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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.8cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape Corrig\'e du partiel du 3 avril 2008} \end{center}

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Probl\`eme 1.} Les trois nombres entiers $7$, $8$ et $9$ \'etant deux \`a deux premiers entre eux, l'application $$\pi : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}, \ n \mapsto (n \ (\mathrm{mod} \ 7), \ n \ (\mathrm{mod} \ 8), \ n \ (\mathrm{mod} \ 9)$$ induit un isomorphisme de groupes ab\'eliens $$\mathbb{Z}/504\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$$ en vertu du th\'eor\`eme chinois des restes.

Puisque $8.9 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 7)$, $7.9 \equiv -1 \ (\mathrm{mod} \ 8)$ et $7.8 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 9)$,  $$\N_1 = 288 = 4.8.9 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 7), \ \ \N_2 = 441 = 7.7.9 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 8) \ \ \textrm{ et } \ \ \N_3 = -224 = - 4.7.8 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 9).$$ Par construction, $\pi(\N_1) = (1,0,0), \ \pi(\N_2) = (0,1,0)$ et $\pi(\N_3) = (0,0,1)$. Comme $\pi$ est un homomorphisme de groupes, $$\pi(\N_1 + 2\N_2 + 3\N_3) = \pi(\N_1) + 2 \pi(\N_2) + 3 \pi(\N_3) = (1,2,3)$$ et par cons\'equent $$\N = \N_1 + 2\N_2 + 3\N_3 = 288 + 2.441 - 3.224 = 1170-672=498$$ est une solution du syst\`eme de congruences $$\left\{\begin{array}{ll} x \equiv & 1 \ (\mathrm{mod} \ 7) \\ x \equiv & 2 \ (\mathrm{mod} \ 8) \\ x \equiv & 3 \ (\mathrm{mod} \ 9)\end{array} \right. \ ;$$ en outre, puisque $0 \leq \N < 504$, $\N$ est le plus petit entier naturel satisfaisant \`a ces conditions.

\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Probl\`eme 2.} 1. En vertu de l'identit\'e $$(4k+1)(4k'+1) = 16kk' + 8(k+k')+1 = 4(4kk'+2k+2k')+1,$$ le produit de deux nombres entiers de la forme $4\K+1$ avec $\K \in \mathbb{Z}$ est encore de cette forme.

\vspace{0.2cm} 2. Nous allons d\'emontrer que l'ensemble $\Sr$ des nombres premiers de la forme $4k+3$ avec $k \in \mathbb{N} - \{0\}$ est infini. Raisonnons par l'absurde en supposant que $\Sr$ soit \emph{fini}. 

Le nombre entier $$p(\Sr) = 3 + 4\prod_{p \in \Sr} p$$ \'etant sup\'erieur \`a $3$, il se d\'ecompose en un produit de nombres premiers en vertu du th\'eor\`eme fondamental de l'arithm\'etique. Puisque $p(\Sr) \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$, il d\'ecoule de la question pr\'ec\'edente que l'un au moins des facteurs premiers de $p(\Sr)$ n'est pas congru \`a $1$ modulo $4$ ; comme $p(\Sr)$ est impair, nous en d\'eduisons que $p(\Sr)$ poss\`ede un facteur premier $q$ tel que $q \equiv 3 \ (\mathrm{mod} \ 4)$.

On a n\'ecessairement $q > 3$ : en effet, si $3$ divisait $p(\Sr)$, alors $3$ diviserait $p(\Sr) - 3 = \prod_{p\in \Sr} p$ et donc $3$ appartiendrait \`a $\Sr$, ce qui exclu. D'autre part, $q$ ne peut appartenir \`a $\Sr$ : sinon, $q$ diviserait $p(\Sr) - \prod_{p \in \Sr}p$ et donc $q$ diviserait $3$, ce qui est impossible. Nous obtenons ainsi un nombre premier $q$ de la forme $4k+3$ avec $k \in \mathbb{N} -\{0\}$ n'appartenant pas \`a $\Sr$, en contradiction avec la d\'efinition m\^eme de l'ensemble $\Sr$. 

\vspace{0.1cm}
Nous avons par cons\'equent d\'emontr\'e qu'il existe une infinit\'e de nombres premiers de la forme $4k+3$, $k \in \mathbb{N}$.





\vspace{0.5cm}
\noindent \textbf{Probl\`eme 3.} Soit $p$ un nombre premier. L'ensemble $\mathbb{Q}_p$ des nombres rationnels dont le d\'enominateur est une puissance de $p$ est un sous-groupe (commutatif) de $(\mathbb{Q}, +)$. Dans ce qui suit, $\Hr$ d\'esigne un sous-groupe de $\mathbb{Q}_p$.

