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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{1cm}

\begin{center} {\bfseries \scshape Propositions pour l'examen \ (A.T.)} \end{center}

\vspace{0.5cm}

\emph{Commentaire : les deux exercices sont proches de ce qui a \'et\'e fait en travaux dirig\'es. \\
\indent Le premier exercice est facile, bien qu'il soit \`a craindre que la question 3 (iii) ne pose des probl\`emes \`a plusieurs \'etudiants...
Le second exercice utilise les m\^emes techniques que celles vues en cours et en travaux dirig\'es lors de l'\'etude des entiers de Gau{\ss} ; la derni\`ere question est un peu plus d\'elicate et on pourrait envisager de donner quelques indications suppl\'ementaires.}

\vspace{0.5cm} 

\noindent \textbf{Exercice 1} -- Soit $p$ un nombre premier. On rappelle qu'un $p$-\emph{groupe} fini est un groupe fini dont l'ordre $|\G|$ est une puissance de $p$.

\vspace{0.1cm} On pose $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et, pour tout entier naturel $\N \geq 1$, on d\'esigne par $\U_p(\N)$ le sous-groupe du groupe $\mathrm{GL}(\N,\mathbb{F}_p)$ constitu\'e des matrices triangulaires sup\'erieures dont tous les coefficients diagonaux sont \'egaux \`a $1$.

\vspace{0.1cm} Soit $\G$ un $p$-groupe fini. Le but de cet exercice est de d\'emontrer que $\G$ est isomorphe \`a un sous-groupe de $\U_p(|\G|)$. 

\vspace{0.2cm} 1) Quel est l'ordre du groupe $\U_p(\N)$?

\vspace{0.2cm} 2) Supposons que le groupe $\G$ op\`ere sur un ensemble fini $\X$ dont le cardinal n'est pas divisible par $p$. D\'emontrer que l'ensemble $\X$ contient  un point $x$ tel que $gx=x$ pour tout $g \in \G$. 

\vspace{0.2cm} 3) On consid\`ere dans cette question un espace vectoriel de dimension fini $\V$ sur $\mathbb{F}_p$ ainsi qu'un homomorphisme de groupes $\rho : \G \rightarrow \mathrm{GL}(\V)$.

\vspace{0.1cm} (i) D\'emontrer qu'il existe un vecteur non nul $v \in \V$ tel que $\rho(g)v=v$ pour tout $g \in \G$.

\vspace{0.1cm} (ii) Si $v$ est un vecteur non nul de $\V$ tel que $\rho(g)v=v$ pour tout $g \in \G$, v\'erifier que le groupe $\G$ op\`ere par automorphismes $\mathbb{F}_p$-lin\'eaires sur l'espace vectoriel quotient $\V/\mathbb{F}_p v$.

\vspace{0.1cm} (iii) En raisonnant par r\'ecurrence sur $d$, d\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes qu'il existe une base de $\V$ dans laquelle la matrice de chaque \'el\'ement de $\G$ est triangulaire sup\'erieure avec des coefficients diagonaux tous \'egaux \`a $1$.

\vspace{0.2cm} 4) Soit $\V$ le $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel de toutes les applications ensemblistes de $\G$ dans $\mathbb{F}_p$. Quels que soient $\varphi \in \V$ et $g \in \G$, on d\'efinit l'application $^g \varphi \in \V$ par $$\forall x \in \G, \ \ \ \ \ \ (^g \varphi)(x) = \varphi(xg).$$

\vspace{0.1cm} (i) V\'erifier que l'application $\G \times \V \rightarrow \V, \ (g,\varphi) \mapsto ^g\varphi$ est une action du groupe $\G$ sur $\V$ par automorphismes $\mathbb{F}_p$-lin\'eaires.

\vspace{0.1cm} (ii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que le groupe $\G$ est isomorphe \`a un sous-groupe du groupe $\U_p(|\G|)$.

%\vspace{0.5cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- On \'etudie dans cet exercice la r\'eductibilit\'e du polyn\^ome $\X^4+1$ dans $k[\X]$ pour diff\'erents corps $k$.

%\vspace{0.1cm} (ii) D\'ecomposer le polyn\^ome $\X^4 +1$ en produit de facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb{R}[\X]$.

%\vspace{0.2cm} 2) D\'ecomposer le polyn\^ome $\X^4+1$ en produit de facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb{F}_2[\X]$.

