
\documentclass[leqno,a4paper,titlepage,twoside]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}%%<<ouvrez,>>fermez les guillemets%%

%%%%%%%%%%%%%%%%AULNAY%%%%%%%%%%%%% %\usepackage{french}

\usepackage[francais]{babel}

\usepackage{bbm,dsfont,pifont,eufrak,eucal,mathrsfs,latexsym,graphicx,epsfig,makeidx,color,rotating,multirow,cancel,eclbkbox,enumerate,vmargin}



%\usepackage{showkeys}

\usepackage[all]{xy}
\xyoption{2cell}





\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}


\newcounter{infra}[page]


%\footnote[i]{} o i est entre 1 et 9%

\newenvironment{dem}[1][]{%
{\bf D\'emonstration #1 : }}{%
\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf Q.e.d.}\\}

\newenvironment{dem*}[1][]{% 
{\bf D\'emonstration #1 : }}{%
 }

\newenvironment{des}{%
\begin{description} }{%
\end{description}}

\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{exe}{Exercice}
\newtheorem{que}{Question}[exe]
\newenvironment{eq*}{\begin{eqnarray*}}{\end{eqnarray*}}

%%%%%\'equations align\'ees et sans num\'eros%%%%%

\newenvironment{liste}{\begin{itemize}}{\end{itemize}} 

%%%%%listesimple%%%%%




%%%Remarques%%% 

\newenvironment{rem}{{\bf{Remarque : }}}{}
\newenvironment{rems}[1][]{{\bf{Remarques #1 :}}}{}
\newenvironment{ex}{{\sc Exemple : }}{}
\newenvironment{exemples}{{\sc Exemples : }}{}

%\newenvironment{defi}{{\bf D\'efinition} }


\newtheorem{defi}{D\'efinition}

\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}[section] \newtheorem{lem}[thm]{Lemme}
\newtheorem{pro}[thm]{Proposition} \newtheorem{cor}{Corollaire}[thm]



\newcommand{\croi}{\times}

\newcommand{\<}{\leq} %%%%%\newcommand{\>}{\geq}

\newcommand{\A}{\ens A} \newcommand{\Ad}{\mathrm{Ad}}
\newcommand{\adh}{\overline} \newcommand{\alg}{\mathrm{alg}}
\newcommand{\algebre}{\mathrm{alg\`ebre}}
\newcommand{\algebres}{\mathrm{alg}} \newcommand{\alors}{\mbox{alors}}
\newcommand{\ann}{\mathrm{Ann}} \newcommand{\aq}{\mbox{ \`a }}
\newcommand{\antidiago}{.\hskip -.5ex \cdot \hskip -.5 ex \raisebox{1 ex}.}


\newcommand{\Ass}{\mathrm{Ass}} \newcommand{\ass}{\mathrm{Ass}}
\newcommand{\avec}{\mbox{ avec }}


\newcommand{\bord}{\partial} \newcommand{\boufl}{\xymatrix{ \!\!
\ar@(ur,dr) }}%%%%%boucle fl\'ech\'ee%%%%%

\newcommand{\CC}{\ens C} 
\newcommand{\CCC}{{\adh{{\cal C}}}}
\newcommand{\Cf}{{\it Cf. }} 
\newcommand{\cad}{\mbox{\it c-\`a-d }}
\newcommand{\call}{\mathscr}
\newcommand{\car}{\mbox{ car }}
\newcommand{\cd}{\rangle}
\newcommand{\cf}{{\it cf. }}
\newcommand{\centre}{\mathrm{centre}}
\newcommand{\cg}{\langle}
\newcommand{\ch}{\vee} \newcommand{\cha}{\widehat}
\newcommand{\cham}{{\cha{m}}} \newcommand{\chek}{\check}
\newcommand{\chap}{\widehat}
\newcommand{\cl}{\mathrm{cl}}
\newcommand{\cm}{Cohen-Macaulay} \newcommand{\codim}{\mathrm{codim}}
\newcommand{\com}{\mathrm{com}}
\newcommand{\comp}[1]{\mbox{\raisebox{.5ex}{\bf \sf C}}_{\!#1}}
\newcommand{\compl}{{\mathbf  C}} \newcommand{\con}{\supseteq}
\newcommand{\cons}{\supset}
\newcommand{\constr}{\raisebox{-1.5ex}{$\stackrel{\displaystyle
\supset}{\scriptstyle\not=}$}}
\newcommand{\conv}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\to}{\scriptstyle #1}$}} \newcommand{\cten}{\Box
\hspace*{-1.77ex}\raisebox{.19ex}{$\croi$}}

