\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}

\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}

\pagestyle{empty}

\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-25mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-40mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{50mm} \addtolength{\textheight}{60mm}


\begin{document}

\noindent \textbf{Probl\`eme 5.} \hspace{0.2cm} Soit $p$ un nombre premier. On pose $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et on rappelle que, pour tout  $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel $V$, $\mathrm{GL}(V)$ d\'esigne le groupe des automorphismes $\mathbb{F}_p$-lin\'eaires de $V$. La matrice d'un automorphisme $g \in \mathrm{GL}(V)$ dans une base $b$ de $V$ est not\'ee $\mathrm{Mat}_b(g)$. 

\vspace{0.2cm} On consid\`ere dans tout cet exercice un groupe fini $G$ d'ordre $p^k$, $k \in \mathbb{N}$.

\vspace{0.2cm} \noindent 1. Supposons que $G$ op\`ere sur un ensemble fini $X$ dont le cardinal n'est pas divisible par $p$. D\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement $x \in X$ tel que $g x = x$ pour tout $g \in G$.

\vspace{0.2cm} \noindent 2. On suppose maintenant qu'il existe un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$ tel que $G$ soit un sous-groupe de $\mathrm{GL}(V)$. On se propose de d\'emontrer qu'il existe une base de $V$ dans laquelle la matrice de chaque \'el\'ement de $G$ est triangulaire sup\'erieure avec tous les coefficients diagonaux \'egaux \`a $1$%, c'est-\`a-dire de la forme $$\left(\begin{array}{lll} 1 &  (*) & \\  &  \ddots & \\ & (0) & 1\end{array}\right).$$ 

\vspace{0.1cm} (a) Justifier que $G$ op\`ere sur $V \smallsetminus \{0\}$ puis, en utilisant la question pr\'ec\'edente, d\'emontrer qu'il existe un vecteur non nul $v \in V$ tel que $gv=v$ pour tout $g \in G$.

\vspace{0.1cm} (b) Consid\'erons une base $b = (v_1, v_2, \ldots, v_n)$ de $V$ avec $v_1=v$. On pose $V' = \mathrm{Vect}(v_2, \ldots, v_n)$ et $b'=(v_2, \ldots, v_n)$.

D\'emontrer qu'il existe un homomorphisme de groupes $\rho : G \rightarrow \mathrm{GL}(V')$ tel que, pour tout \'el\'ement $g$ de $G$, 

\vspace{0.1cm}$$\mathrm{Mat}_b(g) = \left(\begin{array}{l|lll} 1 & * & \hspace{0.6cm} \ldots & * \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & \mathrm{Mat}_{b'}(\rho(g)) & \\ 0 & & & \end{array} \right).$$ 

\vspace{0.1cm} (c) En raisonnant par r\'ecurrence sur la dimension $n$ de $V$, d\'emontrer qu'il existe une base de $V$ dans laquelle la matrice de chaque \'el\'ement de $G$ est triangulaire sup\'erieure avec tous les coefficients diagonaux \'egaux \`a $1$.
\end{document}