\vspace{0.1cm}
1. Soit $x$ un \'el\'ement de $\Hr$ tel que $\frac{x}{p} \notin \Hr$. Nous allons montrer que les classes $\frac{x}{p^i} + \Hr, \ i \in \mathbb{N}$, sont toutes distinctes.

\indent (a) Soient $i$ et $j$ deux entiers naturels tels que $i > j$. Si $\frac{x}{p^i} - \frac{x}{p^j} \in \Hr$, alors $$\frac{x}{p^{i-j}} - x = p^{j}\left(\frac{x}{p^i} - \frac{x}{p^j}\right) = \left(\frac{x}{p^i} - \frac{x}{p^j}\right) + \ldots + \left(\frac{x}{p^i} - \frac{x}{p^j}\right) \in \Hr \ ; $$ comme $x$ appartient \`a $\Hr$, il en est donc de m\^eme de $\frac{x}{p^{i-j}}$.

\vspace{0.1cm}
\indent (b) Supposons qu'il existe deux entiers naturels distincts $i > j$ tels que $\frac{x}{p^i} + \Hr = \frac{x}{p^j} + \Hr$. Comme cette identit\'e \'equivaut \`a $$\frac{x}{p^i} - \frac{x}{p^j} \in \Hr,$$ $\frac{x}{p^{i-j}}$ appartient alors \`a $\Hr$ en vertu de la question pr\'ec\'edente. Puisque $i - j > 0$, $i - j - 1 \geq 0$ et donc $$\frac{x}{p} = p^{i-j-1}\frac{x}{p^{i-j}} = \frac{x}{p^{i-j}} + \ldots + \frac{x}{p^{i-j}} \in \Hr,$$ ce qui contredit l'hypoth\`ese initialement faite sur $x$. 
Nous venons de prouver que les classes modulo $\Hr$ $\frac{x}{p^i} + \Hr, \ i \in \mathbb{N}$, sont toutes distinctes. 

En particulier, l'indice de $\Hr$ dans $\mathbb{Q}_p$ est \emph{infini} d\`es qu'il existe un \'el\'ement $x$ de $\mathbb{Q}_p$ tel que $x \in \Hr$ et $\frac{x}{p} \notin \Hr$.

\vspace{0.2cm} 2. Supposons maintenant que le sous-groupe $\Hr$ de $\mathbb{Q}_p$ soit d'indice \emph{fini}.

\vspace{0.1cm}
\indent (a) Comme $\Hr$ et $\mathbb{Z}$ sont deux sous-groupes de $\mathbb{Q}_p$, $\Hr \cap \mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ et, vu la structure des sous-groupes de $\mathbb{Z}$, il existe donc un unique entier naturel $m$ tel que $\Hr \cap \mathbb{Z} = m \mathbb{Z}$. 

Deux \'el\'ements distincts de $\mathbb{Q}_p$ appartiennent \'evidement \`a des classes distinctes modulo le sous-groupe $\{0\}$ ; comme le groupe $\mathbb{Q}_p$ est infini, il en d\'ecoule que le sous-groupe $\{0\}$ n'est pas d'indice fini. \'Etant d'indice fini, le sous-groupe $\Hr$ n'est par suite pas r\'eduit \`a $\{0\}$ et il contient donc un \'el\'ement non nul $x = \frac{n}{p^r}$, $n \in \mathbb{Z} - \{0\}$, $r \geq 0$. Le sous-groupe $\Hr \cap \mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$ contient alors l'entier non nul $n = p^r x$, ce qui prouve que l'entier naturel $m$ est strictement positif.

\vspace{0.1cm} \indent (b) Si $p$ divisait l'entier naturel non nul $m$ de la question pr\'ec\'edente, $\frac{m}{p}$ serait un entier naturel strictement compris entre $0$ et $m$. Comme $m$ est le plus petit entier naturel non nul appartenant \`a $\Hr$, $\frac{m}{p}$ n'appartiendrait pas \`a $\Hr$. Dans ces conditions, les classes $\frac{m}{p^i} + \Hr, \ i \in \mathbb{N}$, seraient alors toutes distinctes en vertu de la question 1 et l'indice de $\Hr$ dans $\mathbb{Q}_p$ serait donc infini. Puisque cette conclusion contredit l'hypoth\`ese faite sur $\Hr$, nous en d\'eduisons que $p$ ne divise pas $m$.