\newcommand{\dans}{\mbox{ dans }} \newcommand{\demi}{\frac{1}{2}}
\newcommand{\Deplus}{\mbox{De plus, }} \newcommand{\deplus}{\mbox{ de
plus, }} \newcommand{\Der}{\mathrm{Der}}
\renewcommand{\det}{\mathrm{d\acute{e}t\,}}
\newcommand{\diag}{\mathrm{diag}} \newcommand{\dif}{\not=}
\newcommand{\dij}{\sqcup} 
\newcommand{\Dij}{\bigsqcup}

%%%%%%%%%Diagrammes de D.%%%%%%%$
\newcommand{\axa}{\bullet \;\; \bullet}
\newcommand{\axaa}{\sta{\alpha}{\bullet}\;\;\sta{\alpha'}{\bullet}}
\newcommand{\spi}{\circ \!-\! \circ \!\Leftarrow \!\bullet}
\newcommand{\spii}{\sta{\alpha_1}{\circ} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!\Leftarrow \!\sta{\alpha_3}{\bullet}}
\newcommand{\dn}{\bullet \!-\! \circ \!- ... -\!\circ\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ$}\!\!\!\raisebox{1 ex}{$\circ$}}
\newcommand{\dnn}{\sta{\alpha_1}{\bullet} \!-\! \sta{\alpha_2}{\circ} \!- ... -\!\sta{\alpha_{n-2}}{\circ}\!  <\! \raisebox{-1 ex}{$\circ_{\alpha_{n-1}}$}\hskip -5.5ex\raisebox{1 ex}{$\circ^{\alpha_n}$}}
\newcommand{\donne}{\mapsto}

\newcommand{\End}{\mathrm{End}} \newcommand{\ens}{\mathds}
\newcommand{\Ens}[1]{\mbox{\Large $\mathbbm #1$}}
\newcommand{\ent}[2]{\left\{ #1 , \sus , #2 \right\}}

\newcommand{\equi}{\Leftrightarrow} \newcommand{\et}{\mathrm{\; et \;}}
\newcommand{\etc}{{\it etc}} \newcommand{\etm}{\sta{\scriptscriptstyle
-}{*}} \newcommand{\etoile}{\mbox{\ding{86}}}
\newcommand{\etp}{\sta{\scriptscriptstyle +}{*}}

\newcommand{\exist}{{}^{\exists}} \newcommand{\existe}{\exists\:}
\newcommand{\exoo}{({\it exo})}
\newcommand{\Ext}{\soul{\mathrm{Ext}}} \newcommand{\ext}{\mathrm{Ext}}
\newcommand{\extf}{\soul{\mathrm{Ext}}}

\newcommand{\F}[1]{\left[ #1 \right]^f} \newcommand{\fini}{\mbox{ fini
}} 
\newcommand{\fl}{\rightarrow} \newcommand{\Fl}{\longrightarrow}
\newcommand{\flfl}{\raisebox{-1ex}{$\check{}$}$\hskip -.2ex\frown$\hskip -.2ex\raisebox{-1ex}{$\check{}$}}
%flche arrondie avec 2 bouts

\newcommand{\flg}{\leftarrow} \newcommand{\Flg}{\leftarrow}
\newcommand{\fstr}{\mathscr{O}}

