{\algebres}{\mathrm{alg}} \newcommand{\alors}{\mbox{alors}}
\newcommand{\ann}{\mathrm{Ann}} \newcommand{\aq}{\mbox{ \`a }}
\newcommand{\antidiago}{.\hskip -.5ex \cdot \hskip -.5 ex \raisebox{1 ex}.}


\newcommand{\Ass}{\mathrm{Ass}} \newcommand{\ass}{\mathrm{Ass}}
\newcommand{\Aut}{\mathrm{Aut}}
\newcommand{\avec}{\mbox{ avec }}


\newcommand{\bord}{\partial} \newcommand{\boufl}{\xymatrix{ \!\!
\ar@(ur,dr) }}%%%%%boucle fl\'ech\'ee%%%%%

\newcommand{\C}{\ens C} 
\newcommand{\CCC}{{\adh{{\cal C}}}}
\newcommand{\Cf}{{\it Cf. }} 
\newcommand{\cad}{\mbox{\it c-\`a-d }}
\newcommand{\call}{\mathscr}
\newcommand{\car}{\mbox{ car }}
\newcommand{\cd}{\rangle}
\newcommand{\cf}{{\it cf. }}
\newcommand{\centre}{\mathrm{centre}}
\newcommand{\cg}{\langle}
\newcommand{\ch}{\vee} \newcommand{\cha}{\widehat}
\newcommand{\cham}{{\cha{m}}} \newcommand{\chek}{\check}
\newcommand{\chap}{\widehat}
\newcommand{\cl}{\mathrm{cl}}
\newcommand{\cm}{Cohen-Macaulay} \newcommand{\codim}{\mathrm{codim}}
\newcommand{\coker}{\mathrm{Coker}}
\newcommand{\com}{\tilda}
\newcommand{\comp}[1]{\mbox{\raisebox{.5ex}{\bf \sf C}}_{\!#1}}
\newcommand{\compl}{{\mathbf  C}} \newcommand{\con}{\supseteq}

\newcommand{\cons}{\supset}
\newcommand{\constr}{\raisebox{-1.5ex}{$\stackrel{\displaystyle
\supset}{\scriptstyle\not=}$}}
\newcommand{\conv}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\to}{\scriptstyle #1}$}} \newcommand{\cten}{\Box
\hspace*{-1.77ex}\raisebox{.19ex}{$\croi$}}

\newcommand{\dans}{\mbox{ dans }} \newcommand{\demi}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\Deplus}{\mbox{De plus, }} \newcommand{\deplus}{\mbox{ de
plus, }} \newcommand{\Der}{\mathrm{Der}}
\renewcommand{\det}{\mathrm{d\acute{e}t\,}}
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} \newcommand{\dif}{\not=}
\newcommand{\dij}{\sqcup} 
\newcommand{\Dij}{\bigsqcup}

%%%%%%%%%Diagrammes de D.%%%%%%%$
\newcommand{\axa}{\bullet \;\; \bullet}
\newcommand{\axaa}{\sta{\alpha}{\bullet}\;\;\sta{\alpha'}{\bullet}}
\newcommand{\spi}{\circ \!-\! \circ \!\Leftarrow \!\bullet}
\newcommand{\spii}{\sta{\alpha_1}{\circ} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!\Leftarrow \!\sta{\alpha_3}{\bullet}}
\newcommand{\dn}{\bullet \!-\! \circ \!- ... -\!\circ\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ$}\!\!\!\raisebox{1 ex}{$\circ$}}
\newcommand{\dnn}{\sta{\alpha_1}{\bullet} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!- ... -\!\sta{\alpha_{n-2}}{\circ}\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ_{\alpha_{n-1}}$}\hskip -5.5ex\raisebox{1 ex}{$\circ^{\alpha_n}$}}
\newcommand{\donne}{\mapsto}

\newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\ens}{\mathds}
\newcommand{\Ens}[1]{\mbox{\Large $\mathbbm #1$}}
\newcommand{\ent}[2]{\left\{ #1 , \sus , #2 \right\}}

