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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape 4. Sous-groupes distingu\'es, groupes sym\'etriques et actions de groupes} \end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1.} Soit $\G$ un groupe. On fait op\'erer $\G$ sur l'ensemble de ses sous-groupes par automorphismes int\'erieurs : \'etant donn\'es un sous-groupe $\Hr$ de $\G$ et un \'el\'ement $g \in \G$, on pose $g. \Hr = g\Hr g^{-1}$.

Le stabilisateur d'un sous-groupe $\Hr$ sous cette action est le \emph{normalisateur} de $\Hr$ dans $\G$ : $$\N_{\G}(\Hr) = \{g \in \G \ | \ g\Hr g^{-1}  = \Hr\}.$$

1. Quel est le normalisateur d'un sous-groupe distingu\'e? Est-ce une caract\'erisation des sous-groupes distingu\'es?

2. V\'erifier que $\N_{\G}(\Hr)$ est le plus grand sous-groupe de $\G$ dans lequel $\Hr$ soit distingu\'e.

3. D\'eterminer le normalisateur du sous-groupe de $\mathfrak{S}_4$ engendr\'e par les transposition $(1,2)$ et $(3,4)$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 2.} (\emph{Produit direct}) 1. Soit $\G$ un groupe et soient $\Hr$ et $\K$ deux sous-groupes distingu\'es de $\G$ tels que $\Hr \cap \K = \{e\}$.

Montrer que l'on a $hk = kh$ pour tous $h \in \Hr$, $k \in \K$. En d\'eduire que $\Hr\K = \{hk \in \G, \ h \in \Hr \ \textrm{et} \ k \in \K\}$ est un sous-groupe de $\G$ isomorphe au groupe produit $\Hr \times \K$. 

2. \emph{Application}. Soit $\G$ un groupe ab\'elien fini d'ordre $n$. Pour tout nombre premier $p$, on d\'esigne par $\G(p)$ l'ensemble des \'el\'ements de $\G$ dont l'ordre est une puissance de $p$.
\begin{itemize}
\item V\'erifier que $\G(p)$ est un sous-groupe de $\G$ (appel\'e la \emph{composante $p$-primaire } de $\G$).
\item D\'emontrer que $\G$ est isomorphe au produit direct des groupes $\G(p)$, $p|n$.
\item D\'emontrer qu'un groupe ab\'elien $\Hr$ d'ordre $n$ est isomorphe \`a $\G$ si et seulement si, pour tout diviseur premier $p$ de $n$, les groupes $\G(p)$ et $\Hr(p)$ sont isomorphes.
\end{itemize}

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 3.} Soit $\G$ un groupe fini, soit $p$ le plus petit facteur premier de $|\G|$ et soit $\Hr$ un sous-groupe de $\G$ d'indice $p$. L'objectif est de d\'emontrer que $\Hr$ est distingu\'e.

1. On consid\`ere l'action de $\G$ sur l'ensemble $\G/\Hr$ des classes \`a gauche modulo $\Hr$ d\'efinie par $g.a\Hr = (ga)\Hr$. D\'emontrer que tout sous-groupe de $\G$ op\`ere soit transitivement, soit trivialement (c'est-\`a-dire fixe chaque point).

2. En d\'eduire que $\Hr$ est un sous-groupe distingu\'e de $\G$.


\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 4.} Dresser la liste des \'el\'ements du groupe $\mathfrak{S}_n$ ainsi que sa table de multiplication pour $2 \leq n \leq 4$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 5.} Soient $\sigma = \left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 4 & 5 & 3 \end{array}\right)$ et $\tau = \left(\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 3 & 4 & 2 & 1 \end{array}\right)$ dans $\mathfrak{S}_5$.

1. Expliciter les permutations $\sigma \tau$, $\tau \sigma$, $\sigma^2 \tau$ et $\sigma \tau^{-1}$.

2. D\'eterminer l'ordre de $\sigma$, $\tau$ et $\sigma \tau$.

3. \'Ecrire $\tau$ comme un produit de transpositions de la forme $(i, i+1)$ ($1 \leq i \leq 4$) puis comme un produit de transpositions de la forme $(1,i)$ ($2 \leq i \leq 5$).

