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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape Devoir de r\'evisions}\end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \emph{\`A rendre au plus tard le jeudi 22 mai 2008. Le probl\`eme 2 et le probl\`eme 4 (sauf la question 5) sont extraits de l'examen de 2004.} 

\vspace{0.5cm}


\noindent \textbf{Probl\`eme 1} --- \'Etant donn\'e un nombre entier naturel $n \geq 2$, on d\'esigne par $\lambda(n)$ le nombre de solutions de l'\'equation $x^2 -1 = 0$ dans l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ; de mani\`ere \'equivalente, $\lambda(n)$ est le nombre d'entier naturels $m \in \{0,1, \ldots, n-1\}$ tels que $m^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ n)$.

\vspace{0.1cm}
Cet exercice a pour objet l'\'etude de la fonction $\lambda$.

\vspace{0.3cm} 1. Calculer explicitement $\lambda(n)$ pour $2 \leq n \leq 8$.

\vspace{0.3cm} 2. D\'emontrer que la fonction $\lambda$ est \emph{multiplicative} : pour tous entiers naturels $n$ et $n'$ premiers entre eux, $$\lambda(nn') = \lambda(n)\lambda(n').$$

\vspace{0.3cm} 3. Montrer que l'on a $\lambda(p^{\alpha}) = 2$ pour tout nombre premier $p$ \emph{impair} et tout nombre entier $\alpha \geq 1$.

\vspace{0.3cm} 4. (i) Que valent $\lambda(2)$, $\lambda(4)$, $\lambda(8)$ et $\lambda(16)$?

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) Soit $\alpha \geq 3$ un nombre entier. Justifier qu'un \'el\'ement $x$ de $\mathbb{Z}/2^{\alpha}\mathbb{Z}$ v\'erifie $x^2 = 1$ si et seulement si c'est la classe d'un nombre entier de la forme $1+2y$ avec $y \in \mathbb{Z}$ et $y(y+1) \equiv 0 \ (\mathrm{mod}\ 2^{\alpha -2})$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que l'on a $$\lambda(2^{\alpha}) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \ \textrm{ si } \alpha = 1 \\ 2 & \ \textrm{ si } \alpha = 2 \\ 4 & \ \textrm{ si } \alpha \geq 3. \end{array} \right.$$

\vspace{0.3cm} 5. Donner une formule explicite pour $\lambda(n)$ en fonction de la d\'ecomposition de $n$ en produit de facteurs premiers. En guise d'application, d\'eterminer $\lambda(440)$. 


\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Probl\`eme 2} --- Soit $\G$ un groupe fini et soit $x \in \G$ un \'el\'ement d'ordre $n$. On d\'esigne par $\Hr$ le sous-groupe de $\G$ engendr\'e par $x$ et on pose $$\C = \{g \in \G \ | \ gx = xg\}, \ \ \ \ \N = \{g \in \G \ | \ g\Hr g^{-1} = \Hr\}.$$

\vspace{0.1cm} 1. (i) Pour tout $x \in \N$, montrer qu'il existe un unique nombre entier $\nu(g) \in \{1, \ldots, n-1\}$ premier avec $n$ tel que $gxg^{-1} = x^{\nu(g)}$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) D\'emontrer que l'application $\overline{\nu} : \N \rightarrow \left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}, \ \ g \mapsto \nu(g) \ (\mathrm{mod} \ n)$ est un homomorphisme de groupes de noyau $\C$.

\vspace{0.1cm} 2. On suppose maintenant que $\G$ est un groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_m$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (i) Soit $c \in \G$ un cycle de longueur $\ell$ et soit $k$ un nombre entier premier avec $\ell$. D\'emontrer que $c^k$ est \'egalement un cycle de longueur $\ell$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) En d\'eduire que si $x'$ est un autre g\'en\'erateur du groupe $\Hr$, alors $x$ et $x'$ sont conjugu\'es dans $\G$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iii) D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que les groupes $\N/\C$ et $\left(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right)^{\times}$ sont isomorphes.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iv) Si l'on suppose en outre que $x$ est un $m$-cycle, montrer que l'on a $\C = \Hr$ et calculer l'ordre de $\N$.

\vspace{0.8cm}
\noindent \textbf{Probl\`eme 3} (\emph{Simplicit\'e du groupe $\mathfrak{A}_5$}) ---  \'Etant donn\'e un nombre entier $n \geq 2$, on rappelle qu'il existe un et un seul homomorphisme de groupes $\varepsilon : \mathfrak{S}_n \rightarrow \{-1, 1\}$ tel que $\varepsilon(\tau) = -1$ pour toute transposition $\tau$ ; cet homomorphisme est la \emph{signature} et l'on a $\varepsilon(c) = (-1)^{\mathrm{longueur}(c)-1}$ pour tout cycle $c \in \mathfrak{S}_n$ (cf. Fiche 5, exercice 1). Par d\'efinition, le \emph{groupe altern\'e de degr\'e $n$} est le noyau de cet homomorphisme ; c'est un sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{S}_n$ d'indice $2$, que l'on note $\mathfrak{A}_n$. 

\vspace{0.1cm} 1. Pour $n \in \{2,3,4,5\}$, d\'ecrire les \'el\'ements du groupe $\mathfrak{A}_n$ \`a partir de leur d\'ecomposition en produit de cycles de supports disjoints.