\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow} \newcommand{\et}{\mathrm{\; et \;}}
\newcommand{\etc}{{\it etc}} \newcommand{\etm}{\sta{\scriptscriptstyle
-}{*}} \newcommand{\etoile}{\mbox{\ding{86}}}
\newcommand{\etp}{\sta{\scriptscriptstyle +}{*}}

\newcommand{\exist}{{}^{\exists}} \newcommand{\existe}{\exists\:}
\newcommand{\exoo}{({\it exo}) }
\newcommand{\Ext}{\soul{\mathrm{Ext}}} \newcommand{\ext}{\mathrm{Ext}}
\newcommand{\extf}{\soul{\mathrm{Ext}}}

\newcommand{\F}[1]{\left[ #1 \right]^f} \newcommand{\fini}{\mbox{ fini
}}
\newcommand{\ff}{\mathbbm{F}} 
\newcommand{\fl}{\rightarrow} \newcommand{\Fl}{\longrightarrow}
\newcommand{\flfl}{\raisebox{-1ex}{$\check{}$}$\hskip -.2ex\frown$\hskip -.2ex\raisebox{-1ex}{$\check{}$}}
%flche arrondie avec 2 bouts

\newcommand{\flg}{\leftarrow} \newcommand{\Flg}{\leftarrow}
\newcommand{\fstr}{\mathscr{O}}

\newcommand{\G}{{\mathbf X}} \newcommand{\gamb}{\leadsto}
\newcommand{\GGG}{\adh{\mathrm{PGL}_3}}
\newcommand{\gb}{\goth g - B} \newcommand{\GC}{{\cal GC}}
\newcommand{\gbt}{\goth g - \tilda{B}} 

\newcommand{\ggbb}{\goth g\croi\goth g-B\croi B}
\newcommand{\ggbbm}{\goth g \croi \goth g-B \croi B^-}
\newcommand{\ggbbmt}{\goth g \croi \goth g - \tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} \newcommand{\ggbbt}{\goth g \croi \goth g-\tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} 

\newcommand{\Gr}{\mathrm Gr}
\newcommand{\gxg}{\goth g \croi \goth g}


\newcommand{\GXG}{G \croi G} \newcommand{\GXGT}{\tilda{G} \croi
\tilda{G}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\HH}{\mathbbm{ H}}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\homf}{\soul{\mathrm{Hom}}}

\newcommand{\hp}{\cdot}

%%%%%%\newcommand{\hom}{\mbox{hom}}%%%%%%%%
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im\:}} 
\newcommand{\impliq}{\Rightarrow}
\newcommand{\Impliq}{\Longrightarrow}
\newcommand{\inc}{\hookrightarrow} \newcommand{\infi}{\infty}
\newcommand{\infra}[1]{\stepcounter{infra}\setcounter{footnote}{\value{infra}}%
\footnote{#1}}

%%%%%%%ATTENTION : RENOUVELLEMENT DE COMMANDES %%%%%%%%%%%


\newcommand{\inter}{\bigcap} \newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\Inv}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\iso}{\simeq}

\newcommand{\kk}{{\mathbf{k}}}
\newcommand{\K}{\mathbbm{K}}
\renewcommand{\L}{\mathbbm{L}}
\newcommand{\lf}{\longrightarrow} \newcommand{\li}{\mathrm{Lie}}

\newcommand{\limc}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \CC^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite en l'infini%%%%%%% 
\newcommand{\limi}{\ma \lim_{a \to\infi}}



%%%%%%%limite directe%%%%%%%%

\newcommand{\limd}[1]{\lim_{\sta{\lf}{#1}}}

\newcommand{\limk}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \K^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite projective%%%%%%%%
\newcommand{\limp}[1]{\lim_{\sta{\longleftarrow}{#1}}}


%%%%%%limite en 0%%%%%% 
\newcommand{\limz}{\ma \lim_{ a \to 0}}
\newcommand{\limzz}{\ma \lim_{ z \to 0}}
\newcommand{\loccit}{\emph{loc. cit.}}


