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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.5cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape 7. Anneaux, corps et polyn\^omes (suite)} \end{center}

\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Exercice 1} --- Soit $\A$ un anneau commutatif int\`egre. 

1. D\'emontrer qu'un polyn\^ome $\rP \in \A[\T]$ est inversible si et seulement si $\rP = a$ avec $a \in \A^{\times}$. (\emph{Indication : raisonner par l'absurde en supposant que $\rP$ de degr\'e $\geq 1$ est inversible, d'inverse $\Q$, et consid\'erer le terme dominant du polyn\^ome $\rP \Q$.}) 

\vspace{2pt}
2. En d\'eduire que l'on a $\A[\X_1, \ldots, \X_n]^{\times} = \A^{\times}$ pour tout $n \geq 1$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Soit $k$ un corps commutatif. \'Etudier l'irr\'eductibilit\'e des polyn\^omes $$\X^3 - \Y^2 - \X \ \ \ \  \textrm{ et } \ \ \  \ \X\Y^3 - \X^2\Y - \Y^2 + \X.$$ (\emph{Indiation : travailler d'abord dans l'anneau $k(\X)[\Y]$ puis utiliser le th\'eor\`eme de Gauss.})

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 3} --- Soit $\A$ un anneau commutatif. 

\vspace{2pt}
1. Soit $\Ir$ un id\'eal de $\A$ et soit $p : \A \rightarrow \A/\Ir$ la projection canonique. D\'emontrer que l'application $\J \mapsto p^{-1}(\J)$ r\'ealise une bijection entre l'ensemble des id\'eaux de $\A/\Ir$ et l'ensemble des id\'eaux de $\A$ contenant $\Ir$, puis v\'erifier que $\J$ est premier (resp. maximal) si et seulement si $p^{-1}(\J)$ est premier (resp. maximal). 

En guise d'application, d\'eterminer tous les id\'eaux premiers (resp. maximaux) de l'anneau $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.

\vspace{2pt}
2. \'Etant donn\'es deux \'el\'ements $f, g$ de $\A$, on pose $\A' = \A/(f)$ et on note $a \mapsto \overline{a}$ la projection canonique $\A \rightarrow \A'$. D\'emontrer que l'application $\A \rightarrow \A', \ a \mapsto \overline{a} \ (\mathrm{mod} \ \overline{g})$ induit un isomorphisme d'anneaux entre $\A/(f,g)$ et $\A'/(\overline{g})$.

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 4} (\emph{L'anneau des entiers de Gauss}) --- On \'etudie dans cet exercice l'anneau $\mathbb{Z}[i]$ des entiers de Gauss. 

On d\'esigne par $\N$ l'application $\mathbb{Z}[i] \rightarrow \mathbb{N}, \ \ z = a+ib \mapsto \N(z) = z\overline{z} = a^2+b^2$.

\vspace{2pt} 1. Quels sont les \'el\'ements inversibles de $\mathbb{Z}[i]$?

\vspace{2pt}
2. Comment d\'emontre-t-on que cet anneau est principal? En guise d'illustration, d\'eterminer un g\'en\'erateur de l'id\'eal engendr\'e par $5+5i$ et $3-4i$.

\vspace{2pt}
3. Soit $p$ un nombre premier. D\'emontrer que l'anneau $\mathbb{Z}[i]/(p)$ est isomorphe \`a $\mathbb{F}_p[\X]/(\X^2+1)$. (\emph{Indication : utiliser la question 2 de l'exercice 3}.)

\vspace{2pt} 4. Soit $p$ un nombre premier.

\vspace{1pt} (i) Si $p \geq 2$, d\'emontrer que $-1$ est un carr\'e dans $\mathbb{F}_p$ si et seulement s'il existe un \'el\'ement d'ordre $4$ dans le groupe $\mathbb{F}_p^{\times}$. En d\'eduire que tel est le cas si et seulement si $p \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4)$. (\emph{Indication : utiliser le fait que le groupe $\mathbb{F}_p^{\times}$ est cyclique, cf. fiche 3, exercice 12}.)

\vspace{1pt} (ii) En d\'eduire que $p$ est un \'el\'ement irr\'eductible de $\mathbb{Z}[i]$ si et seulement si $p \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$. 

