\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}

\pagestyle{empty}

\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-25mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-40mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{50mm} \addtolength{\textheight}{60mm}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Q}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\Hr}{\mathrm{H}}
\newcommand{\Or}{\mathrm{O}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}

\thispagestyle{empty}

\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape 6. Anneaux, corps et polyn\^omes} \end{center}

\vspace{0.3cm} \noindent \textsc{Convention} : \emph{tous les anneaux consid\'er\'es sont unitaires, c'est-\`a-dire qu'ils poss\`edent un \'el\'ement neutre 1 pour la multiplication, et tout homomorphisme d'anneaux envoie 1 sur 1}.

\vspace{0.3cm}

\noindent \textbf{Exercice 1.} On appelle \emph{entier de Gauss} un nombre complexe de la forme $a+ib$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$. 

1. V\'erifier que l'ensemble $\mathcal{E}$ des entiers de Gauss, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, est un anneau commutatif int\`egre. 

2. Quel est le corps des fractions de $\mathcal{E}$?

3. Quels sont les \'el\'ements inversibles de $\mathcal{E}$?

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Exercice 2.} (\emph{Id\'eaux de $\M_n(k)$}) \'Etant donn\'e un anneau $\A$, on rappelle qu'un \emph{id\'eal} (bilat\`ere) de $\A$ est un sous-groupe additif $\Ir$ de $\A$ tel que, pour tout $x \in \Ir$ et tout $a \in \A$, $ax \in \Ir$ et $xa \in \Ir$.

\vspace{2pt} 1. Soit $\A$ un anneau commutatif non nul. D\'emontrer que $\A$ est un corps si et seulement si les seuls id\'eaux de $\A$ sont $\{0\}$ et $\A$.

\vspace{2pt} 2. Soit $k$ un corps commutatif et soit $n$ un nombre entier strictement positif. On consid\`ere un id\'eal non nul $\Ir$ de l'anneau $\M_{n}(k)$.

(i) D\'emontrer que $\Ir$ contient une matrice de rang un. (\emph{Indication : consid\'erer une matrice non nulle $\M \in \Ir$ et choisir convenablement $\rP \in \M_n(k)$ de sorte que la matrice $\rP \M$ soit de rang un.})

(ii) En d\'eduire que $\Ir$ contient la matrice $\E_{11} = \mathrm{diag}(1,0, \ldots, 0)$ puis que $\Ir$ contient chacune des matrices \'el\'ementaires $\E_{ii}$, $1 \leq i \leq n$.

(iii) Conclure que l'on a $\Ir = \M_n(k)$.

\vspace{2pt} 3. Comparer les r\'esultats des deux questions pr\'ec\'edentes.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 3.} Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts. Quels sont les diviseurs de z\'ero dans l'anneau $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$? Dans l'anneau $\mathbb{Z}/p^2q \mathbb{Z}$? 

\vspace{0.1cm} \noindent \textbf{Exercice 4.} On consid\`ere dans l'anneau $\mathbb{Z}[\X]$ l'id\'eal $\Ir$ engendr\'e par $2\X$ et $\X^3$, ainsi que l'id\'eal $\J$ engendr\'e par $3\X$ et $\X^2+1$.

1. V\'erifier que $\X^3-2\X$ appartient \`a l'id\'eal $\Ir \cap \J$.

2. V\'erifier que l'on a $\Ir + \J = \mathbb{Z}[\X]$ et en d\'eduire que $\Ir \cap \J = \Ir \J$.

3. Montrer qu'il n'existe pas de polyn\^omes $\rP \in \Ir$ et $\Q \in \J$ tels que $\X^3-2\X = \rP \Q$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 5.} On consid\`ere l'anneau $\mathbb{R}[\X]$.

1. D\'eterminer le pgcd des polyn\^omes $\X^3 + 4\X^2 +4\X+3$ et $\X^3+5\X^2+8\X+6$ puis en d\'eduire un isomorphisme d'anneaux $$\mathbb{R}[\X]/\Ir \rightarrow \mathbb{R},$$ o\`u $\Ir$ est l'id\'eal de $\mathbb{R}[\X]$ engendr\'e par $\X^3 + 4\X^2 +4\X+3$ et $\X^3+5\X^2+8\X+6$. 

