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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape 5. Groupes quotients, actions de groupes et compl\'ements} \end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Exercice 1.} (\emph{Signature}) Cet exercice a pour objet la d\'efinition de la \emph{signature} d'une permutation.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. \'Etant donn\'ee une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on pose $\epsilon(\sigma) = (-1)^{n-k}$, o\`u $k$ est le nombre d'orbites de $\sigma$ dans $\{1,\ldots, n\}$.

(i) D\'eterminer explicitement $\varepsilon(\sigma)$ lorsque $\sigma=1$ puis lorsque $\sigma$ est un cycle.

(ii) \'Etant donn\'ees une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ et une transposition $\tau \in \mathfrak{S}_n$, d\'emontrer que l'on a $\varepsilon(\sigma \tau) = -\varepsilon(\sigma)$. (\emph{Indication : si $\tau = (i,j)$, distinguer le cas o\`u $i$ et $j$ appartiennent \`a des $\sigma$-orbites distinctes et le cas o\`u $i$ et $j$ appartiennent \`a la m\^eme $\sigma$-orbite.})

(iii) Quelles que soient les transpositions $\tau_1, \ldots, \tau_r \in \mathfrak{S}_n$, d\'emontrer que l'on a $\varepsilon(\tau_1 \ldots \tau_r) = (-1)^r$.

\vspace{0.1cm}
\noindent 2. En utilisant la question pr\'ec\'edente, prouver que l'application $\varepsilon : \mathfrak{S}_n \rightarrow \{-1,1\}$ est un homomorphisme de groupes.

\vspace{0.1cm}
\noindent 3. D\'emontrer que, si $f : \mathfrak{S}_n \rightarrow \{-1,1\}$ est un homomorphisme de groupes surjectif tel que $f(\tau) = -1$ pour toute transposition $\tau$, alors $f = \varepsilon$.

\vspace{0.1cm} \noindent  4. Justifier les trois interpr\'etations suivantes de la signature $\varepsilon(\sigma)$ d'une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.

(i) Si $\sigma = \tau_1 \ldots \tau_r$ est une expression de $\sigma$ comme un produit de transpositions, la parit\'e de $m$ ne d\'epend pas du choix des transpositions et $\varepsilon(\sigma) = (-1)^m$.

(ii) Une \emph{inversion} de $\sigma$ est une paire $\{i,j\}$ d'\'el\'ements de $\{1, \ldots, n\}$ tel que $i<j$ et $\sigma(i) > \sigma(j)$. D\'emontrer que l'on a : $$\varepsilon(\sigma) = (-1)^{\textrm{nombre d'inversions de $\sigma$}} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}.$$
(\emph{Indication : multiplier $\sigma$ par des transpositions convenables pour faire baisser le nombre d'inversions et v\'erifier que la seule permutation n'ayant aucune inversion est l'identit\'e.})

(iii) Soit $\rho : \mathfrak{S}_n \rightarrow \mathrm{GL}(n,\mathbb{Q})$ l'homomorphisme de groupes envoyant une permutation $\sigma$ sur l'application lin\'eaire d\'efinie par $$\rho(\sigma)(e_i) = e_{\sigma(i)}.$$ D\'emontrer que l'on a $\varepsilon = \mathrm{det} \circ \rho$.

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 2.} (\emph{Formule de Burnside}) Soit $\G$ un groupe fini op\'erant sur un ensemble fini $\X$. Pour tout \'el\'ement $g \in \G$, on pose $$\X^g = \{x \in \X \ | \ gx =x\}.$$

\noindent 1. D\'emontrer la formule $$\sum_{x \in \X} |\mathrm{Stab}_{\G}(x)| = \sum_{g \in \G} |\X^g|.$$ (\emph{Indication : compter combien de fois un point $x$ de $\X$ appara\^it dans l'un des ensembles $\X^g$, $g \in \G$...})

\noindent 2. En d\'eduire la \emph{formule de Burnside} : $$\textrm{Nombre d'orbites de $\G$ dans $\X$ } = \frac{1}{|\G|}\sum_{g \in \G} |\X^g|. $$

\noindent 3. Soit $\C$ un carr\'e de sommets $a$, $b$, $c$, $d$ et de centre $o$. On consid\`ere le groupe $\G$ d'isom\'etries du plan engendr\'e par la rotation de centre $o$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ et par la sym\'etrie (orthogonale) par rapport \`a la diagonale $(ac)$. D\'emontrer que $\G$ est isomorphe \`a un sous-groupe d'ordre $8$ de $\mathfrak{S}_4$.

