Université Lyon 1 Math-III-algèbre — semestre d’automne 2011 Contrôle continu écrit n^{o} 1 lundi 7 novembre 2011 durée : 2h documents et calculatrices interdits

Exercice 1 Soit A la matrice complexe ( \begin{matrix}2 & i \\ i & 0 \end{matrix} ).

a) La matrice A est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

b) La matrice A est-elle diagonalisable ?

Exercice 2 On pose :

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} ) , B := ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

a) Diagonaliser B.

b) La matrice A est-elle semblable à B?

Exercice 3 Soit n ≥ 2. Soit A la matrice réelle n × n de coefficients A_{i,j} = 1 si i ≠ j et A_{i,i} = 0 pour tout i. On pose B = A + I_{n}.

a) Quel est le rang de la matrice B? En déduire que −1 est une valeur propre de A et déterminer la dimension de l’espace propre associé.

b) Calculer :

A ( 1 ⋮ 1 )

et en déduire une nouvelle valeur propre de A.

c) Justifier que A est diagonalisable puis donner son polynôme caractéristique ainsi que son polynôme minimal.

d) Donner une matrice P inversible et une matrice diagonale D telles que A = P DP^{−1} (on ne demande pas de calculer P^{−1}).

Exercice 4 Soit E un espace vectoriel réel de base e_{1}, e_{2}, e_{3}. Soit u l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base e_{1}, e_{2}, e_{3} est :

( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ −6 & 2 & 2 \\ −11 & 1 & 5 \end{matrix} ) .

a) Quel est le polynôme caractéristique de u?

b) On pose f := u − 2Id_{E}. À l’aide du théorème de Cayley-Hamilton, déterminer f^{3}.

c) Montrer qu’il existe un vecteur x de E tel que f^{2}(x) ≠ 0.

d) Montrer que les vecteurs x, f(x), f^{2}(x) forment une base de E (indication : si a, b, c sont des réels tels que ax + bf(x) + cf^{2}(x) = 0, justifier que a = 0 en appliquant f^{2} à cette égalité).

e) Quelle est la matrice de u dans cette nouvelle base ?