\newcommand{\ma}{\displaystyle} %%%%%%matrices d'ordre 2, 3%%%%%%%


\newcommand{\mat}[4]{\left(
\begin{array}{cc} #1 & #2\\ #3 & #4
\end{array} \right)}


\newcommand{\Mac}[9]{\left[
\begin{array}{ccc} #1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9
\end{array} \right]}



\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}




%M\^eme symbole de note infrapaginale 
\newcommand{\mais}{\mbox{ mais
}} 
\renewcommand{\mat}{\mathrm{Mat}}
\newcommand{\minfra}{\addtocounter{footnote}{-1} \footnotemark}

\newcommand{\mod}{\mathrm{ \: mod \:}}
\newcommand{\modulo}{\mathrm{\:modulo \:}}
\newcommand{\moins}{\:\setminus\:} %mathenrelief%
\newcommand{\mr}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\mult}{\mbox{mult}}

\newcommand{\N}{\ens N}
\newcommand{\NN}{\ens N}
 \newcommand{\numer}{$\mathrm N^0$}


\newcommand{\Or}{\mbox{Or, }} \newcommand{\orb}{\mathrm{orb}}
\newcommand{\ort}{\bot} \newcommand{\Ou}{\mbox{\Ou}}
\newcommand{\ou}{\mbox{ ou }} 
%%%\newcommand{\P}{{\mathbbm P}}
\newcommand{\p}{\:\:.}  
\newcommand{\PGL}{\mathrm{PGL}}
\newcommand{\PSL}{\mathrm{PSL}}
\newcommand{\PP}{\mathbbm{P}}
\newcommand{\pas}{\not\in} 
\newcommand{\phir}{\varphi}
\newcommand{\Pic}{\mathrm{Pic}\;} 
\newcommand{\pic}{\mathrm{pic}\;}
\newcommand{\plus}{\oplus} \newcommand{\Plus}{\bigoplus}
\newcommand{\priv}{\setminus}

\newcommand{\prof}{\mathrm{prof}}
\newcommand{\PSO}{\mathrm{PSO}}
\newcommand{\Q}{\ens Q}
\newcommand{\QQ}{\ens Q}
\newcommand{\qed}{\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf
Q.e.d.}\\} 
\newcommand{\qq}{{}^{\forall}}
\newcommand{\qu}{\call{Q}}


\newcommand{\R}{\ens R} 
\newcommand{\RR}{\ens R} 
%\newcommand{\res}[1]{\!\bigm |_{#1}}
%restriction
\newcommand{\Res}{\mathrm{R\acute{e}s}}
\newcommand{\re}{\mathrm Re}
\newcommand{\res}[1]{{\left | {}_{#1} \right.}}
\newcommand{\Rad}{\mathrm{Rad}}
\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}}
\newcommand{\rat}{\mathrm{rat}}
\newcommand{\rang}{\mathrm{rang}}
\newcommand{\Rat}{\mathrm{Rat}}
\newcommand{\ratt}[1]{_{{#1}\!-\!\rat}}
\newcommand{\resp}{{\it respectivement}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}


\newcommand{\rond}{\circ}

\newcommand{\saut}{\vskip 2em}
\newcommand{\se}{{\it sous-entendu }}
\newcommand{\septminus}{\setminus} \newcommand{\sev}{sous-espace
vectoriel} \newcommand{\sgp}{sous-groupe \`a un param\`etre }
\newcommand{\sgps}{sous-groupes \`a un param\`etre }
\newcommand{\Si}{\mbox{ Si }} 
\newcommand{\si}{\mathrm{\;si\;}} 
\newcommand{\sinon}{\mbox{ sinon}} 
\newcommand{\SL}{\mathrm{SL}}
\newcommand{\sll}{\mathrm{sl}}
\newcommand{\SO}{\mathrm{SO}}
\newcommand{\Soit}{\mbox{Soit }} \newcommand{\soit}{\mbox{ soit }}
\newcommand{\soul}{\underline} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}
\newcommand{\Sp}{\mathrm{Sp}}
\newcommand{\spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\ssi}{\mbox{ si et
seulement si }} \newcommand{\sta}{\stackrel}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\substr}{\raisebox{-1.5ex}{$\:\stackrel{\displaystyle
\subset}{\scriptstyle\not=}\:$}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}
\newcommand{\surj}{\:\rule[.5ex]{1.5em}{0.1ex}\!\!\!\!\!\succ\!\!\!\succ
} \newcommand{\surl}{\overline}  \newcommand{\sus}{\ldots}
\newcommand{\susv}{\vdots} \newcommand{\strict}{\subset}
\newcommand{\Sym}{\mathrm{Sym}}
\newcommand{\Tens}{\bigotimes} \newcommand{\tens}{\otimes} 