\noindent 4. On colorie les sommets du carr\'e $\C$ \`a l'aide de $m \geq 1$ couleurs. Deux coloriages de $\C$ sont identifi\'es s'il existe un \'el\'ement $h$ de $\Hr$ envoyant l'un sur l'autre.

(i) \'Enum\'erer tous les coloriages possibles lorsque $m = 2$.

(ii) En appliquant la formule de Burnside, d\'emonter qu'il y a $$\frac{m^4+2m^3+3m^2+2m}{8}$$ coloriages possibles.

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Exercice 3.} (\emph{Groupes di\'edraux}) \'Etant donn\'e un entier $n \geq 1$, on d\'esigne par $\rP_n$ le polyg\^one r\'egulier \`a $n$ c\^ot\'es dans un plan euclidien orient\'e et on note $\D_n$ le groupe des isom\'etries du plan qui pr\'eservent $\rP_n$, c'est-\`a-dire les isom\'etries $f$ telles que $f(\rP_n) = \rP_n$. Soit $\Or$ le centre de $\rP_n$. On d\'esigne par $r$ la rotation de centre $\Or$ et d'angle $\frac{2\pi}{n}$ et par $s$ la r\'eflexion par rapport \`a un axe de sym\'etrie $\Delta$ de $\rP_n$.

\vspace{0.1cm} 1.D\'emontrer que $\D_n$ est un groupe fini d'ordre $2n$ ayant pour \'el\'ements les isom\'etries $s^{\varepsilon}r^k$, $0 \leq k \leq n-1$ et $\varepsilon \in \{0,1\}$.

\vspace{0.1cm} 2. V\'erifier l'identit\'e $srs^{-1} = r^{-1}$. En d\'eduire la table de multiplication du groupe $\D_n$. Pour quelles valeurs de $n$ ce groupe est-il commutatif? 

\vspace{0.1cm} 3. D\'eterminer l'ordre de chacun des \'el\'ements de $\D_n$. En d\'eduire que le groupe $\D_4$ n'est pas isomorphe au groupe $\mathbb{H}_8$ des quaternions.

\vspace{0.1cm} 4. Soit $\G$ un groupe engendr\'e par des \'el\'ements $a$ et $b$ tels que $\mathrm{ord}(a) = n$, $\mathrm{ord}(b)=2$ et $\mathrm{ord}(ab)= 2$. D\'emontrer que $\G$ est isomorphe au groupe $\D_n$.

 

\vspace{0.4cm}
\noindent \textbf{Exercice 4.} (\emph{Classification des groupes ab\'eliens finis}) L'objet de cet exercice est la d\'etermination de tous les groupes ab\'eliens finis \`a isomorphisme pr\`es ; en particulier, on va d\'emontrer que tout groupe ab\'elien est isomorphe \`a un produit de groupes ab\'eliens cycliques.

\vspace{0.1cm}
I. Soit $p$ un nombre premier et soit $\G$ un groupe ab\'elien fini dont l'ordre est une puissance de $p$. Quel que soit $r \geq 0$, on d\'esigne par $\G_r$ le sous-groupe de $\G$ form\'e des \'el\'ements $g$ tels que $g^{p^r} = e$ ; cela d\'efinit une suite croissante $$\{e\} = \G_0 \subset \G_1 \subset \ldots \subset \G_r \subset \G_{r+1} \subset \ldots \G$$ de sous-groupes de $\G$ et $\G_r = \G$ si $r$ est suffisamment grand. Enfin, pour $r \geq 1$, on pose $\V_r =\G_r/\G_{r-1}$.