\vspace{1pt} (iii) Si $p= 2$ ou si $p \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 4)$, d\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement irr\'eductible $\pi$ de $\mathbb{Z}[i]$ tel que $\pi\overline{\pi} = p$.


\vspace{2pt} 4. En utilisant la question pr\'ec\'edente, d\'emontrer que les \'el\'ements irr\'eductibles de $\mathbb{Z}[i]$ sont, aux \'el\'ements inversibles pr\`es, \begin{itemize} \item les nombres premiers $p \in \mathbb{N}$ avec $p \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$, \item les entiers de Gauss $a+ib$ dont la norme est un nombre premier.\end{itemize} 

\vspace{1pt} V\'erifier enfin que, parmi ces \'el\'ements, seuls $1+i$ et $1-i$ sont associ\'es.


\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 5} (\emph{L'anneau des entiers de Gauss : applications}) --- Voici deux applications arithm\'etiques de l'\'etude de l'anneau $\mathbb{Z}[i]$ conduite \`a l'exercice pr\'ec\'edent.

\vspace{0.1cm} 1. \emph{Premi\`ere application : un nombre entier naturel $n \geq 2$ peut s'\'ecrire sous la forme $a^2 + b^2$ avec $a, b \in \mathbb{N}$ si et seulement si, dans sa d\'ecomposition en facteurs premiers, tout nombre premier $p \equiv 3 \ (\mathrm{mod}\ 4)$ intervient avec une multiplicit\'e paire.}

\vspace{2pt} Soit $\Sigma$ l'ensemble des nombres entiers $n \geq 2$ que l'on peut \'ecrire sous la forme $a^2 + b^2$ avec $a, b \in \mathbb{N}$ et soit $n \geq 2$ un nombre entier.

\vspace{1pt} (i) V\'erifier que $n \in \Sigma$ si et seulement s'il existe $z \in \mathbb{Z}[i]$ tel que $n = z \overline{z}$.

\vspace{1pt} (ii) On rappelle que l'anneau $\mathbb{Z}[i]$ est factoriel (car principal, cf. cours). D\'emontrer que $n$ s'\'ecrit sous la forme $z\overline{z}$ dans $\mathbb{Z}[i]$ si et seulement si sa d\'ecomposition en facteurs premiers dans $\mathbb{Z}$ est de la forme $n = \prod_{p} p^{v_p(n)}$ avec $v_p(n)$ pair pour tout $p \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$.
 
\vspace{0.1cm} 2. \emph{Seconde application : d\'etermination des solutions enti\`eres de l'\'equation de Pythagore $x^2 + y^2 = z^2$.}

\vspace{1pt} On cherche \`a d\'eterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ de tous les triplets $(x,y,z) \in \mathbb{Z}^3$ tels que $x^2 + y^2 = z^2$ et $xyz \neq 0$.

\vspace{1pt} (i) Justifier que tout \'el\'ement $(x,y,z)$ de $\mathcal{E}$ s'\'ecrit sous la forme $(dx',dy',dz')$ avec $d \in \mathbb{N}$, $(x',y',z') \in \mathcal{E}$ et $\mathrm{pgcd}(x',y')=1$. 

\vspace{1pt} Soit $(x,y,z) \in \mathcal{E}$ avec $\mathrm{pgcd}(x,y)=1$ ; l'identit\'e $x^2 + y^2 = z^2$ s'\'ecrit \'egalement sous la forme $$(x+iy)(x-iy)=z^2.$$ 

\vspace{1pt} (ii) Justifier que, pour tout \'el\'ement irr\'eductible $\pi \in \mathbb{Z}[i]$ non associ\'e \`a $1+i$, la multiplicit\'e de $\pi$ dans $x+iy$ est paire. 

\vspace{1pt} (iii) Justifier que la multiplicit\'e de $1+i$ est la m\^eme dans $x+iy$ et dans $x-iy$. En utilisant le fait que $z$ est un nombre r\'eel, v\'erifier par ailleurs que la multiplicit\'e de $1+i$ dans $z$ est paire. En d\'eduire finalement que la multiplicit\'e de $1+i$ dans $x+iy$ est paire.