\newcommand{\G}{{\mathbf X}} \newcommand{\gamb}{\leadsto}
\newcommand{\GGG}{\adh{\mathrm{PGL}_3}}
\newcommand{\gb}{\goth g - B} \newcommand{\GC}{{\cal GC}}
\newcommand{\gbt}{\goth g - \tilda{B}} 

\newcommand{\ggbb}{\goth g\croi\goth g-B\croi B}
\newcommand{\ggbbm}{\goth g \croi \goth g-B \croi B^-}
\newcommand{\ggbbmt}{\goth g \croi \goth g - \tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} \newcommand{\ggbbt}{\goth g \croi \goth g-\tilda{B} \croi
\tilda{B^-}} 

\newcommand{\Gr}{\mathrm Gr}
\newcommand{\gxg}{\goth g \croi \goth g}


\newcommand{\GXG}{G \croi G} \newcommand{\GXGT}{\tilda{G} \croi
\tilda{G}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} \newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\homf}{\soul{\mathrm{Hom}}}

\newcommand{\hp}{\cdot}

%%%%%%\newcommand{\hom}{\mbox{hom}}%%%%%%%%
\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ie}{\emph{i.e. }}
\newcommand{\im}{\mathrm{Im\:}} 
\newcommand{\impliq}{\Rightarrow}
\newcommand{\Impliq}{\Longrightarrow}
\newcommand{\inc}{\hookrightarrow} \newcommand{\infi}{\infty}
\newcommand{\infra}[1]{\stepcounter{infra}\setcounter{footnote}{\value{infra}}%
\footnote{#1}}

%%%%%%%ATTENTION : RENOUVELLEMENT DE COMMANDES %%%%%%%%%%%


\newcommand{\inter}{\bigcap} \newcommand{\inv}{^{-1}}
\newcommand{\Inv}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\iso}{\simeq}

\newcommand{\kk}{{\mathbf{k}}}
\newcommand{\K}{\mathbbm{K}}

\newcommand{\lf}{\longrightarrow} \newcommand{\li}{\mathrm{Lie}}

\newcommand{\limc}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \CC^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite en l'infini%%%%%%% 
\newcommand{\limi}{\ma \lim_{a \to\infi}}



%%%%%%%limite directe%%%%%%%%

\newcommand{\limd}[1]{\lim_{\sta{\lf}{#1}}}

\newcommand{\limk}[1]{\lim_{\begin{array}{c} #1 \in \K^*\\ #1 \to 0
\end{array}}}


%%%%%%%limite projective%%%%%%%%
\newcommand{\limp}[1]{\lim_{\sta{\longleftarrow}{#1}}}


%%%%%%limite en 0%%%%%% 
\newcommand{\limz}{\ma \lim_{ a \to 0}}
\newcommand{\limzz}{\ma \lim_{ z \to 0}}
\newcommand{\loccit}{\emph{loc. cit.}}


\newcommand{\ma}{\displaystyle} %%%%%%matrices d'ordre 2, 3%%%%%%%


\newcommand{\mat}[4]{\left(
\begin{array}{cc} #1 & #2\\ #3 & #4
\end{array} \right)}


\newcommand{\Mac}[9]{\left[
\begin{array}{ccc} #1 & #2 & #3\\ #4 & #5 & #6 \\ #7 & #8 & #9
\end{array} \right]}



\newcommand{\Mat}{\mathrm{Mat}}




%M\^eme symbole de note infrapaginale 
\newcommand{\mais}{\mbox{ mais
}} \newcommand{\minfra}{\addtocounter{footnote}{-1} \footnotemark}

\newcommand{\mod}{\mathrm{ \: mod \:}}
\newcommand{\modulo}{\mathrm{\:modulo \:}}
\newcommand{\moins}{\:\setminus\:} %mathenrelief%
\newcommand{\mr}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\mult}{\mbox{mult}}

