\documentclass[11pt, francais]{smfart}
\usepackage{amsfonts, amssymb, amsmath, latexsym}
\usepackage{mathptmx}
\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}

\pagestyle{empty}

\input xy
\xyoption{all}

\addtolength{\hoffset}{-25mm}
%\addtolength{\voffset}{-5mm}
\addtolength{\topmargin}{-40mm} \addtolength{\headsep}{5mm}
\addtolength{\textwidth}{50mm} \addtolength{\textheight}{60mm}

\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
\newcommand{\K}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\T}{\mathrm{T}}
\newcommand{\B}{\mathrm{B}}
\newcommand{\M}{\mathrm{M}}
\newcommand{\V}{\mathrm{V}}
\newcommand{\F}{\mathrm{F}}
\newcommand{\N}{\mathrm{N}}
\newcommand{\Q}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\Ir}{\mathrm{I}}
\newcommand{\Sr}{\mathrm{S}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\X}{\mathrm{X}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\Lr}{\mathrm{L}}
\newcommand{\G}{\mathrm{G}}
\newcommand{\Hr}{\mathrm{H}}
\newcommand{\Or}{\mathrm{O}}
\newcommand{\Y}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\J}{\mathrm{J}}

\thispagestyle{empty}

\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}

\vspace{0.3cm}
\hrule


\vspace{2cm}



\noindent \textbf{Exercice} --- Soit $p$ un nombre premier. On pose $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Cet exercice est consacr\'e \`a l'\'etude des polyn\^omes irr\'eductibles dans $\mathbb{F}_p[\X]$.


\vspace{0.3cm} I. Soit $f$ un polyn\^ome irr\'eductible dans $\mathbb{F}_p[\X]$ et soit $d = \mathrm{deg}(f) \geq 1$ son degr\'e.

\vspace{0.2cm} 1) D\'emontrer que l'anneau $\mathbb{F}_p[\X]/(f)$ est un corps ayant $p^d$ \'el\'ements.

\vspace{0.2cm} 2) D\'emontrer que $f$ divise le polyn\^ome $\X^{p^d} - \X$ dans $\mathbb{F}_p[\X]$.

\vspace{0.3cm} II. Fixons r\'eciproquement un nombre entier $d \geq 1$ et consid\'eront un polyn\^ome irr\'eductible $g \in \mathbb{F}_p[\X]$ divisant $\X^{p^d} - \X$. On pose $n = \mathrm{deg}(g)$ et $\K = \mathbb{F}_p[\X]/(g)$.
 
\vspace{0.2cm} 1) D\'emontrer que l'application $\F : \K \rightarrow \K, \ \ a \mapsto a^p$ est un automorphisme du corps $\K$.

\vspace{0.2cm} 2) D\'emontrer que l'on a $\F^d(a) = a$ pour tout $a \in \K$.

\vspace{0.2cm} 3) En d\'eduire que l'on a $n \leq d$. 

\vspace{0.3cm} III.  1) Au vu des questions I, 2) et II, 3), comment peut-on d\'eterminer tous les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $d \geq 1$ fix\'e dans $\mathbb{F}_p[\X]$?

\vspace{0.2cm} 2) D\'eterminer tous les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $d \leq 2$ dans $\mathbb{F}_3[\X]$.

\vspace{0.2cm} 3) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que le polyn\^ome $\X^5 +3 \X^4 + 6\X^2 -2\X + 1$ est irr\'eductible dans $\mathbb{Z}[\X]$. 

\newpage

\end{document}