\vspace{0.1cm} \indent (c) Puisque $\Hr$ est un sous-groupe de $\mathbb{Q}_p$ d'indice fini, il n'y a qu'un nombre fini de classes modulo $\Hr$. Vu la question 1, cela entra\^{\i}ne $$\forall x \in \mathbb{Q}_p, \ \ \ x \in \Hr \ \Longrightarrow \ \frac{x}{p} \in \Hr$$ et, en raisonnant par r\'ecurrence sur $r$, $\frac{x}{p^r} \in \Hr$ pour tout \'el\'ement $x$ de $\Hr$ et tout entier naturel $r$.

D'autre part, $\Hr$ \'etant un sous-groupe de $\mathbb{Q}_p$, alors $\frac{x}{p^{-s}} = p^{s}x  \in \Hr$ pour tout $x \in \Hr$ et tout $s \in \mathbb{N}$. Nous avons ainsi prouv\'e : $$\forall x \in \mathbb{Q}_p, \forall r \in \mathbb{Z}, \ \ x \in \Hr \ \Longrightarrow \ \frac{x}{p^r} \in \Hr.$$

L'inclusion $m \mathbb{Q}_p \subset \Hr$ est une cons\'equence imm\'ediate de cette observation : quels que soient en effet $n \in \mathbb{Z}$ et $r \in \mathbb{Z}$, $mn \in m\mathbb{Z} \subset \Hr$ et donc $m\frac{n}{p^r} = \frac{mn}{p^r} \in \Hr$.


\vspace{0.1cm} \indent (d) Nous venons de d\'emontrer l'inclusion $m\mathbb{Q}_p \subset \Hr$. Soit r\'eciproquement $x$ un \'el\'ement de $\Hr$, que l'on \'ecrit sous la forme $x = \frac{n}{p^r}$ avec $n \in \mathbb{Z}$ et $r \in \mathbb{N}$ ; alors $n = p^r x$ appartient \`a $\mathbb{Z} \cap \Hr = m\mathbb{Z}$ et donc $x = \frac{n}{p^r} = \frac{mn'}{p^r}$ appartient bien \`a $m\mathbb{Q}_p$. Conclusion : $\Hr = m \mathbb{Q}_p$.

\vspace{0.1cm} \indent (e) Soient $n \in \mathbb{Z}$ et $k \in \mathbb{N}$. Puisque $p$ ne divise pas $m$, les nombres entiers $m$ et $p^k$ sont premiers entre eux et donc $\mathbb{Z} = p^k\mathbb{Z} + m \mathbb{Z}$ par application du th\'eor\`eme de B\'ezout. Il existe par cons\'equent des entiers $u$ et $v$ tels que $$n = p^k u + mv \ ;$$ de plus, si $s \in \{0, \ldots, m-1\}$ (resp. $q$) est le reste (resp. le quotient) de la division euclidienne de $u$ par $m$, alors $$n = p^k s + mv'$$ avec $v' = v + q$. Comme $\Hr = m\mathbb{Q}_p$, nous en d\'eduisons $$\frac{n}{p^k} + \Hr = s + m\frac{v'}{p^k} + \Hr = s + \Hr.$$ 

\'Etant donn\'es $s, s' \in \{0, \ldots, m-1\}$, $s + \Hr = s' + \Hr$ si et seulement si $s = s'$. En effet, si $s + \Hr = s'+\Hr$, alors $s - s'$ appartient \`a $\Hr$,  donc \`a $\Hr \cap \mathbb{Z} = m \mathbb{Z}$, et par cons\'equent $s - s' = 0$ puisque $|s-s'| < m$. 

Nous venons de prouver que toute classe modulo $\Hr$ s'\'ecrit sous la forme $s+\Hr$ pour un unique entier naturel $s$ de $\{0, \ldots, m-1\}$, de sorte que $(\mathbb{Q}_p : \Hr) = m$.

\vspace{0.2cm} \indent (a) D'apr\`es la question 2 (d), tout sous-groupe d'indice fini de $\mathbb{Q}_p$ est de la forme $m\mathbb{Q}_p$ pour un certain entier naturel $m$, non nul et premier \`a $p$.

Si $m$ et $m'$ sont deux entier naturels non nuls et premiers \`a $p$ tels que $\Hr_m = \Hr_m'$, alors $$m\mathbb{Z} = \Hr_{m} \cap \mathbb{Z} = \Hr_{m'} \cap \mathbb{Z} = m'\mathbb{Z}$$ en vertu de la question 2 (a) et donc $m = m'$.