\newcommand{\N}{\ens N} \newcommand{\numer}{$\mathrm N^0$}


\newcommand{\Or}{\mbox{Or, }} \newcommand{\orb}{\mathrm{orb}}
\newcommand{\ort}{\bot} \newcommand{\Ou}{\mbox{\Ou}}
\newcommand{\ou}{\mbox{ ou }} 
%%%\newcommand{\P}{{\mathbbm P}}
\newcommand{\p}{\:\:.}  
\newcommand{\PGL}{\mathrm{PGL}}
\newcommand{\PP}{\mathbbm{P}}
\newcommand{\pas}{\not\in} 
\newcommand{\phir}{\varphi}
\newcommand{\Pic}{\mathrm{Pic}\;} 
\newcommand{\pic}{\mathrm{pic}\;}
\newcommand{\plus}{\oplus} \newcommand{\Plus}{\bigoplus}
\newcommand{\priv}{\setminus}

\newcommand{\prof}{\mathrm{prof}}
\newcommand{\PSO}{\mathrm{PSO}}
\newcommand{\Q}{\ens Q}
\newcommand{\QQ}{\ens Q}
\newcommand{\qed}{\hspace*{\fill}\nolinebreak[1]\hspace*{\fill}\underline{\bf
Q.e.d.}\\} 
\newcommand{\qq}{{}^{\forall}}
\newcommand{\qu}{\call{Q}}


\newcommand{\R}{\ens R} 
\newcommand{\RR}{\ens R} 
%\newcommand{\res}[1]{\!\bigm |_{#1}}
%restriction 
\newcommand{\re}{\mathrm Re}
\newcommand{\res}[1]{{\left | {}_{#1} \right.}}
\newcommand{\Rad}{\mathrm{Rad}}
\newcommand{\rad}{\mathrm{rad}}
\newcommand{\rat}{\mathrm{rat}}
\newcommand{\rang}{\mathrm{rang}}
\newcommand{\Rat}{\mathrm{Rat}}
\newcommand{\ratt}[1]{_{{#1}\!-\!\rat}}
\newcommand{\resp}{{\it respectivement}}
\newcommand{\rg}{\mathrm{rg}\,}


\newcommand{\rond}{\circ}

\newcommand{\saut}{\vskip 2em}
\newcommand{\se}{{\it sous-entendu }}
\newcommand{\septminus}{\setminus} \newcommand{\sev}{sous-espace
vectoriel} \newcommand{\sgp}{sous-groupe \`a un param\`etre }
\newcommand{\sgps}{sous-groupes \`a un param\`etre }
\newcommand{\Si}{\mbox{ Si }} 
\newcommand{\si}{\mathrm{\;si\;}} 
\newcommand{\sinon}{\mbox{ sinon}} 
\newcommand{\SL}{\mathrm{SL}}
\newcommand{\sll}{\mathrm{sl}}
\newcommand{\SO}{\mathrm{SO}}
\newcommand{\Soit}{\mbox{Soit }} \newcommand{\soit}{\mbox{ soit }}
\newcommand{\soul}{\underline} \newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}
\newcommand{\Sp}{\mathrm{Sp}}
\newcommand{\spec}{\mathrm{Spec}} \newcommand{\ssi}{\mbox{ si et
seulement si }} \newcommand{\sta}{\stackrel}
\newcommand{\sub}{\subseteq}
\newcommand{\substr}{\raisebox{-1.5ex}{$\:\stackrel{\displaystyle
\subset}{\scriptstyle\not=}\:$}}
\newcommand{\supp}{\mathrm{supp}}
\newcommand{\surj}{\:\rule[.5ex]{1.5em}{0.1ex}\!\!\!\!\!\succ\!\!\!\succ
} \newcommand{\surl}{\overline}  \newcommand{\sus}{\ldots}
\newcommand{\susv}{\vdots} \newcommand{\strict}{\subset}
\newcommand{\Sym}{\mathrm{Sym}}
\newcommand{\Tens}{\bigotimes} \newcommand{\tens}{\otimes} 

