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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape 3. Groupes : exemples, sous-groupes et ordres} \end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1.} Soit $\mathbb{Q}$ l'ensemble des nombres rationnels muni de la loi de composition interne
$$* \ : \ \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}, \ (a,b) \mapsto a * b = a + b + ab.$$

Cette loi fait-elle de $\mathbb{Q}$ un groupe? Reprendre la question avec $(\mathbb{Q} - \{-1\}, *)$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 2.} Soit $\G$ un ensemble \emph{fini} muni d'une loi de composition interne $\G \times \G \rightarrow \G, \ (a, b) \mapsto a \cdot b.$ \\
On fait les hypoth\`eses suivantes :
\begin{itemize}
\item cette loi est associative ;
\item quels que soient les \'el\'ements $a, b$ et $c$ de $\G$, $$(a \cdot b = a \cdot c \ \Longrightarrow \ b = c) \ \ \textrm{ et } \ \ (b \cdot a = c \cdot a \ \Longrightarrow \ b = c).$$ (On dit que tout \'el\'ement de $\G$ est \emph{simplifiable} \`a gauche et \`a droite.)
\end{itemize}

1. \'Etant donn\'e un \'el\'ement $a$ de $\G$, d\'emontrer qu'il existe un et un seul un \'el\'ement $e_a$ de $\G$ tel que $a \cdot e_a = e_a \cdot a = a$.

2. V\'erifier que l'on a $e_a = e_b$ pour tous \'el\'ements $a$ et $b$ de $\G$.

3. En conclure que $\G$ est un groupe.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 3.} Soit $\G$ un groupe d'\'el\'ement neutre $e$. D\'emontrer que, si $g^2 = e$ pour tout \'el\'ement $g$ de $\G$, alors $\G$ est ab\'elien. (\emph{Indication : calculer l'inverse du produit $gh$ de deux \'el\'ements $g, h$ de $\G$}.)

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 4.} (\emph{Le groupe des quaternions}) Soit $\mathbb{H}_8$ l'ensemble des huit matrices complexes suivantes : $$\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} 0 & i \\ i & 0 \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} 0 & -i \\ -i & 0 \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} -i & 0 \\ 0 & i \end{array}\right), \ \left(\begin{array}{ll} -i & 0 \\ 0 & i \end{array}\right).$$

1. V\'erifier que $\mathbb{H}_8$ est un sous-groupe du groupe $\mathrm{SL}(2, \mathbb{C})$ et d\'eterminer l'ordre de chacun de ses \'el\'ements.

2. Le groupe $\mathbb{H}_8$ est-il ab\'elien?

3. Posons $$a = \left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \ \textrm{ et } \ b = \left(\begin{array}{ll} 0 & i \\ i & 0 \end{array}\right).$$ V\'erifier que le groupe $\mathbb{H}_8$ est engendr\'e par les \'el\'ements $a$ et $b$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 5.} D\'emontrer que les groupes $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}^2$ ne sont pas isomorphes.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 6.} Soit $\G$ un groupe d'ordre $4$.

1. Quelles sont les valeurs possibles pour l'ordre d'un \'el\'ement $g$ de $\G$?

2. S'il existe un \'el\'ement $g \in \G$ d'ordre $4$, d\'emontrer que $\G$ est cyclique et engendr\'e par $g$.

3. Si $g^2 = e$ pour tout \'el\'ement $g \in \G$, d\'emontrer que $\G$ est isomorphe au groupe produit $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

4. En d\'eduire que tout groupe d'ordre $4$ est isomorphe au groupe $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ ou au groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et justifier que ces deux groupes ne sont pas isomorphes.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 7.} V\'erifier que l'ensemble $$\left\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ -b & a \end{array} \right) \ ; \ a, b \in \mathbb{R} \ \textrm{ et } \ a^2 + b^2 \neq 0 \right\}$$ est un sous-groupe du groupe $\mathrm{GL}(2,\mathbb{R})$ puis d\'emontrer qu'il est isomorphe au groupe multiplicatif $\mathbb{C}^{\times}$. (\'Ecrire un isomorphisme explicite.)

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 8.} Soit $p$ un nombre premier. D\'emontrer que tout groupe fini d'ordre $p$ est cyclique.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 9.} Soit $k$ un corps. D\'emontrer que tout groupe fini est isomorphe \`a un sous-groupe du groupe lin\'eaire $\mathrm{GL}(\N, k)$ pour un entier $\N$ convenable. (\emph{Indication : utiliser le th\'eor\`eme de Cayley...})

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 10.} Soient $a$ et $b$ des \'el\'ements d'ordre $p$ et $q$ dans un groupe $\G$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

1. Si $a$ et $b$ commutent, d\'emontrer que $ab$ est d'ordre $pq$.

2. Donner un exemple mettant ce r\'esultat en d\'efaut si $a$ et $b$ ne commutent pas. (\emph{Indication : on pourra chercher parmi les groupes d'ordre $6$}...)

3. Soit $\G$ un groupe ab\'elien fini et soit $d$ le ppcm des ordres des \'el\'ements de $\G$. D\'emontrer que $\G$ contient un \'el\'ement d'ordre $d$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 11.} (\emph{Groupes cycliques finis}) Soit $\G$ un groupe cyclique fini d'ordre $n$.