4. D\'ecomposer $\sigma$ en produit de cycles de supports disjoints.

5. Expliciter $\sigma^{2008}$ et $\tau^{2008}$.


\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 6.} 1. \'Etant donn\'e un cycle $c = (a_1, a_2, \ldots, a_m)$ dans $\mathfrak{S}_n$, d\'emontrer que l'on a $$\sigma c \sigma^{-1} = (\sigma(a_1), \sigma(a_2), \ldots, \sigma(a_m))$$ pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. En d\'eduire que deux permutations sont conjugu\'ees dans $\mathfrak{S}_n$ si et seulement si les longueurs des cycles intervenant dans leur d\'ecomposition canonique en un produit de cycles disjoints sont les m\^emes.

2. D\'eterminer toutes les classes de conjugaison dans $\mathfrak{S}_5$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 7.} Les permutations suivantes sont-elles conjugu\'ees dans $\mathfrak{S}_7$? Si oui, donner explicitement un \'el\'ement $\tau$ de $\mathfrak{S}_7$ tel que $\sigma' = \tau \sigma \tau^{-1}$.

1. $\sigma = \left(\begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 3 & 4 & 2 & 1 & 7 & 6 \end{array} \right) \ \textrm{ et } \ \sigma' = \left(\begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 5 & 7 & 6 & 1 & 4 & 3 \end{array} \right)$.

2.  $\sigma = \left(\begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 6 & 5 & 3 & 4 & 7 & 1 \end{array} \right) \ \textrm{ et } \ \sigma' = \left(\begin{array}{lllllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 3 & 6 & 4 & 1 & 7 & 2 & 5 \end{array} \right)$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 8.} Soit $n \geq 2$ un nombre entier. D\'emontrer que le groupe $\mathfrak{S}_n$ est engendr\'e par

1. les $n-1$ transpositions de la forme $(i,i+1)$, $1 \leq i \leq n-1$ (\emph{Indication : r\'ecurrence sur $n$}) ;

2. les $n-1$ transpositions de la forme $(1,i)$, $2 \leq i \leq n$ ;

3. la transposition $(1,2)$ et le $n$-cycle $(1, 2, \ldots, n)$.


\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 9.} On rappelle que le \emph{groupe altern\'e} $\mathfrak{A}_n$ est le sous-groupe de $\mathfrak{S}_n$ constitu\'e des permutations paires et on suppose $n \geq 3$.

1. D\'emontrer que le produit de deux transpositions est un produit de $3$-cycles.

2. En d\'eduire que le groupe $\mathfrak{A}_n$ est engendr\'e par les $3$-cycles.

3. D\'emontrer que tout \'el\'ement de $\mathfrak{A}_n$ peut s'\'ecrire sous la forme d'un produit de carr\'es d'\'el\'ements de $\mathfrak{S}_n$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 10.} 1. Combien y a-t-il d'\'el\'ements dans $\mathfrak{S}_8$ qui se d\'ecomposent en un produit de trois cycles disjoints, deux de longueur $2$ et un de longueur $3$?

2. Combien y a-t-il de $m$-cycles dans $\mathfrak{S}_n$?

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exerice 11.} Soit $\sigma = \left(\begin{array}{llllll} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \in \mathfrak{S}_6$.

1. Quel est le nombre d'inversions de $\sigma$? En d\'eduire la signature de cette permutation.

2. D\'ecomposer $\sigma$ en un produit de cycles disjoints et en d\'eduire son ordre.

3. Justifier que $\sigma^{2006}$ est un produit de transpositions disjointes puis les d\'eterminer explicitement.

4. Combien y a-t-il d'\'el\'ements dans la classe de conjugaison de $\sigma$?

5. D\'ecomposer $\sigma$ en un produit de transpositions de la forme $(1,i)$, $2 \leq i \leq 6$.

\vspace{0.4cm} 
\noindent \textbf{Exercice 12.} D\'ecrire les classes de conjugaison dans $\mathrm{GL}(\N,\mathbb{C})$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 13.} (\emph{Commutateurs et groupe d\'eriv\'e}) Soit $\G$ un groupe. \'Etant donn\'es deux \'el\'ements $x$ et $y$ de $\G$, leur \emph{commutateur} est par d\'efinition l'\'el\'ement $[x,y] = x^{-1}y^{-1}xy$. 