\vspace{1pt} (iv) D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes que l'on a $x+iy = u\lambda^2$ et $z = \pm \lambda \overline{\lambda}$ avec $u \in \mathbb{Z}[i]^{\times}$ et $\lambda \in \mathbb{Z}[i]$. En conclusion, d\'emontrer qu'il existe $a, b \in \mathbb{Z}$ tels que $(x,y,z) = (a^2 - b^2, 2ab, a^2+b^2)$ ou $(x,y,z) = (2ab, a^2-b^2, a^2+b^2)$.  

\vspace{0.3cm}  \noindent \textbf{Exercice 6} --- Soit $\vartheta$ une racine carr\'ee de $-5$ dans $\mathbb{C}$ et soit $\mathbb{Z}[\vartheta]$ le plus petit sous-anneau de $\mathbb{C}$ contenant $\vartheta$.

\vspace{2pt} 1. D\'emontrer que l'application $$\mathbb{Z}[\X] \rightarrow \mathbb{C}, \ \ \rP \mapsto \rP(\vartheta)$$ induit un isomorphisme d'anneaux entre $\mathbb{Z}[\X]/(\X^2 +5)$ et $\mathbb{Z}[\vartheta]$. En d\'eduire que tout \'el\'ement de $\mathbb{Z}[\vartheta]$ s'\'ecrit d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme $a + b \vartheta$ avec $a, \ b \in \mathbb{Z}$ et que l'on a $$(a+b\vartheta) - (a'+b'\vartheta) = (a-a')+(b-b')\vartheta, \ \ (a+b\vartheta)(a'+b'\vartheta) = (aa'-5bb') + (ab'+a'b)\vartheta.$$

\vspace{1pt} 2. Montrer que l'application $$\N : \mathbb{Z}[\vartheta] \rightarrow \mathbb{N}, \ a+b\vartheta \mapsto a^2+5b^2$$ est multiplicative, c'est-\`a-dire v\'erifie $\N(zz') = \N(z)\N(z')$. En d\'eduire que les seuls \'el\'ements inversibles de $\mathbb{Z}[\vartheta]$ sont $1$ et $-1$.

\vspace{2pt} 3. V\'erifier que les \'el\'ements $2$, $3$, $1+\vartheta$, $1-\vartheta$ sont irr\'eductibles et deux \`a deux non associ\'es. En utilisant l'identit\'e $6 = 2.3 = (1+\vartheta)(1-\vartheta)$, en d\'eduire que l'anneau $\mathbb{Z}[\vartheta]$ n'est pas factoriel.

\vspace{2pt} 4. Soient  $\mathfrak{p} = (2,1+\vartheta)$, $\mathfrak{q} = (3, 1+\vartheta)$ et $\mathfrak{q}' = (3,1-\vartheta)$ les id\'eaux de $\mathbb{Z}[\vartheta]$ respectivement engendr\'es par $2$ et $1+\vartheta$, par $3$ et $1+\vartheta$ et par $3$ et $1-\vartheta$. 

\vspace{2pt} (i) Montrer que ces id\'eaux ne sont pas principaux. \\ (\emph{Indication : raisonner par l'absurde en observant que, si $\mathfrak{p}$ \'etait engendr\'e par un \'el\'ement $z$ de $\mathbb{Z}[\vartheta]$, alors $\N(z) \geq 2$ et $\N(z)|\mathrm{pgcd}(\N(2), \N(1+\vartheta)) = \mathrm{pgcd}(4,6) = 2$, donc $\N(z) =2$, ce qui est impossible...}) 

\vspace{2pt} (ii) En utilisant l'exercice 3, prouver que l'on a $\mathbb{Z}[\vartheta]/\mathfrak{p} \simeq \mathbb{F}_2$ et $\mathbb{Z}[\vartheta]/\mathfrak{q}, \ \mathbb{Z}[\vartheta]/\mathfrak{q}' \simeq \mathbb{F}_3$. En d\'eduire que les id\'eaux $\mathfrak{p}, \mathfrak{q}$ et $\mathfrak{q}'$ de $\mathbb{Z}[\vartheta]$ sont maximaux.