%%%\tenso : produit tensoriel avec texte sous le symbole%%%%%%%

\newcommand{\tenso}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\tens}{\scriptstyle #1}$}} 
\newcommand{\ti}{\tilda}
\newcommand{\tilda}{\widetilde} 
\newcommand{\tiret}{-\!\!\!-}
\newcommand{\tq}{\: : \:} 
\newcommand{\tlq}{\mbox{ tel que }}
\newcommand{\tqs}{\mbox{ tels que }} \newcommand{\tqe}{\mbox{ telle
que }} 
\newcommand{\tqes}{\mbox{ telles que }} 

\newcommand{\transposee}[1]{{\vphantom{#1}}^{\mathit t}{#1}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\tri}{$$
\ast\;\ast\;\ast $$} 

\newcommand{\un}{\cup} 

\newcommand{\Uni}{\bigcup}

\newcommand{\uni}{\cup} 



\newcommand{\val}{\mathrm{val}}

%%%%%produit vectoriel ou ext\'erieur%%%%%%%

\newcommand{\Vect}{\bigwedge\nolimits} 

\newcommand{\vect}{\mathrm{Vect}}

\newcommand{\vide}{\emptyset}

\newcommand{\X}{{\cal X}}

\newcommand{\Y}{{\cal Y}_\R}

\newcommand{\Z}{\ens Z} \newcommand{\z}{\mbox{\bf z}}
\newcommand{\ZZ}{\ens Z}
\newcommand{\zzz}{{\mathbf{z}}}


\newcommand{\appli}[5][]{\begin{array}{ccc} #2 &
\stackrel{#1}{\longrightarrow} & #3 \\ #4 & \longmapsto & #5
\end{array}}

\newcommand{\applinom}[6][]{#2:\left\{
\begin{array}{ccc} #3 & \stackrel{#1}{\longrightarrow} & #4 \\ #5 &
\longmapsto & #6
\end{array} \right.  }

\newcommand{\quo}[2]{\raisebox{.75ex}{$#1$}\!\!\bigm
/\raisebox{-.75ex}{$\!\!#2$}}

\newcommand{\Quo}[2]{\raisebox{.75ex}{#1}\!\!\!\Bigm
/\raisebox{-.75ex}{\!\!\!#2}}