%%%\tenso : produit tensoriel avec texte sous le symbole%%%%%%%

\newcommand{\tenso}[1]{\raisebox{-1.5ex}{$\ma \stackrel{\displaystyle
\tens}{\scriptstyle #1}$}} 
\newcommand{\ti}{\tilda}
\newcommand{\tilda}{\widetilde} 
\newcommand{\tiret}{-\!\!\!-}
\newcommand{\tq}{\: : \:} 
\newcommand{\tlq}{\mbox{ tel que }}
\newcommand{\tqs}{\mbox{ tels que }} \newcommand{\tqe}{\mbox{ telle
que }} 
\newcommand{\tqes}{\mbox{ telles que }} 

\newcommand{\transposee}[1]{{\vphantom{#1}}^{\mathit t}{#1}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}}
\newcommand{\tri}{$$
\ast\;\ast\;\ast $$} 

\newcommand{\un}{\cup} 

\newcommand{\Uni}{\bigcup}

\newcommand{\uni}{\cup} 



\newcommand{\val}{\mathrm{val}}

%%%%%produit vectoriel ou ext\'erieur%%%%%%%

\newcommand{\Vect}{\bigwedge\nolimits} 

\newcommand{\vect}{\land}

\newcommand{\vide}{\emptyset}

\newcommand{\X}{{\cal X}}

\newcommand{\Y}{{\cal Y}_\R}

\newcommand{\Z}{\ens Z} \newcommand{\z}{\mbox{\bf z}}
\newcommand{\ZZ}{\mbox{\Large $\mathbbm Z$}}
\newcommand{\zzz}{{\mathbf{z}}}


\newcommand{\appli}[5][]{\begin{array}{ccc} #2 &
\stackrel{#1}{\longrightarrow} & #3 \\ #4 & \longmapsto & #5
\end{array}}

\newcommand{\applinom}[6][]{#2:\left\{
\begin{array}{ccc} #3 & \stackrel{#1}{\longrightarrow} & #4 \\ #5 &
\longmapsto & #6
\end{array} \right.  }

\newcommand{\quo}[2]{\raisebox{.75ex}{$#1$}\!\!\bigm
/\raisebox{-.75ex}{$\!\!#2$}}

\newcommand{\Quo}[2]{\raisebox{.75ex}{#1}\!\!\!\Bigm
/\raisebox{-.75ex}{\!\!\!#2}}

%%%%%%%pointill\'es antidiagonaux%%%%

%%%%%%%%%%

\setcounter{secnumdepth}{4}

   \makeatletter
   \newif\if@borderstar
   \def\bordermatrix{\@ifnextchar*{%
       \@borderstartrue\@bordermatrix@i}{\@borderstarfalse\@bordermatrix@i*}%
   }
   \def\@bordermatrix@i*{\@ifnextchar[{\@bordermatrix@ii}{\@bordermatrix@ii[()]}}
   \def\@bordermatrix@ii[#1]#2{%
   \begingroup
     \m@th\@tempdima8.75\p@\setbox\z@\vbox{%
       \def\cr{\crcr\noalign{\kern 2\p@\global\let\cr\endline }}%
       \ialign {$##$\hfil\kern 2\p@\kern\@tempdima & \thinspace %
       \hfil $##$\hfil && \quad\hfil $##$\hfil\crcr\omit\strut %
       \hfil\crcr\noalign{\kern -\baselineskip}#2\crcr\omit %
       \strut\cr}}%
     \setbox\tw@\vbox{\unvcopy\z@\global\setbox\@ne\lastbox}%
     \setbox\tw@\hbox{\unhbox\@ne\unskip\global\setbox\@ne\lastbox}%
     \setbox\tw@\hbox{%
       $\kern\wd\@ne\kern -\@tempdima\left\@firstoftwo#1%
         \if@borderstar\kern2pt\else\kern -\wd\@ne\fi%
       \global\setbox\@ne\vbox{\box\@ne\if@borderstar\else\kern 2\p@\fi}%
       \vcenter{\if@borderstar\else\kern -\ht\@ne\fi%
         \unvbox\z@\kern-\if@borderstar2\fi\baselineskip}%
         \if@borderstar\kern-2\@tempdima\kern2\p@\else\,\fi\right\@secondoftwo#1 $%
     }\null \;\vbox{\kern\ht\@ne\box\tw@}%
   \endgroup
   }
   \makeatother