\vspace{2pt} (iii) V\'erifier que l'on a $\mathfrak{p}^2 = (2)$ et $\mathfrak{q}\mathfrak{q}' = (3)$. En d\'eduire que l'on a $(6) = \mathfrak{p}^2\mathfrak{q}\mathfrak{q}'$. 

\vspace{0.3cm} \noindent \textbf{Exercice 7} --- Soit $\X$ un espace topologique compact et soit $\mathrm{C}(\X) = \mathrm{C}^0(\X, \mathbb{R})$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel des fonctions r\'eelles continues sur $\X$ ; muni de l'addition et de la multiplication usuelle des fonctions, $\mathrm{C}(\X)$ est un anneau commutatif.

\vspace{0.2cm} \emph{L'objet de cet exercice est de montrer que l'on peut reconstituer l'espace topologique $\X$ \`a partir de l'anneau $\C(\X)$.}

\vspace{0.2cm}
On d\'esigne par $\M(\X)$ l'ensemble de tous les id\'eaux maximaux de l'anneau $\C(\X)$.

\vspace{0.1cm} \noindent 1. Soit $x$ un point de $\X$. V\'erifier que l'application $$\mathrm{ev}_x : \C(\X) \rightarrow \mathbb{R}, \ \ f \mapsto f(x)$$ est un homomorphisme d'anneaux surjectif. En d\'eduire que son noyau $$\mathfrak{m}_x = \{f \in \C(\X) \ | \ f(x) = 0\}$$ est un id\'eal maximal de $\C(\X)$.

\vspace{0.2cm} \noindent 2. On rappelle la cons\'equence suivante du \emph{lemme d'Urysohn} en Topologie g\'en\'erale : quels que soient les sous-espaces ferm\'es disjoints $\F$ et $\F'$ dans un espace topologique compact $\X$, il existe une fonction continue $f \in \C(\X)$ telle que $f_{|\F} = 0$ et $f_{|\F'}=1$.

\vspace{0.1cm} En utilisant ce r\'esultat, d\'emontrer que l'application $$j : \X \rightarrow \M(\X), \ \ x \mapsto \mathfrak{m}_x$$ est injective.

\vspace{0.2cm} \noindent  3. On va d\'emontrer que l'application $j$ est surjective, et donc bijective, en raisonnant par l'absurde. Supposons qu'il existe un id\'eal maximal $\mathfrak{m}$ de $\C(\X)$ qui ne soit pas de la forme $\mathfrak{m}_x$ pour un certain point $x$ dans $\X$.

\vspace{1pt} (i) On choisit pour tout point $x \in \X$ une fonction $f_x$ appartenant \`a $\mathfrak{m}$ mais non \`a $\mathfrak{m}_x$. Justifier que $f_x$ ne s'annule pas sur tout un voisinage ouvert de $x$.

\vspace{1pt} (ii) En d\'eduire qu'il existe un nombre fini de points $x_1, \ldots, x_n$ de $\X$ tels que la fonction $g = f_{x_1}^2 + \ldots + f_{x_n}^2$ ne s'annule en aucun point de $\X$. 

\vspace{1pt} (iii) En conclure \`a une contradiction, ce qui prouve la surjectivit\'e de l'application $j$. (\emph{Indication : observer que, par construction, $g \in \mathfrak{m}$ ; or $g$ est inversible dans $\C(\X)$...})


\vspace{0.2cm} \noindent 4. \'Etant donn\'ee une fonction $f \in \C(\X)$, on pose $$\D(f) = \{\mathfrak{m} \in \M(\X) \ | \ f \notin \mathfrak{m}\}.$$

V\'erifier que les ensembles $\D(f)$ constituent une base d'ouverts pour une topologie sur $\M(\X)$, c'est-\`a-dire que les r\'eunions quelconques d'ensembles de cette forme v\'erifient les axiomes caract\'erisant les ouverts d'un espace topologique.

\vspace{0.2cm} \noindent 5. Si l'on munit $\M(\X)$ de la topologie que l'on vient de d\'efinir, v\'erifier que l'application $j$ est un hom\'eomorphisme.

\newpage
\end{document}