1. Soit $g$ un g\'en\'erateur de $\G$ et soit $\Hr$ un sous-groupe de $\G$. D\'emontrer que $\Hr$ est cyclique et engendr\'e par $g^k$, o\`u $k$ est le plus petit nombre entier strictement positif tel que $g^k \in \Hr$.

2. D\'emontrer que, pour tout diviseur $d$ de $n$, $\G$ poss\`ede un unique sous-groupe d'ordre $d$.

3. D\'emontrer que, pour tout diviseur $d$ de $n$, $\G$ poss\`ede exactement $\varphi(d)$ \'el\'ements d'ordre $d$. En d\'eduire une nouvelle d\'emonstration de l'identit\'e suivante (\'etablie \`a l'exercice 5 de la fiche 2) : $$\sum_{d|n} \varphi(d) = n.$$
\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 12.} (\emph{Groupes cycliques finis, suite}) Soit $\G$ un groupe fini d'ordre $n$ satisfaisant \`a la condition suivante :
\vspace{-0.4cm} \begin{center} \emph{pour tout diviseur $d$ de $n$, il existe au plus $d$ \'el\'ements $g \in \G$ tels que $g^d = e$.} \end{center}

1. \'Etant donn\'e un diviseur $d$ de $n$, d\'emontrer qu'il existe au plus $\varphi(d)$ \'el\'ements d'ordre $d$ dans $\G$. (\emph{Indication : si $\G$ poss\`ede un \'el\'ement $g$ d'ordre $d$, comparer $\{h \in \G \ | \ h^d = e\}$ et le sous-groupe de $\G$ engendr\'e par $g$...})

2. En conclure que le groupe $\G$ est cyclique. (\emph{Indication : utiliser la derni\`ere question de l'exercice pr\'ec\'edent.})

3. Soit $p$ un nombre premier. D\'emontrer que le groupe multiplicatif $\mathbb{F}_p^{\times} = \mathbb{F}_p - \{0\}$ du corps fini $\mathbb{F}_p$ est cyclique.

4. D\'eterminer un g\'en\'erateur explicite de $\mathbb{F}_p^{\times}$ pour tout nombre premier $p \leq 11$ ainsi que pour $p=43$ et $p=71$. (\emph{Indication : utiliser l'exercice 8})

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 13.} Combien y a-t-il d'homomorphismes du groupe $\left(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\right)^{\times}$ dans le groupe $\mathfrak{S}_3$?

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 14.} Soit $\G$ un groupe et soit $\Hr$ un sous-groupe de $\G$. On note $\G/\Hr$ l'ensemble des classes \`a droite modulo $\Hr$ et on d\'esigne par $p : \G \rightarrow \G/\Hr$ l'application d\'efinie par $p(g) = g\Hr$.

D\'emontrer que les assertions suivantes sont \'equivalentes :  \\
\indent (i) il existe une structure de groupe sur $\G/\Hr$ telle que $p$ soit un homomorphisme de groupes ; \\
\indent (ii) $\Hr$ est un sous-groupe distingu\'e.

En guise d'application, en d\'eduire que tout sous-groupe de $\G$ d'indice $2$ est distingu\'e.
 
\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 15.} Le \emph{centre} d'un groupe $\G$ est l'ensemble $\Z = \{g \in \G \ | \ gh = hg \ \textrm{pour tout } h \in \G\}$.

1. V\'erifier que $\Z$ est un sous-groupe distingu\'e de $\G$. \`A quelle condition a-t-on $\Z = \G$?

2. D\'eterminer le centre des groupes suivants : $\mathfrak{S}_n$, $\mathrm{GL}(\N, \mathbb{Q})$, $\mathbb{H}_8$ (cf. exercice 4).

3. D\'emontrer que le groupe $\G$ est ab\'elien si et seulement si le groupe quotient $\G/\Z$ est cyclique.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 16.} 1. V\'erifier que le groupe sym\'etrique $\mathfrak{S}_3$ est engendr\'e par les permutations  $\sigma = \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array} \right)$ et $\tau~=~\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$.

2. D\'eterminer les classes \`a droite et \`a gauche de $\mathfrak{S}_3$ modulo le sous-groupe $\{1, \tau\}$.

\vspace{0.4cm} 
\noindent \textbf{Exercice 17.} Soient $\Hr$ et $\K$ deux sous-groupes d'un groupe $\G$ tels que $\K \subset \Hr$. On suppose que $\Hr$ est d'indice fini dans $\G$ et que $\K$ est d'indice fini dans $\Hr$. D\'emontrer que $\K$ est d'indice fini dans $\G$ et que l'on a $$(\G : \K) = (\G:\Hr)(\Hr:\K).$$

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 18.} Soit $\G$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}(2,\mathbb{Q})$ engendr\'e par les matrices $\A = \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$ et $\B = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array} \right)$.

V\'erifier que l'on a $\A^2 = \B^2 = 1$ puis d\'emontrer que tout \'el\'ement de $\G - \{1\}$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $\X_1 \X_2 \ldots \X_n$ avec $\X_i \in \{\A, \B\}$ et $\X_{i+1} \neq \X_i$ ; en particulier, le groupe $\G$ est \emph{infini}. V\'erifier \'egalement que $\G$ contient un \'el\'ement $g \in \G$ tel que $g^n \neq 1$ pour tout $n \geq 1$.
\end{document} 