%%%%%%%pointill\'es antidiagonaux%%%%

%%%%%%%%%%

\setcounter{secnumdepth}{4}

   \makeatletter
   \newif\if@borderstar
   \def\bordermatrix{\@ifnextchar*{%
       \@borderstartrue\@bordermatrix@i}{\@borderstarfalse\@bordermatrix@i*}%
   }
   \def\@bordermatrix@i*{\@ifnextchar[{\@bordermatrix@ii}{\@bordermatrix@ii[()]}}
   \def\@bordermatrix@ii[#1]#2{%
   \begingroup
     \m@th\@tempdima8.75\p@\setbox\z@\vbox{%
       \def\cr{\crcr\noalign{\kern 2\p@\global\let\cr\endline }}%
       \ialign {$##$\hfil\kern 2\p@\kern\@tempdima & \thinspace %
       \hfil $##$\hfil && \quad\hfil $##$\hfil\crcr\omit\strut %
       \hfil\crcr\noalign{\kern -\baselineskip}#2\crcr\omit %
       \strut\cr}}%
     \setbox\tw@\vbox{\unvcopy\z@\global\setbox\@ne\lastbox}%
     \setbox\tw@\hbox{\unhbox\@ne\unskip\global\setbox\@ne\lastbox}%
     \setbox\tw@\hbox{%
       $\kern\wd\@ne\kern -\@tempdima\left\@firstoftwo#1%
         \if@borderstar\kern2pt\else\kern -\wd\@ne\fi%
       \global\setbox\@ne\vbox{\box\@ne\if@borderstar\else\kern 2\p@\fi}%
       \vcenter{\if@borderstar\else\kern -\ht\@ne\fi%
         \unvbox\z@\kern-\if@borderstar2\fi\baselineskip}%
         \if@borderstar\kern-2\@tempdima\kern2\p@\else\,\fi\right\@secondoftwo#1 $%
     }\null \;\vbox{\kern\ht\@ne\box\tw@}%
   \endgroup
   }
   \makeatother


\makeindex
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
%\markboth{}%
\fancyhead[L]{M1G - Algèbre commutative }
\fancyhead[R]{université Lyon I --- 2020-2021}

\begin{document}
\begin{exo}\rm~
  
\begin{enumerate}[a) ]
\item $e^{ \frac{2i\pi}{5} } = \frac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{-1} \sqrt{ 10+2\sqrt{5} }}{4}$ et les extensions suivantes sont quadratiques :

  \[\Q \le \Q(\sqrt{-1})\le \Q(\sqrt{-1},\sqrt{5})\le \underbrace{\Q(\sqrt{-1},\sqrt{5},\sqrt{10+2\sqrt{5}})}_{e^{\frac{2i\pi}{5}}\in }\]
  
\item {\bf Lemme.} Soient $K \le L$ deux corps. On supose $K$ (et donc $L$) de caractéristique $\neq 2$. Si $[L:K]=2$, alors il existe $x \in K$ tel que $L=K(\sqrt{x})$ (où $\sqrt{x}$ est une racine carrée quelconque de $x$).
  

  En effet, soit $a \in L \moins K$. Alors $L=K(a)$ et $a$ est de degré $2$ sur $K$. Notons $\pi_a\in K[X]$ son polyn\^ome minimal. On a $\pi_a = X^2+pX+q$, $p,q \in K$. Alors $a = \frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$. Donc $L = K(a)=K(\sqrt{x})$ où $x = p^2-4q \in K\, \Box$


  Soit $\Q=K_0 \le K_1 \le ... \le K_N$ une suite d'extensions telle que :
  \[\qq 1\le i \le N, \, [K_i:K_{i-1}]=2 \p\]

  Alors d'après le lemme, il existe pour tout  $1\le i \le N$, $x_i \in K_{i-1}$ tel que $K_i=K_{i-1}(\sqrt{x_{i}})$.

  Alors $K_0 = \Q \le {\cal C}$ et donc $K_1 =K_0(\sqrt{x_1}) \le {\cal C}$ car ${\cal C}$ est stable par  $\sqrt{\,}$ et $x_1 \in K_0 \le {\cal C}$.

  De m\^eme si $K_{i-1} \le {\cal C}$, alors $x_{i}\in {\cal C} \impliq K_i=K_{i-1}(\sqrt{x_i})\le {\cal C}$.

  Donc $K_0 \le {\cal C} \impliq K_1 \le {\cal C}\impliq ....\impliq K_N\le {\cal C}$.


  Notons ${\cal C'}$ l'ensemble des $x \in \C$ tels que :

  (*) il existe une suite d'extensions quadratiques $\Q =K_0 \subset K_1 \subset ...\subset K_n$  telle que 
  $x \in K_n$.

  Alors on vient de montrer que ${\cal C}' \sub {\cal C}$.

