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\begin{document}
\noindent \textbf{Alg\`ebre et Th\'eorie des nombres - Printemps 2008} \hfill \textbf{Universit\'e Claude Bernard Lyon 1}
\vspace{0.3cm}
\hrule

\vspace{0.6cm}
\noindent \textbf{Correction de l'exercice sur les polyn\^omes sym\'etriques} (Fiche 6, Exercice 10)

\vspace{0.5cm}

1. On peut d\'emontrer l'identit\'e polynomiale $$(\T-\X_1)(\T-\X_2) \ldots (\T -\X_n) = \T^n - \Sigma_1\T^{n-1} + \Sigma_2\T^{n-2} + \ldots + (-1)^n\Sigma_n$$ en d\'eveloppant explicitement le terme de gauche ou encore en raisonnant par r\'ecurrence sur $n$ et en utilisant, pour $n \geq 2$, les identit\'es $$\Sigma_1 = \widetilde{\Sigma}_1 + \X_n \ \ \ \textrm{et} \ \ \ \Sigma_i = \widetilde{\Sigma}_i + \X_n \widetilde{\Sigma}_{i-1} \ \ (2 \leq i \leq n),$$ o\`u $\widetilde{\Sigma}_1, \ldots, \widetilde{\Sigma}_{n-1}$ sont les polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires en les $n-1$ ind\'etermin\'ees $\X_1, \ldots, \X_{n-1}$.

\vspace{0.5cm} 2. Nous allons d\'emontrer que tout polyn\^ome sym\'etrique $\rP \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ s'exprimer d'une mani\`ere et d'une seule sous la forme d'un polyn\^ome (\`a coefficients dans $\A$) en les $n$ fonctions sym\'etriques \'el\'ementaires $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n$ : $$\rP = \Q(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)$$ avec $\Q \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_n]$ uniquement d\'etermin\'e.

On va pour cela raisonner par r\'ecurrence en consid\'erant les couples $(n,\deg(\rP))$, o\`u $n$ est le nombre d'ind\'etermin\'ees et $\mathrm{deg}(\rP)$, le \emph{degr\'e total} de $\rP$, est le maximum des degr\'es des mon\^omes figurant dans $\rP$ ; ces couples sont ordonn\'es lexicographiquement : $(n,d) < (n',d')$ si $n < n'$ ou si $n=n'$ et $d<d'$.  

\vspace{0.1cm} (i) L'assertion est vraie si $(n,\deg(\rP)) = (1,0)$ parce qu'alors $\rP$ est constant ; cet argument vaut plus g\'en\'eralement pour $n$ quelconque si $\mathrm{deg}(\rP)=0$. On peut par ailleurs observer que le cas $n=1$ est \'egalement trivial puisqu'il n'y alors qu'une fonction sym\'etrique \'el\'ementaire $\Sigma_1 = \X_1$. Dans tous ces cas, $\Q = \rP(\Y_1, \ldots, \Y_n)$.

\vspace{0.1cm} (ii) Supposons $n \geq 2$ et $\deg(\rP) \geq 1$. Le polyn\^ome $\widetilde{\rP} \in \A[\X_1, \ldots, \X_{n-1}]$ d\'efini par $\widetilde{\rP} = \rP(\X_1, \ldots, \X_{n-1},0)$ est sym\'etrique : en effet, toute permutation $\sigma$ de $\{1, \ldots, n-1\}$ se prolonge de mani\`ere unique en une permutation $\widetilde{\sigma}$ de $\{1, \ldots, n\}$ fixant $n$ et, avec ces notations,  $$\widetilde{\rP} (\X_{\sigma(1)}, \ldots, \X_{\sigma(n-1)}) = \rP(\X_{\widetilde{\sigma}(1)}, \ldots, \X_{\widetilde{\sigma}(n-1)},0) = \rP(\X_1, \ldots, \X_{n-1},0) = \widetilde{\rP}(\X_1, \ldots, \X_{n-1}).$$

\vspace{0.1cm} Les $n-1$ polyn\^omes $\widetilde{\Sigma}_i = \Sigma_i(\X_1, \ldots, \X_{n-1}, 0)$, $1 \leq i \leq n-1$, sont les polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires en les ind\'etermin\'ees $\X_1, \ldots, \X_{n-1}$. Comme $(n-1, \mathrm{deg}(\widetilde{P})) < (n, \mathrm{deg}(\rP))$, l'hypoth\`ese de r\'ecurrence garantit par suite l'existence d'un unique polyn\^ome $\Q_1 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_{n-1}]$ tel que $$\widetilde{\rP} = \Q_1(\widetilde{\Sigma}_1, \ldots, \widetilde{\Sigma}_{n-1}).$$

\vspace{0.1cm} (iii) Poursuivons le raisonnement de (ii) en observant que le polyn\^ome $\Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1})$ en les $n$ ind\'etermin\'ees $\X_1, \ldots, \X_n$ est sym\'etrique car $\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n$ sont invariants par toute permutation des ind\'etermin\'ees. Le polyn\^ome $\rP_1 = \rP - \Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1}) \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ est donc sym\'etrique. 