\makeindex

\setmarginsrb{2cm}{1cm}{2cm}{2cm}{0cm}{1cm}{1cm}{1cm}

\thispagestyle{empty}

\begin{document}




\begin{center}
{\bf Universit\'e Lyon 1\\
Alg\`ebre III -- diagonalisation et applications\\
 semestre d'automne 2011}\\
Contr\^ole continu \'ecrit \no 1\\
lundi 7 novembre  2011\\
dur\'ee : 2h\\
documents et  calculatrices interdits
\end{center}
\vskip 1cm

\begin{exo}
Soit $A$ la matrice complexe $\left(\begin{array}{cc}
2 & i\\
i&0
\end{array}\right)$.
\begin{enumerate}[a) ]
\item La matrice $A$ est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.

\item La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
\end{enumerate}
\end{exo}




\begin{exo}
On pose : 
\[A:=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{array}\right)\; , B:=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
2 & 3 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)\;\; .\]

\begin{enumerate}[a) ]

\item Diagonaliser $B$.

\item La matrice $A$ est-elle semblable à $B$ ?
\end{enumerate}


\end{exo}

\begin{exo}
Soit $n \ge 2$. Soit $A$ la matrice réelle $n \croi n$ de coefficients $A_{i,j} = 1 $ si $i \neq j$ et $A_{i,i}=0$ pour tout $i$.  On pose $B=A+I_n$.

\begin{enumerate}[a) ]
\item Quel est le rang de la matrice $B$ ? En déduire que $-1$ est une valeur propre de $A$ et déterminer la dimension de l'espace propre associé.

\item Calculer :
\[A \left(\begin{array}{c}
1\\
\vdots\\
1
\end{array}\right)\]

et en déduire une nouvelle valeur propre de $A$.

\item Justifier que $A$ est diagonalisable puis donner son polyn\^ome caractéristique.


\item Donner une matrice $P$ inversible et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP\inv$ {\it (on ne demande pas de calculer $P\inv$)}.
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
Soit $E$ un espace vectoriel réel de base $e_1,e_2,e_3$. Soit $u$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans la base $e_1,e_2,e_3$ est :

\[   \left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 1 \\
-6 & 2 & 2 \\
-11 & 1 & 5
\end{array}\right) \p\]

\begin{enumerate}[a) ]

\item Quel est le polyn\^ome caractéristique de $u$ ?

\item On pose $f:=u-2\Id_E$. \`A l'aide du théorème de Cayley-Hamilton, déterminer $f^3$.

\item Montrer qu'il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que $f^2(x) \neq 0$.

\item Montrer que les vecteurs $x,f(x),f^2(x)$ forment une base de $E$ {\it (indication : si $a,b,c$ sont des réels tels que $ax+bf(x)+cf^2(x) = 0$, justifier que $a=0$ en appliquant $f^2$ à cette égalité)}.

\item Quelle est la matrice de $u$ dans cette nouvelle base ?
\end{enumerate} 
\end{exo}

\end{document}


\begin{exo}
Soit $E$ l'espace vectoriel des matrices réelles de la forme :
\[\left(\begin{array}{cc}
x & y \\
z &-x
\end{array}\right)\]
$x,y,z \in \RR$. Soit $A:=\left(\begin{array}{cc}
0&2\\
1&1
\end{array}\right)$. On pose $\phi(B):= AB-BA$ pour tout $B \in E$.

\begin{enumerate}[a) ]

\item Trouver une base de $E$.

\item Montrer que $\phi(B) \in E$ si $B \in E$.

\item Donner la matrice de $\phi : E \to E$ dans la base trouvée en a).

\item Donner une base de $E$ formée de vecteurs propres de $\phi$.

\end{enumerate}


\end{exo}