\vspace{2pt}
2. D\'eterminer un g\'en\'erateur de l'id\'eal $\J$ de $\mathbb{R}[\X]$ engendr\'e par les polyn\^omes $\X^3+3\X^2+4\X+2$ et $\X^4+2\X^3+3\X^2+2\X+2$ puis en d\'eduire un isomorphisme d'anneaux $$\mathbb{R}[\X]/\J \rightarrow \mathbb{C}.$$


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 6.} Soit $\K$ un corps commutatif et soit $\rP \in \K[\X]$ un polyn\^ome de degr\'e $2$ ou $3$. D\'emontrer que $\rP$ est irr\'eductible si et seulement si $\rP$ n'a pas de racine dans $\K$.


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 7.} (\emph{Racines rationnelles des polyn\^omes \`a coefficients entiers})  

1. Soit $\rP \in \mathbb{Z}[\X]$ un polyn\^ome \emph{unitaire}. Si un nombre rationnel $r \in \mathbb{Q}$ est une racine de $\rP$, montrer que $r$ est un nombre entier divisant $\rP(0)$. (\emph{Indication : \'ecrire $r = \frac{a}{b}$ avec $a, \ b \in \mathbb{Z}$ premiers entre eux et montrer que $b=1$}.)

\vspace{2pt}
2. Soit $\Q \in \mathbb{Z}[\X]$ un polyn\^ome \`a coefficients entiers et de degr\'e $d \geq 1$, \'ecrit sous la forme $\Q = a_d \X^d + a_{d-1}\X^{d-1} + \ldots + a_0$ avec $a_d \neq 0$. Supposons que le nombre rationnel $\alpha \in \mathbb{Q}$ soit une racine de $\Q$.

(i) En utilisant la question pr\'ec\'edente, montrer que $a_d\alpha$ est un nombre entier divisant $a_d^{d-1}a_0$.

(ii) En d\'eduire qu'un nombre fini de v\'erifications permet de d\'eterminer si un polyn\^ome $\Q \in \mathbb{Q}[\X]$ donn\'e admet ou non une racine dans $\mathbb{Q}$.

\vspace{2pt} 3. En guise d'application de ce qui pr\'ec\`ede, d\'eterminer si les polyn\^omes suivants sont ou non irr\'eductibles dans $\mathbb{Q}[\X]$ : $$\X^3 - 5\X^2+11\X-4, \ \ \  3\X^3+2\X^2+\X+4, \ \ \ \X^3-3\X-\frac{1}{2}.$$ 

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 8.} Soit $\A$ un anneau commutatif.

\vspace{2pt}
1. D\'emontrer qu'il existe un unique homomorphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}$ dans $\A$.

\vspace{2pt}
2. Soit $n$ un nombre entier strictement positif. D\'emontrer que l'application $$\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\mathbb{Z}[\X_1, \ldots, \X_n], \A) \rightarrow \A^n, \ \ f \mapsto (f(\X_1), \ldots, f(\X_n))$$ r\'ealise une bijection entre l'ensemble $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Ann}}(\mathbb{Z}[\X_1, \ldots, \X_n], \A)$ des homomorphismes d'anneaux $\mathbb{Z}[\X_1, \ldots, \X_n] \rightarrow \A$ et l'ensemble des $n$-uplets d'\'el\'ements de $\A$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 9.} Soit $k$ un corps commutatif et soit $n$ un nombre entier strictement positif. Un polyn\^ome $\rP \in k[\X_1, \ldots, \X_n]$ est \emph{homog\`ene de degr\'e $d$} s'il s'exprime comme une combinaison lin\'eaire des seuls mon\^omes $\X_1^{\nu_1} \ldots \X_n^{\nu_n}$ tels que $\nu_1 + \ldots + \nu_n = d$. L'ensemble des polyn\^omes homog\`enes de degr\'e $d \in \mathbb{N}$ est un sous-espace vectoriel de $k[\X_1, \ldots, \X_n]$, not\'e $k[\X_1, \ldots, \X_n](d)$.

Prouver la formule : \hspace{3cm} $\mathrm{dim}_k \ k[\X_1, \ldots, \X_n](d) = \frac{(n+d)!}{n!\ d!}.$ 

\vspace{0.1cm} \noindent (\emph{Indication : raisonner par r\'ecurrence sur $n$ et $d$ en justifiant que l'application $k$-lin\'eaire $$k[\X_1, \ldots, \X_{n-1}](d) \oplus k[\X_1, \ldots, \X_n](d-1)\rightarrow k[\X_1, \ldots, \X_n](d), \ \ (\rP,\Q) \mapsto \rP + \X_n\Q$$ est un isomorphisme}.)