Ce polyn\^ome s'annule par construction si l'on fait $\X_n=0$ : $\rP_1(\X_1, \ldots, \X_{n-1},0)=0$. \'Etant sym\'etrique, $\rP_1$ s'annule alors si l'on fait $\X_i = 0$, quel que soit $i \in \{1, \ldots, n\}$ : en effet, si $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ est le cycle $(i,n)$, $$\rP_1(\X_1, \ldots, \X_n) = \rP_1(\X_{\sigma(1)}, \ldots, \X_{\sigma(n)}) =  \rP_1(\X_1, \ldots, \X_{i-1}, \X_n, \X_{i+1}, \ldots, \X_{n-1}, \X_i)$$ et donc  \begin{eqnarray*} \rP_1(\X_1, \ldots, \X_n)_{|\X_i=0}  & = & \rP_1(\X_1, \ldots, \X_{i-1}, \X_n, \X_{i+1}, \ldots, \X_i)_{|\X_i=0} \\ & = & \rP_1(\X_1, \ldots, \X_{i-1}, \X_n, \X_{i+1}, \ldots, \X_{n-1}, 0) \\ & = & 0.\end{eqnarray*}

Il d\'ecoule imm\'ediatement de cette observation que le polyn\^ome $\rP_1$ s'\'ecrit sous la forme $\rP_1 = \X_1 \ldots \X_n \Q_2$ avec $\Q_2 \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$. En effet, s'il existait dans $\rP$ un mon\^ome de la forme $a\X_1^{\nu_1} \ldots \X_n^{\nu_n}$ avec $a \in \A - \{0\}$ et $\nu_i =0$ pour un certain $i \in \{1, \ldots, n\}$, ce mon\^ome figurerait alors dans le polyn\^ome obtenu en faisant $\X_i=0$ dans $\rP_1$ et on obtiendrait ainsi un polyn\^ome non nul.

\vspace{0.1cm} Nous obtenons donc une \'ecriture du polyn\^ome sym\'etrique $\rP$ sous la forme $$\rP = \Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n) + \Sigma_n\Q_2$$ avec $\Q_1 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_{n-1}]$ uniquement d\'etermin\'e et $\Q_2 \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$. 

Le polyn\^ome $\Q_2$ est \'egalement d\'etermin\'e de mani\`ere unique car, pour tous $\Q, \Q' \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$, $\Sigma_n\Q = \Sigma_n\Q'$ implique $\Sigma_n(\Q -\Q') = 0$ et donc $\Q = \Q'$ puisque $\Sigma_n$ n'est pas un diviseur de z\'ero dans l'anneau $\A[\X_1, \ldots, \X_n]$. Le m\^eme argument montre par ailleurs qu'il s'agit d'un polyn\^ome sym\'etrique puisque, pour toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, $$\Sigma_n \Q_2(\X_{\sigma(1)}, \ldots, \X_{\sigma(n)}) = \rP - \Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n) =  \Sigma_n\Q_2(\X_1, \ldots, \X_n).$$ 

Observons finalement que le degr\'e total de $\Q_2$ est major\'e par $\mathrm{deg}(\rP) - n$ :  en effet, les mon\^omes de $\Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1})$ sont tous distincts des mon\^omes de $\Sigma_n\Q_2$ puisque la variable $\X_n$ ne figure dans aucun de ceux-l\`a tandis qu'elle appara\^{\i}t au contraire dans chacun de ceux-ci ; il ne peut donc y avoir de compensation et tous les mon\^omes de $\Sigma_n\Q_2$ figurent dans le polyn\^ome $\rP$, ce qui implique $$\mathrm{deg}(\rP) \geq \mathrm{deg}(\Sigma_n\Q_2) = n + \deg(\Q_2).$$

\vspace{0.2cm} (iv) Il ne reste plus qu'\`a conclure : le polyn\^ome $\Q_2 \in \A[\X_1, \ldots, \X_n]$ \'etant sym\'etrique et de degr\'e total strictement inf\'erieur \`a $\deg(\rP)$, l'hypoth\`ese de r\'ecurrence garantit l'existence d'un unique polyn\^ome $\Q_3 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_n]$ tel que $$\rP = \Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1}) + \Q_3(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n),$$ de sorte que $\rP = \Q(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)$ avec $\Q = \Q_1 + \Y_n \Q_3 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_n]$. L'unicit\'e du polyn\^ome $\Q$ est \'egalement imm\'ediate : si $\Q' \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_n]$ est un polyn\^ome tel que $\rP = \Q'(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n)$, il suffit d'\'ecrire $\Q' = \Q'_1 + \Y_n\Q'_3$ avec $\Q'_1 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_{n-1}]$ et $\Q'_3 \in \A[\Y_1, \ldots, \Y_n]$ pour obtenir $$\rP = \Q_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1}) + \Sigma_n\Q_3(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n) = \Q'_1(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_{n-1}) + \Sigma_n\Q'_3(\Sigma_1, \ldots, \Sigma_n),$$ donc $\Q'_1 = \Q_1$ et $\Q'_3 = \Q_3$ en vertu de l'unicit\'e dans (ii), (iii) et l'hypoth\`ese de r\'ecurrence, puis finalement $\Q' = \Q$.