\vspace{0.1cm} \indent (b) Quels que soient $m, m' \in \mathcal{N}_p$, $\Hr_{m'} \subset \Hr_m$ si et seulement si $m' \in \Hr_m$, donc si et seulement s'il existe $n \in \mathbb{Z}$ et $r \in \mathbb{N}$ tels que $m' = m \frac{n}{p^r}$, c'est-\`a-dire tels que $m'p^r = mn$. Cette condition revient \`a dire qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que $m$ divise $m'p^r$ ; puisque $m$ et $p^r$ sont premiers entre eux, cela est le cas si et seulement si $m$ divise $m'$. On a donc $$\Hr_{m'} \subset \Hr_m \ \ \Longleftrightarrow \ \ m|m'.$$

Soient $m, m' \in \mathcal{N}_p$ tels que $m|m'$. Puisque $\Hr_{m'} \subset \Hr_m$, $\Hr_{m'}$ est contenu dans le noyau de la projection canonique $\pi : \mathbb{Q}_p \rightarrow \mathbb{Q}_p/\Hr_{m'}$ et celle-ci induit donc un homomorphisme surjectif de groupes finis $$\mathbb{Q}_p/\Hr_{m'} \rightarrow \mathbb{Q}_p/\Hr_m$$ dont le noyau est le sous-groupe $\Hr_m/\Hr_{m'}$ de $\mathbb{Q}_p/\Hr_{m'}$. On a donc $$|\mathbb{Q}_p/\Hr_{m'}| = |\mathbb{Q}_p/\Hr_m||\Hr_{m}/\Hr_{m'}|,$$ d'o\`u $$(\Hr_m : \Hr_{m'}) = |\Hr_{m}/\Hr_{m'}| = \frac{|\mathbb{Q}_p/\Hr_{m'}|}{|\mathbb{Q}_p/\Hr_m|} = \frac{(\mathbb{Q}_p : \Hr_{m'})}{(\mathbb{Q}_p : \Hr_{m})} = \frac{m'}{m}.$$

\vspace{0.1cm} \indent (c) Soient $m$ et $m'$ deux \'el\'ements de $\mathcal{N}_p$. Vu la question pr\'ec\'edente, $\Hr_{mm'} \subset \Hr_{m} \cap \Hr_{m'}$ et donc $\Hr_{m} \cap \Hr_{m'}$ est un sous-groupe d'indice fini de $\mathbb{Q}_p$. En vertu des questions 3 (a), 2 (a) et 2(d), $\Hr_m \cap \Hr_{m'} = \Hr_{k}$, o\`u $k$ est l'unique entier naturel non nul tel que $(\Hr_{m} \cap \Hr_{m'}) \cap \mathbb{Z} = k \mathbb{Z}$. Comme $\Hr_m \cap \Hr_{m'} \cap \mathbb{Z} = (\Hr_m \cap \mathbb{Z}) \cap (\Hr_{m'} \cap \mathbb{Z})$, $k$ est l'unique entier naturel tel que $m\mathbb{Z} \cap m'\mathbb{Z} = k \mathbb{Z}$. Le sous-groupe $m\mathbb{Z} \cap m'\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}$ \'etant pr\'ecis\'ement l'ensemble des multiples communs de $m$ et $m'$, $k$ est le plus commun multiple de $m$ et $m'$. 

Nous avons ainsi d\'emontr\'e : $\Hr_m \cap \Hr_{m'} = \Hr_{\mathrm{ppcm}(m,m')}$.

\vspace{0.2cm} 4. Soit $\pi : \mathbb{Q}_p \rightarrow \overline{\mathbb{Q}}_p = \mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}$ la projection canonique et soit $\K$ un sous-groupe d'indice fini de $\overline{\mathbb{Q}}_p$. L'application $\pi$ \'etant un homomorphisme de groupes, l'image r\'eciproque $\widetilde{\K} = \pi^{-1}(\K)$ de $\K$ est un sous-groupe de $\mathbb{Q}_p$ contenant $\mathbb{Z} = \pi^{-1}(\overline{0})$ et la projection $\pi$ induit un isomorphisme du groupe quotient $\mathbb{Q}_p/\widetilde{\K}$ sur le groupe quotient $\overline{\mathbb{Q}}_p/\K$ ; par suite, $\widetilde{\K}$ est d'indice fini dans $\mathbb{Q}_p$. 

Comme $\widetilde{\K} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$, $\widetilde{\K} = \mathbb{Q}_p$ en vertu des questions 2 (a) et 2 (d) et donc $\K = \pi(\widetilde{\K}) = \overline{\mathbb{Q}}_p$. Nous venons ainsi de d\'emontrer que $\overline{\mathbb{Q}}_p$ est l'unique sous-groupe d'indice fini de $\overline{\mathbb{Q}}_p$.

\end{document}