\hspace{0.1cm} 1. D\'eterminer explicitement les suites $(\G_r)_{r \geq 0}$ et $(\V_r)_{r \geq 1}$ dans chacun des trois cas suivants : $$\G = \mathbb{Z}/p^3 \mathbb{Z}, \ \ \G = \mathbb{Z}/p^2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \ \ \textrm{ et } \ \ \G = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$$

\hspace{0.1cm} 2. Soit $r \geq 1$. Justifier que l'on a $x^p = 1$ pour tout \'el\'ement $x$ du groupe $\V_r$ puis en d\'eduire que l'application $$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \V_r \rightarrow \V_r, \ \ (\overline{m},x) \mapsto x^m$$ fait de $\V_r$ un espace vectoriel de dimension finie sur le corps $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. On pose $\delta(r) = \mathrm{dim}_{\mathbb{F}_p} (\V_r)$.

\hspace{0.1cm} 3. Soient $1 \leq s \leq r$. V\'erifier que l'homomorphisme de groupes $\G \rightarrow \G, \ g \mapsto g^{r-s}$ induit une application $\mathbb{F}_p$-lin\'eaire injective $u^s_r : \V_r \rightarrow \V_s$. La suite $(\delta(r))_{r \geq 1}$ est par cons\'equent d\'ecroissante.

\hspace{0.1cm} 4. Fixons $r \geq 1$ tel que $\G = \G_r$. On choisit $d(r) = \delta(r)$ \'el\'ements $g_{r,1}, \ldots, g_{r,\delta(r)}$ de $\G_r$ dont les images par la projection canonique $\G_r \rightarrow \V_r$ forment une base de $\V_r$ sur $\mathbb{F}_p$ ; ensuite, pour tout $s \in \{1, \ldots, r-1\}$, on choisit $d(s) = \delta(s) - \delta(s+1)$ \'el\'ements $g_{s,1}, \ldots, g_{s, d(s)}$ de $\G_{s}$ dont les images par la projection canonique $\G_s \rightarrow \V_s$ constituent une base d'un suppl\'ementaire de $u^s_{s+1}(\V_{s+1})$ dans $\V_s$.

(i) \'Etant donn\'es des entiers naturels $m_{s,i}$, $1 \leq s \leq r$ et $1 \leq i \leq d(s)$, d\'emontrer que l'identit\'e $$g_{r,1}^{m_{r,1}} \ldots g_{r,d(r)}^{m_{r,d(r)}} \ldots g_{s,1}^{m_{s,1}} \ldots g_{s,d(s)}^{m_{s,d(s)}} \ldots g_{1,1}^{m_{1,1}} \ldots g_{1,d(1)}^{m_{1,d(1)}} = 1$$ implique $$m_{s,i} \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p^s)$$ pour tout $1 \leq s \leq r$ et $1 \leq i \leq d(s)$.

(ii) En d\'eduire que le groupe $\G$ est isomorphe au groupe produit $$\prod_{s \geq 1} \left(\mathbb{Z}/p^s \mathbb{Z}\right)^{d(s)}.$$

\hspace{0.1cm} 5. \'Etant donn\'e $r \geq 1$, d\'emontrer que  l'on a $|G_r| = p^{\delta(1) + \ldots + \delta(r)}$. En d\'eduire que $\G$ contient exactement $(p^{\delta(r)}-1)p^{\delta(1) + \ldots + \delta(r-1)}$ \'el\'ements d'ordre $p^r$.

\hspace{0.1cm} 6. Soient $\Hr$ un autre groupe ab\'elien fini d'ordre une puissance de $p$ et soit $\delta'(r)$ la dimension du $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel $\Hr_r/\Hr_{r-1}$ ($r \geq 1$). D\'emontrer que le groupe $\Hr$ est isomorphe \`a $\G$ si et seulement si $\delta(r) = \delta'(r)$ pour tout $r \geq 1$.


\vspace{0.2cm} II. Soit $\G$ un groupe ab\'elien fini. 

1. En utilisant la seconde question de l'exercice 2 de la fiche 4, d\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $\G$ est isomorphe \`a un produit de groupes cycliques.

\vspace{0.1cm}
2. D\'emontrer qu'un groupe ab\'elien fini $\Hr$ est isomorphe \`a $\G$ si et seulement si, pour tout nombre entier naturel $m$, $\G$ et $\Hr$ ont le m\^eme nombre d'\'el\'ements d'ordre $m$.
\end{document} 