On appelle \emph{groupe d\'eriv\'e} de $\G$ le sous-groupe $\D(\G)$ de $\G$ engendr\'e par les commutateurs $[x,y]$, $x, \ y \in \G$.

1. \`A quelle condition sur $\G$ a-t-on $\D(\G) = \{e\}$?

2. V\'erifier que $\D(\G)$ est un sous-groupe distingu\'e de $\G$.

3. D\'emontrer que le groupe quotient $\G/\D(\G)$ est ab\'elien puis v\'erifier que, pour tout homomorphisme $f$ de $\G$ dans un groupe ab\'elien, $\mathrm{Ker}(f)$ contient $\D(\G)$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 14.} (\emph{Groupe d\'eriv\'e du groupe $\mathfrak{S}_n$}) On utilise les notations de l'exercice pr\'ec\'edent.

1. Si $n \geq 5$, d\'emontrer que deux $3$-cycles sont toujours conjugu\'es par un \'el\'ement de $\mathfrak{A}_n$. 

2. On suppose encore $n \geq 5$. \'Etant donn\'e un $3$-cycle $\sigma \in \mathfrak{A}_n$, d\'emontrer qu'il existe une permutation $\tau \in \mathfrak{A}_n$ telle que $\sigma = [\sigma, \tau]$. (\emph{Indication : \'ecrire $\sigma = \sigma^{-1} \sigma^2$})

3. En d\'eduire que l'on a $\D(\mathfrak{A}_n) = \mathfrak{A}_n$ pour $n \geq 5$. (\emph{Indication : utiliser l'exercice 9})

4. D\'emontrer que l'on a $\D(\mathfrak{S}_n) = \mathfrak{A}_n$ pour tout $n \geq 2$.  \footnote{\'etant donn\'e un corps $k$, \'Evariste Galois (1811-1832) a d\'ecrit une correspondance tr\`es pr\'ecise entre les propri\'et\'es des groupes finis et celles des racines $x$ des \'equations alg\'ebriques $f(x)=0$, o\`u $f \in k[\T]$ est un polyn\^ome. Dans ce dictionnaire, les r\'esultats 3 et 4 impliquent le fait suivant : il est en g\'en\'eral impossible de r\'esoudre une \'equation de degr\'e $\geq 5$ en n'utilisant que des racines $n$-\`emes successives! (Voir par exemple le livre \emph{Th\'eorie de Galois} de J.-P. Escoffier, chez Dunod)}

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 15.} Soit $p$ un nombre premier et soit $\G$ un groupe fini dont le cardinal est une puissance de $p$. Le but de cet exercice est de d\'emontrer que le centre de $\G$ n'est pas r\'eduit \`a l'\'el\'ement neutre.

1. Supposons que $\G$ op\`ere sur un ensemble fini $\X$ et d\'esignons par $\X^{\G}$ l'ensemble des points fixes de $\X$ sous $\G$. D\'emontrer que l'on a $|\X| \equiv |\X^{\G}| \ (\mathrm{mod} \ p)$.

2. D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que le centre de $\G$ n'est pas r\'eduit \`a l'\'el\'ement neutre.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 16.} (\emph{Th\'eor\`eme de Cauchy}) Soit $\G$ un groupe fini d'ordre $n$ et soit $p$ un diviseur premier de $n$. Le but de cet exercice est de d\'emontrer que $\G$ contient un \'el\'ement d'ordre $p$.
 
On consid\`ere l'ensemble $\X = \{(x_1, \ldots, x_p) \in \G^p \ | \ x_1 \ldots x_p = e\}$ et on note $\sigma$ le cycle dans $\mathfrak{S}(\X)$ d\'efini par $\sigma(x_1, x_2,\ldots,x_p) = (x_2,x_3, \ldots, x_p, x_1)$. 

D\'eterminer le cardinal de $\X$, l'ordre de la permutation $\sigma$ et l'ensemble de ses points fixes. Finalement, conclure.
\end{document} 