  Soient  $x, y \in {\cal C'}$, alors il existe deux suites d'extensions quadratiques $\Q =K_0 \subset K_1 \subset ...\subset K_m\le \C$  et $\Q=L_0\le ...\le L_n\le \C$ telles que $x \in K_m$, $y \in L_n$.

  On a alors une suite d'extensions :
  \[(**)\,\, \Q=K_0 \le ... \le K_m = K_mL_0\le K_mL_1 \le ... \le K_mL_n\]
  où $K_iL_j$ désigne le sous-corps de $\C$ engendré par les sous-corps $K_i$ et $L_j$.

  D'après le lemme, pour tout $1 \le j \le n$, il existe $y_j\in L_{j-1}$ tel que \[L_j=L_{j-1}(\sqrt{y_j}) \p\]

  Donc pour tout $1 \le j \le n$, $K_mL_j=K_mL_{j-1}(\sqrt{y_j}) \impliq [K_mL_j : K_mL_{j-1}]\le 2$. 

  Donc la suite d'extensions $(**)$ est une suite d'extensions quadratiques ({\it quitte à supprimer certains termes}).


  Donc tous les éléments du corps $K_mL_n$ sont dans ${\cal C}'$. En particulier, $\Q(x,y) \sub {\cal C}'$. On en déduit que ${\cal C}'$ est un sous-corps de $\C$.

  De plus ${\cal C'}$ est stable par $\sqrt{\cdot}$. En effet, si $\sqrt{x}\not\in K_m$, alors la suite d'extension :
  \[\Q=K_0\le ...\le K_m \le K_m(\sqrt{x})\]
  est une suite d'extension quadratiques et $\sqrt{x}\in K_m(\sqrt{x})$.

  Donc ${\cal C}\le {\cal C}'$ car ${\cal C}$ est le plus petit sous-corps de $\C$ stable par $\sqrt{\cdot}$. donc ${\cal C'}={\cal C}$. \bf{Qed}
  

  
\end{enumerate}
\end{exo}
\end{document}
\begin{exo}\rm~ 
Soient $P, Q \in \K[X,Y]$ deux polynômes de degré $n$.
On suppose que $V(P)$ et $V(Q)$ sont infinis et que l'intersection $\Gamma=V(P) \cap V(Q)$
est de cardinal $n^2$.\\
Soit $S \in \K[X,Y]$ irréductible de degré $d<n$. On suppose que $V(S)$ est infini et qu'il
contient exactement $nd$ points de $\Gamma$.\\
Le but de l'exercice est de montrer que les $n(n-d)$ points restants de $\Gamma$
sont sur une certaine courbe $V(L)$ avec $L\in \K[X,Y]$ de degré $n-d$.
\begin{enumerate}[a) ]
\item
Soit $M$ un point de $V(S)$ non situé sur $\Gamma$. Justifier qu'un tel point existe.
\item
Justifier qu'il existe $\lambda, \mu \in \K$ tels que $(\lambda P + \mu Q)(M)=0$.
\item
Quel est le cardinal de $V(S) \cap V(\lambda P + \mu Q)$~?
\item
En déduire, via Bézout, que $S$ divise $\lambda P + \mu Q$.
\item
Conclure.
\end{enumerate}
\end{exo}

L'exercice précédent a pour conséquence un résultat de Pascal que voici.
\begin{exo}\rm~ [Pascal]
Soit $C$ une conique non vide de $\K^2$ et soient $p,q,r,p',q',r'$ des points de $C$ distincts deux Ã  deux.
Les droites $(qr')$ et $(q'r)$ (resp. $(rp')$ et $(r'p)$, resp. $(pq')$ et $(p'q)$) se coupent en $u$ (resp. $v$, resp. $w$).\\
Montrer que $u$, $v$ et $w$ sont alignés.\\
\emph{Indication~: on pourra considérer $P$ de degré $3$ qui définit la réunion des droites $(qr')$, $(rp')$ et $(pq')$.
De mÃªme $Q$ qui définit la réunion des trois autres droites ci-dessus. Quel est le cardinal de $V(P) \cap V(Q)$~?}
\end{exo}

\end{document}






