%\vspace{0.2cm}  \emph{On fixe maintenant un nombre premier $p \geq 3$.}

%\vspace{0.2cm} 3) D\'eterminer la structure du groupe $(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^{\times}$ des \'el\'ements inversibles de $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. En d\'eduire que l'on a $p^2 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 8).

%\vspace{0.2cm} 4) Soit $g$ un facteur irr\'eductible du polyn\^ome $\X^4+1$ dans $\mathbb{F}_p[\X]$ et soit $d = \mathrm{deg}(g)$. D\'emontrer que l'anneau quotient $\K = \mathbb{F}_p[\X]/(g)$ est un corps fini de cardinal $p^d$.

%\vspace{0.2cm} 5) Notons $x$ la classe du polyn\^ome $\X$ dans $\K$. Justifier que l'on a $x^{p^2} = x$

%\vspace{0.4cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Soit $p$ un nombre premier. On pose $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.

%\vspace{0.2cm} 1) Consid\'erons un polyn\^ome irr\'eductible $f$ dans $\mathbb{F}_p[\X]$ et posons $d = \mathrm{deg}(f) \geq 1$.

%\vspace{0.1cm} (i) D\'emontrer que l'anneau quotient $\K = \mathbb{F}_p[\X]/(f)$ est un corps fini de cardinal $p^d$.

%\vspace{0.1cm} (ii) Si l'on note $x$ la classe du polyn\^ome $\X$ dans $\K$, montrer que l'on a $x^{p^{d}} = x$. 

%\vspace{0.1cm} (iii) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que le polyn\^ome $f$ est un facteur irr\'eductible du polyn\^ome $\X^{p^d} - \X$ dans $\mathbb{F}_p[\X]$. 
%\vspace{0.2cm} 2) 

\vspace{1cm} \noindent \textbf{Exercice 2} --- Soit $\omega$ une racine complexe du polyn\^ome $\X^2 + \X +1$. On note $\A$ le sous-anneau de $\mathbb{C}$ constitu\'e des nombres complexes de la forme $a + b \omega$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$.

\vspace{0.2cm} 1) (i) D\'emontrer que chacune des deux applications $$f : \mathbb{Z}[\X] \rightarrow \mathbb{C}, \ \rP \rightarrow \rP(\omega) \ \ \ \textrm{ et } \ \ \ g : \mathbb{Z}[\X] \rightarrow \A, \ \rP \mapsto \rP(\omega^2)$$ induit un isomorphisme d'anneaux entre $\mathbb{Z}[\X]/(\X^2+\X+1)$ et $\A$.

\vspace{0.1cm} \indent (ii) En d\'eduire qu'il existe un automorphisme $\sigma$ de l'anneau $\A$ tel que $\sigma(a+b\omega) = a+b\omega^2$.

\vspace{0.2cm} Pour tout $\alpha \in \A$, on pose $\N(\alpha) = \alpha\sigma(\alpha)$.

\vspace{0.2cm} 2) (i) V\'erifier que l'on a $\N(\alpha) \in \mathbb{N}$ pour tout $\alpha \in \A$.

\vspace{0.1cm} \indent (ii) D\'emontrer qu'un \'el\'ement $\alpha$ de $\A$ est inversible dans $\A$ si et seulement si $\N(z)=1$ et v\'erifier que l'on a $\A^{\times} = \{\pm 1, \pm \omega, \pm (1+\omega)\}$.

\vspace{0.2cm} 3) (i) Quel que soit le nombre complexe $z$ \'ecrit sous la forme $z = u+v\omega$ avec $u,v \in \mathbb{R}$, d\'emontrer qu'il existe un \'el\'ement $\alpha$ de $\A$ tel que $\N(z-\alpha) < 1$. (\emph{Indication : consid\'erer les meilleures approximations enti\`eres de $u$ et $v$}.)

\indent (ii) En d\'eduire que l'anneau $\A$ est euclidien.

\vspace{0.2cm} 4) D\'emontrer que l'\'el\'ement $1 - \omega$ de $\A$ est irr\'eductible puis en d\'eduire la d\'ecomposition de $3$ en produit d'\'el\'ements irr\'eductibles dans $\A$.

\vspace{0.2cm} 5) (i) \'Etant donn\'es des nombres entiers $x$ et $y$ premiers entre eux, v\'erifier les \'el\'ements $x+y$, $x+\omega y$ et $x+\omega^2 y$ de $\A$ sont deux \`a deux premiers entre eux.

(ii) En utilisant l'identit\'e $x^3+y^3 = (x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2 y)$, d\'emontrer que l'\'equation $x^3+y^3 = 3$ n'a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.  


\end{document}