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 10.} (\emph{Polyn\^omes sym\'etriques}) Soit $\A$ un anneau commutatif et soit $n \geq 1$ un nombre entier. Un polyn\^ome $\rP \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ est dit \emph{sym\'etrique} si, pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$,  $\rP(\X_{\sigma(1)}, \ldots, \X_{\sigma(n)}) = \rP(\X_1, \ldots, \X_n).$

\'Etant donn\'e un nombre entier $p \in \{1, \ldots, n\}$, le \emph{$p$-\`eme polyn\^ome sym\'etrique \'el\'ementaire} est d\'efini par $$\Sigma_p = \sum_{1 \leq i_1 < \ldots < i_p \leq n} \X_{i_1} \ldots \X_{i_p}.$$ On a donc $$\Sigma_1 = \X_1 + \X_2 + \ldots + \X_n, \ \ \ \Sigma_2 = \X_1\X_2 + \X_1 \X_3 + \ldots + \X_{n-1}\X_n, \ \ \ldots, \ \ \Sigma_n = \X_1 \ldots \X_n.$$  
 
\vspace{2pt} 1. V\'erifier l'identit\'e $$(\T - \X_1)(\T-\X_2) \ldots (\T - \X_n) = \T^n - \Sigma_1 \T^{n-1} + \Sigma_2 \T^{n-2} + \ldots + (-1)^n \Sigma_n$$ dans l'anneau de polyn\^omes $\A[\X_1, \ldots, \X_{n}, \T]$.

\vspace{2pt} 2. Nous allons maintenant d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant : \emph{pour tout polyn\^ome sym\'etrique $P \in A[X_1, \ldots, X_n]$, il existe un unique polyn\^ome $Q \in A[Y_1, \ldots, Y_n]$ tel que $P(X_1, \ldots, X_n) = Q(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)$.}

\vspace{3pt} On raisonne par r\'ecurrence sur $n$ puis sur le degr\'e total de $\rP$ (c'est-\`a-dire le maximum des degr\'es des mon\^omes non nuls de $\rP$). Soit $\rP \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ un polyn\^ome sym\'etrique. 

\vspace{0.1cm}
(i) V\'erifier que le th\'eor\`eme est vrai si $n=1$ ou si $\mathrm{deg}(\rP)=0$.

(ii) Supposons $n \geq 2$ et $\mathrm{deg}(\rP) \geq 1$. D\'emontrer qu'il existe un unique polyn\^ome $\Q_1 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_{n-1}]$ tel que $$\rP(\X_1, \ldots, \X_{n-1},0) = \Q_1(\widetilde{\Sigma}_1, \ldots, \widetilde{\Sigma}_{n-1}),$$ o\`u l'on a pos\'e $\widetilde{\Sigma}_d = \Sigma_d(\X_1, \ldots, \X_{n-1}, 0)$.

(iii) V\'erifier que le polyn\^ome $\rP - \Q(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1}) \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ est sym\'etrique et que c'est un multiple de $\X_n$. En d\'eduire que $\rP$ s'\'ecrit sous la forme $$\rP = \Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1}) + \Sigma_n\Q_2$$ avec $\Q_2 \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ sym\'etrique et tel que $\mathrm{deg}(\Q_2) < \mathrm{deg}(\rP)$.

(iv) Achever la preuve du th\'eor\`eme.

\vspace{1pt} 3. En appliquant la m\'ethode utilis\'ee pour d\'emontrer le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, exprimer les deux polyn\^omes sym\'etriques suivants \`a l'aide des polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires : $$\X_1^2 \X_2 + \X_1\X_2^2 + \X_1^2\X_3 + \X_1\X_3^2 + \X_2^2\X_3 + \X_2\X_3^2 \ \ \ \ \ (n=3)$$ et $$(\X_1\X_2+\X_3\X_4)(\X_1\X_3+\X_2\X_4)(\X_1\X_4+\X_2\X_3) \ \ \ \ \ (n=4).$$




\end{document} 