\vspace{0.5cm} 3. La m\'ethode de d\'emonstration du th\'eor\`eme de la question 2 fournit un algorithme permettant d'exprimer tout polyn\^ome sym\'etrique \`a partir des polyn\^omes sym\'etriques \'el\'ementaires. Voici deux exemples.

\vspace{0.2cm} $\bullet$ Soit $\rP = \X_1^2\X_2 + \X_1\X_2^2 + \X_1^2\X_3+\X_1\X_3^2 + \X_2^2\X_3+\X_2\X_3^2 \in \mathbb{Z}[\X_1, \X_2, \X_3]$.
 
On commence par consid\'erer le polyn\^ome sym\'etrique $\rP(\X_1, \X_2, 0) = \X_1^2\X_2 + \X_2\X_1^2$ en $\X_1$ et $\X_2$, qu'il faut exprimer \`a partir de $\widetilde{\Sigma}_1 = \X_1+\X_2$ et $\widetilde{\Sigma}_2 = \X_1\X_2$. On voit imm\'ediatement l'identit\'e $$\X_1^2\X_2 + \X_1\X_2^2  = (\X_1+\X_2)\X_1\X_2 = \Q_1(\widetilde{\Sigma}_1, \widetilde{\Sigma}_2)$$ avec $\Q_1 = \Y_1\Y_2 \in \mathbb{Z}[\Y_1, \Y_2]$.

\vspace{0.1cm} Il faut maintenant d\'eterminer le polyn\^ome sym\'etrique $\Q_2 \in \mathbb{Z}[\X_1, \X_2, \X_3]$ tel que $\rP - \Q_1(\Sigma_1, \Sigma_2) = \Sigma_3\Q_2$. On a observ\'e \`a la fin de la question 2 (iv) que le degr\'e total de $\Q_2$ est major\'e par $\deg(\rP) - 3$ ; comme $\deg(\rP) = 3$, $\Q_2$ est donc constant, \'egal au coefficient du mon\^ome $\X_1\X_2\X_3$ dans $\rP - \Sigma_1\Sigma_2$. Nous obtenons ainsi $\Q_2 = -3$ et donc $$\rP = \Sigma_1\Sigma_2 - 3\Sigma_3.$$

\vspace{0.2cm} $\bullet$ Soit $\rP = (\X_1\X_2 + \X_3\X_4)(\X_1\X_3+\X_2\X_4)(\X_1\X_4+\X_2\X_3) \in \mathbb{Z}[\X_1, \X_2, \X_3, \X_4]$.

On a imm\'ediatement $\rP(\X_1, \X_2,\X_3, 0 ) = \X_1^2\X_2^2\X_3^2 = \widetilde{\Sigma}_3^2$.

\vspace{0.1cm} D\'eterminons maintenant le polyn\^ome sym\'etrique $\Q_2 \in \mathbb{Z}[\X_1, \X_2, \X_3, \X_4]$ tel que $\rP - \Sigma_3^2 = \Sigma_4 \Q_2$.  On v\'erifie ais\'ement que la partie de $\rP$ contenant $\X_1\X_2\X_3\X_4$ est $$\X_1^3\X_2\X_3\X_4+\X_1\X_2^3\X_3\X_4+\X_1\X_2\X_3^3\X_4 + \X_1\X_2\X_3\X_4^3 = \X_1\X_2\X_3\X_4(\X_1^2 + \X_2^2 +\X_3^2 + \X_4^2).$$ La partie analogue de $\Sigma_3^2$ consiste pr\'ecis\'ement en tous les doubles produits, soit \begin{multline*} 2(\X_1^2\X_2^2\X_3\X_4 + \X_1^2\X_2\X_3^2\X_4 + \X_1^2\X_2\X_3\X_4^2 + \X_1\X_2^2\X_3^2\X_4 + \X_1\X_2^2\X_3\X_4^2+\X_1\X_2\X_3^2\X_4^2) \\  = 2\X_1\X_2\X_3\X_4(\X_1\X_2 + \X_1\X_3+\X_1\X_4+\X_2\X_3+\X_2\X_4+\X_3\X_4)  =  2\Sigma_4\Sigma_2. \end{multline*}

Par suite, $\Q_2 = \X_1^2+\X_2^2+\X_3^2+\X_4^2 - 2\Sigma_2$. On pourrait recommencer le m\^eme raisonnement pour exprimer le polyn\^ome sym\'etrique $\X_1^2+\X_2^2+\X_3^2+\X_4^2$ \`a partir de $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ mais le r\'esultat est \'evident : $\Q_2 = \Sigma_1^2 - 4\Sigma_2$.

 Nous obtenons finalement : 
$$\rP = \Sigma_3^2 + (\Sigma_1^2 - 4\Sigma_2)\Sigma_4.$$

\newpage
\end{document}