\vspace{0.1cm} 2.  (i) V\'erifier que le groupe $\mathfrak{A}_3$ est isomorphe \`a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. 

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) V\'erifier que $\Hr = \{1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)\}$ est un sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{A}_4$ et que le groupe quotient $\mathfrak{A}_4/\Hr$ est isomorphe \`a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

\vspace{0.1cm} 3. Supposons $n \geq 3$.
 
\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (i) D\'emontrer que le produit de deux transpositions distinctes de $\mathfrak{S}_n$ est un $3$-cycle ou le produit de deux trois cycles. (\emph{Indication : consid\'erer d'abord le cas de deux transpositions ayant des supports non disjoints puis celui de deux transpositions ayant des supports disjoints}.)

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) En d\'eduire que le groupe altern\'e $\mathfrak{A}_n$ est engendr\'e par les $3$-cycles.

\vspace{0.1cm} 4. L'objet de cette derni\`ere question est de d\'emontrer que le groupe $\mathfrak{A}_5$ est \emph{simple}, c'est-\`a-dire qu'il ne poss\`ede pas de sous-groupe distingu\'e distinct de $\{1\}$ et $\mathfrak{A}_5$. Soit donc $\N$ un sous-groupe distingu\'e de $\mathfrak{A}_5$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (i) En utilisant la question 3, montrer que si $\N$ contient un $3$-cycle alors $\N = \mathfrak{A}_5$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) Supposons que $\N$ contienne le produit de deux transpositions de supports disjoints, disons $\sigma = (1,2)(3,4)$. Montrer que $\sigma$ et $\tau = (1,5)(3,4)$ sont conjugu\'es dans $\mathfrak{A}_5$ et en d\'eduire que $\N$ contient le $3$-cycle $\sigma \tau  = (1,2,5)$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iii) Supposons que $\N$ contienne un $5$-cycle, disons $\sigma = (1,2,3,4,5)$. Montrer que le $5$-cycle $\tau = (1,3,2,5,4)$ est conjugu\'e \`a $\sigma$ dans $\mathfrak{A}_5$ et en d\'eduire que $\N$ contient le $3$-cycle $\sigma \tau = (1,4,2)$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm}(iv) Conclure.

\vspace{0.8cm} 
\noindent \textbf{Probl\`eme 4} --- Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts. On note $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ le corps \`a $p$ \'el\'ements et on consid\`ere dans $\mathbb{F}_p[\X]$ le polyn\^ome $f(\X) = \X^{q-1} + \X^{q-2} + \ldots + \X + 1$.

\vspace{0.1cm} 1. V\'erifier que l'on a $\X^q - 1 = (\X-1)f(\X)$ et que $\X-1$ ne divise pas $f(\X)$.

\vspace{0.1cm} Dans ce qui suit, on d\'esigne par $g(\X)$ un facteur irr\'eductible de $f(\X)$ dans $\mathbb{F}_p[\X]$ et l'on pose $d = \mathrm{deg}(g)$.

\vspace{0.1cm} 2.  \indent (i) Expliquer pourquoi l'anneau quotient $\K = \mathbb{F}_p[\X]/(g)$ est un corps.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) Montrer que toute classe dans $\K$ contient un unique polyn\^ome de $\mathbb{F}_p[\X]$ de degr\'e au plus $d-1$. 

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iii) En d\'eduire que $\K$ est de cardinal $p^d$.

\vspace{0.1cm} 3. Soit $x$ la classe de $\X$ dans $\K$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm}  (i) Montrer que $x$ est un \'el\'ement d'ordre $q$ dans le groupe multiplicatif $\K^{\times}$. (\emph{Indication : utiliser la question 1})

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) Prouver que $p^d$ est congru \`a $1$ modulo $q$.

\vspace{0.1cm} 4. Soit $n$ l'ordre de la classe de $p$ dans le groupe $\left(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \right)^{\times}$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (i) Prouver que $n$ divise $d$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) V\'erifier que l'application $\F : \K \rightarrow \K, \ a \mapsto a^p$ est un automorphisme du corps $\K$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iii) Montrer que l'on a $\F^n(x) = x$ puis en d\'eduire que l'on a $\F^n = \mathrm{id}_{\K}$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iv) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que tout \'el\'ement de $\K$ est racine du polyn\^ome $\T^{p^n} - \T$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (v) Conclure que l'on a $d = n$.

\vspace{0.1cm} \noindent 5. On fixe dans cette derni\`ere question un nombre premier $q$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (i) Soit $a$ un nombre entier et supposons que $p$ soit un nombre premier distinct de $q$ qui divise $a^{q-1} + a^{q-2} + \ldots + a + 1$. En utilisant les questions pr\'ec\'edentes, d\'emontrer que le polyn\^ome $f(\X)$ est scind\'e dans $\mathbb{F}_p[\X]$ et en d\'eduire que l'on a $p \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ q)$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (ii) Soit $m \geq 2$ un nombre entier naturel. En utilisant l'identit\'e $(m!)^q - 1 = (m! - 1)((m!)^{q-1} + \ldots + m! + 1)$, d\'emontrer que l'on a $p \geq m+1$ pour tout facteur premier $p$ de $(m!)^{q-1} + \ldots + m! + 1$.

\vspace{0.1cm} \hspace{0.3cm} (iii) D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes qu'il existe une infinit\'e de nombres premiers $p$ tels que $p \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ q)$.

\end{document}