Problème 5. Soit p un nombre premier. On pose 𝔽_{p} = ℤ/pℤ et on rappelle que, pour tout 𝔽_{p}-espace vectoriel V, GL(V) désigne le groupe des automorphismes 𝔽_{p}-linéaires de V. La matrice d’un automorphisme g ∈ GL(V) dans une base b de V est notée Mat_{b}(g).

On considère dans tout cet exercice un groupe fini G d’ordre p^{k}, k ∈ ℕ.

1. Supposons que G opère sur un ensemble fini X dont le cardinal n’est pas divisible par p. Démontrer qu’il existe un élément x ∈ X tel que gx = x pour tout g ∈ G.

2. On suppose maintenant qu’il existe un 𝔽_{p}-espace vectoriel V de dimension finie n tel que G soit un sous-groupe de GL(V). On se propose de démontrer qu’il existe une base de V dans laquelle la matrice de chaque élément de G est triangulaire supérieure avec tous les coefficients diagonaux égaux à 1

(a) Justifier que G opère sur V ∖ {0} puis, en utilisant la question précédente, démontrer qu’il existe un vecteur non nul v ∈ V tel que gv = v pour tout g ∈ G.

(b) Considérons une base b = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) de V avec v_{1} = v. On pose V′ = Vect(v_{2}, …, v_{n}) et b′ = (v_{2}, …, v_{n}).

Démontrer qu’il existe un homomorphisme de groupes ρ : G → GL(V′) tel que, pour tout élément g de G,

Mat_{b}(g) = ( \begin{matrix}1 & ∗ & … & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & Mat_{b′}(ρ(g)) \\ 0 \end{matrix} ) .

(c) En raisonnant par récurrence sur la dimension n de V, démontrer qu’il existe une base de V dans laquelle la matrice de chaque élément de G est triangulaire supérieure avec tous les coefficients diagonaux égaux à 1.